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Ing. Mario Eduardo Alonso Ing. Juan José Urquiza

UNIDAD 1: ESTADO DE TENSIÓN INTRODUCCIÓN Efectuemos el ANÁLISIS ESTÁTICO de un sólido sometido a la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio (Ver Figura 1). Distinguiremos entre Fuerzas Aplicadas o Activas (P1, P2,…, Pn) y Fuerzas Reactivas o Reacciones de Vínculo (R1, R2,…, Rn). P2

P1

Pn

P1

R1

P2

Pn

Rn R2

Figura 1

à Hablamos de un Sistema en Equilibrio. à Hemos puesto en evidencia las Reacciones de Vínculo Externo

è Diagrama Cuerpo Libre

à Este sólido tomado como una unidad es un TODO en equilibrio. A nosotros nos interesa ver qué ocurre dentro del TODO cuando éste está sometido a las fuerzas exteriores, tanto activas como reactivas. Para ello dividimos el TODO en dos partes mediante un corte según un plano arbitrario π. (Ver Figura 2) C

RR

P1

P2

La región rayada S es la intersección del plano con el sólido y la llamamos sección transversal.

C

π

C

S

MR

Ninguna de las dos partes originadas luego de efectuado el corte se encuentra en equilibrio.

S Parte 2

Parte 1

Figura 2 R1

π

R2

Para restablecer el equilibrio en la parte 1 es necesario efectuar la reducción a un punto de las fuerzas actuantes en la parte 2, (idéntico razonamiento podría realizarse pensando en equilibrar la parte 2 reduciendo las fuerzas actuantes en la parte 1). C

Reducimos a un punto cualquiera C y nos aparece una

C

RR y M R .

1-30

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P2

P1

Ahora, por convención, nosotros reducimos al baricentro G de la sección transversal.

S

(Ver Figura 3).

S

RR MR

Parte 1

Parte 2

G

MR RR

R1

R2

Figura 3

Podríamos elegir un SISTEMA CARTESIANO de referencia asociado a nuestra SECCIÓN TRANSVERSAL. Así, las resultantes de la reducción tendrán tres componentes según las direcciones x, y, z (Ver Figura 4).

Rx   RR = Ry   Rz

y My

Figura 4

S

Qy N

Mx

Parte 1

Mx

N Parte 2

x Qz

Qz

S

Mz

Qy

Mz

z

My

Hemos definido así los valores de los esfuerzos característicos que solicitan a la sección considerada.

Mx   M R = My   Mz

N   Qy   Qz S =   Mt  My   Mz

         

Este equilibrio alcanzado a través de la reducción del sistema de fuerzas a un punto, que por convención consideramos el baricentro, induce a pensar que la vinculación entre las partes se materializa a través de seis condiciones de vínculo (CV) aplicadas a dicho punto.

CONCEPTO DE TENSIÓN

∆P

El contacto entre las dos partes no se realiza en forma puntual (como sugiere la reducción de fuerzas), en realidad se desarrolla a lo largo de cada uno de los puntos de la sección.

∆s

Se concluye que en realidad interviene un CONJUNTO INFINITO DE FUERZAS que actúan sobre cada uno de los elementos de área que componen la sección. Considero un elemento de área

∆S

y que sobre dicho elemento se

transmite una fuerza elemental ∆P (Ver Figura 5).

Figura 5

2-30

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Considero el cociente ∆P / ∆S y haciendo tender a cero el denominador, se define como TENSIÓN EN EL PUNTO a la siguiente expresión: (Ver Figura 6)

Tensión = ρ π = lim

∆Sπ → 0

∆P ∆Sπ

=

π

ρπ

Sπ

dP ∆Sπ

dS

Observamos que: Figura 6

à Es una magnitud vectorial 2

à Unidades: Fuerza sobre superficie (por ej.: KN/cm )

