uv

2 3

T

arccos



T

u ˜v u v

u1 , u2 , u3

1 2

u

2

2

 Ov5

u

2

2

ZionT

1 ˜ 5 œ n1 x  n2 y  n3 z

1 : normal (vector perpendicular al plano) 5 : cualquier punto del plano & : todos los puntos ъ3 del plano R N ˜ P n1 p1  n2 p 2  n3 p3

Plano: 3 : 1 ˜ &  5 0 œ 1 ˜ &

O : variable ъ (a cada O le corresponde un único & ) & : todos los puntos ъ3 de la recta a v 2 p1  v1 p 2 b v3 p 2  v 2 p3

D

­v 2 x  v1 y ® ¯v3 y  v 2 z a b

a u b u c ba ˜ c  ca ˜ b (bac menos cab)

y x z

          O v1  p1 , O v 2  p 2 , O v3  p3

v  u ˜ v

ecuación paramétric a

2

u v sen T (área del paralelogramo de vértices 0, u , v, u  v )

3

(Resultado en ъ)

0 œ T 0 œ u k v (vectores paralelos) w œ T uw 90º T vw 90º (resultado perpendicular a los vectores u y v )

v : dirección (vector paralelo a la recta) 5 : cualquier punto de la recta

L:&

Recta:

• uuv

•

uuv • uuv

• uuv

Propiedades:



(Resultado en ъ )

2

(Resultado positivo en ъ)

 v  uv

90 (vectores perpendiculares)

u v cos T

2

u1  v1 2  u 2  v2 2  u 3  v3 2

Producto vectorial:    i j k u u v u1 u 2 u 3 u 2 v3  v 2 u 3 , v1u 3  u1v3 , u1v 2  v1u 2 v1 v 2 v3

•

Propiedad: • u˜v 0 œ

u

(Resultado positivo en ъ)

v1 , v2 , v3

v˜v

v

Producto interno: u ˜ v u1v1  u 2 v 2  u 3 v3

d v, u

2 2

v v v

2 1

Longitud:

v

Norma:

Vectores (ъ3):

1

# am 2

a12 a 22 ¨ ¨a © m1

§ a11 ¨

# bm

b1 b2

Matriz ¨ a 21 ampliada ¨ #

"  a1n x n "  a2n xn %  # "  a mn x n

Matriz

A 1

1

AB

BA

A  5 nun

I ; B  5 nun ; A  5 nun œ det  A z 0 œ A es SCD

b1 · ¸ b2 ¸ # ¸ ¸ bm ¸¹

C 1 A 1

ZionT

2

Cualquier solución de A& % puede obtenerse sumando una solución particular con otra del sistema homogéneo asociado.

cumple la ecuación  AC

oB

A

" a1n " a2n % # " a mn

• Propiedad: si A y C son inversibles y pertenecen a la misma dimensión ( 5 nun ), entonces se

inversible

IA

§1 0 " 0· ¸ ¨ ¨0 % % # ¸ nu n ¨ # % % 0¸  5 ¸ ¨ ¨0 " 0 1¸ ¹ ©

Sistemas equivalentes œ mismo conjunto de soluciones

• Verifica: A I

0

0 i, 1 d i d m Ÿ Sistema compatible

0

Indeterminado (SCI): Ÿ det  A ˆsoluciones Incompatible (SI): Ÿ det  A “ solución

Matriz oI identidad

# am2

a12 a 22

Determinado (SCD): œ det  A z 0 œ A es invertible única solución

Sistema homogéneo œ bi

Tipos de sistemas

Compatible:  solución

   

" a1n · ¸ " a2n ¸ % # ¸ ¸ " a mn ¸¹

 a12 x 2  a 22 x 2  #  am2 x2

A  5 mun n : número de incógnitas m : número de ecuaciones a : coeficientes del sistema b : términos independientes

