IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017
Lección N.º 3: Los argumentos deductivos y su evaluación 1. Evaluación de argumentos
En las lecciones anteriores ofrecimos los elementos necesarios para llevar adelante las tareas de identificación y reconstrucción de argumentos. Estamos ahora en condiciones de emprender la labor fundamental de su evaluación y, consecuentemente, de su crítica. Evaluar un argumento puede consistir, en términos muy generales, en determinar si es bueno o malo, o tal vez, qué tan bueno o qué tan malo es. La pregunta por las virtudes de un argumento contiene al menos dos cuestiones: 1. ¿Logran las premisas ofrecer apoyo a la conclusión? ¿En qué grado lo hacen? 2. ¿Son las premisas verdaderas? ¿Qué tan confiables son? Esta doble cuestión radica en la naturaleza misma de los argumentos. Al argumentar, damos por supuesto ciertos elementos (las premisas) y, en base a ellos, inferimos una determinada conclusión. Hay ciertos casos en que si bien las premisas logran ofrecer razones a favor de la conclusión –esto es: si se suponen dichas premisas, la conclusión se sigue de ellas–, esas premisas resultan cuestionables. Difícilmente estaríamos dispuestos a admitir un argumento que suponga premisas falsas o difíciles de aceptar como un buen argumento sin más. Por ejemplo: •
La Luna es de chocolate y la Tierra, de dulce de leche. Por lo tanto, la Luna es de chocolate.
En otros casos, por el contrario, las premisas son confiables; creemos en su verdad, pero por sí mismas no logran establecer la conclusión. A modo de ejemplo: •
El superclásico lo ganará Boca o River. Por lo tanto, River ganará el superclásico.
En el peor de los casos, un argumento podría adolecer de ambos defectos; en el mejor, no debería adolecer de ninguno. La lógica es una disciplina que provee claras estrategias para evaluar los argumentos en el primer sentido, es decir, permite considerar si la conclusión se encuentra apoyada y, si fuera el caso, en qué grado se encuentra apoyada por las premisas. Respecto de lo segundo, en tanto ello depende del contenido de lo afirmado en las premisas y usualmente de factores extra-lógicos, la lógica no nos proporcionará un veredicto. Sin embargo, la clarificación del argumento y la consideración de los tipos de oraciones involucradas en el argumento –que tratamos en la lección anterior– contribuyen de manera inmediata a aclarar en qué consiste afirmar la verdad de dichas oraciones, cuáles son sus condiciones de verdad, de qué tipo de evidencia disponemos y de cuál Natalia Buacar y Diego Tajer
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 deberíamos disponer si quisiéramos establecer su verdad, qué compromisos ulteriores se siguen de ellas, entre otras consideraciones. Nos centraremos ahora en estudiar el primer aspecto de la evaluación de argumentos mencionado antes, es decir, en evaluar el vínculo que existe entre las premisas y la conclusión de un argumento. Tal como veremos, hay distintos tipos de argumentos. Algunos de ellos ofrecen razones concluyentes a favor de la conclusión: se trata de los argumentos deductivos, que serán abordados en esta lección. En la siguiente lección, consideraremos otro tipo de argumentos: los inductivos, que si bien no ofrecen razones que logran establecer de modo definitivo la conclusión, sí ofrecen algún tipo de razón a favor de ella. A su vez, veremos que hay distintos tipos de argumentos inductivos y cada uno de ellos nos obligará a considerar criterios de evaluación específicos. En lo que sigue nos adentraremos en la evaluación de argumentos deductivos.
2. Tipos de argumentos: deductivos e inductivos
Como vimos, los argumentos son parte central de nuestra práctica lingüística. Por medio de ellos obtenemos conclusiones a partir de la información de la que disponemos, damos razones, establecemos enunciados a partir de otros enunciados. Los argumentos son fragmentos del lenguaje en donde lo que se pretende es establecer una conclusión a partir de ciertas premisas. Ahora bien, puede resultar que las razones que damos sean concluyentes o que nos limitemos a ofrecer alguna razón. Atendiendo a esto puede formularse una distinción entre argumentos deductivos y argumentos inductivos, respectivamente. Los argumentos deductivos ofrecen premisas de las cuales se sigue concluyentemente la conclusión. Los inductivos tienen menores pretensiones: ofrecen algunas razones a favor de la conclusión[1]. Considere los siguientes argumentos. ¿Cuáles le parece que son deductivos y cuáles inductivos? (Para responder tenga en cuenta cuán fuerte es el apoyo que las premisas otorgan a la conclusión). • Todos los perros son mamíferos Simón es un perro Simón es mamífero • Simón es un perro y mueve la cola Simón es un perro • Simón o Ñata robaron el hueso Ñata no fue
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 Simón robó el hueso • Simón es un perro y mueve la cola Frida es una perra y mueve la cola Ñata es una perra y mueve la cola Tim es un perro y mueve la cola Los perros mueven la cola • La mayoría de los perros mueven la cola Tim es un perro Tim mueve la cola • Simón es un perro y mueve la cola Frida es una perra y mueve la cola Ñata es una perra y mueve la cola Tim es un perro Tim mueve la cola Deténgase a reflexionar: ¿cuál de ellos es inductivo y cuál deductivo? Compartamos la respuesta: los tres primeros argumentos son deductivos y los tres últimos son inductivos. Las razones que se ofrecen en los primeros bastan para asegurar la conclusión. En los últimos tres casos, ello no ocurre, aunque igualmente se ofrece algún tipo de razones. En la próxima lección veremos qué tan buenas pueden ser estas. -----------------------------[1] Dicha clasificación puede hacerse atendiendo a otros criterios. Por ejemplo, I. Copi (1953) y J. M. Comesaña (1998) distinguen los argumentos deductivos de los inductivos en función de las pretensiones de quien los formula. No hemos adoptado este criterio pues conlleva ciertas dificultades. En primer lugar, no siempre resulta claro cuáles son las pretensiones de los hablantes (aun para ellos mismos). En segundo lugar, conduce a la extraña consecuencia de que existan argumentos deductivos inválidos.
