Movimiento uniformemente acelerado VELOCIDAD Y VECTOR V E L O C I D A D . La velocidad media v de un móvil que recorre una distancia s en un tiempo / es, por definición, el cociente -

s

(1)

~~ 7 de donde

s == vt

(2)

La velocidad es una magnitud escalar que expresa el valor numérico del cambio de posición de un móvil con respecto al tiempo, prescindiendo de la dirección y sentido del movimiento. El vector velocidad es una magnitud vectorial cuyo módulo es la velocidad y que posee una dirección y un sentido determinados por el movimiento. El vector velocidad de un móvil varía cuando lo hace o bien la velocidad, o la dirección del movimiento, o el sentido del mismo, o una combinación de jales características. (N. del T.: frecuente hablar simplemente de velocidad para expresar, de manera indistinta, tanto la velocidad —módulo— como el vector velocidad —módulo, dirección y sentido—, sobrentendiéndose en cada caso si se trata de uno u otro concepto, y así se hace en todo el texto.) unidad de longitud , . ,. Unidad de velocidad lineal = — . . . ,—: • Por tanto, el metro por segundo (m/s) y el kiunidad de tiempo lómetro por hora (km/h) son unidades de velocidad lineal. Nota. No se pondrá un punto a continuación del símbolo de una unidad, salvo si se tratase de la abreviatura de una palabra. Por ejemplo, la unidad de tiempo es el segundo y su símbolo es s; para escribir abreviadamente la palabra segundo se puede poner seg. con un punto al final. ACELERACION es la variación que experimenta el vector velocidad en la unidad de tiempo. Por consiguiente, se trata de una magnitud vectorial. Sea v la velocidad inicial, en el instante / = 0, de un móvil. Si éste aumenta o disminuye uniformemente su velocidad a partir de aquella, en el instante / su velocidad es v, de manera que el módulo de la aceleración constante del movimiento es 0

_

v—v t

0

_

por tanto

variación de velocidad intervalo de tiempo

-

v = v + at

(4)

0

Como la aceleración es constante, la velocidad media v es,

f-i+I

(5)

y el espacio recorrido en el tiempo / es s = vr, o bien, é í & p L i Sustituyendo v = v„ + at de (4) en (6),

5=

V

**"/ =

Í = M + -j « «

26

' v

»+

+

,

(6)

0

S

ea,

(7)

27

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

De (3),

t = — --;

V

sustituyendo en (6),

Q

s= ^ °+

(

V

V Q

°) =

V 2 f l

' ° de donde

(8)

2

v = v * + las 0

Si el móvil parte del reposo, la velocidad inicial v = 0 y las ecuaciones (4), (7), (8) se transforman, respectivamente, en 0

2

v = at,

2

s — y at ,

v = las

cuando v = 0. 0

ACELERACION D E L A G R A V E D A D (g). La aceleración de un cuerpo en caída libre (despreciando la resistencia del aire) es constante para cada lugar de la tierra y varía relativamente poco de unos puntos a otros. Su valor aproximado es g = 9,8 m/s a

Las ecuaciones del movimiento de aceleración constante se pueden aplicar al movimiento de los cuerpos en caída libre sin más que sustituir g por a.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.

Un cuerpo se mueve, partiendo del reposo, con una aceleración constante de 8 m/s". Calcular a) la velocidad instantánea v al cabo de 5 s, b) la velocidad media v durante los 5 primeros segundos del movimiento, c) la distancia recorrida s> desde el reposo, en los 5 primeros segundos. Solución a

a) v = v + f l / = 0 + 8 m/s x 5 s = 40 m/s 0

b) v = y (v 4- v) = i - (0 + 40) m/s - 20 m/s 0

2

c)

2.

