La Geometría en el Nivel Inicial Problemas en la enseñanza de la geometría y la medida en el Nivel Inicial.

I PARTE Resumen: Para algunos docentes enseñar geometría es una tarea tediosa. Creen que sólo se puede enseñar en la EGB1. y que los niños de las salitas del jardín no están capacitados para la adquisición de dichos conocimientos. Más aún, algunos la asocian a demostraciones, propiedades y construcciones del nivel medio. Sin embargo, cuando la geometría es considerada como herramienta para el razonamiento, describiendo e interactuando con el espacio en el que vivimos, se transforma en la más intuitiva, concreta y real de las partes de la matemática. Es así que su enseñanza debería comenzar desde el nivel inicial y evolucionar en forma permanente a lo largo de todo el currículum escolar. En este informe presento una síntesis de como trabajar el eje espacio en el nivel inicial a través de una secuencia didáctica en el cual se aborda la noción de área, que aunque no aparezcan como contenido,se pueden iniciar desde este nivel.

Introducción: El docente del Nivel Inicial, debe estar capacitado para el abordaje de conceptos relacionados con la geometría en las distintas secciones de su enseñanza. Debe ser consciente de los objetivos que tiene la enseñanza de la geometría, a saber: -describir, entender e interpretar el mundo real y sus fenómenos; -formular conjeturas, preguntas; proponer pruebas, estrategias; elaborar refutaciones, ejemplos y contraejemplos; -recuperar la capacidad de asombro y análisis de lo visual, ya que nuestra sociedad enfatiza y propone actividades relacionadas con el lenguaje, premiando la capacidad para expresar ideas casi exclusivamente a través de la palabra; -construir esquemas básicos de respuestas a situaciones cotidianas que involucren la conceptualización de lo espacial; -acceder paulatinamente a un modelo axiomático. Es importante distinguir entre los conocimientos espaciales y los conocimientos geométricos. Lo espacial está íntimamente relacionado con lo físico, lo psicológico, lo social, lo antropológico, lo arquitectónico. Pero cuando hablamos de espacio geométrico, hacemos referencia al estudio de las propiedades espaciales de figuras abstraídas del mundo concreto de los objetos físicos. Por ejemplo, el niño del nivel inicial reconoce en una pelota la característica de rodar. Cuando abstraemos de ella su forma y analizamos si tiene o no caras, cómo es su superficie lateral, cuál es su diámetro....analizamos la esfera como cuerpo geométrico. ¿Cómo se construye el pensamiento geométrico en el niño del Nivel Inicial?. Desde la más temprana edad, el niño experimenta con objetos cotidianos: juguetes, elementos de la casa, para luego, paulatinamente, ir tomando posesión del espacio, orientándose, analizando formas y buscando relaciones. Por ello en un primer momento debemos ayudar a los alumnos a ubicarse en el espacio que los circunda y ayudarlos a encontrar formas distintas reconocibles a través de los sentidos. Este reconocimiento dará paso a la experimentación y construcción de esquemas explicativos de propiedades, 1

EGB. : Educación General Básica.

