Estructuras de Hormigón Armado
VERIFICACION DE LA SEGURIDAD AL PANDEO CIRSOC 201
1.
Introducción Las estructuras sufren evoluciones como consecuencia de las acciones que actúan sobre las mismas que se traducen en desplazamientos de cada uno de los puntos de la misma. Se pretende que al final de la evolución se alcance una posición de equilibrio estable. En determinadas estructuras y para ciertos tipos de acciones es necesario estudiar el equilibrio considerando la posición deformada de las mismas. Esta situación introduce una complejidad en el tratamiento matemático del problema pues se pierde la Linealidad Estática que es una de las condicionantes del Principio de Superposición de Efectos. La dificultad de cálculo se aborda mediante la adopción de simplificaciones que muchas veces hacen perder de vista los conceptos básicos asociados a este tipo de análisis. Se recomienda a los estudiantes no perder de vista este concepto. Los estudiantes han visto en el curso básico de Resistencia de Materiales el problema de pandeo en régimen elástico de acuerdo a la Teoría expuesta por Euler, mediante la adopción de la Linealidad Cinemática, la Linealidad Mecánica y la condición de excentricidad nula. Con estas hipótesis se planteó la calificación del equilibrio, considerando la indiferencia como el estado frontera entre el equilibrio estable y el inestable. Se identifica como carga crítica de Euler a la correspondiente a la que mantiene una configuración de equilibrio indiferente en la estructura. Si se elimina la condición de excentricidad nula ya no es posible encontrar una posición de equilibrio indiferente. La carga máxima alcanzable asumiendo elasticidad y resistencia indefinida será por analogía la carga crítica. Si se asume un comportamiento elasto-plástico ideal se demuestra la existencia de dos posiciones de equilibrio bajo la acción de una misma carga, una de equilibrio estable y la otra inestable. El estado para el cual sólo es posible encontrar una posición de equilibrio se lo define como el correspondiente a la carga crítica. Se esquematiza el comportamiento de una barra considerando las diversas hipótesis mencionadas. Este tipo de análisis fue realizado para una barra con condiciones de vínculo absoluto, por simplicidad, pero es extensible a una estructura compuesta por cualquier cantidad de barras o bien a estructuras superficiales. En lo que sigue se analizaran las particularidades del análisis para las estructuras de hormigón armado. Siempre, según el CIRSOC, se deberá analizar el comportamiento de la estructura considerando la hipótesis de linealidad estática y luego verificar su comportamiento considerando el equilibrio en la posición deformada.
2.
Criterios generales según CIRSOC Seguidamente se incluyen los artículos que definen conceptualmente el tema.
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17.4. VERIFICACION DE LA SEGURIDAD A PANDEO 17.4.1. Disposiciones generales Como complemento del cálculo de las solicitaciones en el sistema no deformado, de acuerdo con el artículo 17.2., se debe realizar para los elementos sometidos a compresión o flexocompresión una verificación de la capacidad portante teniendo en cuenta la deformación de la barra, (verificación de la seguridad a pandeo según la teoría de 2° orden). Para elementos comprimidos de mediana esbeltez esta verificación se puede hacer también, aproximadamente, siguiendo las directivas del artículo 17.4.3. Para elementos comprimidos de gran esbeltez
, esta verificación debe realizarse de acuerdo con el artículo 17.4.4. No se
admiten esbelteces . Si un elemento puede pandear en dos direcciones, se debe observar el artículo 17.4.8.. Para el pandeo de elementos de hormigón simple se aplica el artículo 17.9.. Se puede prescindir de la verificación a pandeo: a) para una esbeltez
, si la excentricidad relativa de la carga es
b) para una esbeltez
, si la excentricidad relativa es
.
También se puede prescindir de la verificación a pandeo, en el caso de las columnas interiores que pueden considerarse céntricamente cargadas (ver el artículo 15.4.2.) y empotradas en ambos extremos, cuando su esbeltez sea
.
