REGLA DE L'HOPITAL. Sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables en un determinado intervalo I y tales que xo ∈I se verifica que: 0)x(g. Lím. )x(f. Lím. 0.
REGLA DE L’HOPITAL Sean f(x) y g(x) funciones continuas y derivables en un determinado intervalo I y tales que xo ∈I se verifica que: Lím f ( x ) = Lím g ( x ) = 0 x→x 0
x→x 0
entonces, f (x ) f ' (x) = Lím x → x 0 g ( x ) x →x 0 g ' ( x ) Lím
Por ser derivables f(x) y g(x) se verifica Lím
x→x 0
f (x ) − f (x 0 ) = f ' (x 0 ) x − x0
g( x ) − g( x 0 ) = g' (x 0 ) x − x0 x→x 0 Lím
dividiendo miembro a miembro, Lím
x→x 0
f (x ) − f (x 0 ) f ' (x 0 ) f ' (x ) = = Lím g( x ) − g( x 0 ) g ' ( x 0 ) x →x 0 g ' ( x )
y al ser f(x0) = g(x0) = 0, nos queda, f (x ) f ' (x) Lím = Lím x → x 0 g ( x ) x →x 0 g ' ( x ) La regla de L’Hopital vale para las formas ∞⋅0 = ∞⋅
∞ 0 e , que pueden adoptar a su vez otras como ∞ 0
∞ 0 1 1 ó ∞⋅0 = = ⋅ 0 = para x teniendo a 0, ∞ ó −∞ 1 1 ∞ 0 ∞ 0
Para los valores 0 0 ; 1∞ ; ∞ 0 se toman logaritmos con lo que se hace posible aplicar L’Hopital.
