Mosaicos regulares del plano M´aster Universitario de formaci´on de Profesorado Especialidad Matem´aticas

Bego˜ na Hern´ andez G´ omez1 Bego˜ na Soler de Dios2 Beatriz Carbonell Pascual3

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1o PARTE Nuestro n´ umero de mosaico es el 5, que tiene esta forma:

El motivo m´ınimo es el siguiente:

Nuestro mosaico est´a formado por 36 repeticiones de este motivo m´ınimo coloreadas de diferente manera. Hemos encontrado dos tipos de coloreado. El primero, es el que hemos presentado anteriormente como el motivo m´ınimo; fondo de color rosa palo, figura geom´etrica en morado y punto en verde. El segundo es con fondo morado, forma geom´etrica en rosa palo y punto en marr´on. Se observa en la siguiente figura:

Nuestro motivo m´ınimo tiene forma cuadrada. Si consider´asemos el mosaico como una matriz, tendr´ıa 6 filas y 8 columnas. Cada uno de los elementos ser´ıan motivos m´ınimos coloreados de tipo 1, como el motivo m´ınimo (a partir de ahora ET1) y elementos de tipo 2, los coloreados como en la segunda figura (a partir de ahora ET2), y adem´as con giros, tanto en el eje x (en plano como rotara en el papel) y en el eje z (un giro de 180o ser´ıa como la imagen de

2 un espejo). Consideraremos que las im´agenes mostradas en este apartado no tienen aplicado ning´ un a´ngulo de giro, se describir´a cada uno de los giros en a´ngulos con direcci´on en sentido horario. Por ejemplo esta imagen ser´ıa un ET1 X180o :

Caracterizar todos los movimientos diferentes que hay en el mosaico: Las caracter´ısticas de los movimientos del mosaico est´an descritas en la siguiente tabla, donde cada celda es un elemento del mosaico:

3 Una vez analizado el mosaico elemento por elemento, si tomamos como partida el elemento 3,4:

Se realizar´ıa un giro de 90o grados, respecto del punto origen y se tomar´ıa la segunda coloraci´on, obteniendo el elemento (4,4):

Se realiza otro giro de 90o desde el la esquina superior y se obtiene el cuadrado central formado por los elementos (3,3), (3,4), (4,3) y (4,4):

Finalmente, se realiza una simetr´ıa con respecto al eje x, obteniendo:

4 Es decir, nuestro mosaico presenta ejes de simetr´ıa perpendiculares (color rojo) y ejes de simetr´ıa con deslizamiento (naranja). Tambi´en presenta dos tipos de centros de rotaci´on ya que hay giros de orden cuatro (90o ) (color verde) que est´an en la intersecci´on de los ejes de deslizamiento y de orden dos (180o )(rosa) que est´an en el cruce de los ejes de reflexi´on.

Tiene dos vectores de traslaci´on perpendiculares que unen los centros de rotaci´on de orden 4 y pasan por los de orden 2 (en la direcciones de los ejes de deslizamiento a 45o ). Por lo tanto est´a generado por dos traslaciones, una simetr´ıa y un giro de orden 4.

A partir de nuestro mosaico podemos observar que ning´ un centro de orden cuatro pasa nunca por un eje de simetr´ıa, lo que no ocurre con los centros de orden dos:

5 En la figura que aparece a continuaci´on vamos a representar un paralelogramo fundamental con los centros y con los ejes de simetr´ıa junto con algunos ejes de simetr´ıa con deslizamiento.

2o PARTE Construir un mosaico, que sea visualmente diferente del anterior, cuyo sistema generador sea p.6 y trama de tri´ angulo equil´ atero. Este mosaico debe tener un motivo m´ınimo irregular. Explicar c´ omo se ha creado el motivo m´ınimo mediante transformaciones de una celda de la trama de pol´ıgonos subyacente. El mosaico se puede hacer a mano o usando un programa inform´ atico. Para realizar nuestro mosaico vamos a utilizar el programa de software libre Geogebra y tambi´en Photoshop. A partir del tri´angulo equil´atero que tesela el plano vamos a crear el motivo m´ınimo mediante transformaciones. Empezamos con el tri´angulo equil´atero que tenemos indicado como trama:

Modificamos la pieza inicial realizando un saliente y hacemos que encaje con la pieza adyacente girando la pieza 300o con centro o:

7 En el otro lado del tri´angulo realizamos un entrante y hacemos que encaje con la pieza adyacente de la misma forma que antes:

Finalmente hacemos otro entrante y realizando un giro de 180o en el centro del lado que queda libre (o´) obtenemos nuestra figura ya que se tiene que cubrir todo el plano:

Obtenemos el siguiente tri´angulo:

Para generar nuestro mosaico siguiendo el sistema generador p6 con la trama de tri´angulos equil´ateros, hay que realizar giros de 60o (orden seis) con centro en el v´ertice del tri´angulo hasta formar un hex´agono como se muestra en la Figura 0-1:

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Figura 0-1: Hex´agono Una vez construido el primer hex´agono, mediante giros de 180o (orden dos) respecto al punto medio del lado de la base de los tri´angulos equil´ateros, se crea el primer tri´angulo para generar, a partir de nuevos giros de 60o , otros hex´agonos como se puede observar en la Figura 0-2:

Figura 0-2: Mosaico Realizando este mismo proceso se puede crear un mosaico del tama˜ no que se desee. En el caso de la Figura 0-3, se ha generado y cortado para que la trama sea m´as complicada de

9 encontrar.

Figura 0-3: Mosaico

10 Para que este mosaico sea posible, se utilizado el programa Photoshop para realizar los giros del sistema generador como se puede ver en la Figura 0-4.

Figura 0-4: Photoshop Es decir, tiene centros de giro de orden 6 (60o ) formando una trama hexagonal (de tri´angulos equil´ateros), centros de giro de orden 3 (120o ) en los v´ertices de la trama hexagonal y centros de giro de orden 2 (180o ) en los puntos medios de los lados de la trama hexagonal. El mosaico no presenta reflexiones ni deslizamientos formando los vectores de translaci´on a´ngulos de 60o y siendo su m´odulo la longitud de las diagonales de los hex´agonos de la trama.