UNIDAD Nº11:TENSIONES Y DEFORMACIONES.

Introducción. En esta unidad solo se pretende dar algunos conceptos generales sobre dos temas que serán desarrollados bastamente en el curso de Resistencia de materiales.

Concepto de tensión en un punto según un plano. Consideremos un cuerpo sometido a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio bajo cuya acción el mismo experimenta un pequeño cambio de forma (se deforma). Una vez que el cuerpo se deformó consideramos al mismo cortado por un plano de normal ň tal como se muestra.

Si ahora separamos el cuerpo en las dos partes en que ha quedado dividido resulta:

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Es lógico pensar que una vez efectuado el corte quedan en evidencia las fuerzas internas que en cada punto de la sección de corte existían antes de efectuar el mismo, tal como muestra la figura 1. Si analizamos un punto B ubicado en el plano con el cuál se ha cortado el cuerpo, se define como Tensión en el punto B según el plano de normal ň al vector que surge de la siguiente expresión:

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Como por un punto pasan infinitos planos se dice conocido el Estado de tensión en un punto cuando se conocen los infinitos vectores tensión asociados a los infinitos planos pasantes por el mismo.

Tensiones normales y tangenciales. Dado un punto B y un plano cuya normal queda definida por el versor ň existirá un vector tensión al cuál se le pueden definir dos componentes: una de la dirección del versor ň y otra perpendicular a este último. A la primera de las componentes se la denomina Tensión normal y a la segunda de ellas Tensión tangencial. Lo expresado se grafica a continuación:

Teorema de Cauchy o de reciprocidad de las tensiones tangenciales Enunciado Las componentes de tensión tangencial correspondientes a dos planos perpendiculares entre si y dirigidas perpendicularmente a la arista intersección entre ambos resultan ser de igual módulo y ambas se acercan o se alejan de dicha arista.

Demostración Consideramos un punto en cuyo entorno hemos ubicado un hexaedro de aristas diferenciales de tal manera que en el límite las seis caras pasan por el punto en cuestión. En cada plano ubicamos el vector tensión correspondiente mediante sus componentes σ y τ tal como se muestra.

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En la figura las tensiones en los planos posteriores no se representan para no complicar la misma pero resultan iguales y de sentido opuesto a las de los planos frontales. Por convención las tensiones normales son positivas cuando resultan salientes del plano al que corresponden y las tensiones tangenciales se referencian al sistema de coordenadas adoptado. Si planteamos ahora el equilibrio del sistema de fuerzas actuante sobre el hexaedro de aristas diferenciales considerando como centro de reducción el punto B las ecuaciones de proyección de fuerzas resultan idénticamente nulas por lo que no son de utilidad y la nulidad del momento de reducción arroja los siguientes resultados:

MBX=0 → τYZ .dx.dz.dy – τZY .dx.dy.dz=0

→

τYZ=τZY

MBY=0 → -τXZ.dy.dz.dx+ τZX .dx.dy.dz=0

→

ΤXZ=τZX

MBZ=0 → τXY .dy.dz.dx - τYX .dx.dz.dy=0

→

ΤXY=τYX

Quedando demostrado el presente teorema.

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Determinación del vector tensión en un punto según un plano, conocidas las tensiones en tres planos ortogonales entre sí pasantes por el punto.

El plano según el cuál se pretende determinar el vector tensión tiene normal ň y area dA y en el límite resulta pasante por el punto B. Entonces si planteamos el equilibrio del tetraedro, utilizando exclusivamente ecuaciones de proyección de fuerzas por tratarse en definitiva de un sistema de fuerzas concurrentes al punto B resulta:

Rx=0 → ρXB,n.dA –σxx.dA.nx – τyx.dA.ny – τzx.dA.nz=0 Ry=0 → ρYB,n.dA –τxy.dA.nx – σyy.dA.ny – τzy.dA.nz=0 Rz=0 → ρZB,n.dA – τxz.dA.nx – τyz.dA.ny – σzz.dA.nz=0

Operando convenientemente llegamos a la expresión matricial que sigue:

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Si recordamos el teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales, para definir el estado de tensión en un punto solo es necesario conocer seis componentes de tensión,o sea:

σxx ,σyy,σzz,τxy,τyz

y

τxz.

Ecuaciones de equivalencia entre tensiones y esfuerzos internos.

Si particularmente cortamos un cuerpo con un plano de forma tal que al separar el mismo quede en evidencia la sección transversal, podemos entonces estudiando por ejemplo la parte derecha, establecer la equivalencia entre los esfuerzos internos y las tensiones que se desarrollan en los infinitos puntos de dicha sección transversal, tal como se muestra a continuación.

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Las ecuaciones de equivalencia son las que a continuación se indican:

Como sabemos los esfuerzos internos varían en función de z, mientras que las tensiones varían en función de z pero además en cada sección transversal varían punto a punto, es decir en función de x e y. Sus variaciones serán de estudio en Resistencia de Materiales.

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Concepto de deformación.