s

2

1

= v t + — at = 0 + — (8 m/s ) (5 s) - 100 m 2 2 0

o sea

s = vt = 20 m/s x 5 s = 100 m

La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente desde 15 km/h hasta 60 km/h en 20 s. Calcular a) la velocidad media v en km/h y en m/s, b) la aceleración a en km/s y en m/s/s, c) la distancia J, en metros, recorrida durante este tiempo. Solución h a) v = y (v + v) = 0

h

1 (15

1 km

3 600s

+ 60) km/h - 37,5 km/h

= 1 (4,16 + 16,64) m/s = 10,4 m/s »]

v— v

(60—15)km/h _

É

=

s

(16,64 — 4,16) m/s 20 s = v/ = 10,4 m/s x 20 s 208 m

0

=

c

)

„ km/h 2,25-^ 4

=

Q 6

2

4

m/s_ s

s

h

s

28

3.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ECELERADO

Un cuerpo, partiendo del reposo, cae por un plano inclinado con una aceleración uniforme, recorriendo 9 metros en 3 segundos. ¿Cuánto tiempo tardará en adquirir una velocidad de 24 m/s desde que empieza a moverse? Solución l

Para hallar a: de s m

at

a=

t

=

=

2

m

s

/ *P

a r a l c , a

a l

Plano.

v

, v —v (24 — 0) m/s -, / = = -—-—,. = 12 s. / a 2 m/s* Un vehículo que marcha a una velocidad de 15 m/s aumenta su velocidad a razón de 1 m/s cada segundo, a) Calcular la distancia recorrida en 6 segundos, b) Si disminuye su velocidad a razón de 1 m/s cada segundo, calcular la distancia recorrida en 6 segundos y el tiempo que tardará en detenerse. Solución: _

u

ii

A

V

—o

0

Para hallar v: de a =

4.

%

á) j = v,/ + y at

1

1

= 15 m/s x 6 s 4- y (1 m/s ) (6 s) = 90 m + 18 m = 108 m b) Ahora la aceleración es negativa a

— 1 m/s*

%

s -- v t + y at 0

-= 15 m/s x 6 s + y (— 1 m/s*) (6 s)" = 90 m — 18 m - 72 m El vehículo se detiene cuando v = 0. De v = v + at 0

5.

t

0 = 15 m/s + (— 1 m/s*)f

y t = 15 s.

Un automóvil que marcha a una velocidad de 45 km/h, aplica los frenos y al cabo de 5 segundos su velocidad se ha reducido a 15 km/h. Calcular á) la aceleración y b) la distancia recorrida durante los cinco segundos. Solución

.) t - I r J Ü -

( 4 , 1 6 - ^ ) m/t

„ a/*

U

b) s •= distancia recorrida en 5 s — distancia recorrida en 4 s - (v >. + y at\) — (v / 4- y at\) 0

0

4

= v (í.-/ ) + lfl(r*.-f* ) 0

4

4

= 12,5 m/s x (5 — 4) s 4- y (— 1,67 m/s*) (5* — 4*) s* - 7,51 m 6.

La velocidad de un tren se reduce uniformemente de 12 m/s a 5 m/s. Sabiendo que durante ese tiempo recorre una distancia de 100 m, calcular á) la deceleración, b) la distancia que recorre a continuación hasta detenerse suponiendo la misma deceleración. Solución a) v* = v* 4- 2as (5 m/s)* = (12 m/s)* 4- 2a(100 m) 0

a = — 0,595 m/s*

b) Ahora la velocidad inicial es v = 5 m/s y la velocidad final v m 0. v*= v* 4- 2as 0 = (5 m/s)* 4- 2 (— 0,595 m/s*)j s = 21 m Se deja caer una bola de acero desde lo alto de una torre y emplea 3 segundos en llegar al suelo. Calcular la velocidad ñnal y la altura s de la torre. Solución La aceleración de un cuerpo en caída libre es 9,8 m/s*. v = v 4- gt = 0 4- 9,8 m/s* x 3 s = 29,4 m/s 0

t

7.

