UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Septiembre 2012 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN. La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas. El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable. CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas' que consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos. TIEMPO: Una hora treinta minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1A.- Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elástica k, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un periodo de 0,25 s. Determine: a) La constante elástica y escriba la función matemática que representa la oscilación. b) La energía cinética cuando han transcurrido 0,1 s. Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular.  F = −k x   : −k x = m a  2 2 F= ma   : −k x = −m ω x ⇒ k = m ω  a = −ω 2 x  2 2 k = m ω 2   2π  − 3  2π   = 63,17 N m −1 2π  : k = m   = 100 × 10 ⋅  ω=  T   0,25  T 

La posición de un MAS viene dada por la expresión: x (t ) = A sen (ω t + φ o ) El valor de la energía mecánica suministrada al estirar el muelle, permite calcular la amplitud (A) de movimiento.

EM =

1 k A2 2

A=

2E M = k

2⋅2 = 0,25 m 63,17

Para calcular el desfase inicial (ϕo), se tiene en cuenta que la masa empieza a oscilar desde la posición de elongación máxima “Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo”. π x (t = 0 ) = A = Asen (ω ⋅ 0 + φ o ) sen φ o = 1 φo = 2 La velocidad angular (ω) se calcular a partir del periodo 2π 2π ω= = = 8π rad s −1 T 0,25 Sustituyendo en la expresión de la posición, se obtiene la función matemática que representa la oscilación. π  x (t ) = 0,25 sen  8π t +  2 

1

b.

El apartado se puede resolver por dos caminos diferentes: •

Mediante la definición de energía cinética, calculando la velocidad para t = 1 s: 1 E c = mv 2 2  dx d  π π π     v(t ) = =  0,25 ⋅ sen 8π t +   = 0,25 ⋅ cos 8π t +  ⋅ 8π = 2 π ⋅ cos 8π t +  dt dt  2  2 2    π  v(0,1) = 2π ⋅ cos 8π ⋅ 0,1 +  = −3,7 m s −1 2  1 1 E c = mv 2 = ⋅ 100 × 10− 3 ⋅ (− 3,7 )2 = 0,7 J 2 2 • Expresando la energía cinética en función de la posición: 1 1 1 1 E c = mv 2 = m A 2ω 2 cos 2 (ω t + φ o ) = K A 2 1 − sen 2 (ω t + φ o ) = K A 2 − A 2sen 2 (ω t + φ o ) 2 2 2 2 1 2 2 Ec = K A − x 2

( (

)

)

(

)

La posición para t = 0,1 s es:

π  x (0,1) = 0,25 sen  8π ⋅ 0,1 +  = −0,2 2  Sustituyendo en la expresión se obtiene la energía cinética. 1 1 E c = K A 2 − x 2 = 63,2 ⋅ 0,252 − (− 0,2)2 = 0,7 J 2 2

(

(

)

)

Nota: Para que en los cálculos coincidan ambos resultados se tienen dos opciones, o arrastrar los datos en todos los cálculos utilizando todos los decimales, o redondear los resultados a la primera cifra decimal.

Pregunta 2.- Un satélite artificial de 400 kg describe una orbita circular de radio 5/2 RT alrededor de la Tierra. Determine: a) El trabajo que hay que realizar para llevar al satélite desde la orbita circular de radio 5/2 RT a otra órbita circular de radio 5RT y mantenerlo en dicha orbita. b) El periodo de rotación del satélite en la orbita de radio 5RT. Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2; Masa de la Tierra, MT = 5,98×1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37×106 m Solución. a. Por estar el satélite inmerso en un camp conservativo, la energía mecánica se debe conservar. Em = W + Ec + Ep = Ec + Ep

(

)órbita 1 (

)órbita 2

El trabajo necesario se puede despejar de la segunda igualdad W = Ec + Ep − Ec + Ep

