Juegos y recreaciones para la enseñanza de las matemáticas: Diversidad de opciones y de recursos. Jordi Deulofeu Piquet Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Universitat Autònoma de Barcelona

¿Dónde acaba el juego y dónde empieza la matemática seria? (...) Para muchos que la ven desde fuera, la matemática, mortalmente aburrida no tiene nada que ver con el juego. En cambio, para la mayoría de los matemáticos, la matemática nunca deja de ser totalmente un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas. Miguel de Guzmán (1988)

1. Introducción

Los juegos, las recreaciones matemáticas, las adivinanzas lógicas, los problemas de pensar, los concursos de problemas y en general las diversas actividades lúdicas alrededor de las matemáticas constituyen en su conjunto un recurso altamente valioso para la enseñanza de las matemáticas en los distintos niveles de la enseñanza obligatoria, y en particular, en la educación secundaria. Su gran variedad y versatilidad hace que puedan ser utilizados tanto dentro como fuera de la clase y que puedan servir para introducir un concepto o para consolidarlo, para practicar una técnica o para desarrollar estrategias de resolución de problemas. Pero, más allá de lo que podría ser un simple recurso didáctico, la utilización de juegos y la organización de actividades de carácter lúdico alrededor de las matemáticas, constituye un elemento educativo importante que puede incidir en la visión que los alumnos se forman sobre las matemáticas, ayudándoles a verlas como una ciencia cuya práctica puede provocar placer y diversión. En este artículo trataremos de mostrar la diversidad de aplicaciones que los juegos y las recreaciones pueden tener en la educación matemática, fundamentalmente en el ámbito de la clase, pero también en el del centro educativo e incluso el del barrio o la ciudad, y lo haremos con ejemplos que tratan de ilustrar esta aplicación y su incidencia en los distintos aspectos del aprendizaje de las matemáticas.

2. Sobre la apreciación de las matemáticas por parte de la sociedad

El año 2000 fue declarado por la UNESCO el año mundial de las Matemáticas y por este motivo se realizaron en diversos lugares del mundo un gran número de actos con el objetivo de concienciar a la sociedad de la importancia de las Matemáticas. Parece evidente que la sociedad en general no reconoce la importancia de esta disciplina y cuando lo hace considera que las Matemáticas, a diferencia de lo que ocurre con otras

áreas del saber, son algo reservado a una elite, es decir, que el conocimiento matemático no forma parte de lo que podríamos llamar la formación de una persona culta, en el sentido amplio del término. Aunque determinar porque sucede esto es complejo, pienso que hay dos factores que influyen en la visión que el gran público tiene de las Matemáticas: uno es la experiencia -en muchas ocasiones poco satisfactoria- que cada persona ha tenido cuando se ha aproximado a esta ciencia. Otro factor es la falta de materiales divulgativos que traten de mostrar al gran público el auténtico valor y la importancia de las Matemáticas. ¿Por qué mucha gente considera las matemáticas como algo aburrido e incluso siente aversión por esta ciencia, mientras un grupo reducido de personas siente una gran atracción hacia ella? ¿Es posible que una persona no especialmente dotada pueda disfrutar haciendo matemáticas y comprender la importancia que esta disciplina tiene tanto en nuestra vida cotidiana como en el desarrollo y avance de la ciencia? Creo que esto es posible, pero para ello es imprescindible presentar las matemáticas de una determinada manera. Desde los tiempos más remotos la humanidad ha tenido necesidad de hacer Matemáticas para entender el mundo en el que vivimos, puesto que esta ciencia es un poderoso instrumento para el análisis de la realidad y para su transformación. Su continuo desarrollo a través de las distintas civilizaciones ha llevado a las Matemáticas a convertirse en un patrimonio cultural importantísimo que refleja la capacidad creativa de la humanidad y que contiene elementos de belleza y de recreación comparables a otras disciplinas no sólo científicas sino también humanísticas. No obstante, al valorar las matemáticas nuestra sociedad tiende a priorizar determinados aspectos de las mismas que las alejan de los intereses culturales y lúdicos de muchas personas. Así, se acepta que las matemáticas son especialmente difíciles, constituyen un elemento de selección y que, a pesar de su gran presencia en la educación, sólo un reducido grupo puede llegar a tener éxito en esta disciplina. Esta visión tan limitada de las matemáticas ha llevado a mucha gente, que se considera de un nivel cultural alto, a prescindir de ellas como parte de su formación; muchas de estas personas no tienen ningún reparo en afirmar que de matemáticas no saben casi nada, y que los más eminentes matemáticos de la historia, como Arquímedes, Fermat, Newton, Euler o Gauss, son, junto con sus obras, personas prácticamente desconocidas para él. ¿Qué pensarían estas personas sobre el nivel cultural de alguien que dijera que no sabe redactar correctamente un texto y que desconoce quienes fueron Shakespeare, Cervantes, Bach, Mozart o Velázquez? Ciertamente, hay algunas características de las Matemáticas que pueden suponer una barrera para el profano. Una de ellas es su elevado nivel de abstracción, que proviene del hecho de que los objetos que maneja son creaciones de la mente y por lo tanto no existen en la realidad; pero ello no implica que para acercarse a las matemáticas no se pueda partir de la realidad concreta y del sentido común. Como decía el profesor Puig Adam (1900-1960), uno de los más insignes profesores de matemáticas de nuestro país, la facultad de abstracción no se desarrolla razonando en abstracto, sino empezando por lo concreto, ya que si abstraer es prescindir de algo, es preciso que empiece por existir este algo del que se puede prescindir. Otra característica, relacionada con la anterior, es el lenguaje y los símbolos especiales que utilizan las matemáticas, necesarios, aunque