3. Argumentos deductivos
Tal como vimos, en el caso de los argumentos deductivos la conclusión queda establecida concluyentemente a partir de las premisas, de modo que si estas son el caso, la conclusión también debe serlo. Es por esta razón que se suele asociar a los argumentos deductivos la noción modal de necesidad, y así decimos que la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. De modo que si las premisas son
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 verdaderas, la conclusión también lo es. O de modo equivalente: resulta imposible que se den las premisas (que sean verdaderas) y no la conclusión. Así, quien acepte las premisas debe comprometerse con la conclusión. También suele asociarse a este tipo de argumentos otro aspecto: la formalidad. En este tipo de argumentos, la pretendida necesidad con que se sigue la conclusión de las premisas parece estar asociada con la forma o estructura de dicho argumento. Hay algo en la estructura del argumento que garantiza que si las premisas fueran verdaderas, la conclusión también lo sería. Consideremos el siguiente ejemplo: •
Argentina limita con Chile y con Uruguay, por lo tanto Argentina limita con Chile.
Se trata de un argumento deductivo pues ofrece razones concluyentes (“Argentina limita con Chile y con Uruguay”) para la conclusión (“Argentina limita con Chile”). Ahora bien, dicho logro no depende de que sea efectivamente el caso que las premisas son verdaderas; sino de que si fueran verdaderas, la conclusión también debería serlo. Ello parece estar asociado a que el argumento tiene cierta estructura: A y B, por lo tanto A Siendo A y B enunciados cualesquiera. O de modo más gráfico aún: AyB A Podemos poner en el lugar de A y de B los enunciados que nos dé la gana. "A" puede ser “Argentina limita con Chile” y "B", “Argentina limita con Uruguay”, como en el ejemplo anterior, y tratarse entonces de enunciados verdaderos. Pero también podrían ser “La Luna es de dulce de leche” y “La Tierra es de chocolate”, respectivamente, obteniendo así el siguiente argumento: •
La Luna es de dulce de leche y la Tierra es de chocolate, por lo tanto la Tierra es de chocolate.
En este ejemplo, la premisa y conclusión son evidentemente falsas. El quid de la cuestión es que si fuera cierto que la Luna es de dulce de leche y que la Tierra es de chocolate, podríamos concluir concluyentemente que la Luna es de dulce de leche. En este argumento, por ende, la premisa logra establecer la conclusión. Aunque, como deben sospechar, habría un sentido en que tal argumento no sería bueno. En lo que sigue ampliaremos este punto. Pero antes es menester atender a una pregunta: ¿cómo identificar la estructura de un argumento? ¿Por qué el argumento anterior fue reconstruido de ese modo y no de otro
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 alternativo? Por ejemplo: A B Siendo "A" la oración “Argentina limita con Chile y con Uruguay” y "B" la oración “Argentina limita con Chile”, ¿por qué privilegiar la reconstrucción anterior en lugar de esta última? La respuesta la provee la lógica –una disciplina que se orienta al estudio de los argumentos y su corrección–: hay ciertas maneras de reconstruir la estructura de los argumentos que facilitan su evaluación. ¿Cuáles son esas maneras? Una de ella es atender a ciertas expresiones a la hora de tratar de identificar la forma o estructura de los argumentos. Y esas expresiones coinciden con aquellas que identificamos como expresiones lógicas en la lección anterior. Son, precisamente, "no", "si… entonces", "y", "o", "todos", "algunos", etcétera. Así, por ejemplo, diremos que los siguientes argumentos tienen todos la misma estructura: • • • • •
Juliana y Ana están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. Juliana y Virginia están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. Carolina y Laura están contentas, por lo tanto Carolina está contenta. Carolina y Laura están tristes, por lo tanto Carolina está triste. América y Europa son continentes, luego América es un continente.
La estructura compartida por todos ellos es la enunciada más arriba: AyB A ¿Qué ocurre con la oración siguiente? ¿Comparte el argumento enunciado la misma estructura? • Juliana o Ana están contentas, por lo tanto Juliana está contenta. La respuesta, al menos desde esta perspectiva, es que no. Pues el cambio operado entre este ejemplo y los anteriores es un cambio estructural: hay una “o” donde antes había una “y”. Y ese cambio es un cambio sustantivo cuando de evaluar un argumento se trata. Como veremos en lo que sigue, esta es la estructura del nuevo argumento: AoB A Y a diferencia de la estructura anterior, aquí la premisa no logra establecer la conclusión. Pues podría suceder, en el ejemplo, que fuera cierto que Juliana o Ana
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 están contentas, pero que Juliana no lo estuviera.