(

)órbita 2 (

)órbita 1

1 Mm mv 2 − G 2 R La velocidad del satélite en la órbita se puede calcular teniendo en cuenta que el satélite orbita en torno a la Tierra con movimiento circular uniforme, por tanto, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el satélite deben ser igual a la fuerza centrípeta que le hace girar. En módulo: Ec + Ep =

FG = Fc

G

Mm R

2

=m

v2 R

v2 = G

M R

Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene la suma de las energías cinética y potencial 1 Mm 1 M Mm 1 Mm Mm 1 Mm E c + E p = mv 2 − G = m⋅G − G = G −G =− G 2 R 2 R R 2 R R 2 R Sustituyendo en la expresión del trabajo:

2

(

W = Ec + Ep

 1 Mm  1  1  = GMm )órbita 2 − (E c + E p )órbita 1 = − 12 G Mm −  − G R 2 R 2 R 2

 1 1 1 = GMm − 2 5 2 R 5 R T T  W=G



 1  2 1  = GMm − 2 5 R 5 R T   T



1



−

1

1  = R 2 

 1 1 Mm  = GMm =G 2 5 R 10 RT T 

Mm 5,98 × 10 24 ⋅ 400 = 6,67 × 10 −11 × = 2,5 × 109 J 6 10R T 10 ⋅ 6,37 × 10

b. El periodo del satélite en la nueva órbita se puede calcular partiendo de la expresión de la velocidad deducida en el apartado anterior. M M M v2 = G  2 ; ω2 = G 3 R  : (ω ⋅ R ) = G R R v = ω ⋅ R  M ω2 = G 3  2 2 3 2 3 R  :  2π  = G M ; T 2 = 4 π R ; T = 4π R 2π   T  GM GM R3 ω= T  Para R = 5RT

T=

4 π 2 (5R T )3 500π 2 R 3T = = GM GM

(

500π 2 6,37 × 106

)

3

6,67 × 10 −11 ⋅ 5,98 × 1024

= 56550 s = 15h 42' 30' '

Pregunta 3.- Dos cargas puntuales q1 = 2 mC y q2 = ‒4 mC están colocadas en el plano XY en las posiciones (‒1,0) m y (3,0) m, respectivamente: a) Determine en que punto de la línea que une las cargas el potencial eléctrico es cero. b) Es nulo el campo eléctrico creado por las cargas en ese punto? Determine su valor si procede. Dato: Constante de la ley de Coulomb, K = 9×109 N m2 C‒2

Solución a. Se pide calcular la posición de punto A como indica la figura, de manera que el potencial creado por las dos cargas en el punto sea nulo.

q  Teniendo en cuenta la definición de potencial en un punto  V = K  y su carácter escalar: d  q q q1 q Vi (A ) = 0 ; V1 + V2 = 0 ; K 1 + K 2 = 0 ; =− 2 =0 x +1 x −3 x +1 x −3

∑

2 × 10 −3 − 4 × 10 −3 =− x +1 x −3

x −3 x +1

= ±2

Resolviendo una vez con cada signo, se obtienen dos posibles posiciones. x −3 =2 x = −5 ⇒ A(− 5, 0) x +1 x −3 1 1  = −2 x = ⇒ A′ , 0  x +1 3 3  b. Dado el carácter vectorial del campo eléctrico, y los sentidos de los campos creados por cada carga en el punto A, el campo eléctrico en él no es nulo.

r r r r r  q q r q r q r E A = E1 + E 2 = −E1 i + E 2 i = −K 12 i + K 22 i = K  − 12 + 22  i d1 d2  d1 d 2   2 × 10 − 3 4 × 10 − 3  r r r  i = −5,63 × 105 i Nm −1 E A = 9 × 109  − +  − 5 +12 − 5 − 3 2   