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clasificaciones, génesis para la ulterior adquisición de teoremas, definiciones, axiomas. El modelo de van Hielle2 del pensamiento geométrico, consiste de cinco niveles de comprensión. Los niveles son rotulados de la siguiente manera: -Nivel 0 ( nivel básico ): visualización. -Nivel 1: análisis. -Nivel 2: deducción informal. -Nivel 3: deducción. -Nivel 4: rigor. Según este modelo, los alumnos del Nivel Inicial se encontrarían dentro del nivel 0. En este estado inicial, según lo expresa Mary Crowley, los estudiantes toman conciencia del espacio como algo circundante. Los conceptos geométricos se visualizan como entidades globales más que poseedoras de componentes o atributos. Las figuras geométricas son reconocidas por su configuración espacial, es decir, por su apariencia física, y no por sus partes o propiedades. Una persona que funciona en este nivel puede aprender vocabulario geométrico, puede identificar formas específicas y, dada una figura, la puede reproducir. Sin embargo, una persona en este nivel, no reconocería, por ejemplo, que los cuadrados y los rectángulos, son figuras que tienen ángulos o que sus lados opuestos son paralelos. Los van Hielle aseguran que el progreso en los distintos niveles depende más de la instrucción recibida que de la edad o maduración. Así, el método y la organización de la enseñanza, tanto como el contenido y los materiales usados, son aspectos importantes del proceso pedagógico. Este proceso de construcción necesita de un docente que en la terna docentealumno-saber desafíe a sus alumnos a explicar todos los porqué de cada una de las afirmaciones que, a través de las distintas actividades que se les proponen, van realizando. Se necesita de un docente, según cita Toranzos3 (1987) capaz de: • ceder el centro de la escena para pasar a ser un discreto estimulador, moderador crítico de la actividad de los alumnos; • proponer problemas suficientemente interesantes para suscitar la curiosidad de sus alumnos; • corregir los errores de razonamiento que surjan en las propuestas de solución por medio de contraejemplos y evitando apagar el entusiasmo creativo de sus alumnos; • conocer el tema de estudio con suficiente amplitud y profundidad como para responder a cualquier inquietud; • dejar de ser un docente guía de museo: aquel que debe acompañar a un grupo de visitantes con la misión de mostrarle algunas obras de arte y ensalzar su belleza, pero él ni los visitantes pueden tocar los cuadros y esculturas que admiran y mucho menos intentar su reproducción. La presentación de situaciones didácticas significativas para el Nivel Inicial, a través de la utilización de una secuencia didáctica y utilizando como herramienta para la apropiación del conocimiento, la resolución de problemas, entendiéndose el mismo, según la didáctica de la matemática, a aquella situación que plantea un obstáculo al alumno, un desafío que moviliza ideas y pensamientos para su resolución, es el modelo que yo adopto para la construcción de conceptos geométricos en el nivel implicado. En 2

van Hielle, P. Y van Hielle-Geldof, D. matrimonio holandés que estudió el comportamiento de la madurez geométrica de estudiantes. Dicho estudio emerge de los trabajos doctórales del matrimonio van Hielle. 3 -Toranzos, F. (1984). UMA: X reunión de educación matemática: Reflexiones sobre Didáctica de la Geometría en Villela, J. (1997): Sugerencias para la clase de Matemática, Bs. As, Aique.

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este sentido podríamos decir que el alumno se inserta en una situación que reconoce que “tiene que hacer algo” para resolverla. La solución no es evidente. La resolución de problemas juega un papel muy importante en el aprendizaje. Durante los distintos momentos de aprendizaje, los problemas cumplen diversas funciones:- favorecer la construcción de nuevos aprendizajes ( a través de las distintas fases de acción, formulación, validación e institucionalización). -brindar diversas ocasiones de empleo de los conocimientos anteriores y así determinar su dominio de eficacia y de validez. Régine Douady, nos señala las condiciones que deben cumplir los problemas: • deben ser comprendido por todos los alumnos, es decir que éstos puedan prever lo que pueda ser una respuesta al problema; • deben permitir al alumno la utilización de conocimientos previos; • la respuesta no debe ser evidente pero, teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede intentar una respuesta parcial; • deben ser ricos: la red de conceptos implicados debe ser bastante importante; • deben ser abiertos para que el alumno pueda visualizar preguntas no formuladas en el texto y utilizar distintos procedimientos. • deben estar formulados en distintos marcos entre los cuales se puedan establecer correspondencias (este punto está relacionado con las inteligencias múltiples). Las secuencias didácticas consisten en una serie de actividades con un progresivo nivel de complejidad en cuanto a las aproximaciones que los alumnos deben realizar para la resolución del problema dado. Enseñanza de la geometría en el Nivel Inicial. Existen pocas propuestas didácticas para el abordaje del espacio desde el punto de vista matemático en el nivel inicial. La mayoría de las actividades están relacionadas con motricidad o sólo trabajan reconocimiento de figuras geometrías, no por sus propiedades o características, sino por su nombre específico. El trabajo de los contenidos geométricos deben incluir tanto las relaciones espaciales como también el reconocimiento de atributos geométricos en cuerpos y figuras. Es importante que el niño pueda dominar sus relaciones con el espacio, representarse y describir en forma ordenada el mundo en que vive, propiciando la construcción de un sistema de referencia mental que le permita organizar, sistematizar y ampliar sus experiencias espaciales. Es trabajo del docente presentar situaciones didácticas mediante la resolución de problemas que permitan conceptualizar el aprendizaje espacial y geométrico basándose en el planteo de situaciones que estimulen la observación, descripción de objetos y personas, comunicación e interpretación de mensajes, desplazamientos de personas y objetos teniendo en cuenta las diferentes formas y tamaños y puntos de referencia. Estas situaciones deben posibilitar al niño tanto la acción y la reflexión como el paso del espacio real a un mundo de representaciones.4 Este tipo de abordaje permite al docente: • Adquirir criterios para analizar, elaborar y evaluar propuestas didácticas que impliquen plantear problemas relacionados con: descripción de personas y objetos en distintos espacios; comunicación y representación de trayectos