La deformación es, en sentido generalizado, el cambio geométrico que experimenta un cuerpo no rígido cuando se lo somete a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio. En la naturaleza no existen los cuerpos perfectamente rígidos y por lo tanto todos en mayor o menor medida al ser sometidos a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio cambian su forma. Las estructuras, que son nuestros cuerpos de interés, experimentan deformaciones que deben resultar de pequeño valor, para que las mismas sean técnica y socialmente aceptadas. En consecuencia en lo que sigue se estudia el campo de las deformaciones de pequeño valor. Consideremos un cuerpo sometido a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio tal como el de la figura y analicemos el cambio de posición experimentado por algunos

puntos del mismo luego de la deformación. Si particularmente se estudia el entorno del punto A y sobre una recta pasante por el mismo, cuya dirección queda definida por el versor ň , ubicamos un punto B a distancia muy pequeña del mismo (dl),llamaremos Vector corrimiento relativo específico en el entorno del punto A asociado a la dirección definida por el versor ň a la siguiente expresión:

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Por otra parte si consideramos dos segmentos perpendiculares entre sí antes de la deformación (el AB y el BC), luego de ocurrida la misma el ángulo recto habrá variado

γ. Al ángulo γ se lo denomina Angulo de distorsión.

resultando igual a 90º-

Analicemos ahora en función de nuestros conocimientos cuáles son las posibilidades para que exista corrimiento relativo entre dos puntos pertenecientes al mismo cuerpo. Si consideramos el cuerpo como rígido cualquier corrimiento que un punto del mismo experimente será consecuencia de una traslación más una rotación respecto de determinado eje que dicho cuerpo realice. Si tenemos en cuenta que estamos trabajando dentro de la teoría de pequeños desplazamientos resulta ser:

La expresión (2) nos permite obtener las siguientes conclusiones: a-Si el cuerpo solo desarrolla una traslación entonces no existe corrimiento relativo entre los puntos del mismo. b-Si el cuerpo experimenta una rotación respecto de un eje existe corrimiento relativo entre los puntos de dicho cuerpo sin existir variación de distancia entre los mismos dada la condición de cuerpo rígido. c-La rotación del cuerpo puede ser analizada respecto de un eje paralelo al original pasante por el punto A.

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Al estudiar el cuerpo como deformable vemos que existe una nueva posibilidad para el corrimiento relativo entre sus puntos, produciéndose ahora variación de distancia entre los mismos. Este proceso es consecuencia del cambio de forma del cuerpo o lo que es lo mismo de la Deformación experimentada por el cuerpo. Si ahora analizamos nuevamente la expresión (1) del corrimiento relativo específico podemos establecer que la misma involucra dos términos tal como se indica:

En esta expresión el primer término del miembro derecho resulta ser el vector corrimiento relativo específico en el entorno del punto A asociado a la dirección definida por el versor ň, debido a la rotación del cuerpo considerado como rígido, respecto de un eje pasante por el punto A y el segundo término de idéntico miembro es el vector corrimiento relativo específico en el entorno del punto A asociado a la dirección definida por el versor ň, debido a la deformación del cuerpo. El primer término no es de interés en el presente desarrollo, por no implicar cambio de forma del cuerpo. El segundo término es el que se analiza en detalle y recibe el nombre de Vector deformación Específica o simplemente Vector deformación.

Así como al referirnos al concepto de tensión definimos el vector tensión en un punto según un plano pasante por el mismo, en este caso se habla del vector deformación en el entorno de un punto según una dirección pasante por el mismo. En este caso se dice conocido el Estado de deformación en el entorno de un punto cuando se conocen los infinitos vectores deformación asociados a las infinitas direcciones pasantes por el mismo. Deformaciones longitudinales y transversales. Dado un punto A y una dirección definida por su versor ň existirá un vector deformación al cuál se le puede definir dos componentes: una de la dirección del versor ň y otra perpendicular a este último. A la primera de las componentes se la denomina Deformación longitudinal y a la segunda de ellas Deformación transversal. Lo expresado se grafica a continuación:

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Determinación del vector deformación en el entorno de un punto asociado a una dirección de versor ň cuando se conocen los vectores deformación asociados a tres direcciones ortogonales entre si pasantes por el mismo. Para el desarrollo que sigue consideraremos un entorno del punto en cuestión tal como se muestra a continuación:

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Si ahora nos referimos a la expresión (1), de la misma se desprende como concepto general que el vector corrimiento relativo entre 2 puntos es igual al producto del vector corrimiento relativo específico por la distancia entre los dos puntos en cuestión y si además del vector corrimiento relativo específico solo consideramos el vector deformación, es posible plantear las siguientes tres igualdades:

Proyx) → εXA,n.dl = εxx.dx + εyx.dy + εzx.dz Proyy) → εYA,n.dl = εxy.dx + εyy.dy + εzy.dz Proyz) → εZA,n.dl = εxz.dx + εyz.dy + εzz.dz

Si se tiene en cuenta que: dx=dl.nx , dy=dl.ny y dz=dl.nz operando convenientemente es posible arribar a la siguiente expresión matricial.

Aceptando sin demostrar que εxy=εyx , εyz=εzy y εxz=εzx ,solo serán necesarias seis componentes de deformación para definir el estado de deformación en el entorno de un punto. La relación existente entre las componentes de deformación y las funciones que definen el corrimiento de los puntos del cuerpo, como así también la relación existente entre tensiones y deformaciones será de estudio en el curso de Resistencia de Materiales.

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