3

 2 × 10 −3 4 × 10 −3 r + E A = 9 × 10 9  2 2  + 1 3 1 1 3−3 

r  i = 15,178 × 10 6 ri Nm −1  

Pregunta 4.a) ¿Como se define y donde se encuentra el foco de un espejo cóncavo? b) Si un objeto se coloca delante de un espejo cóncavo analice, mediante el trazado de rayos, las características de la imagen que se produce si esta ubicado entre el foco y el espejo. Solución a. El foco principal (F) de un espejo cóncavo es el punto donde convergen todos los rayos paralelos al eje principal que son reflejados. Esta situado sobre el eje principal, a la izquierda y a una distancia igual a la mitad del radio de curvatura. Por estar a la izquierda, la distancia focal (f) es negativa. R f =− 2 b. Cuando el objeto esta situado entre el foco y el espejo cóncavo, tal como muestra la figura, se obtiene una imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

El trazado de rayos se puede hacer de dos formas diferentes.

Pregunta 5.- El trabajo de extracción de un material metálico es 2,5 eV. Se ilumina con luz monocromática y la velocidad máxima de los electrones emitidos es de 1,5×106 m s‒1. Determine: a) La frecuencia de la luz incidente y la longitud de onda de De Broglie asociada a los electrones emitidos. b) La longitud de onda con la que hay que iluminar el material metálico para que la energía cinética máxima de los electrones emitidos sea de 1,9 eV. Datos: Constante de Planck, h = 6,63×10‒34 J s; Valor absoluto de la carga del electrón, e= 1,6×10‒19 C ; Masa del electrón, me = 9,11×10‒31 kg; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3×108 m s‒1 Solución. a. Se define trabajo de extracción como la energía que hay que aplicar a un metal para extraer un e− en reposo (no incluye la energía cinética asociada a la velocidad de él). 1'6 × 10−19 J = 4 × 10−19 J 1eV La energía necesaria para extraer a un e− de un metal a una determinada velocidad, se descompone en dos sumandos E = W e + Ec Si la energía utilizada es en forma de radiación luminosa, y teniendo en cuenta la definición de energía cinética: 1 h ⋅ ν = We + m ⋅ v 2 2 Despejando de la igualdad, se despeja la frecuencia (ν) de la luz incidente. W = 2'5 eV

(

We + 1 m ⋅ v 2 4 × 10 −19 + 1 ⋅ 9,11 × 10 −31 ⋅ 1,5 × 106 2 2 ν= = h 6,63 × 10 − 34

4

)

2

= 2,15 × 1015 Hz

Se define la longitud de onda de De Broglie como:

λB =

h 6,63 ⋅ 10 −34 = = 4,85 × 10 −10 m mv 9,11 × 10 −31 ⋅ 1,5 × 106

b. De igual forma que en el apartado anterior, pero en este caso se pide calcular la longitud de onda conocido el trabajo de extracción y la energía cinética de los electrones emitidos. E = W e + Ec E = h ⋅ ν  c c c :E =h⋅ ⇒ h ⋅ = We + E c ν=  λ λ λ 

λ=

h ⋅c 6,63 × 10 −34 J ⋅ s ⋅ 3 × 108 m ⋅ s −1 = = 2,83 × 10− 7 m −19 J We + E c (2,5 + 1,9)eV ⋅ 1,6 × 10 eV

5

OPCIÓN B Pregunta 1.- Una onda armónica transversal de frecuencia angular 4π rad s‒1 se propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm s‒1, en la dirección positiva del eje X. En el instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongación es de + 2,3 cm y su velocidad de oscilación es de 27 cm s‒1. Determine: a) La expresión matemática que representa la onda. b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0. Solución. a. La expresión matemática de una onda transversal que se propaga en la dirección positiva del eje X es: y(x, t ) = A sen (ω t − k x + φ o ) El número de onda (k) se obtiene a partir de la velocidad propagación (v = 0,4 m s‒1) y de la frecuencia angular (ω = 4π rad s‒1). ω 4π k= = = 10π rad m −1 v 0,4 La amplitud y el desfase inicial se calculan planteando un sistema con la posición y velocidad de oscilación en el instante inicial y en el origen de espacio (y(0,0) = 0,023 m; v(0,0) = 0,27 m s‒1). y(0,0) = A sen (ω ⋅ 0 − k ⋅ 0 + φ o ) = A sen φ o = 0,023 dy v(x, t ) = = Aω cos(ωt − kx + φ o ) ⇒ v(x, t ) = Aω cos(ω ⋅ 0 − k ⋅ 0 + φ o ) = Aω cos φ o = 0,27 dt

 A sen φ o = 0,023 Asen φ o 0,023 1 Dividiendo: = = tg φ o  0,27 Aω cos φ o ω Aω cos φ o = 0,27

φ o = arctg (0,085 ⋅ 4π ) = 0,82 rad 0,023 0,023 A= = = 0,031 m sen φ o sen 0,82

Conocidos todos los parámetros de la onda se sustituyen en la ecuación. y(x , t ) = 0,031 sen (4π t − 10π x + 0,82) b.

Se pide calcular el tiempo que ha de pasar para que se cumpla y(0, t) = A

y(0, t ) = 0,031 sen (4π t − 10π ⋅ 0 + 0,82) = 0,031 sen (4π t + 0,82) = 0,031 π sen (4π t + 0,82) = 1 ⇒ 4 π t + 0,82 = arcsen 1 = 2 t = 0,06 s

Pregunta 2.- La aceleración de la gravedad en la Luna es 0,166 veces la aceleración de la gravedad en la Tierra y el radio de la Luna es 0,273 veces el radio de la Tierra. Despreciando la influencia de la Tierra y utilizando exclusivamente los datos aportados, determine: a) La velocidad de escape de un cohete que abandona la Luna desde su superficie. b) El radio de la orbita circular que describe un satélite en torno a la Luna si su velocidad es de 1,5 km s‒1. Datos: Constante de la Gravitación Universal, G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2; Masa de la Tierra, MT = 5,98×1024 kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37×106 m Solución. a. Para que un cohete escape de la luna, y teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en la superficie de la Luna debe ser igual a la energía mecánica en el infinito, que es nula. E m (Luna ) = E m (∞ ) = 0

6

E c (Superficie lunar ) + E p (Superficie lunar ) = 0  1 M m mv e2 +  − G L  = 0 ; 2 RL  

1 M m mv e2 = G L 2 RL

v e = 2G

;

ML RL

Para calcular la Masa lunar, se utiliza la relación entre la gravedad en la Luna y en la Tierra. M m M P = FG ; mg L = G L2 ; g L = G 2L ; GM L = g L R 2L RL RL Sustituyendo en la expresión de la velocidad de escape:

v e = 2G

ML g R2 = 2 L L = 2g L ⋅ R L RL RL

 g = 0'166g T  −2 v e = 2g L ⋅ R L =  L  = 2 ⋅ 0'166g T ⋅ 0'273R T = 9,06 × 10 g T ⋅ R T R 0 ' 273 R = T  L

v e = 9,06 × 10 − 2 g T ⋅ R T = 9,06 × 10− 2 ⋅ 9,8 ⋅ 6,37 × 106 ≈ 2379 m

s

b. Para que un satélite describa una órbita con movimiento circular uniforme, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a su fuerza centrípeta. Si la órbita tiene un radio R:

FG = Fc ; R=

g L ⋅ R 2L v2 R=

G

M Lm R2

=m

v2 R

;

v2 = G

ML R

;

R=G

ML v2

=

g L ⋅ R 2L v2

 g = 0'166g T  0'166g T ⋅ (0'273R T )2 1,24 ⋅ 10 − 2 g L ⋅ R 2L = = L = v2 v2 R L = 0'271R T 

1,24 ⋅ 10 − 2 g L ⋅ R 2L v

2

=

(

1,24 ⋅ 10 − 2 ⋅ 9,8 ⋅ 6,37 × 106

(1,5 × 10 )

3 2

)