Ejercicio 1 Determine la estructura de los siguientes argumentos (seleccione la opción correcta). a. Si hoy es lunes, mañana será martes. Hoy es lunes. Por lo tanto, mañana será martes. Siendo "A": “hoy es lunes” y “B”: “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:
Si A entonces B A ---B Opción 2: Si B entonces A B ---A Opción 3: Si A entonces B B ----------A Opción 4: Si B entonces A A ---B b. Mañana será martes, si hoy es lunes. Hoy es lunes. Por lo tanto, mañana será martes. Nuevamente "A" está en el lugar de “hoy es lunes” y "B", en el de “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:
Opción 2:
Opción 3:
Si A entonces B A -----------------------B Si A entonces B B -----------------------A Si B entonces A
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 B -----------------------A Opción 4: Si B entonces A A -----------------------B c. Hoy es lunes o martes. Hoy no es lunes. Luego, hoy es martes. Siendo "A": “hoy es lunes” y “B”: “mañana será martes”. Opciones: Opción 1:
AyB no A ------B Opción 2: AoB no A ------B Opción 3: AoB A ------B Opción 4: A B ---C d. Es suficiente que Luciana se hidrate para que se recupere. Luciana no se ha recuperado. De modo que no se hidrató. Siendo "A": “Luciana se hidrata” y “B”: “Luciana se recupera”. Opciones Opción 1:
Opción 2:
Opción 3:
Si A entonces B No B -----------------------No A Si A entonces B No A -----------------------No B Si B entonces A No B -----------------------No A
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 Opción 4:
Si B entonces A No A -----------------------No B e. Todos los rosarinos son argentinos, Fito Páez es rosarino, luego Fito Páez es argentino. Estando la "f" en el lugar de Fito Páez y utilizando "R" para expresar la propiedad de ser rosarino y "A" la de ser argentino. Opciones Opción 1:
Opción 2:
Opción 3:
Opción 4:
Todos los R son A f es R -----------------f es A Todos los A son R f es R -----------------f es A Todos los R son A f es A -----------------f es R Todos los A son R f es A -----------------f es R
4. Evaluación de argumentos deductivos
Cómo ya se ha señalado, los argumentos deductivos son tales que las premisas dan un apoyo absoluto a la conclusión. Se dice que los argumentos deductivos son entonces válidos. Que un argumento logre ofrecer apoyo absoluto, que sea válido quiere decir que es tal que si las premisas de dicho argumento son verdaderas, su conclusión también lo es; es decir que no puede darse el caso de que sus premisas sean todas verdaderas y su conclusión no. Suele decirse también que los argumentos deductivos o válidos “preservan la verdad”. Ahora bien, esto es todo y solo lo que garantiza la validez de una argumento, que si fuese el caso de que las premisas son verdaderas, la conclusión también lo será; pero en ningún sentido garantiza que sus premisas sean efectivamente verdaderas. Un argumento válido que a su vez tiene todas sus premisas verdaderas suele llamarse sólido. Tras lo estudiado en la lección anterior sabemos cuáles son las condiciones de verdad de los enunciados que componen los argumentos, sabemos cuándo una conjunción es Natalia Buacar y Diego Tajer
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 verdadera y cuándo es falsa, y lo mismo para el resto de las oraciones. Y sabemos que, al menos bajo el análisis propuesto, las oraciones pueden ser verdaderas o falsas. Si asumimos que las oraciones de un argumento son o bien verdaderas, o bien falsas, parece haber solo cuatro opciones para los argumentos [1]: Opción 1: que las premisas y la conclusión sean todas verdaderas; Opción 2: que tanto las premisas como la conclusión sean falsas; Opción 3: que las premisas sean falsas y la conclusión verdadera; Opción 4: la inversa: que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Ha de quedar claro que la única posibilidad que un argumento válido excluye es la última, esto es, no hay razonamientos válidos que combinen premisas verdaderas y conclusión falsa; pero sí se pueden dar las otras tres opciones con argumentos perfectamente válidos (aunque tal vez no sean sólidos). Así, por ejemplo, dado el siguiente argumento: •
Si se despenaliza el aborto en la Argentina, disminuirá la mortandad materna Se despenaliza el aborto en la Argentina Disminuirá la mortandad materna
Cabría esperar que se diese su conclusión si de hecho resultaran ciertas las premisas; por ende el argumento es válido. Si, además, las premisas fueran ciertas, el argumento no solo será válido; también será sólido. Supongamos que tras un largo debate el aborto no resulta ser despenalizado; supongamos también que los índices de mortandad sin embargo disminuyen. ¿Podríamos considerar que el argumento era inválido? No, lo que el argumento establecía era que en caso de que las premisas fueran verdaderas, la conclusión también habría de serlo; en otras palabras; que no podía darse el caso de que las premisas fueran verdaderas y la conclusión no lo fuera. Efectivamente, este argumento es tal que por mucho que imaginemos diferentes situaciones, nunca podremos idear una en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión no. Los argumentos deductivos son tales que su validez depende de su estructura, su forma nos garantiza que si partimos de información verdadera (sea esta la que fuere) arribaremos a una conclusión verdadera. El ejemplo que acabamos de considerar tiene la forma de un tipo de argumento deductivo muy usual: se trata del Modus Ponens y su estructura puede expresarse del siguiente modo: Si A entonces B A B Dado que la validez de los argumentos deductivos depende únicamente de su forma, podemos afirmar que todo argumento que pueda ser reconstruido bajo la forma del Modus Ponens será válido. En otras palabras, sean cuales sean las oraciones que ocupan el lugar de A y de B, si podemos reconocer que dichas oraciones son tales que
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 guardan entre sí las relaciones reflejadas por la estructura del Modus Ponens, podemos afirmar que el argumento resultante es válido (sea cual sea el valor de verdad de las oraciones que ocupen el lugar de A y de B). ----------------------[1] Cabe aclarar que existe cierta asimetría entre la verdad y falsedad del conjunto de premisas. Solo consideraremos que el conjunto de las premisas será verdadero cuando todas las premisas lo sean; por el contrario, no será necesario que todas las premisas sean falsas para que “las premisas” sean falsas. Basta que un elemento del conjunto de premisas sea falso para que “las premisas” sean falsas. La razón de ello radica en que el “conjunto de las premisas” puede pensarse como afirmando conjuntamente cada una de ellas, más precisamente como afirmando su conjunción. Como ya sabemos, las conjunciones son tales que para que sean verdaderas, todos los componentes combinados han de ser verdaderos. Mientras que basta que uno de esos componentes sea falso para que la conjunción de todos ellos lo sea.
Ejercicio 2 Determine la verdad o falsedad de las siguientes oraciones. a. Basta que un argumento tenga premisas verdaderas para que sea válido. b. Si un argumento tiene premisas falsas, la conclusión no se sigue necesariamente de ellas. c. Un argumento puede ser válido y no sólido. d. Un argumento puede ser sólido y no ser válido.
Ejercicio 3 Dado un argumento válido cualquiera ¿cuáles de las combinaciones siguientes son posibles?
a. b. c. d.
Premisas verdaderas y conclusión verdadera Premisas verdaderas y conclusión falsa Premisas falsas y conclusión falsa Premisas falsas y conclusión verdadera
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5. Argumentos inválidos
Hemos estudiado los argumentos deductivos señalando que son válidos y que por tanto la conclusión se sigue necesariamente de las premisas. Los argumentos inválidos son los que no logran esto, es decir: es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Tal como veremos en la siguiente lección, hay algunos argumentos que resultan inválidos pero que sin embargo consideraremos buenos porque las premisas proveen buenas razones para aceptar la conclusión. Se trata de los argumentos inductivos y nos ocuparemos de ellos en la próxima lección. Detengámonos en los argumentos inválidos. Contrariamente a ciertas intuiciones, un argumento con premisas y conclusión verdadera puede resultar inválido. Un ejemplo de ello es el siguiente argumento: •
Si un tsunami azota Buenos Aires, la ciudad se inundará La ciudad de Buenos Aires se inundó Un tsunami azotó Buenos Aires
Es sencillo imaginar una situación en que tanto las premisas como la conclusión fuesen verdaderas, por ejemplo el caso en que un tsunami azota Buenos Aires y la ciudad efectivamente se inunda. Sin embargo dicho argumento es inválido. Porque, asimismo, podemos imaginar también una situación en que las premisas fueran verdaderas y la conclusión falsa. Por ejemplo, si bien sabemos que la ocurrencia de un tsunami bastaría para inundar la ciudad, también sabemos que la ciudad de Buenos Aires se ha inundado muchas veces sin que ocurriese tsunami alguno. En otras palabras, en los argumentos inválidos las premisas no ofrecen elementos de juicio suficientes a favor de la conclusión, de modo tal que aun en el caso en que ellas fuesen verdaderas, la conclusión podría no serlo. Y tal como podemos observar a partir de los ejemplos, la validez de un argumento es independiente de cómo resulte ser efectivamente el mundo (de si hay o no un tsunami, de si se inunda o no la ciudad de Buenos Aires, etc.); podemos determinar si un argumento es válido aun cuando no podamos determinar la verdad de las oraciones involucradas. Lo único relevante es la forma del argumento, si ella garantiza o no la preservación de verdad de premisas a conclusión. El ejemplo anterior tiene una forma tal que no nos garantiza la preservación de verdad de premisas a conclusión: Si A entonces B B A Esta estructura o forma de argumento recibe el nombre de Falacia de afirmación del consecuente, como así también los argumentos del lenguaje común (en donde A y B
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 son reemplazados por oraciones) en los que podemos reconocer dicha forma. Este tipo de argumentos serán de gran importancia en la tercera sesión. Esta forma de argumento (a diferencia de lo que ocurre con el Modus Ponens) es inválida y, por tanto, es posible construir para ella contraejemplos. Un contraejemplo de una forma o esquema de argumento es un ejemplo de argumento particular que tenga la forma en cuestión y en el que sus premisas son verdaderas y su conclusión falsa. Para ilustrarlo, otro contraejemplo de la forma identificada como Falacia de afirmación del consecuente es el siguiente: • Si algo es un águila adulta, entonces vuela Los aviones vuelan Los aviones son águilas adultas Como podemos observar, el argumento tiene la forma pretendida y ambas premisas son verdaderas pero no la conclusión; las premisas no logran entonces establecer la conclusión. El argumento es inválido. Esto está estrechamente ligado a lo que mencionábamos en la lección anterior en relación con los enunciados condicionales. En este caso lo que expresa la primera oración es una condición suficiente: es suficiente que algo sea un águila adulta para que vuele. Ahora bien, si bien es suficiente, no es una condición necesaria, porque sabemos que hay otros animales que vuelan y que los aviones, los helicópteros, entre otros, también lo hacen. Es por esa razón que no podemos concluir válidamente que algo es un águila tras enterarnos de que vuela; esa información no basta para garantizarnos tal conclusión. Existe entonces un patrón claro que nos permite evaluar la validez de argumentos: todo lo que hemos de hacer es preguntarnos qué ocurriría con la conclusión en caso de que todas las premisas fueran verdaderas. Si dada la verdad de las premisas, la conclusión no puede sino ser verdadera (es imposible que sea falsa), el argumento es válido. Por el contario, si resulta concebible que las premisas sean verdaderas y la conclusión no, este es inválido. Recordemos que de lo que se trata es de determinar si las premisas ofrecen o no razones suficientes para establecer la conclusión. Desde ya que en ciertos casos bastará con identificar la estructura de un argumento: si se trata de alguna forma que es reconocidamente válida o no, ello nos permitirá pronunciarnos en una u otra dirección; pero aun cuando ello no ocurra, podremos tomar una decisión al respecto. Por último, a la luz de lo anterior, una manera de criticar un argumento es mostrar que es inválido. Para ello basta identificar su estructura y encontrar para ella un contraejemplo –un ejemplo de argumento con dicha estructura que conduzca de premisas verdaderas a una conclusión falsa-. O, al menos, explicar cómo puede darse el caso de que las premisas del argumento en cuestión sean verdaderas y la conclusión falsa. Por otra parte, puede ponerse en cuestión la solidez del argumento atacando la verdad de las premisas.
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 Ejercicio 4 El Modus Tollens es un tipo de razonamiento válido que responde a la siguiente forma: Si A entonces B No B No A Por el contrario, la Falacia de negación del antecedente es una forma de razonamiento inválida que posee la siguiente estructura:
Si A entonces B No A No B Compare ambos tipos de argumentos y explique brevemente por qué uno es válido y el otro no.
Ejercicio 5 Dadas las siguientes formas de argumentos, determine cuál de las opciones es correcta. (Recuerde que un contraejemplo en este contexto es aquel argumento que tiene la forma en cuestión pero cuyas premisas son verdaderas y su conclusión falsa, razón por la cual sirve para mostrar la invalidez del argumento). a. A o B No A B (Donde "A" y "B" pueden ser reemplazadas por una oración cualquiera). Opciones: Opción 1: Opción 2: Opción 3:
Opción 4:
La forma del argumento es válida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: Miranda o Ana estudian agronomía Miranda estudia agronomía La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: Miranda o Ana estudian agronomía Miranda no estudia agronomía Ana no estudia agronomía
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 b.
AoB A (Donde "A" y "B" pueden ser reemplazadas por una oración cualquiera). Opciones Opción 1: Opción 2: Opción 3:
Opción 4:
La forma del argumento es válida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y no posee contraejemplos. La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: La Tierra gira alrededor de la Luna o la Luna gira alrededor de la Tierra ---------------------------------------La Tierra gira alrededor de la Luna La forma del argumento es inválida y el siguiente argumento funciona como contraejemplo: La Tierra gira alrededor de la Luna o la Luna gira alrededor de la Tierra ---------------------------------------La Luna gira alrededor de la Tierra
Ejercicio 6 Responda "Sí" o "No" a las siguientes preguntas. a. Suponga que un argumento es deductivo. ¿Podría usted formular una crítica a dicho argumento aun sabiendo que es válido? b*. Suponga que un argumento es deductivo. ¿Seguirá siendo válido a la luz de nueva información? c. Suponga que un argumento es inválido. ¿Podría suceder que tuviera premisas y conclusión verdaderas?
6. Reglas de inferencia y deducciones
Dijimos que una manera de confirmar que una forma o estructura de argumento es inválida era encontrar un contraejemplo. Ahora bien, ¿cómo asegurarnos de que es válido? Una primera respuesta es que si no encontramos contraejemplos estaremos bien encaminados. Pero supongamos que tenemos una estructura y no encontramos contraejemplos por mucho que nos esforcemos, ¿nos asegura eso que el razonamiento es válido? En verdad no, pues el hecho de no haber dado con un contraejemplo puede deberse a falta de imaginación de nuestra parte; después de todo, no es tan sencillo idear contraejemplos. Una vez hallado el contraejemplo, podemos estar seguros de la
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 invalidez de una forma de argumento, pero no hallarlos nada prueba sobre su validez. La lógica es la disciplina encargada de dar con modos para probar la validez de los argumentos. Pero, tal como vimos, dicho logro está asociado a la estructura de los argumentos; por esa razón la lógica estudia las formas de los argumentos y, por esa razón también, el tipo de abordaje que privilegia es un abordaje formal. La lógica deductiva desarrolla lenguajes (y sistemas) formales para dar cuenta de este tipo de argumentos, y para poder testearlos, se desprende del contenido y se centra en aquello que es crucial en los argumentos deductivos: su forma. Nosotros no ahondaremos en este tema; solo nos valdremos de algunos recursos que la lógica formal ofrece (pero adaptándolos a una versión informal o, tal vez, semiformal), para delinear algunos aspectos necesarios para la comprensión de los sistemas axiomáticos, tema que será abordado en la siguiente lección. Nos interesa especialmente comprender dos nociones: la de regla de inferencia y la de deducción. La lógica estudia las formas de argumento y distingue formas válidas de otras inválidas. Existe una enorme variedad de modos en que hace esto (de hecho la lógica es una disciplina en creciente y constante desarrollo). Un modo de hacerlo es identificar unas cuantas formas válidas y proceder luego a utilizarlas para probar la validez de otras formas. Veamos esto con un poco más de detalle. Podemos pensar las formas de argumento válidas como reglas que nos sugieren cómo inferir, que legitiman nuestras inferencias. Así, si sabemos que si juega Messi, la Argentina gana y sabemos que juega Messi, podemos inferir que la Argentina gana. Podemos inferir esa conclusión y dado que el argumento que resulta de agregar esa conclusión a las premisas tiene la forma del Modus Ponens, sabemos que lo hemos inferido válidamente. Los argumentos válidos pueden, entonces, servirnos como reglas que legitiman nuestras transformaciones inferenciales, nuestros pasos de premisas a conclusión. A veces las cosas no son tan sencillas. Supongamos que disponemos de la siguiente información: - Si juega Messi, la Argentina ganará - Si Messi se recupera de su lesión, jugará - Messi se ha recuperado de su lesión ¿Podemos inferir que Messi jugará? Si simplemente agregamos esa oración como conclusión, el argumento resultante no tiene la forma del Modus Ponens: Si juega Messi, Argentina ganará Si Messi se recupera de su lesión, jugará Messi se ha recuperado de su lesión Messi jugará De hecho el argumento tiene tres premisas y no dos. Pero ¿se sigue la conclusión de las tres premisas? Si aceptáramos que las premisas son verdaderas, parecería que efectivamente la conclusión no podría ser falsa. Parece ser que el argumento sobrevive al test que mencionáramos antes. Y no solo eso: la lógica nos ofrece modos de probar
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 argumentos, de justificarlos. Uno de esos modos es construir deducciones. ¿Y cómo hacerlo? Utilizando las reglas de inferencia (los argumentos válidos) en los que ya confiamos. Por ejemplo en este caso: Las información de la cual disponemos está dada por las tres premisas (las numeramos para facilitar el desarrollo): 1. Si juega Messi, la Argentina ganará 2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará 3. Messi se ha recuperado de su lesión Si atendemos a las premisas 2 y 3, podremos observar que tienen la forma de las premisas del Modus Ponens: un condicional (la premisa 2) y el antecedente del condicional (la premisa 3). Si pensamos ahora al Modus Ponens como una regla de inferencia que nos permite obtener consecuencias de la información disponible, de estas dos premisas podemos inferir entonces su conclusión: 4. Messi jugará Si bien esta afirmación no es lo que queríamos concluir, estamos ahora más cerca. Atendamos ahora a la premisa 1, nuevamente una oración condicional. Pero la oración 4 es precisamente el antecedente de ese condicional. De modo que si las tomamos conjuntamente podremos inferir válidamente siguiendo la receta del Modus Ponens: 5. La Argentina ganará Acabamos de construir una deducción de la oración “La Argentina gana” a partir de la información de la que disponíamos y que estaba condensada en aquellas tres premisas. Lo que hicimos fue mostrar que la conclusión efectivamente se desprende de esas premisas. Para lograrlo tuvimos que dar algunos pasos intermedios, tuvimos que ir obteniendo conclusiones parciales de la información disponible. Pero, en tanto cada uno de esos pasos, cada una de esas transformaciones tuvo lugar siguiendo una regla válida, podemos estar seguros de que la conclusión ha sido obtenida válidamente. La secuencia de oraciones constituye una deducción: 1. Si juega Messi, la Argentina gana (premisa) 2. Si Messi se recupera de su lesión, jugará (premisa) 3. Messi se ha recuperado de su lesión (premisa)
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 4. Messi jugará (por Modus Ponens entre 2 y 3) 5. La Argentina ganará (por Modus Ponens entre 1 y 4) Una deducción es una secuencia de oraciones que parten de supuestos o premisas, y donde cada una de las líneas o pasos siguientes se obtiene aplicando alguna de las reglas a algunas de las líneas anteriores, y donde la última es la conclusión. Este es el caso en nuestro ejemplo. Las tres primeras oraciones son las premisas. La oración que figura en 4 fue obtenida aplicando el Modus Ponens a las oraciones que figuran en 2 y 3. La oración 5 también se obtuvo por aplicación del Modus Ponens, pero ahora a las líneas 1 y 4. Por ser 5 la última línea, es además la conclusión de esa deducción.
Ejercicio 7 Determine la verdad o falsedad de los siguientes enunciados. a. Las reglas de inferencia preservan verdad de premisas a conclusión. b. Si las premisas de una deducción son verdaderas, todos los pasos subsiguientes serán verdaderos.
Ejercicio 8 Dada la siguiente información, construya una deducción de la siguiente oración utilizando el Modus Ponens: "Todos irán a la fiesta". - Si María va a la fiesta, Pedro irá - Si Pedro va a la fiesta, también irá Paula - Si Paula va, todos estarán presentes - María irá a la fiesta
7. Algunas reglas de inferencia
Sabemos entonces que podemos confiar en el Modus Ponens y utilizarlo para dar pasos seguros al sacar conclusiones. La cuestión ahora es saber si es la única regla. ¿No hay otras formas de razonamiento válidas? ¿No hay otras reglas de inferencia de las cuales valernos para construir deducciones? La respuesta es que sí y que la lista de posibles reglas es infinita. Pero ¡a no desesperar…!; solo mencionaremos unas pocas.
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 De hecho hay algunas reglas que suelen ser generalmente aceptadas como confiables. Aquí solo enumeraremos algunas; sin embargo, hay ciertas razones que ponen en evidencia que la selección no ha sido caprichosa. Las reglas que nos permitirán movimientos en nuestro juego son: Modus Ponens
Si A entonces B A B
Modus Tollens
Si A entonces B No B No A
Silogismo hipotético
Si A entonces B Si B entonces C Si A entonces C
Simplificación
AyB A
Adjunción
A B AyB
Silogismo disyuntivo
AoB No A B
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 Instanciación del universal
Todos los R son P x es R x es P
Ya hemos utilizado y comentamos el Modus Ponens. Básicamente nos autoriza a obtener como conclusión el consecuente de un enunciado condicional cuando sabemos que el antecedente es el caso. Así, pensemos en esta oración condicional: • Si Matilde gana la lotería, será millonaria. El Modus Ponens garantiza que si constatamos que Matilde ganó la lotería, podemos inferir que Matilde será millonaria. Obviamente, no nos autoriza a inferir nada en caso de que no la gane. El Modus Tollens ya fue mencionado y también parece una regla razonable. Supongamos que nos enteramos ahora de que Matilde no es millonaria. Si sabemos nuevamente que “Si Matilde gana la lotería, será millonaria", podemos inferir entonces que no ha ganado la lotería (pues sabíamos que era suficiente que la ganase para que fuera millonaria). La simplificación es una regla sencilla. Simplemente nos dice que si sabemos, por ejemplo, que llueve y truena, sin duda podremos inferir legítimamente que llueve. O también que truena, por ello debajo de la línea podría estar B en el lugar de A. También es sencilla la regla de adjunción que nos permite introducir conjunciones. Retomando el mismo ejemplo, si sabemos que llueve y nos enteramos de que truena, podremos afirmar “Llueve y truena”. El silogismo disyuntivo rescata un sentido de las disyunciones. Si, por ejemplo, sabemos que Facundo o Federico es el culpable, y nos enteramos de que Facundo no lo es, sin duda podremos inferir que el culpable es Federico. Por último, la regla de instanciación del universal. A diferencia de las anteriores, esta regla supone un nivel de análisis diferente. La razón es que determina aquello que puede ser concluido a partir de una expresión como "todos", la cual, tal como vimos en la lección anterior, reviste ciertas diferencias con expresiones como "y", "si... entonces...", etc. En este esquema, las letras R y P están en el lugar de propiedades y la x en el lugar de individuos. Esta regla también resulta intuitivamente aceptable, pues partiendo de asumir que todos los individuos que tienen la propiedad R, tienen también la propiedad P, y que un individuo x tiene la propiedad R, nos autoriza a inferir que también tiene la propiedad P. Por ejemplo: • Todas las estrellas tienen luz propia
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 El sol es una estrella El sol tiene luz propia Podemos entonces usar estas reglas para sacar conclusiones de modo seguro. Como advertimos antes, la lista de reglas por utilizar podría ser más amplia, desde luego.
Ejercicio 9 Determine cuál de las siguientes secuencias de oraciones constituye una deducción de la oración "María irá a la playa " a partir de la siguiente información. - Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta - María se puso ojotas y malla - María no irá a la pileta Opciones:
Opción 1:
1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta (premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa o a la pileta (Modus Ponens entre 1 y 4) 6. María irá a la playa (silogismo disyuntivo entre 3 y 5)
Opción 2:
1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta (premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa o a la pileta (Modus Ponens entre 1 y 4)
Opción 3:
1. Si María se pone ojotas, irá a la playa o a la pileta.(premisa) 2. María se puso ojotas y malla (premisa) 3. María no irá a la pileta (premisa) 4. María se puso ojotas (simplificación en 2) 5. María irá a la playa (Modus Ponens entre 1 y 4)
Ejercicio 10 Determine cuál de las siguientes secuencias de oraciones constituye una deducción de la oración "Pedro no salió a correr " a partir de la siguiente información. - Si Pedro sale a correr, dormirá bien - Si Pedro duerme bien, aprobará Química
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 - Pedro no aprobó Química Opciones: Opción 1:
1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Pedro no salió a correr (simplificación en 1)
Opción 2:
1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Si Pedro sale a correr, aprobará Química (silogismo hipotético entre 1 y 2) 5. Pedro no durmió bien (Modus Tollens entre 3 y 4)
Opción 3:
1. Si Pedro sale a correr, dormirá bien (premisa) 2. Si Pedro duerme bien, aprobará Química (premisa) 3. Pedro no aprobó Química (premisa) 4. Pedro no durmió bien (Modus Tollens entre 2 y 3) 5. Pedro no salió a correr (Modus Tollens entre 1 y 4)
8. Pruebas indirectas
