REGLA DE L’HOPITAL Sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables en un determinado intervalo I y tales que xo ∈I se verifica que: Lím f ( x ) = Lím g ( x ) = 0 x→x 0

x→x 0

entonces, f (x ) f ' (x) = Lím x → x 0 g ( x ) x →x 0 g ' ( x ) Lím

Por ser derivables f(x) y g(x) se verifica Lím

x→x 0

f (x ) − f (x 0 ) = f ' (x 0 ) x − x0

g( x ) − g( x 0 ) = g' (x 0 ) x − x0 x→x 0 Lím

dividiendo miembro a miembro, Lím

x→x 0

f (x ) − f (x 0 ) f ' (x 0 ) f ' (x ) = = Lím g( x ) − g( x 0 ) g ' ( x 0 ) x →x 0 g ' ( x )

y al ser f(x0) = g(x0) = 0, nos queda, f (x ) f ' (x) Lím = Lím x → x 0 g ( x ) x →x 0 g ' ( x ) La regla de L’Hopital vale para las formas ∞⋅0 = ∞⋅

∞ 0 e , que pueden adoptar a su vez otras como ∞ 0

∞ 0 1 1 ó ∞⋅0 = = ⋅ 0 = para x teniendo a 0, ∞ ó −∞ 1 1 ∞ 0 ∞ 0

Para los valores 0 0 ; 1∞ ; ∞ 0 se toman logaritmos con lo que se hace posible aplicar L’Hopital.