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Material de Desarrollo Curricular de la DGCE de la Provincia de Bs. As.

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considerando puntos de referencia; representación de planos y recorridos; reconocimiento de propiedades geométricas de cuerpos y figuras; • Valorizar las acciones de construir, observar, decodificar, representar, dictar, comparar; • Reflexionar acerca de los conceptos referidos al microespacio, mesoespacio y macrosepacio5, analizando los alcances y las posibilidades de los niños para el trabajo en cada uno de ellos.6 Presento a continuación secuencias didácticas a modo de sugerencia para el trabajo de las nociones geométricas en el Nivel Inicial. La misma está fundamentada desde el marco teórico de la didáctica de la matemática, respetando fases y momentos didácticos. De esta manera se demuestra que en la elaboración de una propuesta de trabajo se pone en juego las intenciones de enseñanza desde un marco teórico particular, que es preciso tener en cuenta cuando se realiza la planificación escolar. SECUENCIAS DIDÁCTICAS. La secuencia didáctica que presento es para continuar una ya elaborada por la Licenciada Adriana Castro, inspirada la misma en una actividad de la revista Lápiz y Papel, presentada en el libro “Recorridos didácticos en la educación inicial” de la editorial Paidos Educador. Por lo tanto, tomo como conocimientos previos todo el trabajo realizado por los alumnos en la secuencia didáctica mencionada. El objetivo que pretendo con esta secuencia didáctica es abordar, intuitivamente, la noción de área7 en el Nivel Inicial. El concepto de medida de una superficie forma parte de un campo conceptual de las medidas espaciales, que es el espacio de problemas para cuya resolución se utilizan representaciones (no sólo gráficas) y operaciones geométricas, físicas y aritméticas.8 Actualmente dicho concepto puede ser abordado, intuitivamente en el nivel inicial, para luego seguir trabajándolo en la EGB y profundizarse en tercer ciclo de la Educación General Básica. SECUENCIA: CUBRIMIENTO Y EMBALDOSADO. Materiales: • •

Bloques Diennes9 . Hojas grandes blancas ( oficio o cartas o cartulina ).

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El microespacio es el espacio que puede tocar y transformar a partir de sus acciones concretas. El mesoespacio es aquel espacio que aunque no se halla al alcance directo del niño, éste puede controlarlo por medio de la percepción anticipándose a los hechos. El macrosepacio es el espacio lejano que sólo puede controlarse mediante una acción internalizada dentro de una estructura cognitiva construida previamente.

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Hoy consideramos el área como una magnitud física atribuible a los objetos del espacio tridimensional y del espacio bidimensional, las cuales pueden ser medidas a través de unidades y permitiéndoles, de esta manera, asignarles un número. 8

-MATEMATICA- Metodología de la enseñanza- Parte II- Capítulo 3. PROCIENCIA. - Material estructurado utilizado para clasificar que consta de 48 piezas geométricas . Poseen el atributo color (amarillo, rojo, azul ); forma ( círculo, cuadrado, triángulo, rectángulo ); tamaño ( chico, mediano, grande ) y grosor ( grueso y delgado). Ninguna pieza se repite, ya que lo que se plantea es agrupar por semejanzas pero admitiendo diferencias dentro de las semejanzas.

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• • •

Fibrón grueso negro. Tarjetas para realizar anotaciones. Almohadillas con témperas de distintos colores.