no siempre imprescindibles, para expresar con precisión los conceptos y los argumentos propios del razonamiento lógico. También es cierto que sólo un reducido grupo de personas están especialmente dotadas para las matemáticas, es decir, para descubrir resultados nuevos e importantes. Pero, como señalan Hans Rademacher y Otto Toeplitz, en la introducción a su magnífico libro Números y Figuras, algo parecido sucede con el mundo del arte y en particular con la música, donde muy pocas personas son capaces de componer una sinfonía o una ópera y no obstante mucha gente puede entender la música y sobre todo disfrutar de ella, hasta llegar a convertirse en un melómano sin ser, necesariamente, un gran conocedor del lenguaje musical.

3. Juegos y matemáticas: una relación permanente.

Los juegos, como actividad humana lúdica por excelencia que podemos encontrar en todas las culturas, desde las más primitivas a las más avanzadas, tienen una estrecha relación con las matemáticas. Por un lado, muchos juegos, tanto tradicionales como modernos, utilizan las matemáticas en su desarrollo, ya sea por sus relaciones numéricas (por ejemplo, el dominó o muchos juegos de cartas), por sus relaciones geométricas (en juegos donde las fichas se colocan y se mueven sobre un tablero), pero sobre todo, por las características de muchos juegos, especialmente los llamados juegos de tablero, y por el tipo de estrategias que hay que desarrollar cuando intentamos ganar una partida. Estas estrategias, que son muy variadas y que dependen de las características de cada juego, tienen una gran similitud con algunas de las más importantes estrategias utilizadas en la resolución de problemas de matemáticas. Por otro lado, las matemáticas tienen muchas características que las asemejan a los juegos. Aunque no podemos afirmar que las matemáticas sean un juego, esencialmente porqué su finalidad y sus aplicaciones van mucho más allá del carácter estrictamente lúdico de la mayoría de los juegos, es cierto que cuando hacemos matemáticas, y en particular, cuando tratamos de resolver un problema, tenemos un objetivo, comparable al de la mayoría de los juegos (hallar la solución o lograr ganar una partida), y disponemos también unas reglas claramente definidas, sobre aquello que podemos y aquello que no podemos hacer, para lograr el objetivo. Asimismo, el carácter lúdico de los juegos de tablero y quizá todavía más, el reto intelectual que nos plantea su práctica (pensemos en los grandes juegos de estrategia como el ajedrez, el Bridge o el Go), tiene una gran similitud con las matemáticas, puesto que hacer matemáticas puede convertirse en una actividad realmente lúdica y sobre todo intelectualmente estimulante. El hecho de que las matemáticas sean importantes, tanto como actividad intelectual por ella misma como por sus aplicaciones en ámbitos tan diversos como las distintas ciencias o en muchas actividades cotidianas, y a menudo difíciles (también lo es la práctica de algunos de los juegos más interesantes) no nos debe llevar a creer que las matemáticas son pesadas o aburridas. Es cierto que determinadas prácticas escolares pueden hacernos pensar que esto es así, aunque la práctica de rutinas sin sentido poco tiene que ver con las matemáticas; pero cualquier persona que haya logrado entrar en el mundo de las matemáticas sabe que su práctica puede convertirse en algo altamente lúdico y estimulante para su intelecto.

