GUÍA PARA EL ESTUDIO DE FUNCIONES Resumen de los pasos ...
Crecimiento de f. DECRECE. DECRECE x0. Signo de f ” x0. Concavidad de f. NEGATIVO f ” (x0) < 0 x0. Signo de f ” x0. Concavidad de f. POSITIVO f ” (x0) > 0 ...
GUÍA PARA EL ESTUDIO DE FUNCIONES Resumen de los pasos necesarios para llegar al grafico de una función a partir de un estudio analítico de la misma. Dada f(x), para llegar a un gráfico aproximado de la misma es necesario: 1. Determinar su dominio. 2. Detectar los puntos de discontinuidad y analizar en cada uno el tipo de discontinuidad. Esto último se hace analizando los límites laterales en cada punto de discontinuidad. Puede resultar que: ‐ existan, sean finitos e iguales se trata de una discontinuidad evitable ‐ existan, sean finitos y distintos se trata de una discontinuidad esencial de salto finito ‐ existan, sean ambos infinitos se trata de una discontinuidad esencial de salto infinito y tenemos una ASINTOTA VERTICAL ‐ existan y sean: uno finito y otro infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito ‐ no exista alguno de ellos 3. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Se calcula la derivada primera de la función. Donde f'(x) es cero o no existe, se encuentran los PUNTOS CRITICOS de f(x). Esos puntos son posibles extremos. Para determinar si son extremos o no, se cuenta con dos criterios: -
Criterio de la Primera Derivada: Se analiza a izquierda y derecha del punto crítico el signo de la derivada primera. Si hay un cambio de signo de un lado al otro, hay un extremo relativo de la funcion. i) Si f'>0 antes y f'0 después del punto crítico, se tratará de un mínimo local iii) Si no hay cambio de signo, no hay extremo.
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Criterio de la Segunda Derivada. Se evalúa la segunda derivada de f(x) en el punto crítico. i) Si f" > 0 en el PC, se puede asegurar que f(x) alcanza para ese punto crítico un mínimo local. ii) Si f" 0
Concavidad de f x0
LA FUNCION ALCANZA MÁXIMO LOCAL EN EL PUNTO CRITICO x = x0
LA FUNCION ALCANZA UN MÍNIMO LOCAL EN EL PUNTO CRITICO x = x0
4. Determinados los extremos, se puede establecer en qué intervalos de su dominio, f(x) y los puntos de inflexión. -
Se calcula la derivada segunda; Donde la derivada segunda no existe o es cero, se encuentran los POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION.
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Una vez determinados estos POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION., para analizar si se trata o no de puntos de inflexión es necesario determinar si hay un cambio de curvatura en la gráfica de la función de un lado al otro de ese punto. Si la función pasa a ser de cóncava positiva a cóncava negativa o al revés, HAY UN PUNTO DE INFLEXION de f(x) en ese lugar. Para ello hay que analizar el signo de la derivada segunda a la derecha y a la izquierda del PPI.