Objetivos para el alumno: -

Creación de distintos diseños en el plano a través del contorneo de la frontera de las aristas de los cuerpos. Sellado con cuerpos en figuras dadas utilizando un único sello-cuerpo.

Objetivos de la secuencia didáctica para el docente: -

Describir las relaciones entre una forma geométrica tridimensional y las figuras. (relación tridimensional-bidimensional). Analizar propiedades geométricas que se conservan en el traslado sobre el plano de las caras de los cuerpos. Introducción del concepto de superficie y área intuitivamente.

1ª PARTE: DISEÑO LIBRE.

Organización de la sala: Los niños se agrupan en parejas. Cada mesa tiene, en el centro de la misma, una caja con bloques. Cada pareja dispone de una hoja oficio blanca y el fibrón negro. Consigna: “Cada grupito (pareja) va a elegir de la caja siete bloques, de por lo menos, tres formas distintas. Van a ordenarlos sobre la hoja blanca de tal manera que no queden espacios vacíos entre cada bloque. Luego van a contornear la frontera de los bloques cuidadosamente para que no se corra el fibrón. Uno de los niños del grupo debe anotar en la tarjeta los bloques que eligieron respetando y no olvidando ningún atributo del cuerpo y colocar nuevamente los bloque dentro de la caja.”

2ª PARTE: ADIVINA-ADIVINADOR.

Organización de la sala: Se sentarán de la misma manera que la actividad anterior. Desarrollo de la actividad: Cada pareja, debe pasar su dibujo a otro grupo y éste debe descubrir cuales fueron los bloques utilizados por sus compañeros para determinar la figura que aparece en la hoja blanca. Seguirán estando las cajas con los bloques en cada mesa.

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Consigna: “ Ahora debemos descubrir los bloques utilizados por nuestros compañeros para diseñar la figura del papel. Anoten en otra tarjeta, las piezas utilizadas en el dibujo de los compañeros.”

3ª PARTE: CUBRIMOS UNA SUPERFICIE ( FORMA GEOMÉTRICA) DADA.

Organización de la sala: Los alumnos se sentarán nuevamente en parejas. Dispondrán de la caja con bloques ubicada en el centro de la mesa. Desarrollo de la actividad: Luego de discutir como eligieron los bloques para cubrir la superficie en la actividad anterior, el docente le dará a cada grupito una figura ya diseñada por ella. Los alumnos tendrán que, una vez más, seleccionar los bloques ( en esta actividad no se especifica la cantidad) que permitan cubrir esas superficie y registrar los elegidos por cada pareja en las tarjetas. Estos nuevos diseños tendrán formas geométricas ya conocidos por ellos. Consigna: “ Hoy van a cubrir la superficie que les entrega la señorita con los bloques Diennes. Observen de que figura se trata y recuerden anotar en las tarjetas, cuidadosamente, los bloques utilizados para cubrir la superficie dada sin olvidar los atributos del cuerpo seleccionado.” 4ª PARTE: CUBRIMOS UNA SUPERFICIE UTILIZANDO UN SOLO BLOQUE.

Organización de la sala: Trabajo individual. Material a preparar: Caja con bloques del mismo tamaño, grosor, forma ( cantidad necesaria): cuerpos de cara cuadrada, rectangular, triangular y circular. Pueden ser de distintos colores. Desarrollo de la actividad: A cada alumno se le entrega una figura que debe cubrir utilizando sólo una misma pieza. Consigna: “ Hoy van a cubrir esta figura utilizando un solo bloque, no pueden utilizar bloques de distinta forma como hicimos en las otras actividades.” Luego de realizada la actividad, probarán cubrir la misma superficie utilizando otro bloque.

5ª PARTE: SELLADO DE UNA SUPERFICIE GEOMÉTRICA DADA.