0

f - V

( 9

+ ¿#t*«0f + 4. »

8

m

%

i* )

( 3

s

)

i

=

4

4

»

1

m

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE A C E L E R A D O

8.

29

Desde un puente se lanza una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s y tarda 2 segundos en llegar al agua. Calcular la velocidad que lleva la piedra en el momento de incidir en el agua y la altura s del puente. Solución v *= v + gt - 10 m/s + 9,8 m/s» x 2 s - 29,6 m/s 0

- 10 m/s x 2 s + -1 (9,8 m/s*) (2 s)* - 39,6 m

* « *V + ¿ 9.

Un cuerpo cae libremente desde el reposo durante 6 segundos. Calcular la distancia que recorre en los dos últimos segundos. Solución s — distancia recorrida en 6 s — distancia recorrida en 4 s

" T 10.

~~ I

gt%i

g{t

%

"J *

~ '

M

" T

( 9 , 8

M / S

*

} (6

* ~~

4 ¿ ) S

* "

9 8

M

¿Desde qué altura debe caer el agua de una presa para golpear la rueda de la turbina con una velocidad de 40 m/s? Solución v*

11.

Un a) b) c) d)

v\ + 2gs

t

(40 m/s)' = 0 H- 2(9,8 m/s*)*,

s =81,5 m

cañón antiaéreo lanza una granada verticalmente con una velocidad de 500 m/s. Calcular: La máxima altura que alcanzará la granada. El tiempo que empleará en alcanzar dicha altura. La velocidad instantánea el final de los 40 y 60 segundos. ¿En qué instantes pasará la granada por un punto situado a 10 km de altura? Se desprecia la resistencia del aire.

Solución La máxima altura será la correspondiente a v = 0. a) v* - v\ 4- 2gs,

0 » (500 m/s)* + 2 (— 9,8 m/s*)*

y

s

b) v = v„ 4- gt,

0 = 500 m/s 4- (— 9,8 m/s*)/

y

/ - 51 s

c) Para / -= 40 s: Para / = 60 s: rf) i » v / + y

a

v = v 4- gt - 500 m/s 4 (— 9,8 m/s ) (40 s) -= + 108 m/s (hacia arriba) 0

v m v 4- gt -500 m/s 4- (— 9,8 m/s*) (60 s) 0

10 000 = 500/ -f y (*- 9,8)/* o sea,

0

12 750 m

Por tanto, /* — 102/ + 2 040 - 0,

/ - 27,3

— 88 m/s (hacia abajo)

4,9/* — 500 i 10 000 = 0.

y 74,75 s.

A los 27,3 segundos la granada pasa por los 10 km ascendiendo y a los 74,7 segundos vuelve a pasar por el mismo punto, pero descendiendo. 12.

Se lanza verticalmente una pelota de forma que al cabo de 4 segundos regresa de nuevo al punto de partida. Calcular la velocidad inicial con la que se lanzó. Solución Tomando positiva la dirección hacia arriba tendremos g = — 9,8 m/s- (hacia abajo). Para / =• 4 s está en su posición inicial, es decir, el desplazamiento s - 0 m. s

a v

+1

\

gt

2

0 - v (4 s) -f - i (— 9,8 m/s ) (4 s)-\ 0

y

- 19,6 m/s

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE A C E L E R A D O

30

13.

Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s, se deja caer un objeto. Calcular a) la máxima altura alcanzada por éste, b) la posición y la velocidad del objeto al cabo de 5 segundos, c) el tiempo que tardará en llegar al suelo. Solución Tomemos como origen el punto en que el objeto sale del globo, es decir, a 175 m sobre el suelo. Tomando positiva la dirección hacia arriba; v = 4- 8 m/s, g — — 9,8 m/s*. a) En el punto más alto v = 0. v* = v + 2gs 0 - (8)* + 2 (— 9,8)5, s + 3,26 m (por encima del origen). Por tanto, la máxima altura sobre el suelo = 175 m -f 3,26 m = 178,26 m. 0

