Poliedros Regulares Convexos Características y relaciones entre ellos AUTOR: Begoña Soler de Dios1

Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas Universidad de Valencia

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Poliedros Regulares Convexos 1. ¿Qué son los poliedros regulares? Un poliedro regular, como su propio nombre indica, es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares de lados iguales y del mismo tamaño (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono…). Utilizando esta definición, hay un total de nueve polígonos regulares, cinco convexos también llamados sólidos Platónicos (en los que se centra este trabajo) y cuatro cóncavos también llamados sólidos de Kepler-Poinsot.

Es decir, tenemos cinco polígonos regulares convexos de los que tenemos que explicar sus características y establecer relaciones entre ellos.

Pero… ¿Por qué cinco? Si se pueden inscribir infinitos polígonos regulares en un círculo ¿por qué hay solamente cinco poliedros regulares que se pueden inscribir en una esfera?

La respuesta del porqué hay solamente cinco la encontramos en la construcción de los vértices.

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En un vértice de un poliedro regular confluyen un número fijo de caras poligonales, ¿cuántas pueden ser como mínimo para que se forme un poliedro? Tres. Si considerásemos solamente dos, en lugar de un vértice lo que se originaria sería dos caras pegadas. Y ¿cuántas pueden ser como máximo? Hay un número, pero depende del polígono que utilicemos.

En el caso de caras triangulares, para formar un vértice con tres caras pondríamos los triángulos equiláteros como se indica en la siguiente figura, haciendo los pliegues correspondientes y juntando los lados azudes se formaría el vértice. Este método también se puede aplicar en el caso de cuatro y cinco triángulos.

3. 4.

5.

¿Puede haber sólidos con caras de triángulo equilátero y vértices de orden seis? No existen ya que se completaría todo el plano y no quedaría hueco para unir. Por lo tanto en un vértice sólo se pueden construir tres, cuatro y cinco triángulos equiláteros.

6.

Utilizando cuadrados como caras y aplicando el mismo procedimiento que en las caras triangulares se observa que solamente pueden utilizarse tres para formar un vértice. Si cogemos cuatro se completa el plano y no se podrá formar un vértice. 3.

4.

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Dando un paso más y utilizando pentágonos para formar vértices observamos lo mismo que utilizando cuadrados, podemos hacer confluir solamente tres, quedando en este caso un pequeño hueco para unirlos y que por lo tanto un cuarto se montaría encima del primero.

3.

Finalmente, si utilizamos hexágonos, solamente con tres ya se completa el plano y no nos deja sitio para juntar los lados azules y formar el vértice. ¿Por qué no se pueden construir poliedros regulares que tengan por caras a los polígonos regulares de siete lados o más? Evidentemente con polígonos de más lados tampoco podríamos formar más vértices ya que las caras se montarían unas encima de otras.

3.

Es decir, solamente podemos hacer construcciones en las que confluyan el vértice de tres, cuatro y cinco triángulos equiláteros, tres cuadrados o tres pentágonos. Por lo tanto, con este razonamiento, ya utilizado por Euclides en “Los Elementos” se demuestra que solamente existen cinco poliedros regulares convexos. Es decir, de vértices generados por tres triángulos sale el tetraedro, con cuatro triángulos el octaedro, con cinco triángulos el icosaedro, con tres cuadrados el hexaedro o cubo y con tres pentágonos el dodecaedro.

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2. Los poliedros regulares convexos y sus características: A partir de los resultados en el apartado anterior podemos deducir que: a) Las caras de un poliedro regular convexo deberán ser iguales y polígonos regulares. b) Para que pueda formarse el vértice de un poliedro hace falta, al menos tres caras. c) La suma de los ángulos de las caras concurrentes en el vértice del ángulo poliedro debe ser siempre menor que 360°. Es interesante también introducir el teorema de Euler para comprobar si las características de cada poliedro que obtenemos son ciertas. Este teorema relaciona el número de aristas, caras y vértices que existen en un poliedro regular convexo, su enunciado es el siguiente: En todo poliedro regular convexo la suma de número de caras y el número de vértices es igual al número de aristas más dos.