En la introducción al capítulo dedicado a los juegos matemáticos del libro Números, cultura y juegos (editorial Videocinco, Madrid, 1996) del profesor de matemáticas y amigo Fernando Corbalán, uno de los mejores conocedores de las matemáticas recreativas de nuestro país y el mayor impulsor de su introducción en la enseñanza de las matemáticas, este autor, al referirse a la relación entre los juegos y las matemáticas, cita a varios grandes pensadores y matemáticos de diversas épocas, para los cuales esta relación es algo más que una simple curiosidad. Así, el gran filósofo Platón (siglo IV a.C.) dijo que “la vida merece ser vivida para jugar a los más bellos juegos (...), y ganar en ellos” y el matemático francés del siglo XX, Dieudonné, afirmó que “las nueve décimas partes de las matemáticas, aparte de las que tienen su origen en las necesidades de orden práctico, consisten en la resolución de adivinanzas”, es decir, de juegos y recreaciones. También el matemático español, Miguel de Guzmán, es explícito cuando dice que “la matemática es, en gran parte, un juego, y el juego puede, en muchas ocasiones, analizarse mediante instrumentos matemáticos”. Por otra parte, la propia historia de las matemáticas nos proporciona ejemplos de esta relación. Es bien conocido que el origen de la probabilidad se encuentra en una carta que el caballero De Mère envió a Pascal, hacia 1650, en la cual le proponía varios problemas relacionados con los juegos de azar que se practicaban en aquella época. En la posterior correspondencia entre Pascal y Fermat sobre estos problemas se encuentran las bases del cálculo de probabilidades, rama de las matemáticas que adquiriría con el tiempo una gran importancia. También el origen de la topología, o más concretamente de la teoría de grafos, está relacionado con un juego, en este caso un pasatiempo, propuesto por Euler (1707-1783) sobre la posibilidad de recorrer los siete puentes de la ciudad de Königsberg, sin pasar dos veces por un mismo puente. Al margen de los ejemplos anteriores, es importante destacar que durante muchos siglos, prácticamente hasta el siglo XIX, que lo que hoy conocemos como matemática recreativa y lo que podríamos llamar la matemática “seria” estuvieron totalmente mezcladas y lo que es más importante, el espíritu de la primera, basado en el placer intelectual que supone la resolución de un acertijo, impregnó a muchos de los grandes matemáticos. El reto que supone la resolución de un nuevo tipo de problemas tuvo su época culminante en la Italia del siglo XVI, donde un importante grupo de matemáticos, entre los que se encuentran Tartaglia, Cardano, del Ferro y Ferrari, organizaban a menudo auténticos campeonatos, en los que se trataba de resolver lo más rápidamente posible, los problemas propuestos por su adversario. El origen de estos “torneos matemáticos” se remonta a la Edad Media y en concreto tenemos conocimiento del enfrentamiento que en el siglo XIII tuvieron Leonardo de Pisa, también conocido por Fibonacci, y Juan de Palermo en presencia del rey Federico II de Sicilia.

4. Sobre la historia de las recreaciones matemáticas

Lo que hoy conocemos como matemática recreativa tiene una larga historia que, como hemos visto en el apartado anterior, está muy ligada a las propias matemáticas, en realidad más que a su enseñanza. Problemas tan conocidos como “piensa un número”, “el caracol que sube por la pared del pozo” o “unir nueve puntos con cuatro segmentos rectos seguidos”, ya se encuentran en obras muy antiguas, particularmente en trabajos

