Conceptos Iniciales: Notación Científica y Conversión de Magnitudes Físicas
NOTACIÓN CIENTÍFICA La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el contrario, demasiado pequeñas. Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del 1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10. Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad: 139.000.000.000 cm. Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:
¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión? 1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero. 2. Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9). 3. Por último, multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base) y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número). Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm. En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera: 1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9). 2. Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante. 3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros. Es decir, que tenemos como resultado:
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O bien:
Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida. Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros, debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan y no deben ser incluidos. La Notación Científica puede utilizarse en las Operaciones Algebraicas Básicas que conocemos: Suma, Resta, Multiplicación y División. Hagamos un ejemplo con cada una de las operaciones. 1. SUMA Tenemos 450000 + 1270 + 530000 Tomando en cuenta los procedimientos anteriores, tenemos como resultado: 1) 4500000 = 2) 1270 = 3) 530000 = 4) Ahora bien, para sumar tenemos que llevar las cantidades a una misma potencia, en éste caso nos difiere
, para poder llevarlo a la potencia de 5, corremos el
punto dos cifras más, siempre de derecha a izquierda, obteniendo agregaron las cantidades que hacían falta, siendo siempre 0)
(Se
5) Teniendo las cantidades a una misma potencia, procedemos a sumar:
6) Obteniendo como Respuesta Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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En otro ejemplo tenemos, 0.0536 + 0.0456 + 0.0043 Llevándolo a la mínima expresión tenemos: 1) 0.0536 = 2) 0.0456 = 3) 0.0043 = 4) Llevamos a la misma potencia todas las cantidades, así que va a ser igual a , en éste caso corrimos de derecha a izquierda una cifra y se restaron las potencias ( -3 + 1 ) quedando de potencia -2 ya que el número es mayor predominando el signo. 5) Ahora procedemos a sumar:
6) Se tiene de Respuesta
o también se puede expresar como
(Se desplaza el punto de derecha a izquierda, restando potencias) 2. RESTA Se tiene 0.535 – 0.021 1) Expresamos las cantidades en Notación Científica 0.535 = 0.021 = 2) Ahora, tenemos que llevar las expresiones a la misma potencia, en éste caso será la potencia de -2 a -1. (Se desplazó el punto de derecha a izquierda). 3) Teniendo potencias iguales, restamos: Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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4) Obtenemos como Respuesta
En el siguiente ejemplo, combinaremos Suma con Resta, así:
Empezaremos realizando las operaciones por separado: 1) ¿Por qué está respuesta? Acordémonos que las cantidades se tienen que igualar a la misma potencia y por eso, hicimos llegar 2.35 x 10 -1 a la potencia de 1 agregando dos ceros de derecha a izquierda para hacerlo positivo. Recordemos la Gráfica de Escalas que se detalla a continuación:
2) Seguimos trabajando las siguientes cantidades: , cómo en el caso anterior, Hicimos llegar la potencia -1 a 1. 3) Por último procedemos a restar las dos respuestas:
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4) Teniendo como Respuesta
3. MULTIPLICACIÓN Multiplicar 0.215 mts. x 250000 mts. 1) Desplazamos el punto al primer número entero, quedándonos potencia negativa, así: 0.215 = 2) De igual forma, el punto se desplaza de derecha a izquierda hasta llegar al primer número entero: 250000 = 3) En el caso de la multiplicación, vamos a multiplicar las bases, con la diferencia que las potencias se sumarán. OJO! Únicamente en la Multiplicación, así: Multiplicamos las bases: 2.15 x 2.5 = 5.375 4) Ahora sumamos las potencias – 1+5, obteniendo como resultado potencia de 4. La respuesta sería de
Multiplicar 1) En éste ejemplo es un poco más sencillo, ya que las expresiones están dadas ya en Notación Científica, empezamos a multiplicar bases: 9.2 x 6.2 = 57.04 2) Ahora sumamos potencias 12 + 15 = 27 3) Quedando en Notación Científica la expresión
.