 TETRAEDRO El tetraedro, como su propio nombre indica, está formado por cuatro caras. ¿Cómo son sus caras? Sus caras son triángulos equiláteros, por lo tanto, para que pueda formarse deben encontrarse tres de ellas en cada vértice. Si se juntan tres caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tendremos? Tendremos cuatro vértices, igual al número de caras del poliedro. Situando uno de los triángulos como base del poliedro, obtendremos los tres vértices del triángulo de la base y a estos hay que añadir el vértice del ápice en el que se juntarán las caras. Destacar que en cada cara tendremos tres vértices. ¿Cuántas aristas tendremos? Al juntarse tres caras en cada vértice y tener cada una dos lados (sin tener en cuenta el lado de la base) de los cuales contamos solamente uno ya que al juntarse las caras se comparten aristas, obtenemos tres aristas por cada vértice. Es decir, del ápice saldrán tres aristas, cada una de ellas terminará en cada uno de los vértices de la base del poliedro de los cuales saldrán dos aristas más que al compartirse solamente contaremos una de ellas por lo que obtendremos tres aristas, que serán los lados del triángulo de la base, es decir, tendremos seis aristas. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.

¿Cómo podemos construir un desarrollo para el tetraedro? Teniendo en cuenta que tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro

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nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo tetraedro? En el número de caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.

 CUBO El cubo está formado por seis caras. ¿Cómo son sus caras? El cubo o hexaedro tiene seis caras cuadradas congruentes. Por lo tanto, para que pueda formarse deben encontrarse tres de ellas en cada vértice, es decir, el cubo son seis cuadrados unidos de tres en tres. Si se juntan tres caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tiene? Tendremos ocho vértices, cuatro vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas tendremos? Doce. Cuatro correspondientes a la unión de lados de la base con sus caras laterales, cuatro que saldrán de cada vértice de la base y cuatro correspondientes a la unión de los lados de la cara que cierra la figura con las caras laterales. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.

¿Cómo podemos construir un desarrollo para el cubo? Teniendo en cuenta que tiene seis caras que son cuadrados. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo cubo? En el número de caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.

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 OCTAEDRO El octaedro está formado por ocho caras. ¿Cómo son sus caras? El octaedro tiene ocho caras que son triángulos equiláteros congruentes. Por lo tanto, para que pueda formarse deben encontrarse cuatro triángulos en cada vértice, es decir, el octaedro son ocho triángulos equiláteros unidos de cuatro en cuatro. Si se juntan cuatro caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tiene? Tendremos seis vértices, tres vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas tendremos? Doce. Cogiendo el octaedro desde uno de sus vértices podemos contar que al juntarse en él cuatro caras saldrán cuatro aristas, estos cuatro triángulos se juntarán con cuatro triángulos más agrupados en otro vértice (tendremos cuatro aristas más) y de la unión de los ocho triángulos saldrán cuatro aristas más, una por cada unión de los triángulos. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.

¿Cómo podemos construir un desarrollo para el octaedro? Teniendo en cuenta que tiene ocho caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo octaedro? En el número de caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan cuatro caras del poliedro.

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 DODECAEDRO El dodecaedro está formado por doce caras. ¿Cómo son sus caras? El dodecaedro tiene doce caras que son pentágonos regulares congruentes. Por lo tanto, para que pueda formarse deben encontrarse tres pentágonos regulares en cada vértice, es decir, el dodecaedro son doce pentágonos regulares unidos de tres en tres. Si se juntan tres caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tiene? Tendremos veinte vértices, cinco vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas tendremos? Treinta. Apoyando el dodecaedro en una de sus caras de cada uno de sus lados saldrá una cara nueva obtendremos cinco aristas correspondientes a la unión de las caras con la base y a partir de cada vértice saldrá una arista más que corresponderá a la unión de las caras. Juntando esta configuración con una igual formamos el dodecaedro por lo que tendremos diez aristas más a las que se tendrá que añadir diez más debido a la unión de ambos. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.

¿Cómo podemos construir un desarrollo para el dodecaedro? Teniendo en cuenta que tiene doce caras que son pentágonos regulares. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo dodecaedro? En el número de caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan tres caras del poliedro.

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 ICOSAEDRO El icosaedro está formado por veinte caras. ¿Cómo son sus caras? El icosaedro tiene veinte caras que son triángulos equiláteros congruentes. Por lo tanto, para que pueda formarse deben encontrarse cinco triángulos equiláteros unidos de cinco en cinco, es decir, el icosaedro son veinte triángulos equiláteros unidos de cinco en cinco. Si se juntan cinco caras en cada vértice, ¿cuántos vértices tiene? Tendremos doce vértices, tres vértices en cada cara. ¿Cuántas aristas tendremos? Treinta. Cogiendo uno de sus vértices de él saldrán cinco caras por lo que tendremos cinco aristas, de cada uno de estos cinco triángulos saldrá otro, por lo que tendremos cinco aristas más debidas a la unión de los primeros triángulos con los segundos. Uniendo esta configuración con una igual sumamos diez aristas más y además le añadimos otras diez debidas a la unión de ambas configuraciones para formar el poliedro. Las comprobaciones de estos resultados se pueden hacer de forma visual y utilizando la fórmula de Euler.

¿Cómo podemos construir un desarrollo para el icosaedro? Teniendo en cuenta que tiene veinte caras que son triángulos equiláteros. Por lo tanto, ¿en qué características del poliedro nos basamos para construir diferentes desarrollos del mismo icosaedro? En el número de caras, en sus aristas y en el hecho de que en cada vértice se juntan cinco caras del poliedro. Universidad de Valencia

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Pero… ¿tienen más

características en común además de tener caras iguales y regulares?

Otra de las características que tienen en común este tipo de objetos son sus simetrías. Si los observamos bien podemos decir que tienen todos los tipos de simetrías que existen en el espacio: simetría puntual, simetría axial y simetría de plano.

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TABLA RESUMEN:

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Nº CARAS

Nº VÉRTICES

Nº ARISTAS

ORDEN DE LOS VÉRTICES

Nº DE LADOS DE LAS CARAS

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

3 3 4 3 5

3 4 3 5 3

3. Relaciones entre los poliedros regulares convexos: En este apartado estudiaremos las relaciones que se establecen entre los distintos poliedros regulares convexos.

Empezamos comparando el número de aristas con el número de caras. A simple vista se puede observar que hay dos seis que cuadran y dos pares de doce que también. Es decir, podemos enunciar que el número de caras del cubo y el de aristas del tetraedro es el mismo, seis. También podemos decir que con las aristas del cubo y las caras del dodecaedro sucede lo mismo, son el mismo número, doce y que también coinciden el número de aristas del octaedro con el número de caras del dodecaedro. Es decir, tenemos relaciones entre el tetraedro y el cubo (T-C), entre el cubo y el dodecaedro (C-D) y entre el octaedro y el dodecaedro (O-D).

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Nº CARAS

Nº VÉRTICES

Nº ARISTAS

ORDEN DE LOS VÉRTICES

Nº DE LADOS DE LAS CARAS

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

3 3 4 3 5

3 4 3 5 3

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Relación T-C: Para realizar esta inscripción nos basamos en el hecho de que coincide el número de aristas del tetraedro con el número de caras del cubo. Los vértices del tetraedro serán vértices alternos del cubo. De esto modo, sobre cada cara del cubo encontraremos una arista del tetraedro (poliedro inscrito) de forma que corresponderán a las diagonales de las caras del cubo (poliedro circunscrito) y por lo tanto obtendremos el mismo número de aristas del tetraedro que caras del cubo. En este caso las caras del tetraedro corresponderán a los cuatro vértices opuestos del cubo a los que tienen vértices del tetraedro.

Relación C-D: Podríamos describir la relación D-C pero se ve más claro en este caso. En este caso nos basaremos en que coincide el número de aristas del cubo con el número de caras del dodecaedro. Situaremos los cuatro pares de vértices opuestos del cubo sobre cuatro pares de vértices opuestos del dodecaedro. Como en el caso anterior, las aristas del cubo corresponderán a diagonales de caras del dodecaedro, habiendo una diagonal en cada cara y juntándose de tres en tres como es propio del cubo. Finalmente, las caras del cubo corresponderán a los tres pares de aristas del dodecaedro que forman rectángulos perpendiculares entre sí.

Relación O-D: Podríamos describir la relación D-O pero se ve más claro en este caso. Ahora tendremos en cuenta que coinciden el número de aristas del octaedro con el número de caras del dodecaedro. Esta figura no tendrá un patrón análogo a la anterior ya que las aristas del octaedro (poliedro inscrito) no coincidirán con las diagonales de las caras del dodecaedro (poliedro circunscrito). En este caso situaremos los seis vértices del octaedro sobre la mitad de uno de los lados de cada cara del poliedro, observar que cada uno de los vértices será común en dos caras. Es decir, las caras del octaedro corresponderán (a la altura de su centro) con los vértices del dodecaedro.

