FÍSICA Junio 2007 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos partes. La primera parte consiste en un conjunto de cinco cuestiones de tipo teórico, conceptual o teórico-práctico, de las cuales el alumno debe responder solamente a tres. La segunda parte consiste en dos repertorios A y B, cada uno de ellos constituido por dos problemas. El alumno debe optar por uno de los dos repertorios y resolver los dos problemas del mismo. TIEMPO: Una hora treinta minutos. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos, salvo indicación expresa en los enunciados.

Primera parte Cuestión 1.- Sabiendo que la aceleración de la gravedad en un movimiento de caída libre en la superficie de la Luna es un sexto de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra y que el radio de la Luna es aproximadamente 0,27 RTierra (siendo RTierra el radio terrestre), calcule: a) la relación entre las densidades medias ρLuna / ρTierra; b) la relación entre las velocidades de escape de un objeto desde sus respectivas superficies (ve) Luna / (ve) Tierra. Solución. a. Este apartado se resuelve comparando la intensidad de campo gravitatorio (g) en la superficie de la Tierra y en la superficie lunar. La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se puede expresar en función de la masa y el radio del planeta, igualando el peso en la superficie con la fuerza gravitacional. P = FG ;

m⋅g = G

Para la superficie terrestre: g T = G Para la superficie lunar: g L = G

M⋅m R

2

1 gT 6

M R2

MT R T2

ML R 2L

G

gL =

; g=G

ML

R 2L 1 = MT 6 G 2 RT

gL 1 = gT 6

M L R T2 M T R 2L

=

1 6

Las masa de la tierra y de la luna se expresar en función de sus densidades ρ L VL R T2

1 = 2 ρ T VT R L 6

4 3 2 πR L R T 1 3 = 4 3 2 6 ρ T πR T R L 3 ρL RT = ρ T 6 ⋅ 0,27R T ρL

1

ρLR L 1 = ρT R T 6

ρL = 0,62 ρT

ρL R = T ρ T 6R L

b. La velocidad de escape de un planeta se calcula por el principio de conservación de la energía, la energía mecánica en la superficie del planeta (suma de cinética y potencial) debe ser igual a la que tendrá cuando escape del campo gravitatorio, que será nula debido a que suponemos que llega con velocidad nula (Ec = 0) y que esta a una distancia infinita (Ep = 0). 1 Mm m v2 − G =0 2 RT

Simplificando las masas se despeja v. 1 2 M M v =G : v = 2G 2 RT RT

ML   R L  (v e )Luna = : (v e )Tierra M = 2G T  R T 

(v e )Luna = (v e )Tierra (v e )Luna (v e )Tierra

=

2G

4 πR 3L ⋅ ρ L R T 3 = 4 πR 3T ⋅ ρ T R L 3

R 2L ρ L ⋅ = R T2 ρ T

2G 2G

ML RL MT RT

=

M LR T MTR L

(0,27 ⋅ R T )2 ⋅ 0,62 = 0,27 ⋅ R T2

0,62 = 0,21

Cuestión 2.- Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El período del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Solución a. Para resolver esta cuestión necesitamos recordar ciertas fórmulas del movimiento armónico y de los muelles:

2π T = 1 ;ω = = 2π f f T F ω 2 = k / m; a = m

De donde fácilmente resulta:

T = 0,3 s

ω = 6, 6π rad ·s −1 k = mω 2 = 1074,8 N ·m −1 b. Para conocer la aceleración máxima calcularemos la fuerza máxima, que se produce en el extremo, y dividiremos por la masa, despreciando la masa del muelle: a máx =

Fmax m

=

k ⋅ A 1074,8 ⋅ 5 × 10 −2 = = 21,5 m 2 s m 2,5

Para calcular la velocidad máxima utilizaremos el principio de conservación de la energía, ya que la energía potencial en el extremo será igual a la cinética máxima, que se tiene cuando la masa pasa por el punto de equilibrio.

2

max max Ecinética = E potencial

1 2 1 2 k kA = mvmax ⇒ vmax = A = ωA 2 2 m vmax = 1, 037 m·s −1 Cuestión 3.- Una superficie plana separa dos medios de índices de refracción distintos n1 y n2. Un rayo de luz incide desde el medio de índice n1. Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes: a) El ángulo de incidencia es mayor que el ángulo de reflexión. b) Los ángulos de incidencia y de refracción son siempre iguales. c) El rayo incidente, el reflejado y el refractado están en el mismo plano. d) Si n1 > n2 se produce reflexión total para cualquier ángulo de incidencia. Solución a. Falso, son iguales por definición. b.

Falso, dependen de los índices de refracción según la ley de Snell

c.

Verdadero, es parte de las leyes de Snell.

d.

