CECYTEM

ACTIVIDAD 4.0 DEL PARCIAL 2 En esta actividad trabajaremos con las integrales por partes, para lo cual definiremos u y dv, la u se derivara y la dv se integrara, para lo cual se utilizara la siguiente formula ∫ . ∫ La técnica que se usara para definir u, la cual se tomara el siguiente orden:     

Inversas Logaritmos Algebraicas Trigonométricas Exponenciales

Y dv será todo lo demás que sobre: Empezaremos por un ejercicio muy sencillo ∫ Primero definiremos u, lo cual se sigue por el orden antes mencionado Inversa no hay Logarítmica tampoco Algebraica si hay es x, por lo tanto definimos u=x y dv todo lo que sobra:

Ahora la u la derivo y dv la integro

Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫

∫

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.1 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como x, de acuerdo a la tercera regla y dv será todo lo demás

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫

∫

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

(

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.2 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como x, de acuerdo a la tercera regla y dv será todo lo demás

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫

∫

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

(

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.3 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como x, de acuerdo a la tercera regla y dv será todo lo demás

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫

∫

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫

(

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.4 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como x, de acuerdo a la tercera regla y dv será todo lo demás

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫

∫ ∫(

∫

)

Ahora se simplifica ∫

∫(

)

∫

Y la nueva integral se vuelve a resolver por partes, nuevamente usando la tercera regla

Sustituimos nuevamente en la formula ∫

∫

∫

∫(

)

(

∫ ∫

)

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫( (

∫

) )

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.5 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como x, de acuerdo a la tercera regla y dv será todo lo demás Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫

∫ ∫

∫(

)

Ahora se simplifica ∫

∫(

∫

)

Y la nueva integral se vuelve a resolver por partes, nuevamente usando la tercera regla

Sustituimos nuevamente en la formula ∫ ∫

∫

∫(

) ∫

(

∫

∫

∫

∫

)

Y se resuelve la siguiente integral que ya es inmediata ∫

∫( (

∫

) )

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.6 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como será todo lo demás

, de acuerdo a la primera regla y dv

Ahora derivaremos u e integraremos dv

√ Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫ ∫√

Y se resuelve la siguiente integral por cambio de variable

∫

∫√

=

∫

√

⁄

⁄

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

√

∫ √

⁄

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.7 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como será todo lo demás

, de acuerdo a la primera regla y dv

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫ ∫

∫ ∫

Y se resuelve la siguiente integral por cambio de variable

∫

∫

∫

= | |

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫ |

|

CECYTEM

ACTIVIDAD 4.8 DEL PARCIAL 2 Calcular la siguiente integral ∫ Primero definiremos quien es u y quien es dv, a u la tomaremos como todo lo demás

, de acuerdo a la cuarta regla y dv será

Ahora derivaremos u e integraremos dv

Sustituimos en la formula ∫

∫ ∫

∫(

)

Ahora se simplifica ∫

∫(

∫

)

Y la nueva integral se vuelve a resolver por partes, nuevamente usando la cuarta regla

Sustituimos nuevamente en la formula ∫ ∫

∫( (

∫ ∫

) ∫

∫

)

Ahora se despeja la integral ya que es la misma ∫ Pasamos las integrales del primer lado Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫

∫

∫

Ahora factoriamos para poder sumar (

)∫

Ahora hacemos la suma ∫ Despejamos la integral ∫

(

Por ultimo multiplicamos por la fracción y sumamos la constante ∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.0 DEL PARCIAL 2 En esta actividad trabajaremos con las integrales de potencias de funciones trigonométricas Para esto seguiremos los siguientes casos 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Si son senos o cosenos de potencias pares Si son senos y cosenos de potencias impares Si son secantes y tangentes con potencias pares en la secante Si son secantes y tangentes con potencias impares en las tangentes Si son cosecantes y cotangentes con potencias pares en la secante Si son cosecantes y cotangentes con potencias impares en las tangentes

Iniciemos con el caso 1 para lo cual utilizaremos las siguientes formulas

Calcular la integral de ∫ Primero se quita el cuadrado para lo cual se usa la primer formula ∫

∫

Ahora si se integra termino a término ∫

∫

Para concluir se regresa al mismo argumento original para lo cual se usa la tercer formula ∫