4) Pero la idea de aplicar Notación Científica, es llevarla las cantidades a la mínima expresión tenemos que:
5) Obteniendo como respuesta Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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4. DIVISIÓN Dividir 1) 2) En la división, las potencias las vamos a restar (lo contrario de la multiplicación), y dividimos las bases como cualquier división. Dividimos: 5.32 ÷ 2.37 = 2.244 Ahora restamos las potencias 0 – 5, obteniendo como resultado potencia de -5. 4) Obtenemos como respuesta En otro ejemplo, dividamos 1) Dividimos bases : - 9.4 ÷ - 3.4 = 2.76, nos da cantidad positiva, ya que en la multiplicación de signos, los iguales dan signo positivo. 2) Ahora restamos potencias -20 – (+15)= - 20 – 15= - 35. Aquí lo que hicimos fue multiplicar signos quedando signos iguales y por ende se sumaron 3) Quedándonos: 4) Obtenemos como respuesta POTENCIACIÓN Así como en la Notación Científica, la Potenciación funciona de igual forma y más sencilla, la única diferencia es que las potencias se multiplican. Ejemplo: Tenemos la siguiente cantidad,
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El Procedimiento a seguir será de la siguiente forma: 1) Llevamos la cantidad a Notación Científica, es decir:
2) Ahora aplicamos la Exponenciación base y potencia, así:
, lo hacemos de igual forma para
Base: (1.21 x 1.21) ó también
= 1.46
Ahora multiplicamos las Potencias ( 5 x 2) = 10
3) Obteniendo como resultado En la mayoría de las Operaciones realizadas, se aplican los mismos procedimientos, lo único que cambia es la función que tiene la potencia en cada una de ellas. Veamos otro tipo de ejemplo de Exponenciación: Tenemos
1) La cantidad ya está expresada en Notación Científica, así que empezaremos por elevar la base a la potencia indicada, así:
2) Ahora multiplicamos potencias de la cantidad inicial: (4 x 12) = 48 3) En éste caso, vamos a sumar los exponentes de las bases, debido a que cuando aplicamos potenciación en las bases, nos quedó como resultado Notación Científica, pero ya que nos quedaron dos bases, lo que nos queda es sumar exponentes, cómo se detalla a continuación:
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4) Y la respuesta final sería:
RADICACIÓN En la Radicación, trabajaremos siempre con bases y potencias, pero utilizaremos la función Radical para las cantidades que se nos presentan. Para entenderlo mejor lo veremos en el siguiente ejemplo:
1) Aplicando Notación Científica nos quedaría 2) En éste caso, porque es raíz cuadrada, pasaremos el 6.4 a número entero, desplazando el punto de izquierda a derecha y procedemos a restar potencias:
5 – 1 = 4, quedándonos así: 3) Obtenemos raíz cuadrada de 64 que sería 8 y de la Potencia 4 que sería 2.
4) Teniendo como respuesta Veamos otro ejemplo combinando operaciones:
Tenemos
1) Trabajamos por separado cada una de las cantidades:
, desplazamos el punto y restamos potencia, obteniendo raíz cúbica quedaría =
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= de igual forma, desplazamos el punto y restamos potencia, quedando = 2) En el segundo caso la potencia -2 se mantiene ya que no se puede obtener raíz cúbica de una cantidad par y negativa.
