´ UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA LA ISABELICA - ESTADO CARABOBO INGENIER´IA PETROQU´IMICA F´ISICA II (QUF-23025) Docente: Lic. Yurbelys C. Contreras P.1 Gu´ıa de ejercicios N◦ 1 (continuaci´ on): Hidrost´ atica e Hidrodin´ amica Abril 2010 Ecuaci´ on de Continuidad: La trayectoria tomada por una part´ıcula de fluido bajo flujo estable se llama l´ıneas de flujo. La velocidad de la part´ıcula es siempre tangente a la l´ınea de flujo, como se muestra en la figura a. Un conjunto de l´ıneas de flujo como las de la figura forman un tubo de flujo. N´ otese que las part´ıculas del fluido no pueden fluir hacia fuera o hacia dentro de los lados del tubo, por que las l´ıneas de flujo se cruzar´ıan (no seria laminar). Teniendo esto claro, supongamos un tubo de flujo no uniforme, como el de la figura b, en un interFigura 1: a) L´ınea de flujo de un fluido laminar. b)Tubo de flujo usado para derivar la ecuaci´ on de continuidad

a)

b)

valo ∆t, el fluido en el extremo inferior se mueve una distancia ∆x1 (despejando de la definici´ on de rapidez v = x/t) ∆x1 = v1 ∆t

(1)

Si A1 es el ´area de la secci´on transversal, entonces la masa m1 que pasa por ∆x1 , (despleg´ andola de la definici´on de densidad ρ = m/V ) ser´ a: m1 = ρ · V = ρ · ∆x1 A1

(2)

Sustituyendo ∆x1 (Ec. 1) en m1 (Ec. 2) queda: m1 = ρ · v1 A1 ∆t 1

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1

(3)

Ahora en ese mismo intervalo de tiempo ∆t, el fluido en el extremo superior se mueve una distancia ∆x2 , realizando lo mismo que en la parte anterior:

m2 = ρ · v2 A2 ∆t

(4)

Como no hay perdida de masa y el fluido es incomprensible, entonces para un mismo intervalo de tiempo ∆t la masa que entra por A1 tiene que ser la misma que sale por A1 , entonces m1 = m2 :

ρ · v1 A1 ∆t = ρ · v2 A2 ∆t v1 A1 = v2 A2 =

constante

(5)

La Ec. 5 se conoce como ecuaci´ on de continuidad para fluidos y expresa que: ”El producto del ´area y la rapidez del fluido en todos los puntos a lo largo de un punto es constante, para un fluido incompresible”. La importancia de la ecuaci´on de continuidad nos indica que la rapidez del fluido aumenta donde el tubo es estrechado (A peque˜ na) y disminuye donde el tubo es ensanchado (A grande). Esto es bastante com´ un cuando regamos las matas si queremos que el chorro de agua salga con mayor rapidez disminuimos el di´ametro de la boquilla en la manguera. De la ecuaci´on de continuidad, el producto v · A se deriva un termino important´ısimo que usaran mucho en lo que resta de carrera: el caudal o gasto volum´ etrico, que no es mas que el volumen por unidad de tiempo. Recuerden que v es la velocidad y A el ´ area, pero realizando un an´ alisis dimensional, queda m3 /s: Φ=v·A

(6)

Ecuaci´ on de Bernoulli: La ecuaci´on de Bernoulli nos da la relaci´ on que existe entre la rapidez, la presi´ on y la elevaci´ on de un fluido incompresible en flujo estacionario y su deducci´ on la encontraran en la clase asistida semana N◦ 4: 1 P + ρgy + ρv 2 = constante (7) 2 Donde: P es la presi´on, ρ es la densidad del liquido, y es la elevaci´ on, g es la gravedad y v es la rapidez del liquido. Notese que para un fluido en reposo v = 0 se obtiene la ecuaci´ on fundamental de la hidrost´ atica. Ejemplo: 1. Por una manguera contra incendios de 6,35 cm de di´ ametro fluye agua a una tasa de 0,0120 3 m /s, la manguera termina en una boquilla de di´ ametro inferior igual a 2,20 cm. a) ¿Cual es la rapidez con la que el agua sale de la boquilla?. b) Si la bomba que se encuentra al otro extremo de la manguera y la boquilla est´ an a la misma altura y si la presi´ on en la boquilla es 2

la atmosf´erica. ¿Que presi´on tiene la bomba? Datos: d1 = 6, 35cm = 6, 35 · 10−2 m Φ = 0, 0120m3 /s

d2 = 2, 20cm = 2, 20 · 10−2 m

a) Nos dan el caudal del agua dentro de la manguera, entonces: Φ = v1 A1 = 0, 0120

m3 /s

(8)