∫

Y por ultimo se simplifica ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.1 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero se quita el cuadrado para lo cual se usa la segunda formula ∫

∫

Ahora si se integra termino a término ∫

∫

Para concluir se regresa al mismo argumento original para lo cual se usa la tercer formula ∫

∫

Y por ultimo se simplifica ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.2 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero se descompone la potencia cuarta en múltiplos de dos )

∫(

Luego se quita el cuadrado del término de adentro, para lo cual se usa la segunda formula )

∫( Ahora se resuelve el binomio recordando que ( )

∫(

∫(

)

)

∫(

)

∫

( )

∫

( )

Se vuelve a desarrollar la formula de binomios al cuadrado )

∫(

∫(

)

∫

( )

(

)

Se simplifica )

∫( ∫

∫(

( )

) (

∫ )

( )

∫

∫ Y por ultimo se integra término a término )

∫( ∫ ∫

( )

∫(

) (

∫ )

( )

∫ (

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

(

)

Para concluir se regresa al mismo argumento original para lo cual se usa la tercer formula y luego la cuarta )

∫( ∫

∫(

( )

) (

∫ )

∫

( )

∫ (

(

)

(

)

)(

)

Y por ultimo se simplifica )

∫( ∫

∫(

( )

) (

∫ )

∫

∫ (

( (

( )

)

(

)

)( )(

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

) )

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.3 DEL PARCIAL 2 Segundo método Para senos y cosenos con potencias impares se utilizaran las siguientes reglas

Calcular la integral de ∫ Primero descomponemos en dos partes, la primera la potencia par mas grande y la otra con potencia 1 ∫

∫

Luego se cambia por su identidad ∫

∫

)

∫(

Luego se hace el cambio de variable, definiendo u como la función que tiene potencia pero sin la potencia

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

∫(

)

∫(

Por ultimo se regresa a las variables ∫

∫

∫(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫(

)

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.4 DEL PARCIAL 2 Para senos y cosenos con potencias impares se utilizaran las siguientes reglas

Calcular la integral de ∫ Primero descomponemos en dos partes, la primera la potencia par mas grande y la otra con potencia 1 ∫

∫

Luego se cambia por su identidad ∫

∫

)

∫(

Luego se hace el cambio de variable, definiendo u como la función que tiene potencia pero sin la potencia

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫ ∫(

)

∫( )

(

)

Por ultimo se regresa a las variables ∫

∫ ∫(

)

∫(

(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.5 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero descomponemos en dos partes, la primera la potencia par mas grande y la otra con potencia 1 ∫

∫

Luego se cambia descompone con potencia dos afuera del paréntesis ∫

)

∫(

Después se cambia por su identidad ∫

∫

∫(

)

)

∫(

Luego se hace el cambio de variable, definiendo u como la función que tiene potencia pero sin la potencia

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

∫( ∫(

)

∫(

)

∫(

)

)

∫(

)

∫(

)

)

Por ultimo se regresa a las variables ∫

∫

∫( ∫(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.6 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero descomponemos en dos partes, la primera la potencia par mas grande y la otra con potencia 1 ∫

∫

Luego se cambia descompone con potencia dos afuera del paréntesis ∫

∫

)

∫(

Después se cambia por su identidad ∫

∫

)

∫(

)

∫(

Luego se hace el cambio de variable, definiendo u como la función que tiene potencia pero sin la potencia

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫ )

∫(

)

∫( )

∫(

)

∫(

(

)

(

)

Por ultimo se regresa a las variables ∫ ∫(

)

∫ ∫(

)

∫( )

(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫(

(

)

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.7 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero se ve cual de las dos funciones tiene potencia impar, en caso que las dos se toma la potencia menor, luego se descompone con las formulas anteriores ∫

∫

∫

(

)

Ahora se hace el cambio de variable

Se sustituye en la integral ∫

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

Se resuelve la integral ∫

(

)

(

)

Y por ultimo se regresa a las variables originales ∫

∫ (

)

(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 5.8 DEL PARCIAL 2 Calcular la integral de ∫ Primero se descompone la secante en potencia cuadrada ∫

∫

∫

(

)

∫

∫

(

)

Ahora se hace el cambio de variable

Se sustituye en la integral ∫

∫

(

)

∫

Se resuelve la integral ∫

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

∫

(

)