Existe una estrategia demostrativa que merece un comentario aparte: se trata de las pruebas por absurdo. Este tipo de estrategia es indirecta, a diferencia de las que construimos anteriormente, todas ellas directas. Se trataba de deducciones directas pues partíamos allí de premisas y procedíamos paso a paso –por aplicación de las reglas de inferencia– hasta dar con la conclusión. Pero existen ciertas ocasiones en que esta vía directa no resulta viable o resulta demasiado compleja. En tales situaciones es posible apelar a una estrategia de tipo indirecta: las pruebas por absurdo. Supongamos que disponemos de un conjunto Γ de premisas y que queremos probar la oración C. O sea, tratamos de construir una deducción para el siguiente argumento: Γ C En las pruebas por absurdo, se parte de suponer que aquello que se pretende probar (la oración C, en nuestro ejemplo) no es el caso (es decir, se supone “no C”) y se intenta arribar a una contradicción (siempre por aplicación de las reglas de inferencia). De obtener la contradicción (de la forma “A y no A"), es posible afirmar que el supuesto del cual se partió (“no C”) es falso (puesto que si fuera verdadero no habría ocurrido la contradicción; recordemos que las reglas de inferencia garantizan la conservación de la
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 verdad); y de este modo se da por demostrada la conclusión C. Consideremos el siguiente ejemplo sencillo: Queremos probar que "No es cierto que estamos en verano" a partir de la información expresada por las siguientes dos oraciones: "Si estamos en verano, hay humedad" y "Si estamos en verano, no hay humedad". Disponemos entonces de dos premisas: 1. Si estamos en verano, hay humedad (premisa) 2. Si estamos en verano, no hay humedad (premisa) Ambas son oraciones condicionales; sabemos que el Modus Ponens nos permite inferir sus consecuentes, pero solo en presencia de sus antecedentes (en ambos casos el mismo: “estamos en verano”). Tal antecedente no están disponibles. De modo que la estrategia ha de ser otra. Supondremos lo contrario de aquello que queremos probar con la esperanza de arribar a una contradicción, lo que nos permitiría descartar nuestro supuesto provisional. Lo que queremos probar es "No es cierto que estamos en verano"; lo contrario a esto es "Estamos en verano". Ese es el supuesto provisional con el que trabajaremos. 3. Estamos en verano (supuesto provisional) Las cosas lucen mejor ahora, pues ahora sí podemos utilizar los condicionales de las líneas 1 y 2, pues 4 nos provee de los antecedentes necesarios: 4. Hay humedad (Modus Ponens entre 1 y 2) Y ahora, nuevamente: 5. No hay humedad (Modus Ponens entre 1 y 3) Pero como podrá advertirse, la oración 5 es la negación de 4. Esto es, hemos inferido que hay humedad (4) y que no la hay (5), lo cual constituye sin duda una contradicción. Podemos explicitarla usando la regla de adjunción, así: 6. Hay humedad y no hay humedad (adjunción entre 4 y 5) ¡Hemos obtenido entonces una contradicción! Y lo hicimos partiendo del supuesto provisional formulado en 3 ("Estamos en verano"). Esto nos permite rechazar el supuesto, negarlo, y podemos concluir entonces: 7. No es cierto que estemos en verano Y esta es precisamente la conclusión que queríamos obtener… ¡Lo hemos logrado! Algunas aclaraciones resultan pertinente: llegados a este punto, ya hemos sacado provecho de nuestro supuesto provisional y no podremos utilizarlo más. Lo introdujimos solo para obtener a partir de él una contradicción que nos permitiera negarlo, y eso se
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 ha conseguido. El supuesto cumplió su función y ha de ser cancelado. Por otra parte, debemos reparar en que lo que hemos probado no es “Estamos en verano” (la lógica no formula ese tipo de sentencias); sino que lo que hemos probado es “Estamos en verano” partiendo de los supuestos: “Si estamos en verano, hay humedad” y “Si estamos en verano, no hay humedad”. En otras palabras, lo que hemos probado indirectamente, es que no estar en verano se sigue de suponer simultáneamente que: si estamos en verano entonces hay humedad y si estamos en verano entonces no hay humedad. Debemos advertir que nos detenemos en este tipo de pruebas pues su comprensión resulta necesaria para el abordaje de algunas cuestiones históricas que serán presentadas en la quinta lección. El objetivo de esta presentación no es la ulterior producción de pruebas por absurdo, sino más bien, delinear en qué consiste este tipo de estrategia demostrativa.
Ejercicio 11* Dados los siguientes argumentos, complete las líneas faltantes en la prueba por absurdo incompleta que se ofrece a continuación. a. Si hace frío y llueve, no iremos a la plaza. Iremos a la plaza Hace frío Por lo tanto, no llueve.
1. Si hace frío y llueve, no iremos a la plaza. (Premisa) 2. Iremos a la plaza (Premisa) 3. Hace frío (Premisa) 4. ………….. (Supuesto provisional) 5. Hace frío y llueve (Adjunción 3 y 4) 6. No iremos a la plaza (Modus Ponens 1y 5) 7. ………………………………… (Adjunción 2 y 6) Por lo tanto, no llueve b. Mañana comeremos tomates o mandarinas. Mañana no comeremos mandarinas. Si mañana comemos tomates, Tomás no estará contento. Por lo tanto, no es cierto que si mañana no comemos mandarinas, Tomás estará contento. 1. Mañana comeremos tomates o mandarinas. (Premisa) 2. Mañana no comeremos mandarinas. (Premisa) 3. Si mañana comemos tomates, Tomás no estará contento. (Premisa) 4. Si mañana no comemos mandarinas, Tomás estará contento. (Supuesto Natalia Buacar y Diego Tajer
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IPC – UBA XXI – 2º cuatrimestre de 2017 provisional) 5. Tomás estará contento (Modus Ponens 2 y 4) 6. Mañana comeremos tomates (Silogismo disyuntivo 1 y 2) 7. Tomás no estará contento (Modus Ponens 3 y 6) 8. ……………………………… (……………………. 5 y 7) Por lo tanto, …………………………………………………
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