Matriz o A

§ a11 ¨ ¨ a 21 ¨ # ¨ ¨a © m1

Sistema ° a 21 x1

­ a11 x1 ° ® lineal ° #  A& % °¯a m1 x1

Sistemas lineales y matrices:

n

i 1

¦a

ij

n

j 1

¦a

ij

det v1 , v 2 , v3

y1

y2 y3

x1

x2 x3

z1

z2 z3



• det  A

• det A

1

a11 a 21

a12 a 22

Área

­ xu °det u , v xv ® ° u v sen T ¯ yu yv

ZionT

3

 xu y v  xv yu

a11 a 22  a 21 a12

Área del paralelogramo:

det  A

Dos dimensiones: A  52u2

det A t ( A t es la matriz transpuesta de A , que tiene como filas a las columnas de A ; A  5 mun œ A t  5 num )

1 det  A

• A es inversible œ det  A z 0 œ A es SCD

Propiedades de las determinantes: • A contiene una fila o columna de ceros Ÿ det  A 0 • A es una matriz triangular Ÿ det  A a11 ˜ a 22 ˜ ! ˜ a nn

Área

Área del paralelepípedo:

det  A

­ a11 a12 a13 a11 a12  a11 a 22 a33  a12 a 23 a31 ° ° a 21 a 22 a 23 a 21 a 22  a13 a 21 a32  a31 a 22 a13 ° a31 a32 a 33 a 31 a32  a 32 a 23 a11  a33 a 21 a12 ° ° ° ® a 11 a 12 a 13 °a a 22 a 23 ° 21  a 11 a 22 a 33  a 21 a 32 a 13  a 31 a 12 a 23 ° a 31 a 32 a 33 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 °a a 12 a 13 ° 11 ¯° a 21 a 22 a 23

Regla de Sarrus:

Tres dimensiones: A  53u3

columna j )

M ij : menor del elemento aij (determinante de la matriz que se obtiene eliminando de A la fila i y la

A  5 nu n i j C ij  1 M ij : cofactor del elemento aij

det  A

Determinantes:

a˜v  b˜v

0

u   v

k1v1  !  k n v n (generador de :)

­Vector nulo 0 9 °Recta que pase por el origen ° 5 ® °Plano que pase por el origen °¯Todo 5 3 3

 Notación: u  v

Suma directa: :

dim6  dim7  dim6 ˆ 7 : 6  7 6 † 7 œ dim6 ˆ 7 0 (única intersección es el 09) ZionT

Teorema de las dimensiones: dim6  7

Suma de subespacios:

dim9 n

Propiedad:

• ^v1 , ! , v n ` es LI

• ^v1 , ! , v n ` genera 9

Debe satisfacer las siguientes propiedades (2):

Bases ^v1 , ! , v n ` : (todo elemento de 9 es una CL de los elementos de %)

4

Dependencia e independencia lineal (LD y LI): (un conjunto de vectores puede ser o LD o LI) LI: única solución de a1v1  !  a n v n 0 es que a1 ! a n 0 (solución trivial) LD: a1v1  !  a n v n 0 tiene más de una solución (una solución es la trivial). Por lo tanto, existe como mínimo un vi que sea CL de v1 ,! , vn .

Subespacio: :

Combinaciones lineales (CL): Vector: v k1v1  !  kn vn

2

­Vector nulo 0 9 ° 5 ®Recta que pase por el origen ° 2 ¯Todo 5

Ejemplos de 6:

• 09  6 • u  v 6 • k ˜ v 6

Debe satisfacer las siguientes propiedades (3):

Subespacios (6): 6 Ž 9 6 z ‡

a ˜ b ˜ v • Elemento neutro (15): 1 ˜ v v

• Asociatividad: a ˜ b ˜ v

• Distributiva (vector):  a  b ˜ v

vu u  v  w • Elemento neutro (09): 0  v v  0 v • Elemento opuesto (  v ): v   v  v  v • kv  9 • Distributiva (escalar): k ˜ u  v k ˜ u  k ˜ v • Asociatividad: u  v  w

• u  v  9 • Conmutatividad: u  v

Debe satisfacer las siguientes propiedades (10):

Espacios vectoriales (EV): (9,+,5,•)

Espacios vectoriales - Subespacios: