Principios de Equivalencia

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Concepto de Apertura. Principios de Equivalencia Expresiones de los Campos Radiados Directividad Aperturas rectangulares Distribuciones separables: ejemplos Aperturas circulares

Concepto de Apertura •

Las antenas de Apertura se caracterizan por radiar la energía al espacio que las rodea a través de una abertura (apertura) – en algunos casos la apertura está perfectamente limitada por paredes metálicas conductoras (Bocinas y ranuras cortadas sobre planos, cilindros, guíaondas, etc.). – mientras que en otros casos (reflectores y lentes) la apertura se define como la porción de la superficie frontal plana en la que los campos de la onda colimada por aquellos toman valores apreciables.

Plano de Apertura

Apertura

1

Teorema de Unicidad
En un medio homogéneo, dentro de un volumen V (libre de fuentes de radiación), limitado por una superficie S, los campos existentes únicamente dependen del valor que toman las componentes tangenciales de E y H sobre S. r r E, H σ, ε, µ

r J

Fuentes de Radiación

S

V

n$

– Sean E1,H1 y E2,H2 dos soluciones de las ecuaciones de Maxwell que cumplan: r r r r n$ × H1 = n$ × H 2 n$ × E1 = n$ × E 2 y S

S

S

S

– Los vectores E1-E2 y H1-H2 también son solución de las Ecuaciones de Maxwell. Aplicando el Teorema de la Divergencia a: r r r r ∇ ⋅ E 1 − E 2 × H1 − H 2

r

r

r

r

r

r

r

r

[( ) ( ) ] = (H − H ) ⋅ (∇ × (E − E )) − (E − E ) ⋅ (∇ × (H − H ) ) r r r r r r r r r r $ = jω ∫∫∫ [µ H − H − ε E − E ]dV + σ ∫∫∫ E − E ∫∫ [(E − E ) × (H − H ) ] ⋅ ndS *

1

*

2

1

2

*

S

1

2

1

2

1

2

2

V

1

2

1

*

2

2

1

2

V

1

2

 ∫∫S = 0 r r  r r 2 E1 ≡ E 2 r  E1 − E 2 ≥ 0 ⇒ r 2 H1 ≡ H 2 r 2 dV  r  H1 − H 2 ≥ 0

La solución es UNICA: Los campos interiores se deben poder calcular a partir de sus componentes tangenciales sobre S

Principios de Equivalencia
El análisis de estas antenas típicas de microondas se realiza a partir del conocimiento de los campos E y H del frente de onda que atraviesa la apertura. – Estos campos se obtienen, en el caso de las bocinas y ranuras, a partir de los modos que se propagan en su interior, mientras que para los reflectores y lentes se realiza un trazado de rayos basado en óptica geométrica.


El análisis se basa en la aplicación de los Principios de Equivalencia Electromagnética, que responden al siguiente planteamiento:

rr J ( r′ )

~

Datos

rS r E HS

– Si se conocen los campos en una superficie cerrada S que contiene todas las fuentes (corrientes reales) de campo, ¿Pueden obtenerse los campos radiados? ¿Existe alguna distribución de corrientes equivalentes sobre S que produzca el mismo campo radiado? – La respuesta es afirmativa tal como sugiere el Principio de Difracción que Huygens estableció para la luz en 1690.

S

2

Principios de Equivalencia Principio de Huygens

Principios de Equivalencia

Fuentes Secundarias

Planteamiento Matemático Onda Plana

Frentes de Ondas

n$ = z$ r Ea r Ha

r r J = n$ × H a rs r M s = − n$ × E a

>



< σ=∞

Plano XY

r Js r Ms

>
0

r 2M s

>
< σm = ∞

Para z>0

>

PR 4 πr 2

r k r$ ⋅ r ′ = 0

La potencia radiada se obtiene como el flujo de potencia que atraviesa la apertura: 2

< S(θ = 0) >=

•

E θ (θ = 0 ) + E φ ( θ = 0 )

2

2

=k

2η PR = ∫∫

La directividad vale:

SA

2

Px (θ = 0) + Py (θ = 0) 2 η( 2 πr )

2

2

[

]

2 2 1 E ax (x ′, y ′) + E ay (x ′, y ′ ) dx ′dy ′ 2η 2

4π D0 = 2 λ

∫∫ E ( x ′, y ′)dx ′dy ′

2

+

ax

SA

∫∫ E ( x ′, y ′)dx ′dy ′ ay

SA

∫∫ SA

[E

ax

( x ′, y ′)

2

2

]

+ E ay ( x ′ , y ′ ) dx ′dy ′

Directividad - Eficiencia •

Para aperturas planas uniformemente iluminadas, la directividad vale: D0 =

•

4π SA λ2

SA: Superficie de la Apertura (independiente de la forma)

La eficiencia de iluminación de apertura (εA) da idea de lo bien que se aprovecha la apertura, esto es, lo uniforme que es su campo de iluminación en amplitud y fase. 2

εA ≡

A ef = SA

∫∫ E ay (x ′, y ′)dx ′dy ′

SA

SA

[

2

2

]

SA ∫∫ E ax (x ′, y ′) + E ay ( x ′, y ′ ) dx ′dy ′ SA

D0 =

2

∫∫ E ax (x ′, y ′)dx ′dy ′ +

4π 4π A ef = ε A 2 SA λ2 λ

≤1

En distribuciones rectangulares separables εA=εaxεay

12

Iluminaciones Rotacionalmente Simétricas En este caso la apertura radiante es circular. En la figura se muestran los parámetros geométricos necesarios para su estudio. r Ea = x$ E a ( r ′) r ′ ≤ a

z

y

a r´

r

Px = ∫∫ E a ( r ′)e jkr$⋅ r ′ dS′ Sa r r$ ⋅ r ′ = r ′ sen θ(cos φ cos φ ′ + sen φ sen φ ′ ) = r ′ sen θ cos(φ − φ ′)

Px = ∫

a

r ′= 0

r θ

φ´ φ x

2π a E a ( r ′ ) ∫ e jkr ′ sen θ cos( φ − φ ′ ) dφ ′  r ′dr ′ = 2 π ∫ E a ( r ′)J 0 ( kr ′ sen θ)r ′dr ′ r ′= 0  φ ′= 0 


Si la iluminación es uniforme Px = 2 πE 0 a 2

J 1 ( ka sen θ) ka sen θ

E CP = E θ cos φ − E φ sen φ E XP = E θ sen φ + E φ cos φ

r Ea = x$ E 0 r ′ ≤ a 1er Principio

∫ xJ

0

( x ) dx = xJ1 ( x )

r 1 + cos θ e − jkr E = θ$ cos φ − φ$ sen φ jk Px 2 2 πr

(

)

1 + cos θ e − jkr J ( ka sen θ) jk E 0a 2 1 2 r ka sen θ =0

E CP = E XP

e$ CP (θ = 0) = x$

Apertura Circular con Iluminación Uniforme Diagrama con simetría de revolución

Para aperturas eléctricamente grandes, el diagrama de radiación normalizado de campo vale: fe (θ) =

2 J1 ( ka sen θ) ka sen θ

dando un SLL=-17.6 dB BW3dB=1.02λ/(2a)

2a=10λ

BWnulos=2θ0 2π λ a sen θ 0 = 3,83 θ 0 ≈ 0.61 λ a

a >> λ

BWnulos=2θ0=2.44λ/(2a) D0=4π(πa2)/λ2

13

Distribución Parabólica sobre Pedestal Modelo de campo de apertura   r  2 Eap ( r ) = C + (1 − C) 1 −      a   D a= 2 1.0

0.6

n=2

0.4 0.2

50

30

10

10

r

30

1− C f (θ, n ) n +1 1− C C+ n +1 2 n +1( n + 1)! J n +1( ka sen θ)

f (θ, n,C) = f (θ, n) =

Cf (θ, n = 0) +

( ka sen θ)n +1

0

n=1

0.8

-a

n

n=0

1

0

Diagrama normalizado de campo

50

a

Campo en la Apertura (C=-10 dB) Diagrama ormalizado (n=2, a= 50λ λ)

10

-20 dB

20

40

C=-10 dB

-14 dB

30

2

1

0

1

2

θ (grados)

Distribuciones Parabólicas sobre Pedestal Parámetros típicos de Diagramas de Radiación de Reflectores

HP: Ancho de Haz a -3 dB εt: Eficiencia de Iluminación Típicamente, los reflectores reales, sin o con débil bloqueo, dan niveles de lóbulos secundarios entre n=1 y n=2

14

Distribución Parabólica sobre Pedestal

ivel de Lóbulo Secundario (dB) (n=2) 20

Depende sólo del nivel de pedestal No depende del radio de la apertura Se observa que para conseguir lóbulos secundarios bajos interesa una iluminación de borde entorno a -18, -20 dB.

25 ) 30

35

40

30

20

10

0

C(dB)

Antenas de Ranura

• • •

Ranuras Principio de Babinet Admitancias mutuas

15

Radiación de Ranuras Resonantes n$ = x$

r 2π  V 2π  $ m cos E a = yE z = − y$ m cos z  λ   λ  a r r 2V 2π  M st = −2 n$ × E a = z$ m cos z  a λ  a 0) Vm

− jkr

r ε e F = zˆ 4π r

∫

Eθ = 0

Ranura excitada con coaxial

(Campo válido todo el espacio)

l4

z =−l 4

V e − jkr Eφ = j m π r

a 2 2Vm  2π  cos z e jkz cos θ dz ∫ e jky sen θ sen φ dy y =−a 2 a  λ  1 44 42444 3 ≈a

 kl   kl  cos cos θ  − cos  2    2 sen θ

En el caso resonante: V e − jkr Eφ = j m π r

π cos cos θ 2  sen θ

L = λ/2 Para una ranura radiando en todo el espacio D0=1.64

Expresión similar (dual) a la del dipolo en λ/2

Admitancia de Ranuras Resonantes

Ya =

2P* V

2

= G + jB

 1  l 2   kl   kl   cos cos θ  − cos       π V 2   2   sin 3θdθ =  90  λ    =  2 ∫ 2πη0 0  cos θ   1  l    120  λ  2

G=

R=

2Prad V

2

2

Vm2 η2 = ≈ 480Ω 2Prad 4R rad dipolo

l > λ

NOTA: No confundir esta resistencia con la conductancia equivalente a la radiación de una ranura cortada sobre una guía onda

B depende de la implementación y de la alimentación

16

Principio de Babinet - Relación de Bookers “Si se suma el campo tras una pantalla con una apertura Em al campo de la estructura complementaria Ee, se obtiene el campo en el vacío E0”

r J

“El producto de las impedancias de estructuras complementarias inmersas en un medio de impedancia intrínseca η vale η2/4”