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Organización de la sala: Trabajo individual. Material a preparar: Almohadillas de sellado mojadas con témperas de distintos colores. La caja con los mismos bloques utilizados en la actividad anterior. Desarrollo de la actividad: En esta actividad, los niños deben cubrir la superficie presentada en la 4ª parte mediante el sellado. Los alumnos deber seleccionar los bloques-sellos más adecuados para que la figura presentada quede totalmente pintada logrando la no superposición de sellos. Consigna: “ Van a pintar el dibujo con sellos. Van a recibir el mismo dibujo que les di en la actividad anterior; van a elegir con que bloque sellar para que quede todo el dibujo sellado, recuerden que no pueden combinar bloques. Traten de no superponer sellado, ya que , como vimos en la actividad anterior, no pudimos superponer bloques”. Análisis de la secuencia didáctica. Como dije anteriormente, esta secuencia tiene por objetivo acercar a los alumnos a la comparación de distintas superficies y a la noción intuitiva de área de una figura. Tomo como conocimientos previos el trabajo elaborado en la secuencia presentada por Adriana Castro en su texto, es decir, “reconocimiento” de atributos geométricos a través de la observación, el análisis de cuerpos en aspectos tales como tipo de caras (caras planas y curvas), ángulos formados por la unión de aristas, caras circulares, rectangulares, cuadradas o triangulares, vocabulario específico, ubicación en el plano de la hoja. Es muy importante tener en cuenta en estas actividades el tema de la motricidad en la aplicación de la técnica de sellado con las caras de los cuerpos. Los alumnos se enfrentan al nuevo conocimiento (cubrimiento de superficies, embaldosado de superficies, noción de área) a partir de resolver problemas presentados por el docente. El nuevo conocimiento funciona en la secuencia, se presenta ante los niños como una herramienta que deberán utilizar para resolver el problema. Los alumnos, en interacción con sus pares, construyen el sentido de los conocimientos, su significado, contextualizándolo en una situación particular. De esta manera, este conocimiento, podrá luego ser reutilizable en un nuevo problema. La fase exploratoria, presentada en la primera parte, es una fase importante que permite al niño aproximarse al conocimiento que se quiere enseñar. Los conocimientos no proceden únicamente de la acción. La construcción de nuevos conocimientos requiere de acciones internalizadas10 que se pueden hacer posible a través, por ejemplo, de una intervención interesante que 10

-Piaget (1964) , “Estudios de Epistemología Genética : Epistemología del espacio” en Parra, C. Y Saiz, I. (1997): obra ya citada.

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posibilite la problematización ante una situación conocida, el abordaje grupal que permite compartir las decisiones tomadas, las reflexiones generales, entre otras. La segunda parte de la secuencia tiene por finalidad realizar la confrontación de resultados obtenidos: fase de balance o puesta en común. Aquí, surgen conclusiones del tipo que el mismo diseño puede ser cubierto por distintos bloques, y entonces se los alienta a discutir sus hallazgos con los “artistas” originales. Uno de los problemas que pueden surgir, es la estrategia utilizada por los alumnos para el registro de los bloques en las tarjetas dadas por el docente. Algunos sólo dibujan la cara del bloque y no tienen en cuenta los atributos del mismo, lo cuál, al cotejar resultados, es muy pobre la fundamentación que puedan dar de sus trabajos. Otros, tienen en cuenta el atributo color y forma, pero no se percatan en el grosor y el tamaño. Los alumnos que tuvieron en cuenta el tamaño sólo lo hicieron cuando seleccionaron, por ejemplo, bloques grandes y un solo bloque pequeño. Otra problemática que se puede presentar, tanto en la primera actividad como la segunda, es el no respetar la consigna referida a los atributos forma que debían tener los bloques elegidos por cada pareja. Una última problemática es que los niños sólo se preocupan por cubrir la superficie dada y no tienen en cuenta la cantidad de bloques que debían utilizar para dicho cubrimiento ( 7 bloques). Entonces, perciben, mediante la observación, que una misma superficie puede ser cubierta por menos o más de siete piezas, que la cantidad de bloques utilizados no es primordial en las actividades presentadas. Pronto, la cantidad de bordes, los ángulos formados por la unión de aristas y la comparación de formas empiezan a aparecer en sus conversaciones. Por último, el docente en una fase de síntesis, presenta conclusiones arribadas, pone en énfasis errores cometidos permitiendo a los alumnos tomar conciencia de los mismos, informará sobre el vocabulario específico necesario para hacer alguna indicación al compañero o pedir uno de los cuerpos para trabajar y, por otro lado, será el encargado de formalizar e instituir los conocimientos nuevos: en estas actividades se arriba al concepto de superficie11 mediante el cubrimiento con bloques. En la tercer parte de la secuencia, se pretende que los alumnos reutilicen el saber construido en los momentos de acción, formulación y validación. El retomar las actividades luego de las fases de puesta en común y síntesis, es ofrecer a los alumnos una nueva oportunidad de trabajo para poner en marcha acuerdos alcanzados y utilicen lo aprendido en un nuevo trabajo ( fase de reinversión ). Para el docente, es una nueva instancia de observación y análisis que le permitirá evaluar la evolución de los aprendizajes de sus alumnos. En la cuarta parte, se realiza la primera aproximación a la construcción del concepto de área. Al utilizar un mismo bloque (refiriéndome a bloques del mismo tamaño, grosor y forma) para cubrir una superficie, la medida de la misma será dada por el embaldosado 12con la ayuda de baldosas, que en este caso están representadas por los bloques elegidos por cada alumno.