Por la ecuaci´on de continuidad: v1 A1 = v2 A2 v2

v2

Despejando v2 A1 = v1 A2 Despejando v1 de la Ec. 6   A1 0, 0120 m3 /s = A2 A1

v2 =

0, 0120 A2

m3 /s

(9)

Si suponemos que el ´area de la manguera coincide con el ´ area de una circulo de radio r (recuerde que el radio es la mitad del di´ ametro):

Acirculo = πr2 A2 = π(11 · 10−3 )2 A2 = 3, 80 · 10−4

m2

(10)

Sustituyendo la Ec. 10 en la Ec. 9: 0, 0120 m3 /s A2 0, 0120 m3 /s = −4 3, 80 · 10 m2 = 31, 57 m/s

v2 = v2 v2

3

(11)

El agua sale de la manguera con una velocidad de 31, 57 m/s. b) Para calcular la presi´on de la bomba usamos la ecuaci´ on de Bernoulli (Ec. 7), donde el sub´ındice 1 corresponde a la manguera, mientras que el sub´ındice 2 corresponde a la boquilla: 1 1 P1 + ρgy1 + ρv12 = P2 + ρgy2 + ρv22 2 2

(12)

Como la bomba y la boquilla se encuentra a la misma elevaci´ on y1 = y2 despejando P1 nos queda: 1 1 P1 = P2 + ρv22 − ρv12 2 2
1 2 P1 = P2 + ρ v2 − v12 2

(13)

Sustituyendo los valores: P1 = Patm = 1, 013 · 105 Pa, ρ = 1000 Kg/m3 , v2 = 31, 57 m/s y v1 la podemos despejar de la Ec. 8, v1 = 3, 79 m/s.

P1 = 1, 013 · 105 P1 = 592, 5 · 103

i h 1 · 1000Kg/m3 · (31, 57)2 − (3, 79)2 2 Pa = 592, 5 KPa Pa +

m2 /s2

La bomba tiene una presi´on de 592,5 KPa. 2. Un tubo de 10,0 cm de di´ametro tiene una reducci´ on uniforme que lo conecta con otro tubo de 5,00 cm de di´ametro. Si la presi´ on en el tubo grande es de 8, 0 · 104 Pa y la presi´ on en el tubo peque˜ no es de 6, 0 · 104 Pa. ¿A que tasa (caudal) circula el agua a trav´es de los tubos? 3. A trav´es de una manguera de 3 cm de di´ ametro fluye agua a una velocidad de 0,65 m/s . El di´ametro de la boquilla es de 0,30 cm. ¿A que velocidad pasa el agua a trav´es de la boquilla?. b) si la bomba situada a un extremo de la manguera y la boquilla de la misma est´ an a la misma altura y si la presi´on en la boquilla es la atmosf´erica. ¿Que presi´ on tiene la bomba? 4. El abastecimiento de agua en un edificio se alimenta por un tubo principal de 6,00 cm de di´ametro. Una llave de 2,00 cm de di´ ametro colocada a 2,00 m sobre le tubo principal se observa que llena un recipiente de 25,0 L en 30,0 s. a) ¿Cual es la rapidez con la que el agua sale de la llave?. b) ¿Cual es la presi´ on manom´etrica en el tubo principal de 6,00 cm? (suponga que la llave es la u ´nica ”fuga” en el edificio. 5. Un tanque cerrado que contiene un liquido de densidad ρ, tiene un agujero a un lado a una distancia y1 del fondo del tanque. El agujero esta abierto a la atm´ osfera y su di´ ametro en mucho menor que el del tanque, el aire arriba del tanque se mantiene a una presi´ on P . Hallar la rapidez del liquido cuando sale por el agujero, cuando el nivel del liquido esta una distancia h por encima del agujero.

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6. Se bombea agua desde un r´ıo hasta un poblado, a trav´es de una tuber´ıa de 15 cm de di´ ametro. El rio esta a 564 m de altura y el pueblo a 2096 m. a) ¿Cual es la presi´ on m´ınima con que debe barbearse el agua para que llegue al poblado?. b) si se bombea 4500 m3 diarios ¿cual es la velocidad del agua en la tuber´ıa?. Suponga que la intensidad del campo gravitatorio y la densidad del aire son constantes a estas alturas. Referencias: Serway R y Beichener R. (2002). ”F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa”. McGraw Hill. Volumen I, 5ta edici´on. Fishbane P, Gasiorowicz S y Thornton S. (1994). ”F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa”. PrenticeHall Hispanoamericana. Volumen I, 1ra edici´ on. Tipler P y Mosca G. (1993) ”F´ısica para ciencia y tecnolog´ıa” Editorial Reverte. Volumen I, 3ra edici´on.

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