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Buscando más relaciones llegamos a las siguientes:

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Nº CARAS

Nº VÉRTICES

Nº ARISTAS

ORDEN DE LOS VÉRTICES

Nº DE LADOS DE LAS CARAS

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

3 3 4 3 5

3 4 3 5 3

Nos preguntamos, ¿cómo están relacionados el cubo y el octaedro? El número de caras del octaedro es igual al número de vértices del cubo y el número de caras del cubo es igual al número de vértices del octaedro. Tienen también el mismo número de aristas y añadir que cada uno de los vértices del cubo es de orden tres, el mismo número que lados tienen los polígonos que forman las caras del octaedro (triángulos equiláteros) y que en cada uno de los vértices del octaedro es de orden cuatro, el mismo número que lados tienen los polígonos que forman las caras del cubo (cuadrados). ¿Cómo están relacionados pues el dodecaedro y el icosaedro? Estos dos poliedros están relacionados de forma análoga al cubo y al octaedro. El número de caras del dodecaedro es igual al número de vértices de icosaedro y a la inversa y también tienen el mismo número de aristas. Finalmente, en cada vértice del icosaedro se juntan cinco caras, es decir, cinco aristas, que es el mismo número que lados tienen las caras que forman el dodecaedro (pentágonos regulares). Lo mismo sucede en el caso contrarío siendo el orden de los vértices y el número de lados tres. ¿Qué sucede con el tetraedro? Este poliedro se relaciona con él mismo, siendo iguales el número de caras y de vértices y el orden de los vértices con el número de lados que presenta cada cara del tetraedro.

Por lo tanto podemos decir que el tetraedro se relaciona consigo miso, el octaedro y el cubo entre ambos (C-O) y el dodecaedro con el icosaedro (D-I) también entre ambos intercambiando el número de caras y vértices, presentando el mismo número de aristas y teniendo el orden de los vértices de uno de ellos igual al número de lados de las caras del otro y a la inversa.

Estos tipos de relaciones se llaman relaciones de dualidad, siendo el cubo y el octaedro duales, el dodecaedro y el icosaedro duales también y el tetraedro dual de sí mismo. ¿Cómo se van a corresponder los elementos de ambos poliedros? ¿Los podemos inscribir?

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Relación T-T:

Relación C-O:

Relación D-I:

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Es decir, los poliedros regulares duales o recíprocos están relacionados de manera que se pueden construir modelos inscribiéndolos. Ayudándonos de las figuras, que nos ayudan a establecer enunciados más generales, podemos sacar las siguientes descripciones de los poliedros duales: -Respecto a las aristas: En cada arista del poliedro inscrito aparece una del circunscrito y se cruzan perpendicularmente, pasando también el eje de rotación que pasa por los puntos medios de las aristas del poliedro inscrito por los puntos medios de las aristas del poliedro circunscrito. -Respecto a las caras: Si contamos el número de lados de las caras de un poliedro veremos que coincide con el orden de los vértices del otro. -Respecto a los vértices: Los vértices del poliedro inscrito se sitúan en centros de caras del poliedro circunscrito mientras que los vértices del poliedro circunscrito se corresponden con caras del poliedro inscrito.

I para finalizar comparamos el número de aristas con el número de vértices:

TETRAEDRO CUBO OCTAEDRO DODECAEDRO ICOSAEDRO

Nº CARAS

Nº VÉRTICES

Nº ARISTAS

ORDEN DE LOS VÉRTICES

Nº DE LADOS DE LAS CARAS

4 6 8 12 20

4 8 6 20 12

6 12 12 30 30

3 3 4 3 5

3 4 3 5 3

El número de aristas del tetraedro es igual al número de vértices del octaedro. Esto es posible de observar si inscribiéndolos situamos cada vértice del octaedro en la mitad de cada una de las aristas del tetraedro. Se puede hacer la representación inversa pero se ve más clara la relación en este caso.

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Mientras que el número de aristas del cubo y del octaedro es igual al número de vértices del icosaedro. Inscribiéndolos se pueden observar estas relaciones.

Referencias:

Weisstein, Eric W. “Regular Polyedron” http://linux.ajusco.upn.mx/~transpatricio/gregoria/GregoriaWebSite/ http://centros5.pntic.mec.es Poliedros Regulares. Proyecto Estalmat. Castilla y León http://www.redalyc.org http://www.diversocracia.org/ Doménech Romá, “Poliedros Regulares”

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