GUÍA PARA EL ESTUDIO DE FUNCIONES  Resumen  de  los pasos necesarios para llegar al grafico  de  una función a partir de un estudio  analítico de la misma.  Dada  f(x),  para llegar a un gráfico aproximado de la  misma  es necesario:  1. Determinar su dominio.  2. Detectar los puntos de discontinuidad y analizar en cada  uno el tipo  de discontinuidad. Esto  último se hace  analizando  los límites laterales en cada punto de discontinuidad. Puede  resultar que:     ‐ existan, sean finitos e iguales   se trata de una discontinuidad evitable     ‐ existan, sean finitos y distintos  se trata de una discontinuidad esencial de salto finito     ‐ existan, sean ambos infinitos   se trata de una discontinuidad esencial de salto infinito y  tenemos una ASINTOTA VERTICAL     ‐ existan y sean: uno finito y otro infinito   se trata de una discontinuidad de salto infinito     ‐ no exista alguno de ellos  3. Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.  Se  calcula  la derivada primera de la función. Donde  f'(x)  es cero  o no existe,  se encuentran los  PUNTOS CRITICOS   de  f(x).   Esos  puntos  son  posibles  extremos.  Para  determinar  si  son  extremos o no, se cuenta con dos  criterios:   -

Criterio  de la Primera Derivada: Se analiza a  izquierda  y derecha del punto crítico el  signo de  la derivada primera. Si hay un cambio de signo de un lado al otro, hay un extremo relativo de  la funcion.   i) Si f'>0 antes y f'0 después del punto crítico, se  tratará de  un mínimo local   iii)  Si no hay cambio de signo, no  hay extremo. 

-

Criterio  de  la Segunda Derivada.  Se  evalúa  la  segunda derivada  de  f(x) en el punto crítico.   i) Si f" > 0 en  el  PC,  se puede  asegurar que f(x) alcanza para ese punto crítico  un mínimo  local.    ii) Si f"   0

Concavidad de f x0

 

 

LA FUNCION ALCANZA MÁXIMO LOCAL EN EL  PUNTO CRITICO x = x0 

LA FUNCION ALCANZA UN MÍNIMO LOCAL EN EL  PUNTO CRITICO x = x0 

 

4. Determinados los extremos,  se puede establecer en qué intervalos de su dominio, f(x) y los  puntos de inflexión.  -

Se  calcula  la derivada segunda; Donde la  derivada  segunda  no existe o es cero, se  encuentran los POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION. 

-

Una  vez  determinados estos POSIBLES PUNTOS DE INFLEXION., para analizar  si  se trata o  no de puntos de inflexión es necesario determinar si  hay un cambio de curvatura en la  gráfica de la función de un lado al otro de ese punto. Si la  función pasa a ser de cóncava  positiva a cóncava  negativa o al revés, HAY UN PUNTO DE INFLEXION  de  f(x) en ese lugar.  Para ello hay que analizar el signo de la  derivada segunda  a la derecha y a la izquierda del  PPI.   

Recordar que  si f"(x)