π ⇒ v ρπ ⇒

Plano de corte de la sección Vector tensión (no necesariamente

∆Sπ ⇒

perpendicular al plano) Diferencial de superficie

Por este diferencial de superficie se pueden transferir fuerzas en general, pero no cuplas (Ver Figura 7).

ds

dP

Figura 7

brazo de palanca infinitesimal è implica que el par es infinitésimo de orden superior.

dP

A(xA,yA,zA)

y

Recordemos que la vinculación se da punto por punto; precisamente este vector tensión en general va a ser distinto para cada punto del plano,

v

ρπ = f ( x, y , z )

pero además también va a depender del

plano de corte. (Ver Figura 8). x

z

Figura 8

y

π

Debemos ahora identificar el plano pasante por el punto en el que se pretende analizar las tensiones. Para ello recurrimos al VERSOR NORMAL AL PLANO en cuestión.

y

nπ

α

γ

(Ver Figura 9).

( nπ :

β

x

z

versor normal al plano

A

(dirección de la normal exterior)

ρπ z

x Figura 9

En la figura 9, se observa que α, β y coordenados x, y, z respectivamente.

γ

son los ángulos que forma el versor normal al plano con los ejes

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Las siguientes relaciones:

l = cos α

m = cos β

,

,

n = cos γ

son los llamados cosenos directores del versor

( nπ .

(son las componentes del vector en la terna x,y,z) Luego, el vector

( nπ , tendrá la siguiente notación vectorial:

→

Se debe cumplir que:

2

2

( nπ = (l , m , n )

→

2

l +m +n =1

Finalmente, se puede concluir que el vector tensión, en su forma más general, es función del punto analizado (dependencia de las coordenadas xA, yA, zA del punto) y también es función de la orientación del plano considerado (dependencia de los cosenos directores del versor normal al plano en estudio). Es decir:

ρ π = f (x A , y A , z A , l , m , n ) v

π

TENSIONES NORMALES Y TANGENCIALES El vector tensión se suele representar mediante dos componentes: (Ver Figura 10) : Tensión normal al plano en estudio

τπ

: Tensión tangencial al plano en estudio

ϕ:

ρπ ϕ

σπ

τπ

nπ

σπ

Ángulo comprendido entre el vector tensión y el versor normal del plano considerado.

Figura 10

Analicemos las componentes del vector tensión, de la figura surge claramente que los módulos (magnitud escalar) de estas componentes son:

v

v

v

τ π = ρπ .senϕ

σ π = ρ π . cos ϕ Si utilizamos notación vectorial podemos decir que:

r

r

(

σ π = ρπ × nπ

→

Producto escalar entre el vector tensión y el normal al plano.

Siendo:

r

(

ρπ = ρπ x , ρπ y , ρπ z

)

;

( nπ = (l , m , n )

2

;

2

2

ρπ = ρ πx + ρ πy + ρ πz

;

nπ = 1

4-30

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ϕ

Resulta que:

y

→ σ π = ρ π x .l + ρ π y .m + ρ π z .n

ρπ τπ nπ σπ

Luego el vector tensión normal al plano π será:

r

r

r (

(

(

σ π = σ π .nπ = ( ρπ × nπ ).nπ •

Puedo conocer los cosenos directores de ρπ : cos α ρ =

•

ρ πx

; cos β ρ =

ρπ

ρ πy ρπ

; cos γ

π

z ρ

=

x

ρ πz

Figura 11

ρπ

Si deseo conocer el ángulo ϕ que forma el vector tensión

ρπ

con la normal al plano π, podríamos considerar

el siguiente producto escalar (Ver Figura 11):

r

(

r

(

ρ π × nπ = ρ π . nπ . cos ϕ

cos ϕ =

ρ x .l + ρ y .m + ρ z .n

cos ϕ = cos α ρ .l + cos β ρ .m + cos γ ρ .n

r

ρπ

Para el vector tensión tangencial tendremos:

τ π = ρ π .senϕ

→

la aparición del “senϕ” sugiere que la expresión de la tensión tangencial debe ser en términos de un producto vectorial

v

v

(

τ π = ρπ ∧ nπ

En la figura 12 observamos que con la simple aplicación del producto vectorial no obtenemos el vector buscado. Debemos volver a multiplicar vectorialmente por Es decir:

v

v

(

( nπ . (

τ π = nπ ∧ ρ π ∧ n π

τπ = nπ ^ ρπ ^ nπ ρπ

v

v

º

τ π = ρπ − σ π

nπ

90

Es decir:

v

ϕ

Otra forma posible de obtener el vector tensión tangencial es mediante la resta entre el vector tensión y vector tensión normal.

ρπ ^ nπ

El módulo del vector tensión tangencial será:

τ π = ρπ 2 − σ π 2 Figura 12

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NOTACIÓN Y CONVENCIÓN DE SIGNOS El vector tensión, en el caso más general, tiene tres componentes. Para designarlas se recurre a dos subíndices, de los cuales el primero indica el plano en el que actúa la tensión y, el segundo subíndice, su dirección.

r

Por ejemplo, el vector tensión definido por : ρ

π

τxy

y

(

= ρπ x , ρπ y , ρπ z

En la figura 13, el plano π es ahora un “plano

ρx

G

X”, dado que el versor normal del plano π no es más que el versor que identifica la dirección del eje X.

D

F

σx

C

τxz

O

π E

)

A

( ( nπ = (1, 0,0 ) = n x La primer componente, ρπx , es una tensión

que actúa sobre el plano π (1er. subíndice) y tiene la dirección del eje x (2do. subíndice). Las componentes del vector tensión serán:

x

B

z Figura 13

ρπx

=

σx

ρπy

=

τxy

ρπz

=

τxz

La convención de signos que adoptaremos para las tensiones normales será: Tensión normal saliente del plano TRACCIÓN

è

Tensión normal entrante al plano

σ>0

COMPRESIÓN

è

σ0

Figura 14

σπ σ2 > σ3

Por convención adoptamos:

σ1, σ2, σ3

(considerando los signos)

Los coeficientes I1, I2 e I3 que aparecen en la ecuación (8) son los llamados invariantes de tensión. Son solamente expresiones algebraicas donde intervienen los elementos del tensor [T]. Los veremos en detalle más adelante. Una vez obtenidos los autovalores, los reemplazamos en el sistema (5) o (6). Por cada uno de ellos obtenemos un sistema de ecuaciones homogéneo, cuya solución nos da los cosenos directores de la dirección asociada. Hemos obtenido los vectores que definen las “Direcciones Principales” (autovectores, vectores propios o eigenvectors) del estado de tensión analizado.

Autovalores

Autovectores

σ1

→

σ

→

2

σ3 → Se puede comprobar que:

 l1    ( n1 =  m 1  n   1  l2    ( n 2 = m 2  n   2 

 l3    ( n3 = m 3  n   3

( ( ( n1 ⊥ n 2 ⊥ n 3

Ahora en vez de trabajar con la terna original XYZ y su tensor asociado [T], es posible emplear una nueva ( ( ( terna cuyos ejes coinciden con las direcciones definidas por n , n , n (terna principal o terna 123), a la 1

2

3

que le corresponde un nuevo tensor [Tp], al que llamaremos TENSOR PRINCIPAL. Este nuevo tensor [Tp], tiene como elementos de la diagonal principal a los autovalores

σ1, σ2 y σ3

y los

restantes elementos nulos (tensor diagonal). Es decir, se “diagonalizó” el tensor [T]. Desde el punto de vista físico lo que se hizo fue una ROTACIÓN DE EJES.

y

σ 1 0  Tp =  0 σ 2 0 0 

0  0 σ 3 

1 3 x z

Figura 22

2 14-30

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EJEMPLOS: •

ESTADO HIDROSTÁTICO: caso particular del Estado Triple,

•

Estado Plano: (ver figura 23)

⇒ σ1 = σ 2 = σ 3

Dos tensiones principales ≠ 0 Para un plano cualquiera de análisis:

v

ρπ

σ1

está contenido en un plano paralelo a

σ1 y σ 2 .

