POSICIONES RELATIVAS x −2 y−λ z x + 2 y −1 z − 3 = = ys≡ = = 3 3 2 −1 −1 2 a) hallar λ para que se corten en un punto. b) hallar la ecuación del plano que determinan.
1. Dadas las rectas r ≡
2. Posición relativa de la recta
x −1 z−4 y el plano x + y + z = 5. = y−3 = −3 2
3. Posición relativa de la recta
x − 2 y +1 z − 4 y el plano 2x + y + 2z = 6. = = −1 2 −2
2x + y − 3z + 4 = 0 x −1 z ys≡ 4. Posición relativa de las rectas r ≡ = y−3 = 2 −1 x − 2 y + 3z − 2 = 0
y = 0 5. Estudiar la posición relativa de la recta respecto de los tres ejes. z = 4 6. Posición relativa de los planos π1≡2x+y−3z=3, π2≡x−y+z=1 π3≡x+2y−2z=0. 7. Posición relativa de los siguientes planos: π ≡ x − 3y + z − 3 = 0 i) π' ≡ 2x + y − z + 1 = 0
ii) iii)
π ≡ x − 2y + z − 3 = 0 π' ≡ 2x − 4 y + 2z − 10 = 0 π ≡ x − 2y + z − 3 = 0 π' ≡ 2x − 4 y + 2z − 6 = 0
8. Posición relativa de los siguientes planos: π ≡ (x , y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,2 ) + µ(0,1,6 ) i) π' ≡ (x, y, z ) = (0,0,1) + λ' (1,0,3) + µ' (0,1,2 )
ii) iii)
i) ii) iii)
π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2 ) π' ≡ (x, y, z ) = (0,0,5) + λ' (2,1,0) + µ' (1,−1,−3) π ≡ (x , y, z ) = (1,1,4 ) + λ (1,0,−1) + µ(0,1,2 ) π' ≡ (x , y, z ) = (0,1,5) + λ(2,1,0 ) + µ(1,−1,−3)
9. Posición relativa de las siguientes parejas de plano y recta: π ≡ (x, y, z ) = (0,0,3) + λ(1,0,−2) + µ(0,1,6) r ≡ (x, y, z ) = (0,0,1) + τ(1,0,3)
π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2) r ≡ (x, y, z ) = (0,0,5) + τ(2,1,0) π ≡ (x, y, z ) = (1,1,4) + λ(1,0,−1) + µ(0,1,2) r ≡ (x, y, z ) = (0,1,5) + τ(2,1,0)
10. Posición relativa de los siguientes pares de rectas:
i) ii) iii) iv)
r ≡ (x, y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1) r ' ≡ (x, y, z ) = (1,−2,0) + τ'⋅(0,1,1) r ≡ (x, y, z ) = (1,1,1) + τ ⋅ (1,0,1) r ' ≡ (x, y, z ) = (2,1,2) + τ'⋅(0,1,1) r ≡ (x, y, z ) = (1,2,0) + τ ⋅ (1,−1,2) r ' ≡ (x, y, z ) = (1,0,0) + τ'⋅(− 2,2,−4 )
r ≡ (x, y, z ) = (1,2,0) + τ ⋅ (1,−1,2) r ' ≡ (x, y, z ) = (2,1,2) + τ'⋅(− 2,2,−4)
x 3 1 11. Posición relativa de π ≡ y − 1 1 = 0 con: z 0 1
i) ii)
π'≡(x,y,z)=(1,-1,0)+τ(1,2,1)+λ(-2,2.-4) y+5 r≡x= = z +1 2 12. Posición relativa de los planos: a) 2x−3y+z=1; x+y−z=2; 4x−y−z=5 b) 2x−3y+z=1; x+y−z=2; 4x−y−z=10 13. Estudiar en función de λ las posiciones de los planos 2x+y−z=0, λx+2y+3z=0, x+y+4z=0.
14. Hallar "a" y "b" para que la intersección de los planos 2x+y+2z=1, x−2y−z=2, ax−y+z=b, sea una recta. 15. Hallar m y n para que la recta
x − 3 y −1 z + 3 = = sea perpendicular al plano 2x+3y−2z+1=0. m n 4
x −1 z−λ x +1 ,s≡ =y= = y−2 = z: 3 2 −1 a) Hallar λ para que sean secantes b) Hallar para ese valor de λ, el plano que contiene a r y a s.
16. Sean las rectas r ≡
17. Dadas las rectas r≡ x=0; y−1=
i) ii)
y +1 z z+3 ; r'≡x−1= = y el punto P(2,0,1). Hallar: 2 −1 3
Posición relativa de r y r' Recta perpendicular a las dos y que pasa por P. (No tiene que cortar a r ni a r').
x = 1+ λ 2x − 3y = 13 18. Dadas las rectas r≡ y = 3 − 3λ y s≡ . y − 2z = a − 3 −2+λ estén en el mismo plano.
Calcular el valor de a para que las dos
19. Sean los planos de ecuaciones π1 ≡ x−y−1=0, π2 ≡ 2x+3y–5z+16=0 y π3 ≡ x+ay−z =0 donde “a” es un parámetro. Probar que, salvo para un cierto valor ao de a, dichos planos se cortan en un único punto. Determinar ao y probar que para a=ao los planos se cortan dos a dos determinando un conjunto de tres rectas paralelas.
y −1 z + 2 = y s≡(x,y,z)=(2,1,0)+λ(1,-1,2), estudiar su posición y, si −1 −2 fuese posible, la ecuación del plano que las contiene.
20. Dadas las rectas r≡ x−1=
3x − 2 y + z + 3 = 0 21. Calcular c para que la recta r ≡ sea paralela al plano π ≡ 2x − y + c·z − 2=0. 4 x − 3 y + 4 z + 1 = 0
x − 2y + z − 4 = 0 x − 2 y +1 = =z y s≡ 3 −1 2 x − 5 y − z − 9 = 0 a) Estudiar su posición relativa. b) Determinar la ecuación del plano que las contiene.
22. Dadas las rectas r ≡
x = 1+ λ y −1 z +1 = 23. Sean las rectas: r ≡ x − 2 = y s ≡ y = 2 − λ k −2 z = 2λ
a) (1 punto) Hallar k para que r y s sean coplanarias. b) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas. c) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a las rectas dadas. x −1 y z −1 = = y el plano π ≡ 2x − y + kz = 0 m 4 2 a) (1 punto) Calcular m y k para que la recta sea perpendicular al plano. b) (1 punto) Calcular m y k para que la recta esté contenida en el plano
24. Sean la recta la recta r ≡
4x − y + z = −2 2x + 4 y + 2z = −1 25. Calcular el valor de k para que las rectas, r ≡ y s≡ , se − + = − 3 x y kz 2 2x − ky + z = −1 corten en un punto. Calcular para dicho valor la ecuación del plano que las contiene. 26. Hallar la posición relativa de las rectas: x + y = 0 r: , s: x−1=y−1=z−1 z=0