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- Superficie: porción del plano limitada por una curva cerrada de longitud finita. -Recordemos que la superficie S es embaldosada con la baldosa C si se puede cubrir S con un número entero de copias de C sin superposiciones y sin dejar agujeros.

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En esta actividad, durante la investigación, los alumnos comprobarán que el dibujo puede ser cubierto por algunas piezas y no por otras. Observarán las relaciones existentes entre algunos bloques, estableciendo las mismas por medio de la forma de sus caras: el bloque de forma cuadrada entra dos veces en el bloque de forma rectangular, o el bloque de forma triangular entra dos veces en el bloque de forma cuadrada y cuatro veces en el rectangular. No dudarán en observar que el bloque de forma circular no podrá ser utilizado para cubrir ninguna superficie, ya que el mismo permite la presencia de espacios entre cada bloque. En una puesta en común al finalizar esta actividad, se pueden dejar asentadas en una tabla a las conclusiones arribadas. 1 rectángulo

2 cuadrados

4 triángulos

En la última actividad, mediante la técnica del sellado, se pasa de lo tridimensional a lo bidimensional: al sellar con las caras de los bloques, dejan marcada en la hoja la superficie de dicha cara. Al contabilizar la cantidad de sellos que hay en la hoja, están midiendo la superficie del dibujo, es decir, están calculando el área del diseño utilizando como unidad de medida la cara sellada del bloque. Tengamos en cuenta que esta última fase es compleja en los niños del nivel inicial ya que al no tener una buena motricidad fina puede suceder que los sellados se superpongan o queden agujeros entre sello y sello. Los dibujos que aparecen en la hoja están diseñados por el docente con la intencionalidad que se puedan cubrir (o pintar) con una cantidad finita de bloques.13 En una puesta en común, los alumnos cotejarán diseños pintados con los sellos, contarán la cantidad de sellos pintadas utilizando uno u otro bloque. La interacción entre alumnos permitirá que tomen decisiones compartiendo sus razonamientos con los demás niños, defendiendo su posición o aceptando la resolución de algún compañero cuyos argumentos hayan sido más convincentes que los propios. Finalmente el docente organizará una situación grupal donde se expongan todos los trabajos. Los niños contarán a los demás compañeros como realizaron el sellado, la elección de los distintos bloques, el color de almohadilla con témperas utilizada. Frente a esta cuestión, el docente intervendrá para preguntar a los alumnos quién pintó el mismo diseño utilizando otro color de témperas. De esta manera, los alumnos verificarán que el color no influye sobre la cantidad de sellos utilizados para pintar la figura dada. Así también, insistirá sobre la utilización del vocabulario específico, formulará correctamente los términos espacio-geométricos utilizados en el intercambio. Por último, el docente institucionalizará el concepto matemático abordado en esta actividad. 13

Las variables de comando son aquellas variables didácticas manipuladas por el docente para hacer evolucionar los comportamientos de los alumnos. Artigue (1984) destaca la manipulación de las variables en didáctica, en relación con el estudio psicogenético del niño:”..para el especialista en didáctica, determinar cómo el uso de variables de comando de la situación puede provocar, en la clase, cambios de estrategias, cómo se podrían controlar en el seno de un proceso, por la manipulación de estos comandos, una génesis escolar del concepto, aparece como mucho mas importante que tratar de precisar en sus menores detalles de las etapas del desarrollo psicogenético...”