r M Zd

r r Ee He

Zs

r r Em Hm

Dipolo

r r r E0 = Ee + E m r r r H0 = He + Hm

Ranura

Zs ⋅ Z d =

Z s η2 = Yd 4

Admitancias Mutuas entre Ranuras N

I m = ∑ Vn Ymn Ranuras n =1 s

s

s

Vns = 0 n = 0,...m − 1, m + 1...n

s

s

s

⇒ I m = Vm Ymm ⇒

N

s m

DipolosV

= ∑I Z s n

s mn

Z dmm η2 = s Ymm 4

n =1

I sn = 0 n = 0,...m − 1, m + 1...n

s

s

s

⇒ Vm = I m Zmm

[Y ] = η4 [Z ] s

s

2

N

I m = ∑ Vn Ymn Ranuras n =1 s

s

Vns = 0 n ≠ m

s

s

s

s

⇒ I n = Vm Ymn ⇒

N

s m

DipolosV

= ∑I Z s n

s mn

Z dmn η2 = s Ymn 4

n =1

I sn = 0 n ≠ m

s

s

s

⇒ Vn = I m Zmn

17

Antenas de Parche

• • • •

Parches Modelo de Líneas de Transmisión Modelo de Cavidad Polarización circular

Parches Microstrip

Parche rectangular

Parche circular

18

Modos de Alimentación de Parches

Modelo de Linea de Transmisión

L

G1 = G 2 ≈

W  1 2 1 − (k 0 h )  120λ 0  24 

B1 = B 2 ≈

W [1 − 0.636 ln(k 0 h )] h < 0.1 120λ 0 λ0

β Yin

h < 0. 1 λ0

2

1 G12 ≈ 120π 2

Yin = G1 + jB1 + Yc

c 2f

2 c ≈ ε r + 1 2f ε r

0

  k0W   sin  2 cos θ     J (k Lsinθ)sin 3θdθ   0 0 cos θ    

G 2 + j(B2 + Yc tanβ L ) Yc − B2 tanβL + jG 2 tanβL

Anchura resonante w=

∫

π

tanβL =

Longitud Resonante 2Yc B G 2 + B2 − Yc2

⇒ L≈

c 2f ε r

⇒ Yin = 2(G1 ± G12 )

19

Diseño según el Modelo de Linea de Transmisión

w εeff

w ε eff =

ε r + 1 ε r − 1  12h  + 1+ 2 2  w 

−1 2

w >> 1 h

εr

L

∆L εr

h

w + 0,264 ε eff + 0,3 h ∆L = 0,412 h ε eff − 0,258 w + 0,8 h L eff = L + 2∆L

w ∆L

h

C=

∆L vη

Capacidad asociada al desbordamiento

h

Modelo de Cavidad Campos en la Cavidad

(k

Hy = − Hy =

2

)

− k 2x A mnp cos(k x x ) cos(k y y )cos(k z z ) ωµε k k E y = − j x y A mnp sen (k x x ) sen (k y y )cos(k z z ) ωµε k yk z Ez = − j A mnp sen (k x x ) cos(k y y )sen (k z z ) ωµε Modo dominante Hz = 0 si W>L>h Ex = − j

(f r )010 =

c 2L ε r

(f r )001 =

c 2w ε r

(f r )020 =

c L εr

(f r )002 =

c W εr

kz A mnp cos(k x x ) cos(k y y )sen (k z z ) µ

ky A mnp cos(k x x ) sen (k y y )cos(k z z ) µ 2

2

2

 mπ   nπ   pπ  2 2 k 2x + k 2y + k 2z =   +   +   = k r = ωr µε  h   L  W

20

Modelo de Cavidad - Radiación

Slots radiantes

Slots no radiantes

TMx010

TMz110

Conocido el modo excitado se obtienen las corrientes equivalentes responsables de la radiación r r J s = nˆ × H a r r M s = − nˆ × E a

Modelo de Cavidad - Radiación

Er = Eθ = 0 k hWE 0 exp(− jk 0 r ) Eφ = j 0 sen θ 2π r

k h  k W  sen 0 sen θ cos φ  sen  0 cos θ  2    2  2 cos k 0 L eff sen θ sen φ    k 0h k0W  2  sen θ cos φ cos θ Factor Array 2 2 Elemento

Plano E X

Plano E X E Total

F Array

Elemento

Y

Y

21

Modelo de Cavidad - Impedancia Alimentación mediante un Alimentador Coaxial

z

Z(y 0 , x 0 ) = jωµ 0 h ∑∑ m

Φ (y 0 , z 0 ) =

z0

n

Φ 2 (y 0 , x 0 )  mπd  J0   2 k eff − k 2mn  2L 

ε mε n  mπy 0   nπz 0  cos  cos  LW  L   W 

d: anchura de corriente equivalente (se ajusta midiendo)

y0

y k 2eff = ε r (1 − jδ eff )k 02

δ eff =

Perdidas 2ωWe

1 si m = 0 εm =  2 si m ≠ 0

Polarización Circular con Parches • Alimentación dual

• Alimentación simple

x TM 010

⇒ Ey = c

x TM 001 ⇒ Ez = c

sen (πy′ L ) 2 k 2 (1 − j Q t ) − (π L )

Q t = 1 tanδ eff

sen (πz′ W ) 2 k 2 (1 − j Q t ) − (π W )

y ′ z′ = L W

E y k (1 − j 2Q t ) − π L  1 ≈ = P.C. ⇒ L ≈ W1 + E z k (1 − j 2Q t ) − π W  Qt

  

22

Polarización Circular con Parches

• Polarización mediante ranuras

• Polarización mediante recorte de las esquinas

L W = 2.72 2.72 c L W d= = = 10 27.2 27.2

c=

23