UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Curso 2013-2014 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- El planeta A tiene tres veces más masa que el planeta B y cuatro veces su radio. Obtenga: a) La relación entre las velocidades de escape desde las superficies de ambos planetas. b) La relación entre las aceleraciones gravitatorias en las superficies de ambos planetas. Solución. a. La velocidad de escape de un campo gravitatorio se calcula teniendo en cuenta que es conservativo y por tanto la energía mecánica se conserva. ∆E m = 0 ⇒ E m (Superficie ) = E m (Infinito ) Suponiendo que al infinito se llega con velocidad nula (teórico), en el infinito la energía mecánica del objeto será nula. 1 Mm mv e2 − G E m (Superficie ) = 0 E c (sup erficie) + E p (Superficie) = 0 =0 2 R M v e = 2G R Aplicando la expresión para los planetas A y B: v e (A ) = 2G

v e (B) = 2G

MA RA

MB RB

Comparando:

v e (A ) = v e (B)

2G

MA RA

M 2G B RB

=

M A ⋅ R B M A = 3M B  = = M B ⋅ R A  R A = 4R B  v e (A ) =

3M B ⋅ R B = M B ⋅ 4R B

3 3 = 4 2

3 v e (B) 2

b. La intensidad de campo gravitatorio se obtiene igualando el peso con la fuerza de atracción gravitatoria. En módulo: Mm M P = FG mg = G 2 g=G 2 R R Aplicando la expresión para los planetas A y B: M M g A = G 2A g B = G 2B RA RB Comparando: M G 2A gA RA M ⋅ R 2 M = 3M B  3M B ⋅ R 2B 3 = = A 2B =  A = =  M B M B ⋅ R A  R A = 4R B  M ⋅ (4R )2 16 gB B B G 2 RB

gA =

3 gB 16

1

Pregunta 2.- Un muelle de longitud en reposo 25 cm cuya constante elástica es k = 0,2 N cm‒1 tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 300 g, el cual oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a 0,3 J. Calcule: a) La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b) La máxima aceleración experimentada por el cuerpo. Solución. E M = E c + E p = E c (max ) = E p (max ) a.

1 2E M 2 ⋅ 0,3 v máx = mv 2máxz = = 2 m = 1,41m s s m 0,3 2 La velocidad máxima se alcanza cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, y en este caso se encontrará a 25 cm del extremo fijo. E M = E c (max ) =

b. La aceleración máxima se puede calcular conocida la fuerza máxima que actúa sobre el muelle, la cual se produce en el punto de mayor elongación (x = A). F = m ⋅ a k ⋅A a max =  : Fmax = m ⋅ a max = k ⋅ A F = k⋅x m El valor de A se obtiene mediante la energía mecánica igualándola a la energía potencial máxima.

E M = E p (max ) =

1 k ⋅ A2 ; A = 2 a max =

2E M  N 100 cm N = k = 0,2 ⋅ = 20  = k cm m m  

2 ⋅ 0,3 = 0,173 m 20

k ⋅ A 20 ⋅ 0,173 = 11,55 m 2 = s m 0,3

Pregunta 3.- Una espira circular de 2 cm de radio se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme B = 3,6 T paralelo al eje Z. Inicialmente la espira se encuentra contenida en el plano XY. En el instante t = 0 la espira empieza a rotar en torno a un eje diametral con una velocidad angular constante ω = 6 rad s‒1. a) Si la resistencia total de la espira es de 3 Ω, determine la máxima corriente eléctrica inducida en la espira e indique para qué orientación de la espira se alcanza. b) Obtenga el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante t = 3 s. Solución. a. La intensidad inducida en la espira se expresa según la Ley de Ohm en función de la fuerza electromotriz inducida y de la resistencia según: ε I= R La fuerza electromotriz inducida en una espira inmersa en un campo magnético viene expresada por la ley de Lenz-Faraday: dΦ ε=− Donde Φ ≡ Flujo que atraviesa la espira dt r r Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α Como la espira rota en torno a un eje diametral la superficie que ofrece la espira a ser atravesada por las líneas de campo es función del ángulo que forma la superficie de la espira con el campo magnético (α), el cuál a su vez es función de la velocidad de rotación de la espira. Φ = B ⋅ S ⋅ cos(ω t + φ o ) Teniendo en cuenta que inicialmente la espira esta paralela al plano XY y que el campo r magnético esta en la dirección + k , φ o = 0 .

dΦ  d   : ε = − (B ⋅ S ⋅ cos(ω t )) = −(B ⋅ S ⋅ (− sen (ω t )) ⋅ ω) = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t ) dt dt Φ = B ⋅ S ⋅ cos(ω t ) ε=−

2

El máximo se alcanzará cuando la parte trigonométrica de la expresión valga 1 (sen (ω t ) = 1)

ε máx = B ⋅ S ⋅ ω Conocida la fuerza electromotriz inducida máxima, se calcula la intensidad máxima. I max

(

ε B ⋅ S ⋅ ω B ⋅ π r 2 ⋅ ω 3,6 ⋅ π 2 ⋅10 −2 = max = = = R R R 3

) ⋅ 6 = 9 ×10 2

−3

A

La orientación de la espira deberá ser tal que sen ϕ = 1 ⇒ ϕ = π/2 rad, la intensidad máxima se alcanza cuando la espira está en perpendicular con el plano XY. b.

La fuerza electromotriz inducida viene dad por la expresión:

(

)

ε(t ) = B ⋅ S ⋅ ω sen (ω t ) = 3,6 ⋅ π 2 ⋅10 −2 ⋅ 6 sen (6 t ) = 2,7 ×10 −2 sen (6 t ) (v ) 2

ε(t = 3) = 2,7 × 10 −2 sen (6 ⋅ 3) = −0,02 (v )

Pregunta 4.- Determine, basándose en el trazado de rayos, dónde hay que ubicar un objeto con respecto a una lente convergente para que: a) La imagen formada sea real e invertida. b) La imagen formada sea virtual y derecha. Solución. a. Para que la imagen sea real e invertida y, teniendo en cuenta que es una lente convergente, el objeto deberá estar por detrás del foco (a la izquierda del foco)

b. Para que la imagen formada por la lente convergente sea virtual y derecha, el objeto deberá situarse entre la lente y el foco.

Pregunta 5.- Sobre un cierto metal cuya función de trabajo (trabajo de extracción) es 1,3 eV incide un haz de luz cuya longitud de onda es 662 nm. Calcule: a) La energía cinética máxima de los electrones emitidos. b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con la máxima energía cinética posible. Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3×108 m s-1; Masa del electrón, me = 9,1×10-31 kg. Constante de Planck, h = 6,62×10-34 J s, Valor absoluto carga del electrón, e = 1,6×10-19 C. Solución. a. Haciendo un balance de energía: E(Radiación ) = Wext + E c e −

( )

( ) = E(Radiación) − W

Ec e

−

ext

c c  E (Radiación ) = h ⋅ ν =  ν =  = h ⋅ λ λ 

( )

c 3 × 108 m s −1 J E c e − = h ⋅ − Wext = 6,62 × 10 −34 J s ⋅ − 1,3 eV ⋅1,6 × 10 −19 = 9,2 × 10 −20 J 9 λ eV 662 × 10 m

3

b.

Por definición, la longitud de onda de De Broglie viene expresada por: h λ DB = mv El producto mv, se puede obtener a partir de la energía cinética. 1 E c = mv 2 2 Multiplicando por 2m ambos miembros de la expresión y sacando la raíz cuadrada se llega a expresar la cantidad de movimiento (mv) en función de la energía cinética y de la masa:

2mE c = m 2 v 2 λ DB =

mv = 2mE c

h h 6,62 × 10 −34 = = = 1,62 × 10 −9 m −31 − 20 mv 2mE c 2 ⋅ 9,1× 10 ⋅ 9,2 ×10

4

OPCIÓN B Pregunta 1.- Un cohete de masa 2 kg se lanza verticalmente desde la superficie terrestre de tal manera que alcanza una altura máxima, con respecto a la superficie terrestre, de 500 km. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule: a) La velocidad del cuerpo en el momento del lanzamiento. Compárela con la velocidad de escape desde la superficie terrestre. b) La distancia a la que se encuentra el cohete, con respecto al centro de la Tierra, cuando su velocidad se ha reducido en un 10 % con respecto a su velocidad de lanzamiento. Datos: Radio Terrestre, RT = 6,37×106 m ; Masa de la Tierra, MT = 5,97×1024 kg; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2 Solución. a. Si se desprecian los efectos de rozamiento, se puede considerar que el campo gravitatorio dentro de la atmosfera terrestre es conservativo, y por tanto, ∆E m = 0 E m (h = 500 Km ) = E m (Superficie )

Si el cohete llega hasta la altura de 500 Km y se detiene (no orbita), en esa posición su energía mecánica solo tendrá componente potencial, por otra parte, en la superficie terrestre, la energía mecánica del cohete en el momento de lanzamiento será la suma de su energía cinéta y su energía potencial. Mm Mm 1 −G = −G + mv o2 RT + h RT 2

−G

M M 1 2 = −G + vo RT + h RT 2

 1 1   v o2 = 2GM − R R T +h  T

1 2 M M vo = G −G 2 RT RT + h

   1 1  1 1   = 2 ⋅ 6,67 × 10 −11 ⋅ 5,97 ⋅10 24 ⋅  − v o = 2GM − 6 6 3 6,37 × 10 + 500 × 10   RT RT + h   6,37 ×10

v o = 3016,5 m s −1 Velocidad de escape: Teniendo en cuenta que el cohete se escapa del campo gravitatorio cuando alcanza una distancia “infinita” y lo hace con una velocidad nula (teórica), y por otro lado, que el campo gravitatorio es conservativo, se debe cumplir que E m (Superficicie ) = E m (" Infinito") .