f

0

%

b) j = v r + | gt* = 8 (5) 4- y (— 9,8) 5* = — 82,5 m (por debajo del origen). 0

v = v 4- gt = 8 4- (— 9,8) 5 - — 41 m/s (hacia abajo). El objeto se encuentra a 82,5 m por debajo del origen, es decir, a una altura de 175 — 82,5 = 92,5 m sobre el suelo, llevando una velocidad hacia abajo de 41 m/s. c) Cuando el objeto llegue al suelo, el desplazamiento será s = — 175 m (por debajo del origen). 1 175 = 8 / 4 - y ( 9,8)/* o sea, —175 = 8/ — 4,9/ . gt\ v> 0

f

0

Por tanto, 4,9/* — 8/ — 175 = 0, 14.

el tiempo empleado es / = 6,8 s.

Un cuerpo cae por un plano inclinado que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la velocidad v del cuerpo al cabo de 8 segundos de iniciar el movimiento a partir del reposo y el tiempo t que empleará en recorrer 8 m. Solución La aceleración debida a la gravedad se puede descomponer en dos, una paralela y otra perpendicular al plano. La componente paralela es g sen 30°, valor de la aceleración que sustituye a la aceleración a en las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado. (La componente perpendicular al plano no tiene efecto alguno sobre el movimiento.) Tenemos positiva la dirección paralela al plano hacia abajo. v m ]¡2as - \'2(g sen 30°)s distancia velocidad media

15.

1

]¡2 (9,8 m/s x

(8 m) = 8,85 m/s.

8 m = 1,81 s. Vi (0 4- 8,85) m/s

Un cuerpo se lanza hacia arriba por un plano inclinado, sin rozamiento, que forma un ángulo de 30° con la horizontal, siendo la velocidad inicial de 40 m/s paralela al plano. Calcular á) el tiempo que tardará el cuerpo en regresar al punto de partida y b) la distancia que recorre por el plano hasta alcanzar el punto de mayor altura. Solución á) Sea positiva la dirección paralela al plano hacia arriba. Cuando el cuerpo regrese al punto de partida, el desplazamiento resultante será s = 0. Por tanto, i = v„í + y at* = v / + y (g sen 30°) /* 0

1

0 = 40 m/s x / + y ( — 9,8 m/s x

1) t\

t - 16,3 s.

b) Cuando el cuerpo alcance el punto más alto, la velocidad será cero, ya que, en ese punto, el cuerpo habrá perdido toda su velocidad inicial y estará a punto de iniciar el movimiento de retorno. v = v» 4- 2as m v» 4- 2{g sen 30°) s. 1

0

0

1

0 - (40 m/s) + 2 (— 9,8 m/s» x i - J j .

j = 163 m

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

Un cañón dispara sobre el mar un proyectil, horizontalmente, con una velocidad inicial de 400 m/s desde un punto situado a una altura de 100 m sobre el nivel del mar. Calcular: a) el tiempo que tardará el proyectil en llegar al agua, b) el alcance horizontal del proyectil, c) la velocidad remanente del proyectil.

31

400 m/s 100 m X

x

v

«vi sí? '!

Solución Las velocidades horizontal y vertical son independientes entre sí. Considérese, en primer lugar, el movimiento vertical. Puesto que la velocidad inicial carece de componente vertical, 1 i 100 - y (9,8 m/s ) r , / = 4,51 s. L b) Respecto al movimiento horizontal se tiene,

a)

2

2

m

x = velocidad horizontal x / = 400 m/s x 4,51 s = 1 804 m. c) Velocidad vertical v„ a los 4,51 s - gt = 9,8 m/s* x 4,51 s =44,19 m/s. Velocidad horizontal v, a los 4,51 s = 400 m/s. 2

2

Velocidadfinalv - ^(400 m/s) + (44,19 m/s) - 485 m/s. 44 19 Angulo 6 que v forma con la horizontal = tg — tg 400 _1

_1

0,110 = 6,3°.