σ 1 0 0 Tp =  0 σ 2 0    0 0 0

r

ρπ σ2

r

σ2

σ2

•

Estado Simple: (ver figura 24)

v

σ 1 Tp =  0  0

ρπ

0 0 0 0  0 0 

σ1

Figura 23

σ1

Solo una tensión principal es ≠ 0

r

π

r

ρπ

r

σ1

está sobre la dirección de σ 1

Figura 24

π

IMPORTANTE EL TENSOR DE TENSIONES [T] (EN TERNA X,Y,Z) PARA UN ESTADO DOBLE O SIMPLE NO NECESARIAMENTE VA A PRESENTAR ELEMENTOS NULOS. SI VA A PRESENTAR ELEMENTOS NULOS EL TENSOR PRINCIPAL.

Propiedades del estado de tensión 1) Tensiones normales

σ i máx en planos principales.

2) Tensiones tangenciales

τ i máx en planos desfasados a 45º a planos principales.

INVARIANTES DEL ESTADO DE TENSIÓN Analizaremos a continuación las expresiones algebraicas obtenidas al desarrollar el determinante del sistema (6) que constituyen los coeficientes de la ecuación de Lagrange. En ellas intervienen los elementos del tensor [T]. Como su nombre lo indica, sus valores permanecen “invariantes” aunque se cambie la terna de referencia. A continuación indicaremos sus significados y sus expresiones, tanto para la terna XYZ como para la terna principal 123. •

I1 : es la traza del tensor [T] (o [Tp]). Se define así a la suma de los elementos de la diagonal principal. I1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3

•

I2 : es la suma del menor adjunto de [T] (o [Tp]) desarrollado por la diagonal principal.

(

) (

) (

)

I 2 = σ y .σ z − τ yz2 + σ x .σ z − τ xz2 + σ x .σ y − τ xy2 = σ 1.σ 2 + σ 2 .σ 3 + σ 3 .σ 1 15-30

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•

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I3 : es el determinante de [T] (o [Tp])

I 3 = σ x .σ y .σ z + 2.τ xy .τ yz .τ zx − σ x .τ yz2 − σ y .τ xz2 − σ z .τ xy2 = σ 1 .σ 2 .σ 3 ¿Qué ventajas me trae conocer los invariantes? Me permite conocer el tipo de estado de tensión. ESTADO TRIPLE è ESTADO DOBLE

σ1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 ≠ 0 ∴ I3 ≠ 0

è Una raíz = 0 y dos raíces ≠ 0

ESTADO SIMPLE è Una raíz ≠ 0

∴

I3 = 0

I2 = 0

Es condición necesaria y suficiente.

∴ I3 = 0 & I2 ≠ 0 & I1 ≠ 0

EJERCICIO

y

Dado el estado de tensiones en el punto representado en la figura 25.

a a

Se solicita:

a

1) Clasificar el estado de tensión.

a 2a

2) Determinar las tensiones y planos principales.

x z

σ x τ yx τ zx  a a 0     [T ] = τ xy σ y τ zy  = a a 0  τ xz τ yz σ z  0 0 − 2a   

Figura 25

I1 = σ x + σ y + σ z = a + a − 2 a = 0

(

) (

) (

)

I 2 = σ y .σ z − τ yz2 + σ x .σ z − τ xz2 + σ x .σ y − τ xy2 = −2a 2 − 2a 2 + a 2 − a 2 = −4a 2 I 3 = σ x .σ y .σ z + 2.τ xy .τ yz .τ zx − σ x .τ yz2 − σ y .τ xz2 − σ z .τ xy2 = −2a 3 + 2a 3 = 0 Resulta: I3 =0 e I2 ≠ 0

è ESTADO DOBLE

* Determinación Tensor Principal [Tp] y Direcciones Principales [Dp] Planteamos la Ecuación de Lagrange:

σ i3 − I 1 .σ i2 + I 2 .σ i − I 3 = 0

σ i = 0 → σ i = 4a 2

σ i = 2a σ i = −2a

σ i3 − 4 a 2 .σ i = σ i (σ i − 4a 2 ) = 0

σ 1 = 2a ; σ 2 = 0 ; σ 3 = −2a

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y

Planos principales Sabemos que el plano z es principal, los otros dos planos principales son perpendiculares al plano z.

