DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS.

APUNTES DE AULA.

I.E.S. “Cuenca del Nalón”

Año académico: 2006-2007

Departamento Didáctico de Matemáticas Nivel: ESO 2º ciclo Tema: Intervalos en la recta real. Complementos teórico-prácticos. Realizados por: D. Juan José Menéndez Díaz, Ldo. en CC. Físicas por la U.C.M. y profesor agregado de Matemáticas en E.S.

Intervalos. NOTA DEL DOCENTE: en este apunte se usan las circunferencias como los paréntesis y los círculos como los corchetes. 

Definición: se llama intervalo en la Recta Real, a todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos fijos llamados extremos.  Ejemplo de Intervalo: I  a , b , donde a es el extremo inferior del in-

tervalo y b es el extremo superior del mismo, además a  b .  OBSERVACIONES que conviene recordar:  a  b se lee “a menor que b”, es una desigualdad estricta.  b  a se lee “b mayor que a”, es una desigualdad estricta.  Como puedes observar, lo mismo se puede leer de dos formas distintas, ya que si a es menor que b entonces es que b es mayor que a, lo cual nos recuerda que toda desigualdad, a < b, al igual que toda igualdad, en matemáticas se puede leer en dos sentidos, de izquierda a derecha, “a < b, a menor que b” o de derecha a izquierda, “b > a, b mayor que a”. En cualquier caso el vértice del ángulo siempre apunta al menor de los números.  a  b se lee “a menor o igual que b” y si cambiamos el sentido de la lectura leeríamos b  a , “b mayor o igual que a”, son desigualdades no estrictas. Como puedes observar, el vértice del ángulo sigue apuntando al menor de los números.  Si a  b y b  a , entonces no queda más remedio que concluir que a = b.  Cuando a y b no son iguales ponemos a  b .  Propiedad transitiva, si a  b y b  c , entonces a  c , dicho lo mismo de otro modo, si a  b y b  c  a  c, y además a  b  c 

Si a  b y c  d, entonces  a  c  b  d .

 Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por

un mismo número, positivo, la desigualdad no varía si a  b y c  0  a  c  b  c  Si se multiplican o dividen los dos miembros de una desi-

gualdad por un mismo número negativo, cambia el sentido de la desigualdad, así, si a  b y c  0  a  c  b  c .  Si dos números, cualesquiera, cumplen una determinada desigualdad, sus inversos cumplen la desigualdad contraria, así, si a  b 

Adaptaciones nivel 3.

1 1  . a b

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Intervalos.

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

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Clases de intervalos:  Abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.  En otras palabras I  a , b   x   / a  x  b , observa que se trata de desigualdades estrictas.  También se expresa en ocasiones como I  a , b . a

b

 Gráficamente:

 Cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.  En otras palabras I  a , b  x   / a  x  b , observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas. a

b

 Gráficamente:

 Semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de éstos, forman parte del intervalo.  Semiabierto por la derecha, o semicerrado por la izquierda, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior si, en otras palabras I  a , b   x   / a  x  b , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.  También se expresa en ocasiones como I  a , b .  Semiabierto por la izquierda, o semicerrado por la derecha, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior si, en otras palabras I  a , b  x   / a  x  b , observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.  También se expresa en ocasiones como I  a , b . a  Gráficamente:

b

Semiabierto por la izquierda

a

b

Semiabierto por la derecha

  Semirrectas reales:

 Semirrecta de los números positivos I  0,   , es decir, desde cero hasta infinito.  Semirrecta de los números negativos I   ,0 , es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero.  Con lo que toda la recta de los números reales sería I   ,   .

Adaptaciones nivel 3.

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Actividades de aplicación. NOTA DEL DOCENTE: en este apunte se usan las circunferencias como los paréntesis y los círculos como los corchetes. P1.- Escribir las siguientes desigualdades mediante intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos, semicerrados o infinitos (utilizando paréntesis y corchetes) y representarlos gráficamente en la recta real:

3 2

b)

7 x6 3

c)  11  x  11

3 3 x 4 8

e)

2 5 x 5 2

f)  4  x 

a)    x  d) 

g) 7  x   j)

4 8 x 5 9

m)

1 4 x 4 5

h)  5  x  15 k)  2  x  n)

1 3

i)

1 9 x 7 7

l)

2 5 x 3 6

2 7

1 2 x 3 5

P2.- Escribe el signo ∈ (pertenece), o ∉ (no pertenece) según corresponda en cada caso: a) 1,980,3;2,0 d)

3 0,003;17

b)

2 0,1;1,4,0 c)

e)  1;3 f)

2 0,01;1.41

 0;3,1

g)   3,1;4,0

h)

2 0,2;0,8 3

i)

2 0,2;6,0 3

2 0,1;0,6 3

k)

2 0;0,7  3

l)

5  2,7;0,3 2

n)

5  2,5;0,2 2

j)

5 m)   2,5;0,1 2

P3.- Escribir como la desigualdad como intervalo y viceversa, según corresponda: a)  3  x  7

b) 2;12

c) 0  x  6

d) I   4,2

e)  3  x  5

f) 2;5

g) 3  x  12

h)  12  x  1

i)  4;12

Adaptaciones nivel 3.

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