(En estructuras de edificios se podrán despreciar, en general, los momentos flexores originados bajo cargas verticales en columnas interiores unidas rígidamente a vigas y losas de hormigón armado, siempre que todas las fuerzas horizontales, bajo cargas de servicio, sean absorbidas por tabiques de arriostramiento. En estructuras de edificios se podrán despreciar, en general, los momentos flexores originados bajo cargas verticales en columnas interiores unidas rígidamente a vigas y losas de hormigón armado, siempre que todas las fuerzas horizontales, bajo cargas de servicio, sean absorbidas por tabiques de arriostramiento.) En este caso se debe tomar para el cálculo como longitud de pandeo sK, la altura del piso. El Cuaderno 220 (ver el artículo 1.2.4.) contiene indicaciones más precisas. 17.4.6. Excentricidades no previstas Las excentricidades no previstas y las desviaciones constructivas inevitables deben tenerse en cuenta mediante la admisión de una deformación adicional afín a la configuración de pandeo del elemento comprimido en estudio, con un valor máximo que en el punto de máxima deformación debe ser igual a: (21) siendo: sK la longitud de pandeo de la pieza. Esta deformación se puede considerar en forma simplificada mediante un desarrollo lineal por tramos del eje de la barra, o mediante una excentricidad adicional de las cargas.
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La excentricidad no prevista puede reducirse, previa justificación y aprobación en cada caso particular, en las estructuras especiales (por ejemplo, pilares de puentes y torres para antenas) con una altura total de más de 50 m, y una ubicación claramente definida del punto de aplicación de las cargas, siempre que en su ejecución se eviten las desviaciones respecto del proyecto mediante recaudos especiales, como por ejemplo la plomada óptica. 17.4.9. Verificación del sistema en conjunto Para sistemas aporticados se puede efectuar la verificación a pandeo en forma distinta a la indicada en el artículo 17.4.2., analizando el sistema en conjunto, bajo cargas de servicio multiplicadas por 1,75 de acuerdo con la teoría de 2° orden. En este caso se deben considerar las desviaciones del sistema en conjunto, o deformaciones adicionales de acuerdo con el artículo 17.4.6.. Las rigideces a flexión adoptadas para las distintas barras en el cálculo, deben corresponder adecuadamente a las secciones existentes y al estado de solicitación obtenido.
Este último criterio se considera que es el que define con mayor precisión el temperamento que adopta el CIRSOC para la verificación de la seguridad al pandeo. 3.
Determinación de la deformabilidad de la estructura Las hipótesis que se adoptan son: -
Comportamiento no lineal del hormigón (parábola rectángulo o bien diagrama bilineal –elastoplástico-)
-
Comportamiento no lineal del acero (diagrama bilineal -elastoplástico ideal-)
-
Influencia del estado fisurado, cuando corresponda.
-
Efecto de las cargas de larga duración (Fluencia)
Quast y Kordina aconsejan utilizar como módulo de elasticidad en el hormigón para evaluar la deformabilidad el valor de Eb = (2.000 + 0.5 x βr) x 1000 [T/m2] 2
Para un hormigón H21 se obtiene un Eb = 2.875.000 T/m
Si se mantiene constante el esfuerzo normal a cada valor del momento flector corresponde una determinada combinación de εb y εs y con ello una curvatura determinada. Kordina y Quast simplifican la relación momento-curvatura utilizando una poligonal identificada por tres puntos característicos. 1.
Fisuración del hormigón
Mf, κf
2.
Fluencia del acero traccionado
Mft , κft
3.
Fluencia del acero comprimido
Mfc, κfc
4.
Estado límite
Mu, κu
Cuando existe carga axil predominante, la curva no registra el punto 1, correspondiente a la fisuración. En la determinación del punto 1, se considerará como deformación de fisuración del hormigón 0.1/1000 seguridad al pandeo.doc
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Para el acero 420/500 se sustituye el diagrama momento curvatura por un diagrama lineal. La recta se define como la que une un punto correspondiente a 0,5 Mu con el punto 2, cuando la sección se fisura o con el punto 3 cuando la sección no se fisura. Para el acero 220/340 se reemplaza el diagrama momento curvatura por un diagrama bilineal 5.
Determinación del momento de segundo orden en una barra de hormigón Sea una barra de eje recto sometida a un esfuerzo normal de compresión constante con una excentricidad uniforme y se pretende determinar la excentricidad de segundo orden. Se considera una barra sometida a una carga axil P, con una excentricidad e y una longitud l Se considera la relación Momento Curvatura correspondiente a la hipótesis de sustitución por una recta equivalente donde: Mu:
Momento último
κu:
Curvatura última determinada según la recta equivalente
B
Derivada del momento respecto a la curvatura
Estos parámetros se pueden obtener de las tablas que a ese efecto se incluyen en el Cuaderno 220. Se plantea la determinación del corrimiento máximo en la posición de equilibrio de segundo orden asumiendo una deformada parabólica. Se puede demostrar que el error que se comete es mínimo y se podría corregir mediante iteración. Se puede apreciar que la deformación de segundo orden dependerá de las características de la barra y del nivel de esfuerzo axil existente en la misma. Se puede apreciar que cuando el denominador tiende a cero el desplazamiento tiende a infinito. El valor que anula el denominador sería el correspondiente a la carga crítica.
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6.
Método de la barra equivalente. Identificación de sistemas desplazables e indesplazables La determinación de la aceptabilidad de una estructura, en términos de seguridad al pandeo requiere que cada una de las barras que la componen se encuentren en una condición admisible. Para verificar cada una de las barras se utiliza el método de la barra equivalente consistente en extraer una barra de la estructura y analizarla en condiciones asimilables a las que experimentará cuando se encuentra en la misma. La barra equivalente se configura tomando como referencia una barra biarticulada, sometida a la acción de excentricidades en los extremos, de la misma magnitud e igual orientación correspondiente a la máxima excentricidad en el tercio medio de la longitud de pandeo. Esta excentricidad se determina mediante los momentos de primer orden a los que se encuentra sometida en la estructura. Estos momentos son los que se obtienen de una solución en primer orden. La longitud de la barra será igual a la longitud reducida de Euler de la barra en la estructura. La determinación precisa de esta longitud requeriría la resolución de la estructura cargada con los esfuerzos normales obtenidos de una solución de primer orden. No obstante se plantea la posibilidad de utilizar procedimientos aproximados que se basan en la solución teórica de una barra con empotramiento elástico mediante nomogramas que ponderan la rigidez relativa de las vinculaciones extremas de la barra (Ver nomograma en Cuaderno 220 Fig 4.3.1, ó Fig 10.28 Tomo I Leonhardt). Debe tenerse presente que en sistemas desplazables debe tenerse en consideración la minoración de la rigidez de los travesaños (fisuración), frente a las columnas que en general permanecen sin fisurar. En estos nomogramas se parte de la clasificación de desplazabilidad de la estructura. Se clasifica como indesplazable una estructura cuando posee elementos de rigidez transversal que posibilitan el control de las fuerzas horizontales que se generan ante cualquier desplazamiento horizontal relativo entre los extremos de las barras de la estructura. De no existir estos elementos arriostrantes estos esfuerzos deben ser controlados por desplazamientos transversales relativos al eje de las barras. Seguidamente se transcribe el Artículo del CIRSOC en el cual se establece la condición para considerar a la estructura como indesplazable. 15.8. RIGIDEZ Y ESTABILIDAD DEL CONJUNTO 15.8.1. Hipótesis generales Se deberá cuidar especialmente la rigidez espacial y la estabilidad de las estructuras. Se deberán evitar, en lo posible, las estructuras en las que la falla o agotamiento de un elemento origine el colapso de una serie de otros elementos estructurales (por ejemplo: vigas Gerber con articulaciones en tramos sucesivos). Si en una estructura no es evidente que estén aseguradas la rigidez y la estabilidad, será necesaria una verificación numérica de la estabilidad de los elementos arriostrantes horizontales y verticales. En estos cálculos se deberán tener en cuenta las imperfecciones constructivas (tolerancias en las medidas) y las excentricidades no previstas, según el artículo 15.8.2.. Si los elementos arriostrantes son de gran flexibilidad, en la determinación de las solicitaciones se deberán tener en cuenta, adicionalmente, las deformaciones. De esta última verificación se podrá prescindir cuando, por ejemplo, los elementos arriostrantes verticales estén formados por tabiques o cajas de escaleras y éstos satisfagan la expresión adimensional (11).
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(11) siendo: h la altura del edificio sobre el nivel de empotramiento de los elementos arriostrantes verticales; Eb . I la suma de las rigideces a la flexión de todos los elementos arriostrantes verticales en estado I, de acuerdo con la teoría de la elasticidad (para Eb ver Tabla 16.1., artículo 16.2.2.); N la suma de todas las cargas verticales del edificio; n el número de pisos. Esta expresión fue deducida en función de las siguientes hipótesis ideales: 1) Los elementos arriostrantes están distribuidos en la planta de tal forma que el centro de gravedad G y el centro de esfuerzo cortante C coincidan en un mismo punto de la sección de la planta (secciones simétricas respecto de los dos ejes). 2) La sección del elemento individual de arriostramiento es constante a lo largo de todo el edificio y de pared delgada en el sentido del alabeo por torsión. 3) Las cargas verticales son iguales en todos los pisos y están aplicadas en forma simétrica. 4) La resultante de las cargas verticales incide en el centro de gravedad de la sección arriostrante completa. 5) La altura de todos los pisos es constante. 6) Las losas son rígidas en su plano. Además se admite que las estructuras arriostrantes verticales permanecen en estado I (no fisurado). Si no se cumple la hipótesis 1) habrá que calcular adicionalmente la torsión. Si se tienen en cuenta para el arriostramiento tabiques de mampostería, se los debe incluir con sus módulos de elasticidad. Además se los debe calcular como tabiques portantes. Deberán ser dimensionados para todas las cargas que sobre ellos actúan. (Ver el anexo a este artículo).
Los elementos arriostrantes deben ser dimensionados tomando en consideración la posible desviación de la vertical de la estructura. En el CIRSOC se establece al respecto: 15.8.2.2. Elementos horizontales de arriostramiento En edificios de varios pisos, las losas de piso deben dimensionarse para absorber las fuerzas horizontales en su plano. En estado de carga "desviación vertical" se considerará, para los elementos arriostrantes horizontales, como una inclinación 1 de todas las columnas y paredes que deben ser arriostradas, en los pisos inmediato superior e inferior al elemento arriostrante horizontal considerado. Se deberá prever la inclinación 1 en la posición más desfavorable y con el valor dado por la ecuación (12), (ver la Figura 4).
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(12) siendo: 1 el ángulo en radianes entre la vertical y los ejes de columnas y tabiques a arriostrar; h1 el promedio, en metros, de la altura de los pisos superior e inferior al elemento horizontal de arriostramiento. La introducción de los esfuerzos horizontales que surgen de la ecuación (12) en los elementos de arriostramiento verticales, debe verificarse solamente en los puntos de unión de ambos elementos de arriostramiento.
7.
Diagrama de flujo para el cálculo El cuaderno 220 incluye dos diagramas de flujo (Fig 4.1.3 y Fig 4.1.4), donde se incluyen, en forma sintética los criterios que se siguen para la verificación de la seguridad al pandeo de las barras. Corresponden respectivamente a barras en sistemas desplazables y en sistemas indesplazables (En el cuaderno 220 se utiliza la palabra dislocable, no obstante se considera más apropiado conceptualmente hablar de desplazable, entre extremos, transversalmente al eje de la barra ) Las variables que condicionan la verificación son: a.
Esbeltez de la barra La esbeltez incluida en el Cuaderno 220 es la esbeltez mecánica y se determina para barras de sección cuadrada o rectangular como λ =
sk / i2
Siendo sk: longitud reducida de Euler, longitud de la barra equivalente e i2 radio de giro El valor de la esbeltez será igual a b.
λ =
sk x (12)1/2 / d2
Momentos extremos Son los momentos flectores de la barra en la estructura en los extremos superior e inferior se los identificará como M1 y M2 Los momentos extremos permiten determinar la excentricidad a utilizar en la barra equivalente:
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En sistemas indesplazables en forma aproximada, para barras biempotradas elásticamente se puede asumir: e = (0.65 M2 + 0.35 M1) /N Siendo el módulo de M2 > módulo de M1 Si la barra es articulada y empotrada elásticamente en el otro extremo se considera e = 0.6 M2 / N En sistemas indesplazables el tercio medio de la longitud de pandeo se encuentra siempre en los extremos. Se considerará e = M2 / N
7.1
Dimensionado regular No se requiere la verificación de la seguridad al pandeo. Es suficiente al verificación en primer orden. Se encuentra la barra en estas condiciones cuando: a.