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Se deberá continuar con otras actividades de sellado de distintas formas en el plano bidimensional para que los alumnos se apropien del saber construido en esta situación y puedan reutilizar este saber en la construcción de un nuevo aprendizaje. Con las formas podemos hacer transformaciones y generar otras nuevas, por ejemplo, girándolas, repitiéndolas o descomponiéndolas. En el nivel inicial este trabajo se debe realizar en forma intuitiva, lo cual no implica que no se pueda trabajar. Conclusión: Éste y muchos otros conceptos matemáticos pueden ser abordados desde el Nivel Inicial, sin olvidar que dichos conceptos, por lo general, no se desarrollan repentinamente en el niño en su forma definitiva. En realidad, los conceptos se ensanchan y profundizan a lo largo de la vida.14 En las etapas de la escuela maternal y del Nivel Inicial los conceptos del niño son fragmentados y limitados. Todavía no posee suficiente abstracción y generalización, el concepto no está totalmente desarrollado. Y, por ello, el niño sólo es apto para pensar en una cosa en términos de una situación concreta, es decir, la define descriptivamente. Muchas veces la abundancia de instancias de verbalización modifica el contacto de los niños con el conocimiento que se pretende enseñar. Es frecuente observar cierto apuro en los docentes para formalizar conceptos y vocabulario cuando no ha habido la suficiente interacción entre los niños y ellos. Es importante reflexionar sobre lo que significa enseñar contenidos en el Nivel Inicial. María Antonia Canals Tolosa expresa en una de sus investigación15,”tener un conocimiento geométrico no es lo mismo que dominar o tener información suficiente sobre uno o muchos temas de los que clásicamente trata la Geometría. El conocimiento geométrico, como todo conocimiento, no se adquiere a partir de recibir una información dada por otra persona ni a través de palabras, aunque vayan acompañadas de imágenes,... si al mismo tiempo no se pone en juego la experiencia y la mente del que lo recibe...” Según la autora, el conocimiento geométrico en los infantes requiere: • Explorar conscientemente el espacio: no se debe enseñar Geometría sin antes basarnos en la exploración directa del espacio. Al mismo tiempo, cuando nos basamos en la exploración directa sin conducir al alumno a una actividad consciente y reflexiva proporcionada a su edad, el conocimiento que resulta es meramente sensorial o motórico. • Comparar los elementos observados, es decir, establecer relaciones entre ellos y; • Expresar verbalmente tanto las acciones realizadas como las propiedades observadas y, de este modo, interiorizar el primer conocimiento. La utilización del vocabulario geométrico utilizado sólo para nombrar las cosas que han vivenciado con antelación, permiten acercarse aún más a la construcción de un auténtico conocimiento geométrico. En la expresión verbal se aprende a servirse con precisión del lenguaje geométrico adecuado. Para los más pequeños será reducido. No debemos olvidar que la palabra es indispensable para la concreción del pensamiento y construcción de los conceptos. 14

Una sola situación no es suficiente para construir un concepto. Son necesarias numerosas situaciones para hacer funcionar un concepto bajo distintos aspectos y poner en juego la diversidad de relaciones que lo vinculan con otros conceptos. 15 Canals Tolosa M.A., “La geometría en las primeras edades escolares”,Revista Suma nº 25, junio 1997,pp.31-44.