Un avión que vuela horizontalmente a una altura de 1 200 m sobre el suelo con una velocidad de 200 km/h, deja caer una bomba sobre un blanco situado en tierra. Determinar el ángulo agudo formado por la vertical y la línea que une el avión con el blanco en el instante en que se abandona la bomba.

Avión

Solución 2

La bomba cae con una aceleración vertical g = 9,8 m/s y, al mismo tiempo, está animada de una velocidad horizontal de 200 km/h = 55,5 m/s. Considérese, en primer lugar, el movimiento vertical. Sea / — tiempo que tarda la bomba en llegar al suelo. Se tendrá: 2

2

1 200 m = i - (9,8 m/s ) f ,

Blanco

/ = 15,7 s.

Considérese ahora el movimiento horizontal. La distancia horizontal recorrida por la bomba en 15,7 segundos es x = 55,5 m/s x 15,7 s = 872 m. 872 m = 0,728 y a = 36°. Por tanto, tg a = — 1 200 m y Calcular el alcance de un proyectil lanzado con una velocidad inicial v = 400 m/s con un ángulo de elevación de 30° Solución Se descompone la velocidad inicial v en sus proyecciones rectangulares v y v . Se tiene, v = v eos 30° = 346 m/s y v = v sen 30° - 200 m/s. Sea s = desplazamiento vertical, r = tiempo que tarda el proyectil en llegar al suelo. x

4

y

x

y

v

Para hallar f, considérese en primer lugar el movimiento vertical. Tomemos como positiva la dirección hacia arriba (es decir, v„ = + 200 m/s, g = — 9,8 m/s ). Cuando el proyectil llega al suelo, el desplazamiento vertical es s = 0. Por tanto, s = v t + Vi gt\ 0 m (200 m/s) / + Vi (— 9,8 m/s ) t* y 1 = 40,7 s. Si se considera ahora el movimiento horizontal, resulta x = v t = 346 m/s x 40,7 s = 14 150 m. 2

y

2

v

y

x

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE A C E L E R A D O

32

19.

a)

Calcular el alcance A-de un proyectil lanzado con una velocidad inicial v y un ángulo de elevación 0. Calcular el ángulo de elevación 0 con el que debe ser lanzado un proyectil con una velocidad inicial de 400 m/s para batir un punto situado al mismo nivel que el arma y a 5 000 m de distancia de ella.

b)

Solución a) Sea / tiempo que emplea el proyectil en llegar al blanco. Se tendrá, x = v t, de donde se deduce / » X/V . Considérese el movimiento vertical tomando como positiva la dirección hacia arriba. Cuando el proyectil alcance el blanco, x

X

desplazamiento vertical X 2v Asi, pues, t = — *• ——

0

\t y

2v Vy x = -

v

x

y

8

8

puesto que 2 sen 0 eos G = sen 26. El alcance máximo corresponde a ü o 0 45°. b )

D

e

x

=

v

'

s e n 2

g

° , sen 26 - ! £ = y 2

i

¿

/t8t Ó t = 2 Vy/g. 2 (v eos 0)(v sen 6) y» sen 26 g 8 =

45°, puesto que 26 toma el máximo valor 1 cuando 26 = 90°

2

(400)

= 0,306,

26 = sen- 0,306 = 17,8» y 6 = 8,9°.

PROBLEMAS PROPUESTOS 20.

Un automóvil recorre 360 km en 5 h. Calcular la velocidad media en km/h y en m/s. Sol. 72 km/h, 20 m/s.

21.

Un automóvil marcha a 40 km/h durante 4 min.; a continuación va a 80 km/h durante 8 min., y, finalmente, a 32 km/h durante 2 min. Calcular a) la distancia total recorrida en km y b) la velocidad media en km/min., en km/h y en m/s durante los 14 minutos. Sol. 14,4 km; 1,02 km/min.; 61,2 km/h; 17 m/s.

