POSICIONES RELATIVAS x −2 y−λ z x + 2 y −1 z − 3 = = ys≡ = = 3 3 2 −1 −1 2 a) hallar λ para que se corten en un punto. b) hallar la ecuación del plano que determinan.

1. Dadas las rectas r ≡

2. Posición relativa de la recta

x −1 z−4 y el plano x + y + z = 5. = y−3 = −3 2

3. Posición relativa de la recta

x − 2 y +1 z − 4 y el plano 2x + y + 2z = 6. = = −1 2 −2

2x + y − 3z + 4 = 0 x −1 z ys≡ 4. Posición relativa de las rectas r ≡  = y−3 = 2 −1 x − 2 y + 3z − 2 = 0

y = 0 5. Estudiar la posición relativa de la recta  respecto de los tres ejes. z = 4 6. Posición relativa de los planos π1≡2x+y−3z=3, π2≡x−y+z=1 π3≡x+2y−2z=0. 7. Posición relativa de los siguientes planos:  π ≡ x − 3y + z − 3 = 0 i)  π' ≡ 2x + y − z + 1 = 0

ii) iii)

 π ≡ x − 2y + z − 3 = 0  π' ≡ 2x − 4 y + 2z − 10 = 0  π ≡ x − 2y + z − 3 = 0  π' ≡ 2x − 4 y + 2z − 6 = 0

8. Posición relativa de los siguientes planos:  π ≡ (x , y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,2 ) + µ(0,1,6 ) i)  π' ≡ (x, y, z ) = (0,0,1) + λ' (1,0,3) + µ' (0,1,2 )

ii) iii)

i) ii) iii)

 π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 )  π' ≡ (x, y, z ) = (0,0,5) + λ' (2,1,0) + µ' (1,−1,−3)  π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ (1,0,−1) + µ(0,1,2 )  π' ≡ (x , y, z ) = (0,1,5) + λ(2,1,0 ) + µ(1,−1,−3)

9. Posición relativa de las siguientes parejas de plano y recta: π ≡ (x, y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,−2) + µ(0,1,6)  r ≡ (x, y, z ) = (0,0,1) + τ(1,0,3) 

π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2)  r ≡ (x, y, z ) = (0,0,5) + τ(2,1,0)  π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2)  r ≡ (x, y, z ) = (0,1,5) + τ(2,1,0) 

10. Posición relativa de los siguientes pares de rectas:

i) ii) iii) iv)

 r ≡ (x, y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1)  r ' ≡ (x, y, z ) = (1,−2,0) + τ'⋅(0,1,1)  r ≡ (x, y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1)  r ' ≡ (x, y, z ) = (2,1,2) + τ'⋅(0,1,1)  r ≡ (x, y, z ) = (1,2,0) + τ ⋅ (1,−1,2)  r ' ≡ (x, y, z ) = (1,0,0) + τ'⋅(− 2,2,−4 )

 r ≡ (x, y, z ) = (1,2,0) + τ ⋅ (1,−1,2)  r ' ≡ (x, y, z ) = (2,1,2) + τ'⋅(− 2,2,−4)

x 3 1 11. Posición relativa de π ≡ y − 1 1 = 0 con: z 0 1

i) ii)

π'≡(x,y,z)=(1,-1,0)+τ(1,2,1)+λ(-2,2.-4) y+5 r≡x= = z +1 2 12. Posición relativa de los planos: a) 2x−3y+z=1; x+y−z=2; 4x−y−z=5 b) 2x−3y+z=1; x+y−z=2; 4x−y−z=10 13. Estudiar en función de λ las posiciones de los planos 2x+y−z=0, λx+2y+3z=0, x+y+4z=0.

14. Hallar "a" y "b" para que la intersección de los planos 2x+y+2z=1, x−2y−z=2, ax−y+z=b, sea una recta. 15. Hallar m y n para que la recta

x − 3 y −1 z + 3 = = sea perpendicular al plano 2x+3y−2z+1=0. m n 4

x −1 z−λ x +1 ,s≡ =y= = y−2 = z: 3 2 −1 a) Hallar λ para que sean secantes b) Hallar para ese valor de λ, el plano que contiene a r y a s.

16. Sean las rectas r ≡

17. Dadas las rectas r≡ x=0; y−1=

i) ii)

y +1 z z+3 ; r'≡x−1= = y el punto P(2,0,1). Hallar: 2 −1 3

Posición relativa de r y r' Recta perpendicular a las dos y que pasa por P. (No tiene que cortar a r ni a r').

 x = 1+ λ  2x − 3y = 13  18. Dadas las rectas r≡  y = 3 − 3λ y s≡  .  y − 2z = a − 3  −2+λ  estén en el mismo plano.

Calcular el valor de a para que las dos

19. Sean los planos de ecuaciones π1 ≡ x−y−1=0, π2 ≡ 2x+3y–5z+16=0 y π3 ≡ x+ay−z =0 donde “a” es un parámetro. Probar que, salvo para un cierto valor ao de a, dichos planos se cortan en un único punto. Determinar ao y probar que para a=ao los planos se cortan dos a dos determinando un conjunto de tres rectas paralelas.

y −1 z + 2 = y s≡(x,y,z)=(2,1,0)+λ(1,-1,2), estudiar su posición y, si −1 −2 fuese posible, la ecuación del plano que las contiene.

20. Dadas las rectas r≡ x−1=

 3x − 2 y + z + 3 = 0 21. Calcular c para que la recta r ≡  sea paralela al plano π ≡ 2x − y + c·z − 2=0. 4 x − 3 y + 4 z + 1 = 0

 x − 2y + z − 4 = 0 x − 2 y +1 = =z y s≡ 3 −1 2 x − 5 y − z − 9 = 0 a) Estudiar su posición relativa. b) Determinar la ecuación del plano que las contiene.

22. Dadas las rectas r ≡

x = 1+ λ y −1 z +1  = 23. Sean las rectas: r ≡ x − 2 = y s ≡ y = 2 − λ k −2  z = 2λ 

a) (1 punto) Hallar k para que r y s sean coplanarias. b) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. c) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas. x −1 y z −1 = = y el plano π ≡ 2x − y + kz = 0 m 4 2 a) (1 punto) Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano. b) (1 punto) Calcular m y k para que la recta esté contenida en el plano

24. Sean la recta la recta r ≡

 4x − y + z = −2 2x + 4 y + 2z = −1 25. Calcular el valor de k para que las rectas, r ≡  y s≡ , se − + = − 3 x y kz 2   2x − ky + z = −1 corten en un punto. Calcular para dicho valor la ecuación del plano que las contiene. 26. Hallar la posición relativa de las rectas: x + y = 0 r: , s: x−1=y−1=z−1  z=0