Falso, el ángulo de reflexión total se obtiene cuando θ1 > arcsin

n1 sin θ1 = n2 sin θ 2

n1 n2

Cuestión 4.- Un protón que se mueve con velocidad constante en el sentido positivo del eje X

r

r

penetra en una región del espacio donde hay un campo eléctrico E = 4 ×105 k N ·C −1 y un campo

r

r

r

r

magnético B = −2 j T , siendo k y j los vectores unitarios en las direcciones de los ejes Z e Y respectivamente. a) Determine la velocidad que debe llevar el protón para que atraviese dicha región sin ser desviado. b) En las condiciones del apartado anterior, calcule la longitud de onda de De Broglie del protón. Datos: Constante de Planck h = 6,63×10-34 J s; Masa del protón mp = 1,67×10-27 kg Solución. a. Para que el protón atraviese la región sin ser desviado, la resultante de todas las fuerzas que concurren sobre el debe ser nula. Las fuerzas que actúan sobre la carga que se desplaza se pueden observar sobre la figura adjunta. r r r R = FE + FB r r r FE = q ⋅ E = q + E k p r r r r r r r FB = q ⋅ v × B = q + ⋅ v i × B − j = q + vB ⋅ i × − j

(

)

p

(

( ))

(

p

(ri × −rj) = (1,0,0)× (0,−1,0) =  −01

)

r 1 0 1 0   = (0,0,−1) = − k , 0 0 0 0 − 1   r r FB = −q + vB k 0

p

3

,−

r r r R = FE + FB = q

q b.

p

+E

=q

p

p

+E

v=

+ vB

r k −q

r p

+ vB k

=0

E 4 × 105 = = 2 × 105 m s B 2

La longitud de onda de De Broglie viene dada por la expresión: λ DB =

h 6,63 × 10 −34 = = 1,99 × 10 −12 m mv 1,67 × 10 − 27 ⋅ 2 × 105

Cuestión 5.-. Una muestra de un material radiactivo posee una actividad de 115 Bq inmediatamente después de ser extraída del reactor donde se formó. Su actividad 2 horas después resulta ser 85,2 Bq. a) Calcule el período de semidesintegración de la muestra. b) ¿Cuántos núcleos radiactivos existían inicialmente en la muestra? Dato: 1 Bq = 1 desintegración/segundo Solución. a. El periodo de semidesintegración es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de la muestra. El número de núcleos que quedan en la muestra pasado un tiempo t viene dado por la expresión: N = N o e − λ⋅ t

Para N = No/2: No − λ⋅t = N oe 1 2 2

e

− λ ⋅ t1 2

=

1 2

− λ ⋅ t1 2 = Ln

t1 2 =

1 = Ln 2 −1 = − Ln 2 2

Ln 2 λ

La constante de semidsintegración se puede obtener de los datos de actividad de la muestra. A = λN o e − λ ⋅ t

Aplicando la expresión para los datos del enunciado: t=0

→

115 = λN o

t = 7200 s → 85,2 = λN o e − 7200⋅ λ

Dividiendo: λN o e −7200⋅λ 85 = λN o 115

e − 7200⋅λ = λ=−

85 115

Ln(85,2 115) = 4,2 × 10 − 5 s −1 7200

 85  − 7200 ⋅ λ = Ln   115 

Conocida la constante, se calcula el periodo de semidesintegración. t1 2 =

Ln 2 Ln 2 = = 16 639 s λ 4,2 × 10 − 5

b. El número de núcleos iniciales se obtiene aplicando la ecuación de la actividad a las condiciones iniciales. t =0

A = λN o e − λ ⋅ t  → A = λN o A 115 No = = = 2,74 × 106 nucleos λ 4,2 × 10− 5

4

Repertorio A Problema 1.- Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Y, según la expresión:

π π y = 2sin  t +  2 4

(y en cm y t en s)

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm, determine: a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expresión matemática que representa la onda armónica. d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X de coordenada x=80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t=20 s. Solución. a. La amplitud y la frecuencia de la onda coinciden con la amplitud y frecuencia del movimiento oscilatorio. A = 0,02 m La frecuencia de la onda se calcula a partir de la velocidad angular. ω=

π = 2πf 4

1 f = s −1 = 0,125 Hz 8

b. Para hallar la longitud de onda basta darse cuenta de que al decirnos que dos puntos que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm es como decir λ = 20 cm 2

λ = 40 cm = 0,4 m

Otra forma seria teniendo en cuenta que el incremento de fase en un instante dado es: ∆φ = φ 2 − φ1 = (ωt − kx1 + φ o ) − (ωt − kx 2 + φ o ) = k (x1 − x 2 ) = k ⋅ ∆x

2π λ 2π ∆φ = ⋅ ∆x ; λ

Teniendo en cuenta k =

λ=

2π 2π ⋅ ∆x = ⋅ 0,2 = 0,4 m ∆φ π

Conocida la longitud de onda y la frecuencia se calcula la velocidad de propagación de la onda. v=

c.

El número de onda es: k =

λ = λf = 0,4 m ⋅ 0,125 s −1 = 0,05 m s T

2π 2π = = 5π m −1 λ 0,4

La expresión matemática que representa la onda es: π π y(x , t ) = 0,2sen t − 5π x +  4 2 

d. La expresión para la velocidad se obtiene como la derivada de la función y respecto del tiempo.

5

v(x , t ) =

dy π π π π π π = 0,2 ⋅ cos t − 5π x +  = cos t − 5π x +  m dt 4 2  20 2 s 4 4

Para x = 0,8 m v(0´8, t ) =

π π π 7π  m π π cos t − 5π ⋅ 0,8 +  = cos t −  20 2  20 2  s 4 4

Para x = 0,8 y t = 20 s v(0´8, 20) =

π 7π  π π π  3π  cos ⋅ 20 − cos  m = ⋅0 = 0 = 20 2  20 4  2  s 20

Problema 2.- Una lente convergente forma, de un objeto real, una imagen también real, invertida y aumentada 4 veces. Al desplazar el objeto 3 cm hacia la lente, la imagen que se obtiene es virtual, derecha y con el mismo aumento en valor absoluto. Determine: a) La distancia focal imagen y la potencia de la lente. b) Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados. c) Las respectivas distancias imagen. d) Las construcciones geométricas correspondientes. Solución. Se plantean dos situaciones diferentes con la misma lente y por tanto con la misma distancia a. focal: • 1º Caso: Se forma una imagen invertida y aumentada cuatro veces: y1′ = −4 y1

Aplicando la ecuación general de las lentes y la relación de aumento lateral: 1 1 1 − = s1′ s1 f ′ y1′ s1′ y1′ = −4 y1 s1′ −4 y1 s1′ =  → = = −4 y1 s1 s1 y1 s1

•

s1′ = −4s1

2º Caso: Se aproxima el objeto tres centímetro a la lente y la imagen se transforma a derecha y con el mismo aumento. y′2 = 4 y1 1 1 1 − = s′2 s 2 f ′ ′ ′ ′ y 2 s 2 y ′2 = 4 y1 s 2 4 y1 s′2 =   → = =4 y1 s 2 s2 y1 s2

s′2 = 4s 2

La posición de los dos objetos en las lentes están relacionadas por: s 2 = s1 + 3

Todas las ecuaciones permiten plantear un sistema de ecuaciones 1 1 1 1 1  1  −5 1  s′ − s = f ′ − = 1 1   4s = f ′  − 4s1 s1 f ′ ′ s = − 4 s   1 −5 −3 1  1 5 = 1 1 1 3   −3 1  1 1 1 → − = → = → → {5s1 + 15 = 3s1  −    4s1 4s 2 →  = = ′ ′ 4 s s f 4 s f s ( s 2 1 + 3)  s′2 s 2 f ′  2  2 s 2 = s1 + 3  1  s′ = 4s  s 2 = s1 + 3 s 2 = s1 + 3 2  2    s 2 = s1 + 3 2s1 = −15

s1 = −7,5 cm

6

Conocida la posición inicial del objeto se calcula la distancia focal imagen, y de esta, la potencia de la lente s 2 = s1 + 3 −5 1 = 4s1 f ′

= − 7,5 + 3 = −4,5 cm

f′ =

La potencia de la lente es: P = b.

s1 = −7,5

4s1 s1 = −7 ,5 4 ⋅ (− 7,5) = = 6 cm −5 −5

1 1 = = 16,67 dioptrias f 0,06 m

Las distancias del objeto a la lente en los dos casos citados son: s1 == −7,5 cm

c.

Las distancias imagen son:

d.

Primer caso:

s 2 = −4,5 cm

s1′ = −4s1 = −4 ⋅ (− 7,5) = 30 cm s′2 = 4s 2 = 4 ⋅ (− 4,5) = −18 cm

Segundo caso

7

Repertorio B Problema 1B.- Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio, respecto al centro del planeta, con un periodo de revolución dé 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23460 km de radio. Determine: a) La masa de Marte. b) El período de revolución del satélite Deimos. e) La energía mecánica del satélite Deimos. d) El módulo del momento angular de Deimos respecto al centro de Marte. Datos: Constante de Gravitación Universal G = 6,67×10−11 N m2 Kg−2 Masa de Fobos = 1,1×l016 Kg; Masa de Deimos = 2,4×l015 Kg Solución. a. Para calcular la masa de Marte (M) se tiene en cuenta que si Fobos realiza una órbita circular alrededor de Marte, la suma de fuerzas que actúan sobre Fobos será igual a la fuerza centrípeta que actúa sobre él. 2

Fg = Fc

G

M ⋅ mf R

M=

b.

= mf

2

2

v R

4π 2 R 3

=

G ⋅ T2

G

4 π 2 ⋅ 9,38 × 106 6,67 × 10

−11

)

2

3

⋅ (7,62 ⋅ 3600)2

= 6,49 × 10 23 Kg

El periodo de Deimos se puede calcular aplicando la 3ª ley de Kepler. T2 R3 TD = Tf ⋅

c.

M = v2 R

(

 2π  3   R v ⋅ R (ω ⋅ R ) ⋅ R  T  M= = = G G G 2

Em = Ec + Ep =

R 3D R 3f

= cte ⇒

= 7,62 ⋅

TD2

Tf2 = R 3D R 3f

(23,46 ×10 ) (9,38 ×10 )

 1 M mD m D v 2 +  − G 2 RD 

6 3

6 3

= 30,14 h = 1 d 6 h 8 min

  2 M  1 M mD  = v = G =− G RD  2 RD  

1 6,49 × 10 23 ⋅ 2,4 × 1015 E m = − ⋅ 6,67 × 10 −11 = −2,2 × 10 21 J 2 23,46 × 10 6

d.

r r r L = r × mv

L = r ⋅ mv ⋅ sen α

En módulo

Aplicando a Deimos: rD ⊥ v D ⇒ α = 90 ; sen α = 1 2π L D = rD ⋅ m D v D = rD ⋅ m D ⋅ ω D ⋅ rD = rD2 ⋅ m D ⋅ TD

L D = rD ⋅ m D v D ⋅ sen α

(

L D = 23,46 × 106

) ⋅ 2,4 ×10 2

15

⋅

8

2π = 7,65 × 10 25 N m 30,14 ⋅ 3600

Problema 2.- Dos partículas con cargas de +1 µC y de -1 µC están situadas en los puntos del plano XY de coordenadas (-1,0) y (1,0) respectivamente. Sabiendo que las coordenadas están expresadas en metros, calcule: a) El campo eléctrico en el punto (0,3). b) El potencial eléctrico en los puntos del eje Y. c) El campo eléctrico en el punto (3,0). d) El potencial eléctrico en el punto (3,0). Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C -2 Solución. r r r a. Por el principio de superposición: E(0,3) = E1 (0,3) + E 2 (0,3) Teniendo en cuenta el signo de las cargas: r r r r r r r r r E = E1x + E1y + E 2 x + E 2 y = E1 cos α i + E1senα j + E 2 cos α i − E 2 senα j r r r E = (E1 cos α + E 2 cos α )i + (E1sen α − E 2 sen α ) j 3 1 senα = cos α = r1 = r2 = 12 + 32 = 10 10 10

E1 = K ⋅

q1

E2 = K ⋅

q2

r12 r22

= 9 × 10 9 ⋅

1× 10 −6

( 10 )

2

= 9 × 109 ⋅

= 9 × 10 2 N

1 × 10 −6

( 10 )

2

C

= 9 × 10 2 N

C

r  1 1 r  3 3 r  j  i +  9 × 10 2 ⋅ E =  9 × 10 2 ⋅ + 9 × 10 2 ⋅ − 9 × 10 2 ⋅ 10 10  10 10    r r E (0,3) = 569,2 i N C

b. El potencial en un punto es la suma escalar de los potenciales que crean cada una de las cargas en ese punto. V(0, y ) = ∑ Vi = V1 (0, y ) + V2 (0, y ) = K ⋅

q1 q 1× 10 −6 − 1× 10 −6 + K ⋅ 2 = 9 × 10 9 ⋅ + 9 × 109 ⋅ r1 r2 r1 r2

Teniendo en cuenta que en cualquier punto del eje de ordenadas r1 = r2 = r V(0, y ) =

9 ×103 9 ×103 − =0 r r

c. Al igual que en el apartado a, el campo eléctrico en el punto (3, 0) se calcula como suma vectorial de los campos eléctricos que generan cada r una de las cargas. Dada la geometría del problema, solo existe campo eléctrico en la componente i . r r r E(3,0) = E1 (3,0) + E 2 (3,0)

Teniendo en cuenta el signo de las cargas: −6 r r r q r q r 1× 10 −6 r 9 1× 10 E (3,0 ) = K ⋅ 21 i − K ⋅ 22 j = 9 × 109 ⋅ i − 9 × 10 ⋅ i = −1687,5 i N 2 2 C r1 r2 4 2

d.

V(3,0) = V1 (3,0 ) + V2 (3,0) = K ⋅

q q1 q q  + K 2 = K 1 + 2  r1 r2 r  1 r2 

9

 1× 10 −6 − 1 × 10 −6   = −2250V V(3,0 ) = 9 × 109 ⋅  +  4  2  

10