22.

Un móvil que lleva una velocidad de 10 m/s acelera su marcha a razón de 2 m/s . Calcular: a) El incremento de velocidad durante 1 minuto. Sol. á) 120 m/s. b) La velocidad al final del primer minuto. Sol. b) 130 m/s. c) La velocidad media durante el primer minuto. Sol. c) 70 m/s. d) El espacio recorrido en 1 minuto. Sol. d) 4 200 m/s.

23.

Un móvil que lleva una velocidad de 8 m/s acelera uniformemente su marcha de forma que recorre 640 m en 40 s. Calcular: a) La velocidad media durante los 40 s. Sol. a) 16 m/s. b) La velocidad final. Sol. b) 24 m/s. c) El incremento de velocidad en el tiempo dado. Sol. c) 16 m/s. d) La aceleración. Se!, d) 0,4 m/s.

24.

Expresar las siguientes aceleraciones en m/s : a) 1 800 m/s/min. 5W. a) 30 m/s . 6) 1 800 m/min/s. Sol. h) 30 m/s . c) 1 800 m/min/min. Sel. c) 0,5 m/s .

2

2

2

2

2

25.

r/) 1 800 m/s/h. c) 1 800 m/min/h. / ) 36 km/h/s. 2

2

SW. ¿) 0,5 m/s . 5o/. e) 0,0083 m/s . So/. / ) 10 m/s . 2

2

Un automóvil parte del reposo con una aceleración constante de 5 m/s . Calcular la velocidad que adquiere y el espacio que recorre al cabo de 4 segundos. Sol. 20 m/s, 40 m.

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

33

26.

Un cuerpo cae por un plano inclinado con una aceleración constante partiendo del reposo. Sabiendo que al cabo de 3 segundos la velocidad que adquiere es de 27 m/s, calcular la velocidad que lleva y la distancia recorrida a los 6 segundos de haber iniciado el movimiento. Sol. 54 m/s, 162 m.

27.

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y cuando lleva recorridos 250 m, su velocidad es de 80 m/s. Calcular la aceleración. Sol. 12,8 m/s . 8

28.

La velocidad inicial de un proyectil es de 600 m/s. Sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm, calcular la aceleración media del proyectil hasta el momento de salir del cañón. Sol. 1,2 x 10* m/s . 2

29.

Un automóvil aumenta uniformemente su velocidad desde 20 m/s hasta 60 m/s, mientras recorre 200 m. Calcular la aceleración y el tiempo que tarda en pasar de una a otra velocidad. Sol. 8 m/s ; 5 s. 2

30.

Un avión recorre antes de despegar una distancia de 1 800 m en 12 segundos, con Calcular: a) La aceleración. Sol. b) La velocidad en el momento del despegue. Sol. c) La distancia recorrida durante el primero y el doceavo segundo. Sol.

una aceleración constante. 2

a) 25 m/s . b) 300 m/s. c) 12,5 m, 287,5 m.

31. Un tren que lleva una velocidad de 60 km/h frena y, en 44 segundos, se detiene. Sabiendo que el movimiento es uniformemente retardado, calcular la aceleración y la distancia que recorre hasta que se para. Sol. — 2 m/s , 1 936 m. 2

2

32. Un a) b) 0

móvil con una velocidad de 40 m/s, la disminuye uniformemente a razón La velocidad al cabo de 6 s. La velocidad media durante 6 s. La distancia recorrida en 6 s.

de 5 m/s . Calcular Sol. á) 10 m/s. Sol. b) 25 m/s. Sol. c) 150 m.

33. Un a) b) c) d) e)

cuerpo cae libremente desde el reposo. Calcular: La aceleración. La distancia recorrida en 3 s. 1.a velocidad después de haber recorrido 100 m. F.l tiempo necesario para alcanzar una velocidad de 25 m/s. El tiempo necesario para recorrer 300 m.