−G

Mm 1 Mm 1 + mv e2 = −G + m ⋅ 02 RT 2 ∞ 2

⇒ −G

Mm 1 + mv e2 = 0 RT 2

v e = 2G

M RT

Comparando la velocidad inicial necesaria para llevar el cohete a una altura de 500 Km con la velocidad de escape:

vo = ve

 1 1   2GM − R R T +h  T = M 2G RT

h R T (R T + h ) = 1 2GM RT

2GM

h = RT + h

500 = 0,27 6370 + 500

Para que un cohete llegue a una altura de 500 Km desde la superficie terrestre se necesita una velocidad aproximadamente igual al 27 % de la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre. b.

Manteniendo el mismo criterio de campo conservativo: E m (r = R T ) = E m (r = R ) Mm 1 Mm 1 −G + mv o2 = −G + mv 2 RT 2 R 2

10 v o = 0,9v o 100 M 1 2 M 1 −G + v o = −G + (0,9v o )2 RT 2 R 2

Simplificando la masa del cohete y teniendo en cuenta que v = v o −

−G

M 1 2 M 1 + v o = −G + (0,9v o )2 RT 2 R 2

5

G

M M 1 1 =G + 0,81v o2 − v o2 R RT 2 2 R=

GM GM = − 0,095v o2 R RT

R=

GM GM − 0,095v o2 RT

6,67 × 10 −11 ⋅ 5,97 ×10 24 = 6,46 ×10 6 m 24 −11 6,67 × 10 ⋅ 5,97 × 10 − 0,095 ⋅ 3016,5 2 6,37 × 10 6

Pregunta 2.- Una onda armónica transversal se propaga por un medio elástico a lo largo del eje X (sentido positivo) produciendo un desplazamiento en las partículas del medio a lo largo del eje Y. La velocidad de propagación de la onda es de 30 m s‒1 siendo su longitud de onda igual a 3 m. En el instante t = 0 s el desplazamiento inducido por la onda en el origen de coordenadas es nulo, siendo la velocidad de vibración positiva. Si el desplazamiento máximo inducido por la onda es igual a 0,2 cm: a) Escriba la expresión matemática que describe la onda. b) Determine la máxima velocidad y aceleración de una partícula del medio. Solución. a. La ecuación matemática de una onda que se desplaza a lo largo del eje x en el sentido positivo viene dada por la expresión: y(x, t ) = A sen (ω t − k x + φ o ) y la velocidad de vibración vendrá expresada por la derivada de la ecuación: v(x, t ) = Aω cos (ω t − k x + φ o ) Datos: v(propagación ) = 30 m s −1 ; λ = 3 m ; y(0,0) = 0 ; v(0,0 ) > 0 ; A = y máx = 0,2 cm = 0,002 m Con la velocidad de propagación y con la longitud de onda se calcula el periodo, el cuál, permite calcular la velocidad angular. λ λ 3 2π 2π v= ; T= = = 0,1 s → ω = = = 20π rad s −1 T v 30 T 0,1 La longitud de onda, permite calcular el número de onda (k). 2 π 2π −1 k= = m λ 3 El desfase inicial se calcula conocida la posición inicial y el signo de la velocidad inicial.  φ o = 0 rad → v(0,0) = Aω cos 0 > 0  y(0,0) = A sen φ o = 0 :   : φ o = 0 rad φ o = π rad → v(0,0 ) = Aω cos π < 0 La ecuación matemática de la onda es:

2π   y(x, t ) = 2 ×10 −3 sen  20π t − x 3   b.