3) Ahora multiplicamos
4) Obteniendo como resultado:
CONVERSIÓN DE UNIDADES En la mayoría de situaciones y por causa de diversas cantidades con unidades diferentes, se requiere convertir la medición de una unidad en otra, por lo que mencionamos algunos pasos que nos facilitarán el proceso de conversión. 1. Primero, debemos escribir la cantidad que deseamos convertir, lo podemos representar para mayor entendimiento por medio de un Diagrama. (Más adelante se ejemplifica). 2. Se tienen que definir las unidades a convertir en las unidades requeridas. 3. Los factores de conversión tienen que ser recíprocos, uno del otro, por lo que siempre existirán dos factores. 4. Se multiplicarán las cantidades a convertir por los otros factores (Tanto Numeradores como Denominadores). 5. Se dividen los resultados dados en el paso anterior. 6. Y por último, se eliminan las unidades, quedando solamente las deseadas. En Mecánica, siendo una de las áreas principales de la Física, se utilizan ciertas Magnitudes Fundamentales que son indispensables para la mayor parte de las aplicaciones. Empezaremos a estudiar cada una de éstas magnitudes, con sus ejemplos para mayor comprensión. Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES Desde las Sociedades Primitivas el hombre siempre tuvo la necesidad de medir, por lo que utilizaban partes del cuerpo humano como la pulgada, palmada, pie, brazada; pero a medida que se daba el intercambio económico entre los pueblos, se presentaba el problema de no coincidir con los mismos patrones de medición, viéndose afectados y obligados a la necesidad de crear un Sistema Internacional de Unidades. El Sistema Internacional de Unidades conocido por sus Siglas (SI) parte de las siguientes Magnitudes Fundamentales: 1. La Longitud. 2. La Masa. 3. El Tiempo. 4. La Carga Eléctrica. También detallamos un Sistema de Unidades para cada una de las Magnitudes: 1) Sistema M.K.S = Metro, Kilogramo, Segundo. 2) Sistema C.G.S = Centímetros, Gramos y Segundo. 3) Sistema Inglés = Pie, Libras, Masa, Segundo. 4) Sistema Técnico = Metro, UTM (Unidad Técnica de Masa), Segundo. Ahora estudiaremos cada uno de las magnitudes con sus respectivos sistemas, aplicando ejercicios de conversión. UNIDADES FUNDAMENTALES DE LONGITUD La Longitud como Magnitud Física se puede expresar por medio de ciertas unidades, las cuáles poseen sus respectivas equivalencias, describiremos algunas que nos facilitarán a la realización de los ejercicios de conversión.
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Ejemplos: a) Convertir 2593 Pies a Yardas. 1. Antes de empezar, es necesario aclarar que algunas equivalencias no se encuentran en las unidades que se requieren, por lo que es necesario hacer dos o más conversiones para llegar a las unidades deseadas. Ahora bien, para simplificarlo, lo trabajaremos como regla de tres representándolo de la siguiente manera:
2. ¿Cómo llegamos a ésta respuesta? Bueno, como se mencionó en el primer paso, empezamos a simplificar por medio de regla de tres, nos damos cuenta que la primera conversión realizada no se encuentra en las unidades requeridas, por lo que ha sido necesario primero convertir las unidades de pies a metros y por último de metros a yardas, las cuales son las unidades que deseamos. 3. Por medio del Diagrama se van tachando las unidades que no necesitamos hasta llegar las requeridas.
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4. Como último paso, se multiplican las cantidades, es decir, los 2593 por la equivalencia 1.094 yardas ambas funcionando como Numeradores; luego multiplicamos 3.281 Pies x 1 Metro, funcionando como Denominadores. 5. Por último dividimos los resultados, el Numerador con el Denominador, es decir el resultado de multiplicar 2593 x 1.094 que es igual a 2836.74 entre el resultado de multiplicar 3.281 Pies x 1 Metro que es 3.281; obteniendo como resultado los 864.59 Yardas. OJO! En el Diagrama únicamente eliminamos Unidades (pies, metros) no Cantidades, las cantidades se multiplican o se dividen según sea el caso. Veamos otro ejemplo: b) Convertir 27,356 Metros a Millas 1. Realizándolo por medio del Diagrama y Regla de Tres nos quedaría así:
2. Aplicamos el mismo procedimiento, eliminando unidades hasta llegar a unidades requeridas.
las
3. Luego multiplicamos las cantidades (27,356 x 1) como Numeradores y (1000 x 1.61) como Denominadores. 4. Procedemos a dividir 27,356 ÷ 1,610, obteniendo como respuesta 16.99 Millas. UNIDADES FUNDAMENTALES DE MASA Al igual que las unidades de Longitud, también existen unidades de Masa.