∫

(

)

∫

Y por ultimo se regresa a las variables originales ∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 6.0 DEL PARCIAL 2 En esta actividad trabajaremos con la integración por sustitución trigonométricas para lo cual se utilizarán tres casos dependiendo del argumento que se encuentre dentro de la raíz cuadrada, el cual debe de ser un binomio de acuerdo a la siguiente tabla Para

Sustituir con

Usar u como

triangulo

√

a u √ √

√

u a

√

u

√

a a

Ahora si empezaremos con los ejercicios Calcular la ∫

√

Lo primero que aremos será ver en cual de los tres casos cae En este caso es una resta y empieza con un numero por lo tanto es el primer caso Primero calcularemos quien es √

De acuerdo a la regla √

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

√

(

)

Ahora se simplifica todo para lo cual se recuerdan las funciones trigonométricas ∫

∫

√

(

)

∫

∫

∫

(

El siguiente paso será resolver la integral ∫

√

∫

(

∫

)

Y por ultimo se regresa a las variables originales, recordando que ∫

√

∫

(

∫

) (

√

)

de acuerdo al triangulo ∫

√

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

)

(

)

CECYTEM

ACTIVIDAD 6.1 DEL PARCIAL 2 Calcular ∫

√

Lo primero que aremos será ver en cual de los tres casos cae. En este caso es una suma por lo tanto es el segundo. Primero calcularemos quien es cada uno de los tres términos de acuerdo a la regla √

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

√

(

)

Ahora se simplifica todo para lo cual se recuerdan las funciones trigonométricas

∫

√

∫

(

∫

)

∫ (

)

(

)

(

)

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Lo siguiente será hacer el cambio de variable

Por lo tanto se hace el cambio de variable

∫

√

∫

(

∫

) ∫

∫

∫

El siguiente paso será resolver la integral

∫

√

∫

(

∫

) ∫

∫

∫

(

)

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

Y por ultimo se regresa a las variables originales, recordando que

∫

√

∫

(

∫

) ∫

y

∫

∫ (

∫

(

)

√

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

de acuerdo al triangulo

)

∫

CECYTEM

ACTIVIDAD 6.2 DEL PARCIAL 2 Calcular ∫

√

Lo primero que aremos será ver en cual de los tres casos cae. En este caso es una resta que inicia con letras por lo tanto es el tercero. Primero calcularemos quien es cada una de los tres términos de acuerdo a la regla √

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

√

(

)

Ahora se simplifica todo para lo cual se recuerdan las funciones trigonométricas ∫

∫

√

(

∫

)

(

∫

)

∫

El siguiente paso será resolver la integral ∫

∫

√

(

∫

)

(

)

Y por ultimo se regresa a las variables originales, recordando que ∫

√

∫

(

)

∫

(

)

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

∫

∫ y de acuerdo al triangulo ∫

√

CECYTEM

ACTIVIDAD 6.3 DEL PARCIAL 2 Calcular ∫

√

Lo primero que aremos será ver en cual de los tres casos cae. En este caso es una resta que inicia con letra por lo tanto es el tercero. Primero calcularemos quien es cada uno de los tres términos de acuerdo a la regla √

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

√

Ahora se simplifica todo para lo cual se recuerdan las funciones trigonométricas ∫

∫

√

∫

El siguiente paso será resolver la integral ∫

∫

√

∫

Y por ultimo se regresa a las variables originales, para lo cual se despejara la variable mas sencilla √

∫

√

∫

∫

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

CECYTEM

ACTIVIDAD 6.4 DEL PARCIAL 2 Calcular ∫

√

Lo primero que aremos será ver en cual de los tres casos cae. En este caso es una suma por lo tanto es el segundo. Primero calcularemos quien es cada una de las tres términos de acuerdo a la regla √

Ahora se sustituye en la integral ∫

∫

√

Ahora se simplifica todo para lo cual se recuerdan las funciones trigonométricas

∫

√

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

El siguiente paso será resolver la integral

∫

√

∫ |

|

Y por ultimo se regresa a las variables originales, recordando que

∫

√

∫

∫ |

|

y

∫ √ |

Elaboro LIC LUIS ALBERTO ORTEGA GALLEGOS

de acuerdo al triangulo

∫

|

∫

|

√

∫

|