Sol. Sol. Sol. Sol. Sol.

34.

a) b) c) d) e)

2

9,8 m/s . 48,02 m. 44,3 m/s. 2,55 s. 7,81 s.

Desde un puente se deja caer una piedra que tarda en llegar al agua 5 segundos. Calcular la altura del puente y la velocidad de la piedra en el momento de llegar al agua. Sol. 49 m/s; 122,5 m.

35. Desde una altura de 25 m se lanza una piedra en dirección vertical contra el suelo con una velocidad inicial de 3 m/s. Calcular el tiempo que tarda la piedra en llegar al suelo y la velocidad con que llega a él. Sol. 1,97 s; 22,3 m/s. 36.

Calcular la altura con respecto al suelo desde la que se debe dejar caer un cuerpo para que llegue a aquél con una velocidad de 8 m/s. Se desprecia la resistencia del aire. Sol. 3,26 m.

37.

Se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de 30 m/s. Calcular: a) el tiempo que está ascendiendo, b) la máxima altura que alcanza, c) el tiempo que tarda desde que es lanzada hacia arriba hasta que regresa de nuevo al punto de partida, d) los tiempos, a partir del momento de ser lanzada, que emplea en adquirir una velocidad de 25 m/s. Sol 3,06 s; 46 m; 6,12 s; 0,51 s; 5,61 s.

38.

Desde un globo se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 20 segundos. Calcular la altura del globo a) si está en reposo en el aire, b) si está ascendiendo a una velocidad de 50 m/s. Sol. 1 960m;960m.

39.

Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra en dirección vertical y hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. Calcular la máxima altura alcanzada por la piedra y la velocidad con la que llegará al suelo. Sol. 126 m; 49,7 m/s.

34

MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO

40.

Un bulto colocado en un montacargas que asciende a una velocidad de 3 m/s, se cae de él y tarda 2 segundos en llegar al fondo del hueco. Calcular: a) el tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura, h) la altura, con respecto al fondo del hueco, desde la que se cayó el paquete y c) la altura a la que se encuentra 1/4 de segundo después de la caída. Sol. a) 0,306 s. b) 16,6 m. c) 14,04 m.

41.

Un bloque, partiendo del reposo, cae por un plano inclinado, sin rozamiento, que forma un ángulo de 22° con la horizontal. Calcular: a) la aceleración, b) el tiempo que emplea en recorrer 20 m sobre el plano. Sol. 3,66 m/s»; 3,3 s.

42.

Desde la parte superior de un plano inclinado de 30 m de longitud, a una altura de 10 m, se deja caer un cuerpo partiendo del reposo. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la velocidad del cuerpo al final del plano y compararla con la velocidad con que llega al suelo un cuerpo en caída libre desde 10 m de altura. Sol. 14 m/s; 14 m/s.

43.

Se dispara un proyectil de mortero con un ángulo de elevación de 30° una velocidad inicial de 40 m/s sobre un terreno horizontal. Calcular: a) el tiempo que tarda en llegar a tierra (duración de trayectoria), b) el alcance del proyectil, c) el ángulo que forma con el terreno en el momento de llegar a él (ángulo de caída). Sol. 4,07 s; 141,5 m; 30°.

44.

Resolver el problema 43 suponiendo que se dispara sobre el mar desde un acantilado cuya cota es de 150 m y con un ángulo de elevación de — 30°. Sol. 3,87 s; 134 m; 59° 6'.

45.

Un cañón dispara un proyectil con un ángulo de elevación de 50° y una velocidad inicial de 400 m/s sobre un terreno horizontal. Sabiendo que a una distancia de 1 000 m existe una pared vertical, calcular la altura del punto de la pared sobre el cual incide el proyectil. Sol. 1 116 m.

46.

Se lanza una piedra desde una altura de 1 m sobre el suelo con una velocidad de 40 m/s formando un ángulo de 26° con la horizontal. Sabiendo que a una distancia de 120 m del punto de lanzamiento se encuentra un muro de 2 m de altura, calcular a qué altura por encima de éste pasará la piedra. Sol. 4,2 m.

47.

Un deportista, cuyo centro de gravedad se encuentra a 1,2 m de altura, ha de saltar un obstáculo de 2 m lanzándose con un ángulo de 60° con respecto a la horizontal. Calcular la velocidad con que debe iniciar el salto y la distancia horizontal al obstáculo desde el punto donde se lanza. Sol. 4,65 m/s; 0,925 m.

48.

Demostrar que con un cañón se puede batir un mismo punto del terreno con un ángulo de elevación de 60° y con otro de 30° si bien laflechade la trayectoria (altura máxima del proyectil) es, en el primer caso, tres veces mayor que en el segundo.

Capítulo

5

Fuerza F U E R Z A es el empuje o el tirón que se ejerce sobre un cuerpo. Se trata de una magnitud vectorial y, por consiguiente, se caracteriza por un módulo, una dirección y un sentido. Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, éste adquiere una aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza. Recíprocamente, todo cuerpo animado de una aceleración deberá estar sometido a una fuerza resultante de la misma dirección y sentido que aquélla. La fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de su masa por la aceleración que la comunica.

LEYES D E N E W T O N D E L MOVIMIENTO 1.

Todo cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme, a menos que actúe sobre él una fuerza resultante. Dicho en otras palabras: para que un cuerpo posea una aceleración debe actuar sobre él una fuerza.

2.

Una fuerza F aplicada a un cuerpo le comunica una aceleración a de la misma dirección y sentido que la fuerza, directamente proporcional a ella e inversamente proporcional a la masa m del cuerpo. p

En términos matemáticos esta ley establece que ka = — , o bien F — kma siendo k una t

tn

constante de proporcionalidad. Eligiendo un sistema de unidades apropiado de manera que k = 1 resulta F = ma. 3.

A toda fuerza (acción) se le opone otra (reacción) igual y opuesta. Es decir, si un cuerpo ejerce una acción sobre otro, este último ejerce también una acción, del mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario, sobre el primero. Estas dos fuerzas, aunque opuestas, no se equilibran mutuamente, ya que no están aplicadas sobre el mismo cuerpo. Las fuerzas de acción y reacción siempre están aplicadas a cuerpos distintos.

UNIDADES D E F U E R Z A . En la ecuación F= kma es conveniente hacer k = 1, es decir, elegir las unidades de fuerza, masa y aceleración de forma que F = ma. Por ello, en cada sistema de unidades se eligen dos de ellas como fundamentales y la tercera se considera derivada de aquéllas. 1)

En el sistema metro-kilogramo-segundo o sistema mks absoluto, la unidad de masa se elig como fundamental y es el kilogramo (kg) y la unidad de aceleración es el m/s*. La correspondiente unidad de fuerza —derivada— se denomina newton (N) y se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 kg de masa le comunica una aceleración de 1 m/s*.

2)

En el sistema centímetro-gramo-segundo o sistema cgs absoluto, la unidad de masa se elige como fundamental y es el gramo (g) y la unidad de aceleración es el cm/s*. La unidad de fuerza —derivada— se denomina dina y se define como la fuerza que aplicada a un cuerpo de 1 g de masa le comunica una aceleración de 1 cm/s . 1

3)

En el sistema gravitatorio técnico o terrestre, la unidad de fuerza se elige como fundamenta y es el kilopondio (kp) y la unidad de aceleración es el m/s*. La unidad de masa —derivada— se denomina unidad técnica de masa (utm) y se define como la masa de un cuerpo que al actuar sobre ella la fuerza de 1 kp adquiere una aceleración de 1 m/s*. 35