Si v(x, t ) = Aω cos (ω t − k x + φ o ) , v máx ⇔ cos (ω t − k x + φ o ) = 1

⇒ v max = Aω

v max = 2 ×10 −3 ⋅ 20π = 0,126 m s −1 La aceleración se obtiene derivando la ecuación de la velocidad. a (x, t ) = −Aω 2 sen (ωt − kx + φ o ) a max ⇔ sen (ωt − kx + φ o ) = 1 ⇒ a max = Aω 2

a max = 2 × 103 (20π )2 = 7,9 m s −2

6

Pregunta 3.- Un electrón se propaga en el plano XY con velocidad vo constante de 100 m s‒1 en el sentido negativo del eje X. Cuando el electrón cruza el plano x = 0 se adentra en una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme de 8×10‒9 N C‒1 en el sentido negativo del eje X, tal y como se indica en la figura. a) Describa el tipo de movimiento que seguirá el electrón una vez se haya introducido en esa región del espacio. Discuta cual será la velocidad final del electrón. b) Calcule la fuerza ejercida sobre el electrón así como la aceleración que éste experimenta. Datos: Masa del electrón, me = 9,1×10‒31 kg ; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60×10‒19 C Solución. a. Al entrar el electrón en la región donde existe el campo eléctrico, se vera sometido a una fuerza r en sentido opuesto al campo que proporcionará al electrón una aceleración en el sentido de + i (negativa) hasta que lo pare, una vez parado, la fuerza seguirá actuando haciendo que el electrón se acelere en el r sentido positivo de i hasta salir de la región donde existe el campo eléctrico con la misma velocidad que entro pero con sentido opuesto, debido al carácter conservativo del campo eléctrico. El electrón describe un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, siendo su velocidad r r final v = 100 i m s −1 . b.

r r F = q⋅E

(

)

r r r F = −1,6 × 10 −19 C ⋅ − 8 × 10 −9 i N C −1 = 1,28 ×10 −27 i N r r F = m⋅a

r r r r F 1,28 ×10 −27 i N a= = = 1406 , 6 i m s −2 m 9,1× 10 −31 kg

Pregunta 4.- Un objeto de 5 cm de altura se encuentra a una distancia s de una lente convergente. La lente forma una imagen real e invertida del objeto. El tamaño de la imagen es de 10 cm. La distancia focal de la lente es 10 cm. a) Determine la distancia a la cual se encuentra el objeto de la lente. b) Realice el diagrama de rayos del sistema. Solución. Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas y la relación que proporciona el a. aumento lateral. Se plantea un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema. Datos: y = 5 cm; y’ = ‒10 cm (invertida); f = ‒10 cm 1 1 1  1 1 1 − = 1 1 1 − =   ′ ′ DATOS s s f s′ s 10  : − =  : 1 − 1 = 1 : − 3 = 1 : s = −15 cm     →   ′ s 10  s y′ s ′ − 10 s′ 2s 10 ML = =  =  s′ = −2s  2s s 10 y s  5 s  b.

s′ = −2s = −2 ⋅ (− 15) = 30 cm

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Pregunta 5.- Una cierta muestra contiene inicialmente 87000 núcleos radiactivos. Tras 22 días, el número de núcleos radiactivos se ha reducido a la quinta parte. Calcule: a) La vida media y el periodo de semidesintegración de la especie radioactiva que constituye la muestra. b) La actividad radioactiva (en desintegraciones por segundo) en el instante inicial y a los 22 días. Solución. a. Aplicando la ecuación fundamental de la radiactividad se calcula la constante de desintegración ( λ ) , y conocida λ, se calcúlale valor de la vida media (τ). 1   1 N = N o e −λ t : t = 22d = 1900800s N = N o  : N o = N o e −λ⋅1900800 5   5 1 1 Ln5 e −1900800 λ = Ln e −1900800 λ = Ln −1900800λ = −Ln5 λ= = 8,47 ×10 −7 s −1 5 5 1900800

(

)

La vida media, “tiempo que por término media tardará un núcleo en desintegrase”, se calcula como el inverso de la constante de radiactividad. 1 1 τ= = = 1,18 × 10 6 s λ 8,47 × 10 −7

( )

El periodo de semidesintegración T1 2 , es el tiempo que tarda en reducirse el número de núcleos iniciales a la mitad.

 t = T1 2  1   N − λ⋅T − λ⋅T N = Noe :  No  : o = Noe 1 2 ; = e 1 2 N = 2 2  2  Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros y despejando: Ln 2 Ln 2 T1 2 = = = 818630 s ≈ 9,5 d λ 8,47 × 10 −7 −λ t

b. Se denomina actividad (A) de una sustancia radiactiva al número de desintegraciones que se producen por unidad de tiempo, en el sistema internacional se mide en Becquerel (Bq), que representa el número de desintegraciones por segundo. dN A= = λ⋅N dt -

Inicialmente: A o = λ ⋅ N o = 8,47 × 10 −7 ⋅ 87000 = 0,074 Bq

-

T=22 d: A = λ ⋅ N = λ ⋅

No 87000 = 8,47 × 10 −7 ⋅ = 0,015 Bq 5 5

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