2

= 2,19 × 106 m

Pregunta 3.a) Determine la masa de un ión de potasio, K+, si cuando penetra con una velocidad r r r r v = 8 × 10 4 i m s −1 en un campo magnético uniforme de intensidad B = 0,1 k T describe una trayectoria circular de 65 cm de diámetro. b) Determine el modulo, dirección y sentido del campo eléctrico que hay que aplicar en esa región para que el ión no se desvíe. Dato: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60×10‒19 C Solución. a. Si el ión describe una trayectoria circular con velocidad constante, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a su fuerza centrípeta. r r FB = Fc Operando en módulo, se puede despejar la masa del ión. 0,65 ⋅ 1,6 × 10 −19 ⋅ 0,1 ⋅ sen 90º v2 R ⋅ q ⋅ B ⋅ sen α 2 q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen α = m ; m= = = 6,5 × 10 − 26 Kg R v 8 × 10 4 b.

Para que el ión no se desvíe, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el deben ser cero. r r FB + FE = 0 r r r r r r r r r r q ⋅ v × B + q ⋅ E = 0 ; E = − v × B = − v i × Bk = − vB ⋅ i × k = − vB ⋅ ((1,0,0 ) × (0,0,1)) r r r r r E = − vB ⋅ (0,−1,0) = − vB ⋅ − j = vB j = 8 × 104 ⋅ 0,1 j = 8000 j Nm −1

(

)

(

) ( ( )

)

7

( )

Pregunta 4.- Una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal se utiliza para obtener una imagen de tamaño doble que el objeto. Determine a que distancia se encuentra el objeto y su imagen de la lente si: a) La imagen es derecha. b) La imagen es invertida. Realice en cada caso el diagrama de rayos. Solución. a. Para que en una lente convergente la imagen sea derecha, el objeto deberá estar situado dentro de la distancia focal, obteniéndose en este caso una imagen virtual derecha y de mayor tamaño. A partir de la ecuación del aumento lateral y de la ecuación fundamental de las lentes delgadas, se puede plantear un sistema que permite determinar la posición del objeto(s) y de la imagen(s’). y' s' • Aumento lateral: M L = = = 2 y s 1 1 1 1 1 1 • Ecc. Fundamental: − = − ; − =− s′ s f s′ s − 10 s '   s =2  s = −5 cm  1 1 1 Resolviendo el sistema:  s' = −10 cm  − =  s′ s 10 b. Para que en una lente convergente la imagen sea invertida, el objeto deberá estar situado a una distancia mayor que la distancia focal, obteniéndose en este caso una imagen real e invertida. Para que sea de mayor tamaño, deberá estar situada entre la distancia focal y su doble. Se plantea un sistema igual que en el apartado a. s'  = −2  s 1 1 1  − =− − 10  s′ s s = −15 cm Resolviendo el sistema:   s' = 30 cm

Pregunta 5.- El periodo de semidesintegración de un isótopo radiactivo es de 1840 años. Si inicialmente se tiene una muestra de 30 g de material radiactivo, a) Determine que masa quedara sin desintegrar después de 500 años. b) ¿Cuanto tiempo ha de transcurrir para que queden sin desintegrar 3 g de la muestra? Solución. a. El número de núcleos (N) que quedan sin desintegrar de un material radioactivo pasado un tiempo t, viene dado por la expresión: N = N o e − λt Donde No representa el número de núcleos iniciales y λ es la constante de desintegración. Esta ecuación también se puede expresar en función de la masa inicial de núcleos radioactivos (mo) y de la masa existente (m) después de transcurrir un tiempo determinado. m = m o e − λt La constante de desintegración se puede obtener a partir del periodo de semidesintegración (T½), que representa el tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad. N = N o e −λt  N o − λT Ln 2 Ln 2 = N oe 1 2 Ln 2 = λT1 2 λ= = = 3,767 × 10 − 4 año −1 : N T1 2 1840 N= o  2 2 

m = m o e − λt = 30 ⋅ e − 3,767×10

8

−4

⋅500

= 24,85 g

b.

m = m o e − λt

e − λt =

−1 m m t= Ln mo λ mo 3 −1 t= Ln = 6112,5 años −4 30 3,767 × 10

m mo

− λt = Ln

9