de autores del renacimiento italiano, con lo que la frontera entre lo lúdico y lo supuestamente serio es bastante imperceptible. Algunas recreaciones que todavía hoy se proponen y que son muy apreciadas por el público en general, fueron escritas hace muchísimos años. Así, por ejemplo, ya en las matemáticas egipcias, y también en las de babilonia, encontramos problemas recreativos de números. Uno de los primeros es el problema 29 del papiro de Rhind (que tiene más de 3500 años de antigüedad): “Pienso un número, le sumo sus 2/3 y a dicha suma le resto su tercera parte; con ello obtengo el número 10. ¿Cuál es el número que había pensado?” Por otra parte, es bien conocido que el cuadrado mágico de 9 casillas (que consiste en situar los números del 1 al 9 de forma que tanto filas, como columnas, como diagonales sumen igual) aparece ya, con el nombre de Lo Shu, en una leyenda china que se remonta por lo menos al siglo V a.C. Conviene recordar que durante mucho tiempo los trabajos sobre matemáticas, tanto en occidente como en oriente, tenían un carácter muy distinto al de la mayoría de los libros de la actualidad, que principalmente tratan de desarrollar teorías acabadas, es decir, teoremas y demostraciones muchas veces exentos de los problemas que los han originado. Centrándonos en el mundo occidental, y dejando de lado los torneos matemáticos de la época medieval y del Renacimiento que se desarrollaron principalmente en Italia, y a los que ya nos referimos en el apartado anterior, constatamos que el inicio de la separación entre matemática “seria” y matemática recreativa empieza a producirse en el siglo XVII. En concreto, se considera que el libro de Bachet de Mezirac, Problemes plaisants qui se font par les nombres, publicado en 1612 es el primero de una larga lista que llega hasta nuestros días. Este autor es especialmente conocido por su versión de la Aritmética de Diofanto, en uno de cuyos ejemplares Fermat anotó al margen el enunciado del teorema cuya demostración tardó más de 350 años en llegar. La obra recreativa de Mezirac es, en realidad, un compendio de las principales recreaciones de su época, y en ella encontramos, entre otros, problemas sobre cuadrados mágicos, sobre como atravesar un río (el lobo, la cabra y la col), sobre números enteros en general y los problemas llamados de pesadas (por ejemplo, hallar el mínimo número de pesas, y sus pesos, para poder pesar cualquier cantidad entera entre 1 y 40, en una balanza de dos platos). Como decíamos, el libro de Mezirac fue el primero de una larga lista, en la que destacan las obras de Van Etten (1624), Ozanam (1694), Jean E. Montucla (1725), sin olvidar que muchos de los grandes matemáticos de los siglos XVII y XVIII, como Isaac Newton, Nicolás Bernoulli o Leonard Euler, plantearon algunos problemas aislados que se convertirían en clásicos del género. Sin embargo, la época de mayor esplendor de las recreaciones matemáticas, y aquella en la que empiezan a participar no sólo matemáticos sino personas ajenas a esta ciencia pero interesadas en la resolución de acertijos, es el siglo XIX y principios del XX. En efecto, en el primero de estos siglos empiezan a aparecer los grandes clásicos del género, entre los que destacan Eduard Lucas (1842-1891), autor de un extraordinario compendio, Récréations mathématiques, en cuatro volúmenes, en el cual aparece por primera vez, entre muchos otros, el conocido problema de las torres de Hanoi. Contemporáneo del francés Lucas, es el inglés Lewis Carrol, famoso por sus cuentos sobre Alicia, que fue un gran amante de las recreaciones, especialmente de carácter

lógico, y en cuyas obras no se restringe a las matemáticas sino que aborda también aspectos relacionados con la física y con los juegos lingüísticos. Uno de sus problemas, que titula los mutilados de Chelsea, y cuyo enunciado, ciertamente más macabro que recreativo, dice así: si el 70% de los mutilados han perdido un ojo, el 75% una oreja, el 80% un brazo y el 85% una pierna, ¿qué porcentaje, como mínimo, ha perdido las cuatro cosas? Pero, sin duda, los dos autores más prolíficos de todos los tiempos son el inglés Henry E. Dudeney (1857-1930) y Sam Loyd (1841-1911). El primero de ellos es autor, entre otras, de la obra Amusements in Mathematics (1917), libro que contiene una de las mejores y más variadas colecciones de recreaciones matemáticas de toda la historia. El segundo publicó gran parte de sus problemas en periódicos y revistas de su tiempo, y fue su hijo, que se llamaba igual que el padre, el que recopiló gran parte de la obra de aquel, poco después de su muerte, bajo el curioso título de: Sam Loyd’s Cyclopaedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums, publicado en 1914. No podemos finalizar esta breve referencia histórica sobre los principales autores de recreaciones matemáticas, sin citar a algunos de los grandes autores del siglo XX. Entre ellos, es obligado destacar a Martin Gardner, Yakov Perelman, Pierre Berloquin, Ian Stewart, Brian Bolt y David Wells. Pero también deben merecer nuestra atención algunos autores españoles, como Rafael Rodríguez Vidal o Mariano Mataix, y entre los actuales, Miguel de Guzmán y Fernando Corbalán. Todos ellos son autores y recopiladores de una obra enorme que en su conjunto, y añadida a la de nuestros antepasados, constituye una fuente inagotable de problemas, juegos y recreaciones matemáticas.