λ < 20
b.
e/d > 3,50 x λ/70
(Esbeltez reducida) λ > 70
(Flexión dominante)
en sistema indesplazables: Cuando λ < λlimite λlimite = 45 – 25 M1/M2 Si λ > 45 debe considerarse siempre un momento mínimo M = N x 0.10 x d
7.2
Dimensionado de barras de mediana esbeltez Se trata de esbelteces λ < 70. En este caso se puede efectuar la verificación, en el tercio medio de la longitud de pandeo mediante una verificación a flexión compuesta con el agregado de una excentricidad adicional f Esta excentricidad comprende la excentricidad de segundo orden y la excentricidad inevitable eu La excentricidad adicional se obtiene mediante alguna de tres expresiones condicionadas por la excentricidad relativa en el tercio medio.
:
si
si
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(18)
(19)
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si
(20)
siendo: la esbeltez; En sistemas indesplazables si la esbeltez es > 45 o la excentricidad relativa inferior a 2 debe incorporarse una excentricidad adicional para considerar la fluencia lenta ek ver Cuaderno 220 4.2.2
7.3
Barras de gran esbeltez Se requiere la utilización del nomograma que resuelve el problema de la barra en segundo orden sometida a la acción de una excentricidad constante. Superpone el diagrama de interacción a la determinación de la solicitación de segundo orden. Si la excentricidad relativa e/d es inferior a 2,0 debe considerarse el efecto de la fluencia lenta. En este caso se determina una excentricidad adicional ek igual a lo mencionado precedentemente.
8.
Pandeo en dos direcciones Es consecuencia de la existencia de flexión oblicua en la barra. Este hecho se verifica en todos los casos, no obstante se permiten ciertas simplificaciones las que se señalan a continuación: El dimensionado regular se acepta cuando se cumplen en ambas direcciones las condiciones establecidas para una barra.. En esbeltez moderada en ambas direcciones (observar que si en una dirección la esbeltez es baja y la otra moderada, no coinciden los tercios medios de la longitud de pandeo y puede efectuarse una verificación por separado), se pueden determinar las excentricidades f en cada dirección en el tercio medio, con ajuste a lo visto para cada dirección, y efectuar una verificación de resistencia a flexión oblicua Se puede efectuar una verificación por separado si las excentricidades relativas en ambas direcciones son inferiores a 0,2 o superiores a 5,0. Cuando no se verifican estas situaciones en el cuaderno 220 se señala un procedimiento aproximado que permite la verificación de barras de sección transversal rectangular en el plano de mayor esbeltez mediante la determinación de una longitud reducida equivalente y un momento de primer orden ficticio. Se incluye un ejemplo con el objeto de indicar el procedimiento de cálculo.
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Ejemplo de verificación de seguridad al pandeo en dos direcciones
y
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CP
x
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Existe una diferencia de armadura en defecto del orden de
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Esta diferencia sería admisible pero puede ser cubierta mediante la adición de 4 barras de 12mm como se indica en el esquema que se incluye seguidamente
y
8φ20 Estr φ6 c/0.24 x
8φ20+4φ12 Estr φ6 c/0.14
z
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ELEMENTOS COMPRIMIDOS Secuencia de Cálculo Unificado
CALCULO
λ n
s SD ?
s
n SR ?
λ lim = 45 – 25 M 1/M2 λ lim = 20
VERIFICAR TODO EL CONJUNTO
n
s
λ < = λ lim ?
DR I
eo / d λ < =70 ? n
s
eo / d => 3,50 λ / 70 ?
s
s DR I
eo/d =>3,5 ?
s
n
eo/d < 2,00 ?
SD ?
n n
ek
NOMOGRAMAS
SD = Sistema Desplazable SR = Sistema Regular DR I = Dimensionamiento N,M = M I DR II = Dimensionamiento N,M = MII eo = excentricidad en tercio medio de pandeo.
s
s
λ