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Ejemplo: a) Convertir 386 Kilogramos a Libras.
1. Cómo en las Conversiones de Longitud, realizamos el mismo procedimiento. Vamos eliminando las unidades, 1 Kilogramo equivale a 1000 Gramos, 1 Libra equivale a 453.6 gramos. 2. Luego multiplicamos Numeradores (386 x 1000) = 386,000 y (1 x 453.6) = 453.6. 3. Por último dividimos los 386,000 ÷ 453.6, dándonos un resultado de 850.97 Libras. UNIDADES FUNDAMENTALES DE TIEMPO Ahora tenemos algunas Unidades de Tiempo:
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Ejemplo: a) Convertir 2,352 Segundos a Año.
En éste caso, las conversiones son más largas, ya que se tienen que convertir los segundos a minutos, minutos a horas, horas a días y días a años que son las unidades que necesitamos. 1. Detallamos las Unidades con sus respectivas Equivalencias. 2. Ahora multiplicamos los Numeradores (2,352 x 1 x 1 x 1 x 1) = 2,352. 3. Luego los Denominadores (60 x 60 x 24 x 365.2) = 31, 553,280 4. Ahora dividimos 2, 352 ÷ 48,833,80
5. Obteniendo como resultado La respuesta es un poco diferente, pero aun así siempre se puede hacer uso de la Notación Científica. FACTORES DE CONVERSIÓN PARA ÁREA Cómo en las demás magnitudes, también tenemos unidades para Área, para mejor conocimiento las detallamos a continuación:
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Ejemplo: a) Convertir 1.1 Millas/Hora a Metros/Segundo. 1. Empezamos dibujando el Diagrama para guiarnos mejor
2. Si nos damos cuenta las Unidades están dividas, es decir (Millas /Horas) por lo que tenemos que eliminar Unidades tanto en Nominadores como en Denominadores. 3. Siguiendo el mismo procedimiento realizamos las conversiones necesarias hasta llegar a las que deseamos. 4. Multiplicamos las cantidades de los Numeradores, nos da un resultado de 1771, y en los Denominadores 3600. 5. Ahora dividimos los resultados 1771 ÷ 3600, dándonos como respuesta 0.49 Metros / Segundo.
FACTORES DE CONVERSIÓN PARA VOLUMEN Describimos algunas Unidades de Conversión para Magnitud Volumen. Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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Ejemplo: a) Un motor de un automóvil tiene un desplazamiento del émbolo de 1595 cm3 y un diámetro del cilindro de 83 Mm. Expresar éstas medidas en Pulgadas Cúbicas y en Pulgadas. 1. Éste problema es diferente, pero siempre empezamos dibujando el Diagrama como guía.
2. En éste caso primero convertimos los 1595 cm3 en Pulgadas Cúbicas. 3. Eliminamos las unidades y hacemos las respectivas conversiones para empezar a multiplicar. Dividimos respuestas (86.405.616 ÷ 1000,000). 4. Nos da una respuesta de 86.40 5. Ahora pasamos los 83 mm. a pulgadas.