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Con la puesta en práctica de todas estas capacidades, el sujeto irá ampliando progresivamente su imagen mental del espacio, incorporando en ella nuevos elementos, que al principio son relaciones muy sencillas o nociones muy intuitivas, para luego pasar a ser propiedades más complejas, primeras leyes de los fenómenos geométricos, y conceptos abstractos. Las habilidades descriptas anteriormente son, según la autora, de dos tipos: unas de tipo movimiento, manipulación de materiales, o sea, experimentación corporal de los fenómenos; otras de tipo reflexivo, descubrimiento, racionalización de los mismos, o sea actividad mental. Sólo la conjunción de estos dos aspectos permiten la construcción de un conocimiento de una naturaleza tal que pueda ser llamada “geométrico”. Si aceptamos la apropiación del conocimiento geométrico tal como lo expresa la autora, éste se nos llena de significado y además puede ser aplicado a cualquier edad: los niños del Nivel Inicial, viven casi totalmente de la observación de los que les rodea, y el proceso de interiorización de lo observado, que empieza ya a los dos años, es en ellos más intenso, más rápido y más eficaz que en otras edades. La autora también describe las etapas del proceso de aprendizaje, según Piaget, para explicar la adquisición del conocimiento geométrico en cada una de ellas. En la etapa de 0 a 2 años, “período del espacio sensoriomotor” , el conocimiento del espacio es sensorial únicamente, por lo que todavía no puede ser considerado un aprendizaje geométrico propiamente dicho. Cabe aclarar que dicha etapa es muy importante de ser trabajada para todo lo que seguirá después. La mejor preparación a esta edad es una buena psicomotricidad y una buena educación sensorial. A partir de los 2 años en adelante, el niño comienza a desarrollar la capacidad de interiorizar las propiedades geométricas observadas, considerando con ello el comienzo del conocimiento geométrico y, por lo tanto, el verdadero aprendizaje de la Geometría. En esta etapa es muy importante el papel que juega el docente y la escuela para acompañar al alumno y ayudarlo a concientizar sus experiencias y a poner en marcha su pensamiento matemático, provocando su reflexión. Piaget llama “período representativo” al período que va de los 2 a los 12 años, caracterizado por la interiorización del conocimiento16 , que poco a poco irá pasando del sensorio-motor al de la imagen, precursora del concepto, hasta llegar al período clásicamente llamado” del pensamiento abstracto”, ya en la adolescencia. En síntesis, la autora define como objetivo general de este período”...construir el propio esquema mental del espacio, incorporando en él progresivamente todas las nociones y propiedades descubiertas con su correspondiente vocabulario geométrico...” Es importante aclarar que, como todo proceso, todos los niños no lo realizan en un mismo tiempo, por lo tanto, hay que tener en cuenta el ritmo de maduración de cada uno, como así también sus capacidades, sus gustos, su entorno social, su situación personal. Por otro lado, recordar que la apropiación de un conocimiento no se adquiere en una única actividad, como dijimos en otras ocasiones sino que conviene retomar los temas distintas veces, volviéndolos a contemplar cada vez con mayor profundidad e implicando en ellos nuevas capacidades de los niños. De esta manera damos más posibilidad a los alumnos que puedan “engancharse” en un momento u otro, puedan construir su propio camino de aprendizaje. María Antonia Canals Tolosa culmina su investigación informando que”... no se trata de “enseñar” nombres o definiciones en la escuela, sino de poner al alcance de los alumnos, a partir de su propio entorno, las ocasiones, los medios y la interacción verbal 16

Lovell, K. Obra ya citada.

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necesarios para que los niños puedan realizar su propio y auténtico camino del aprendizaje de las características geométricas del espacio...” En una segunda parte del presente artículo se planteará una secuencia didáctica para desarrollar la simetría axial dentro del mismo marco teórico propuesto en este artículo.

BIBLIOGRAFIA: -

ALSINA, C; BURGUES, C; FORTUNY, JM ( 1998 ) “ Enseñar matemáticas “. Barcelona, Grao, Cap. 3 CANALS, M.A (1997) “ La geometría en las primeras edades escolares “. Revista SUMA Nº 25, pp 31-44 CERQUETTI-ABERKANE, F (1997) “ Enseñar Matemática en el Nivel Inicial “. Buenos Aires. Edicial. CHARNAY,R “ Aprender (por medio de) resolución de problemas “, equipo de investigación de matemática del I.R.E.M CROWLEY, M El modelo van Hiele del desarrollo del Pensamiento Geométrico. Traducción: Lucrecia Iglesias. DELLEPIANE, A (1995) “ Matemática para la Educación Inicial “, Buenos Aires, Magisterio del Río de la Plata. MALAJOVICH, A (compiladora) “ Recorridos didácticos en la educación inicial “ Buenos Aires. Paidós Educador. (2000)

Lic. María Cristina Federico Docente de Matemática y su enseñanza II y III. Profesorado de Educación Inicial. Colegio Gral Belgrano de Ituzaingó.

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