ELIPSE

1- a) ¿Cómo se denomina la gráfica? b) Determine los elementos. c) Represente. 1-1)

16 x2 + y2 - 64 = 0

1-2)

4 x2 + 25 y2 - 100 = 0

1-3)

25 x2 + 16 y2 - 400 = 0

1-4)

4 x2 + 9 y2 - 54 y + 45 = 0

1-5)

4 x2 + y2 + 16 x = 0

1-6)

x2 + 4 y2 - 8 x - 40 y +112 = 0

1-7)

4 x2 + y2 - 16 x + 2 y + 13 = 0

Resolución del ejercicio 1-7): a) elipse b) 4 x2 + y2 - 16 x + 2 y + 13 = 0 Agrupando para completar cuadrados: (4 x2 - 16 x) + (y2 + 2 y) = -13 4 (x2 - 4x) + (y2 + 2 y + 1 - 1) = -13 4 (x2 - 4 x + 4 - 4) + (y + 1)2 - 1 = -13 4 (x - 2)2 - 16 + (y + 1)2 = -13 + 1 4 (x - 2)2 + (y + 1)2 = -13 + 1 + 16 4 (x - 2)2 + (y + 1)2 = 4

(x − 2) 2 +

c(2,-1)

(y + 1) 2 =1 4

(dividiendo en 4)

a2 = 4 ⇒ a = 2 c) b2 = 1 ⇒ b = 1 c2 = a2 - b2 ⇒ c2 = 4 -1 c2 = 3 ⇒ c =

3

ε= c/a 3 < 1 2

ε=

v (2, 1) v1 (3, – 1)

v' (2, – 3) v1´ (1, – 1)

3)

f (2, – 1 +

f ' (2, – 1 –

3)

v v' = 4

longitud del eje mayor

v1 v1' = 2

longitud del eje menor

Ecuación de la recta que contiene al eje mayor: x = 2. Ecuación de la recta que contiene al eje menor: y = – 1. Resolución del ejercicio 1-5): a) elipse b) 4 x2 + y2 + 16 x = 0

(4 x 4 (x 4 (x

2

Agrupando para completar cuadrados

)

+ 16 x + y 2 = 0

)

2

+ 4 x + y2 = 0

2

+ 2 ⋅ 2 ⋅ x + 22 − 22 + y2 = 0

[

)

]

2

4 (x + 2 ) − 2 2 + y 2 = 0 2

4 (x + 2 ) − 16 + y 2 = 0 2

4 (x + 2 ) + y 2 = 16 2

dividiendo en 16

4 (x + 2 ) y 16 + = 16 16 16 2 (x + 2 ) + y 2 = 1 4 16 c (− 2, 0 ) 2

a 2 = 16 ⇒ a = 4 b2 = 4

⇒ b=2

c2 = a 2 − b2

2

⇒ c = 16 − 4 = 12

ε = c/a ⇒ ε =

12 0 ; B = 0

b) A ≠ C ; AC > 0 ; B ≠ 0

c) A = C ; AC > 0 ; B = 0

d) A ≠ C ; AC < 0 ; B = 0

4- La ecuación

x2 y2 + = 1 corresponde a una elipse cuyos vértices y focos son: 25 9

a) v (± 4, 0) f (± 5,0)

b) v (0, ± 5) f (0, ± 4)

c) v (± 5, 0) f (± 4,0)

d) v (0, ± 4) f (0, ± 5)

5- La ecuación de la elipse que tiene centro c (- 2, 3), vértice v (1, 3) y ε = 2/3 es:

a)

(x + 2) 2 (y − 3) 2 + =1 9 5

b)

c)

(x + 2) 2 (y − 3) 2 + =1 5 9

d)

(x − 2) 2 (y − 3) 2 + =1 9 5 (x + 2) 2 (y − 3) 2 − =1 9 5

6- La ecuación de la elipse con centro c (0, 0), vértice v (0, 3) y que pasa por el punto p (– 2, 0) es:

a)

c)

x2 y2 − =1 9 4 y

2

9

−

x2 =1 4

b)

x2 y2 + =1 9 4

d)

x2 y2 + =1 4 9