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CONVERSIÓN DE GRADOS A MINUTOS Y SEGUNDOS Para la Conversión de Grados a Minutos, Segundos y Radianes es necesario definir lo que es la Trigonometría. * TRIGONOMETRÍA: Es la rama de la Matemática que estudia las propiedades y medidas de ángulos y triángulos. Para ello, es necesario apoyarnos con el Instrumento de la Calculadora y saber algunas unidades de conversión, por ejemplo: 1° = 60 Minutos (60 ') 1 ' = 60 Segundos (60 '') ¶ Radianes = 180° (El símbolo de ¶ Pi, utilizado en Matemática, tiene un valor numérico de 3.1415927 aproximadamente de 3.1416) En una Calculadora Científica, podemos ver ciertas abreviaturas que nos ayudarán a la conversión de las Funciones Trigonométricas, como por ejemplo: Grados: (D) (DEG) Radianes: (R) (RAD) Gradianes: (G) (GRAD) Ahora veamos un ejemplo. a) Convertir 18.4567 ° a Grados, Minutos y Segundos. 1. Como primer paso, tenemos que el número entero es de 18, éste nos equivale a 18°. 2. Luego los decimales después del punto es necesario que los pasemos a minutos, así:
OJO! Eliminamos unidades iguales y dejamos únicamente la que nos interesa, es decir, los minutos. 3. Ahora, tomamos los decimales 402 y los pasamos a Segundos. 0.402 ' x 60 '' (Segundos) = 24.12'' 4. Ahora unimos todas las respuestas quedándonos 18 ° 27' 24'', que se lee: Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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18 Grados, 27 Minutos y 24 Segundos
NOTA: Si nos damos cuenta en cada conversión trabajamos sólo con los decimales, manteniéndose únicamente el primer número entero que corresponde a los Grados. Veamos otro ejemplo a la inversa. b) Convertir 18° 27' 24'' a Grados 1. En éste caso ya no son de Grados a Radianes, sino lo contrario, lo haremos llegar de Segundos, Minutos a Grados. Convertimos los Segundos a Minutos:
2. Ahora los 27 Minutos le adicionamos éstos 0.4 minutos y lo convertimos en Grados.
3. Sumamos las Unidades Equivalentes, es decir, los 0.456 ° + la cantidad entera 18° quedándonos como respuesta 18.456 ° Grados. CONVERSIONES DE RADIANES A GRADOS Cómo vimos anteriormente en la conversión de Grados a Minutos y Segundos, en la conversión de Radianes a Grados se aplica el mismo procedimiento. Veamos un ejemplo:
1. Lo describimos de la siguiente manera:
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Lo que se hizo en éste primer paso, fue convertir los radianes a grados, multiplicando los ( 5 ¶ x 180 = 2827.4334) recordemos que se multiplica la función ¶ en la calculadora o ya que sabemos que es equivalente a 3,1415927. Luego multiplicamos los (22 x ¶ = 69.115038). Ahora dividimos los resultados: 2827.4334 ÷ 69.115038, teniendo como respuesta 40.909091. No olvidar las unidades equivalentes. Aquí contamos con los 40 ° Grados. 2. Luego utilizando los 40.909091 empezamos a convertirlos en Grados, Minutos y Segundos. Así: Seleccionamos la parte decimal .909091 ° x 60 ' = 54.54 ' Tenemos 54 ' Minutos 3. Teniendo los 54.54 ', nuevamente seleccionamos la parte decimal para pasarlos a segundos. 0.54 ' x 60 '' = 32.4 '' quedando 32 '' Segundos 4. Cómo respuesta tenemos R/ 40° 54' 32 ''
CONVERSIONES DE GRADOS A RADIANES Ahora trabajaremos otro ejemplo diferente: a) Convertir 38 ° 15' 16 '' a Radianes. 1. Primero, pasaremos las cantidades a Grados, contando ya con los 38°.
2. Pasamos los 16'' a Minutos,
Ahora sumamos los 0.2666 minutos con los 15 minutos que ya se tienen, Obteniendo 15.2666 minutos. Fisica: http://www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-1.htm Ing. López Avila
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3. Ahora trabajamos con los 15.2666 seleccionando los decimales para convertirlos en segundos.
Sumamos los 38 ° + 0.2544 °, quedando 38.2544 °. 4. Ya teniendo las cantidades en Grados, procedemos a pasar los 38.2544 ° a Radianes.
La respuesta es 0.6676 Radianes, pero tenemos que pasarlo en función de ¶ Radianes, así que los 0.6676 Radianes lo dividimos por el valor de ¶. 5. Nuestra Respuesta final es R= 0.2125 ¶.
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