5. La utilización de juegos y recreaciones en clase de matemáticas

Si nos situamos en la clase de matemáticas, es evidente que el diseño, la selección y la gestión de actividades de aprendizaje constituyen un elemento clave para el desarrollo del proceso de aprendizaje. En este sentido, las fuentes para la elaboración de actividades son muy diversas y van desde aquellas situaciones que nos proporciona el entorno, la vida cotidiana, las informaciones del mundo en el que vivimos y las otras ciencias, hasta aquellas situaciones de carácter estrictamente matemático. Es precisamente en este último apartado donde las recreaciones y los juegos pueden constituir un elemento de gran valor. En este caso, una formulación de las actividades donde se ponga de manifiesto la idea de reto, de sorpresa, de descubrimiento o simplemente de juego, nos puede ser de gran ayuda para plantear problemas que consideramos matemáticamente significativos, de modo que la falta de contexto concreto, que muchas veces es la causa de que dichos problemas no resulten significativos para los alumnos, no sea un obstáculo para su trabajo en clase. Veamos un ejemplo concreto, que podemos calificar de recreación matemática: Hay que situar los números del 1 al 9 en las nueve casillas cuadradas del dibujo. Una vez llenas las casillas, en cada círculo anotaremos el resultado de multiplicar los dos números de las casillas cuadradas que tocan al círculo. ¿Cómo deberemos situar los números iniciales si queremos que la suma de todos los números de los 12 círculos sea la mayor (o la menor) posible? El trabajo alrededor de esta situación nos permite ver que, en un

primer nivel, los alumnos deberán hacer un buen número de multiplicaciones de números de una cifra mentalmente (doce para cada propuesta de solución) y luego una suma de doce números; pero es evidente que esta no es la finalidad (aunque es indispensable, sólo forma parte del camino, y se supone que los alumnos no tienen problemas con estas operaciones), sino que a partir de un primer resultado habrá que pensar qué modificaciones de la posición de los números nos proporcionará un resultado mejor (más grande), entrando así en una fase de razonamiento (relación entre los números y las casillas) y de toma de decisiones, propia de la resolución de problemas.

Ejemplos como el anterior corresponden a situaciones que contienen elementos para hacer matemáticas (desde la construcción de conceptos hasta la determinación de estrategias, pasando por la práctica de rutinas) y que son adaptables a diferentes niveles, es decir, son actividades potencialmente generadoras de un auténtico trabajo matemático. Esta potencialidad se refiere tanto al aspecto de las matemáticas, es decir, aquello que se propone ha de ser matemáticamente significativo, como al del aprendizaje. En este sentido, deben ser actividades que potencien la interacción, partiendo del propio alumno (predisponiéndolo a querer hacer aquello que se le propone), en relación con sus compañeros, favoreciendo la discusión y el trabajo conjunto, y de manera especial, posibilitando la interacción, tanto individual como colectiva, con el profesor. Para que lo anterior sea posible, entiendo que todas las actividades, recreativas o no, deberían tener dos componentes o fases complementarias: la acción y la reflexión. Es decir, toda actividad propuesta debería contener una parte de trabajo de los alumnos, donde estos, individualmente o en pequeños grupos, construyen alguna cosa, y otra parte, que en ocasiones puede presentarse interelacionada con la anterior, donde se reflexiona y se discute sobre lo que se ha hecho (o se está haciendo) y especialmente sobre su significado. Es en este sentido que entiendo el proceso de enseñanzaaprendizaje de las matemáticas como una secuencia de actividades propuestas y gestionadas por el maestro pero que debe contar con la participación e intervención de todos los alumnos. Lo expuesto anteriormente justifica, a mi modo de ver, la presencia de recreaciones y juegos matemáticos en la enseñanza, pero queda pendiente hablar de aquellos aspectos

concretos para los cuales las recreaciones son especialmente interesantes, más allá de una práctica de rutinas y de cálculo mental menos tediosa que la que resulta de la realización de largas listas de ejercicios. Veamos algunos de estos aspectos: A) Las autorestricciones. Hay problemas cuya resolución es difícil porque el resolutor se autoimpone condiciones que considera implícitas en el enunciado y que impiden su resolución. En general corresponden a actividades geométricas (por ejemplo, incapacidad para salir de un determinado entorno aparentemente delimitado por el enunciado, o para suponer que la actividad se resuelve necesariamente en el plano y no en el espacio), pero también es posible hallarlas en el entorno numérico o en el lógico. Su identificación está muy relacionada con un comentario que suele oírse en el aula cuando se muestra la solución a alguien que no ha podido encontrarla: “Yo creía que esto no se podía hacer!” B) Las falsas intuiciones. La intuición es muy importante para hacer matemáticas y es preciso desarrollarla a través de la anticipación de resultados y la experimentación, pero también hay que proporcionar instrumentos que permitan reflexionar sobre las propias intuiciones, ya que en ciertas ocasiones la intuición falla, por lo que es preciso estar prevenido frente a estos posibles engaños. Existen curiosos problemas y puzles relacionados con la medida (crecimiento de áreas y volúmenes), con la proporcionalidad o con falsos razonamientos que pueden ser muy útiles para ver que, a pesar de su gran valor para la resolución de problemas, no siempre podemos fiarnos de nuestra intuición. C) Cambios de enunciado, de lenguaje o de contexto. Muchos acertijos y pequeños problemas (en general de lenguaje engañosos o cuanto menos poco preciso), provocan en los alumnos interesantes discusiones sobre el significado de un enunciado, sobre los implícitos del mismo que es preciso tener en cuenta y permiten adentrarnos en cuestiones de carácter semántico y lógico de gran interés, pero muchas veces dejadas de lado cuando resolvemos problemas estándar, ya que el carácter estereotipado de muchos ejercicios impide a los alumnos ver la relación entre los problemas reales y los problemas matemáticos escolares. D) De lo particular a lo general. Realizar conjeturas y aprender a probarlas o refutarlas, descubrir patrones, propiedades y leyes, y en general pasar de lo particular a lo general es una característica fundamental de las matemáticas y de su aprendizaje. Muchas recreaciones, al igual que otros problemas clásicos, permiten trabajar estos procedimientos tan importantes dentro de la resolución de problemas, fomentando el trabajo con casos particulares pero al mismo tiempo distinguiendo entre lo que es una verificación y una demostración.

6. Matemáticas lúdicas en el centro y en la calle

Siguiendo el recorrido que estamos realizando por la relación entre los aspectos lúdicos, los juegos y las recreaciones y la educación matemática, quiero referirme a aquellas

actividades que tratan, en primera instancia, de salir del aula para pasar al ámbito del centro educativo y posteriormente de abrir el centro al barrio o a la ciudad. En los últimos años diversas iniciativas han tratado de llevar de manera efectiva las matemáticas fuera del aula y también, en algunos casos fuera del centro. Si cuando hablamos de la enseñanza de las matemáticas decimos que es fundamental utilizar situaciones reales y sucesos que se producen fuera del ámbito escolar, con la finalidad de analizarlas en clase y ver como las matemáticas nos pueden ayudar a comprenderlas mejor, a interpretarlas y a desarrollar el espíritu crítico de nuestros alumnos, de manera recíproca, también es importante mostrar las matemáticas que se hacen en el aula fuera del ámbito estricto de la clase. Hace ya muchos años la gran maestra italiana Emma Castelnuovo presentaba la exposición: “Matematica nella realta” (que llevó a la Escuela de Maestros Sant Cugat, de la Universidad Autónoma de Barcelona, el 1979), y destacaba la importancia de materializar los conocimientos matemáticos que los chicos y chicas aprendían en clase, para mostrarlos a sus compañeros, a los padres y a la sociedad de su entorno. El objetivo principal era mostrar a los demás sus aprendizajes y al mismo tiempo hacerlos partícipes del conocimiento matemático, destacando su conexión con el mundo. Centrándonos en propuestas concretas, en un primer nivel encontramos actividades que tratan de involucrar a todos los alumnos de un centro (o por lo menos de una etapa o de un ciclo) para participar en una actividad matemática conjunta. En este sentido, y al margen de propuestas puntuales que se realizan en diversos centros, muchas veces centradas en la resolución de acertijos, adivinanzas y problemas de tipo lógico, es interesante citar el día escolar de les matemáticas que se celebra hacia mediados de mayo. En concreto, este 2003 se celebra el día 12 de mayo, y como cada año, la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, organizadora de dicha jornada, propone un tema alrededor del cual se pueden desarrollar diversas actividades de acuerdo con la edad de los participantes. Este año el tema es: La Rosa de los Vientos y la navegación; en años anteriores fue la medida del tiempo y los relojes de Sol, o bien, lo grande y lo pequeño: las matemáticas de Alicia y de Gulliver. Otro tipo de actividades que relacionan matemáticas y entorno son los concursos fotográficos, que en los últimos tiempos también se han realizado, ya sea a nivel de centro o bien organizados por alguna Asociación local de Profesores de Matemáticas. Con estos concursos, no sólo se relacionan las matemáticas con el arte y con el entorno, es decir, se sacan las matemáticas del aula para llevarlas a la calle, sino que, además, se promueve una manera distinta de mirar el mundo que nos rodea, lo que podríamos llamar una mirada matemática del mismo. Por otro lado, en los últimos años, en diversos lugares (me refiero concretamente a mi experiencia en Cataluña) se han realizado ferias matemáticas en la calle. Concretamente, el curso pasado (febrero de 2002) tuve la oportunidad de participar en la Primera Feria de las Matemáticas de las Escuelas Públicas del distrito de Sarrià-Sant Gervasi (Barcelona), en la cual, más de 1500 niños y niñas de Primaria de las siete escuelas públicas del distrito participaron en esta jornada lúdica y matemática. Los objetivos de esta feria eran diversos: por un lado, organizar un gran evento, en una tarea conjunta de colaboración entre centros; por otro, sacar las matemáticas a la calle y mostrar una faceta diferente de esta disciplina que ayude a ver su vertiente lúdica y su relación con el mundo que nos rodea. Iniciativas como esta, hacen olvidar, ni que sea

durante un breve espacio de tiempo, las dificultades cotidianas para enseñar matemáticas y, sobre todo, muestran como es posible hacer disfrutar a la mayoría de los alumnos a través de los retos que nos plantean las matemáticas. Curiosamente la feria se realizó el 20 de Febrero de 2002, una fecha capicúa si escribimos: 20-2-02, también, 20-02-2002, y aún, 20-II-02, pero no si lo hacemos así: 20-02-02. Aprovechando esta coincidencia participé en el acto final de la misma con una charla sobre los números capicúa y las posibilidades de hacer matemáticas a partir de una curiosidad tan popular. A la hora de la despedida -eran cerca de las ocho de la tarde- recordamos el gran capicúa que marcaría un reloj-calendario digital, a las ocho y dos minutos de la noche: 20 : 02 – 20 – 02 – 2002; se trata de un magnífico capicúa de 12 cifras formado por la triple repetición de un capicúa de cuatro cifras que correspondía al año en el que nos encontrábamos. Lo curioso es que, si mis cálculos no fallan, un capicúa como este sólo se produce cuatro veces en toda la historia (concretamente los años, 1001, 1111, 2002 y 2112). Des del punto de vista de las matemáticas y de su presencia en la educación obligatoria, uno de los valores de un suceso como el que acabo de exponer es, a mi entender, la posibilidad de ver las matemáticas como lo que realmente son: una actividad humana conjunta, que requiere un esfuerzo, como la mayoría de actividades que tienen realmente sentido, que tiene un gran número de facetas y aplicaciones, y que, como tal actividad, posibilita el desarrollo de la creatividad, el placer en realizarla, pone en juego las emociones y nos hace sentir partícipes de una gran obra colectiva realizada por la humanidad des de hace miles de años.

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