σ 3 = −2a

( n3 = (0,0,1)

{ [T ]− [σ ] [1] } [n( ] = 0

Si en la expresión

σ 3 = 2a

αp

p

x

z

Reemplazo σ p = σ 1 , obtengo:

plano z

0 a  a − 2a   l1   a  m  = 0 0 a − 2a   1  0 − 2a − 2 a   n1   0 − a l1 + a m1 = 0

l1 = m1

a l1 − a m1 = 0 − 4a n1 = 0

Figura 26

è

n1 = 0

; l1 +m1 =1

; l1 = m1 = 2

; l2 +m2 =1

; l2 = −m2 = − 2

2

2

2

è

( n1 =  2 , 2 ,0  2  2 

;

Para σ 2 = 0

a l2 + a m 2 = 0

l2 = −m2

a l2 + a m 2 = 0 − 2a n2 = 0

è

n2 = 0

45° y

σ1=2a

2

2

2

;

( n2 =  − 2 , 2 ,0  2  2 

1 35

n1

45°

°

y

45°

n2

σ2=0 z

x

z

x

Figura 27

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REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL ESTADO DE TENSIONES CIRCUNFERENCIAS DE MOHR El estado triple de tensiones es un fenómeno que ocurre en el espacio tridimensional. Las circunferencias de Mohr constituyen una herramienta que permite trabajar dicho problema tridimensional (Tp con 3 tensiones σ 1 , σ 2 y σ 3 ) mediante una construcción gráfica bidimensional.

y

σ2

σ1

2 1

Importante: Se usa como terna de referencia a la TERNA PRINCIPAL.

σ1 0 [T p ] =  0 σ 2 0 0 

Direcciones principales è

Planos principales Tensiones principales

3

x

σ3

0  0 σ 3 

Figura 28

( n π = (l p , m p , n p )

Dado un plano π, referido a terna principal:

[ρvπ ] = [T p ] [nvπ ] = (σ 1.l p , σ 2 .m p , σ 3 .n p ) = (ρπ

z

A

x

, ρπ y , ρπ z

)

ρ 2 = σ 2 + τ 2 = σ 12 .l p2 + σ 22 .m 2p + σ 32 . n 2p r ( σ π = ρπ × nπ = (σ 1.l p ,σ 2 .m p ,σ 3 .n p )( . l p , mp , np )

σ π = σ 1.l p 2 + σ 2 .m p 2 + σ 3 .n p 2 El problema que nos ocupa es el de encontrar la orientación de un plano al que le corresponden tensiones

σyτ

dadas, o viceversa, ver que tensiones le corresponden a un plano conocido. Trabajaremos con las siguientes relaciones: (eliminamos el subíndice “p” pero debemos tener presente que trabajamos con la terna de referencia principal).

ρ 2 = σ 2 + τ 2 = σ 12 .l 2 + σ 22 .m 2 + σ 32 .n 2 σ π = σ 1.l 2 + σ 2 .m 2 + σ 3 .n 2 1=

l2 +

m2 +

(9)

n2

Las expresiones (9) constituyen un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas l2, m2, n2. Resolviendo y

σ1 > σ 2 > σ 3 , se llega a las siguientes 3 relaciones: (un análisis más detallado

ordenando de manera apropiada para

se encuentra en el libro “Estabilidad II” de Enrique D. Fliess)

Ecuación A)

 

τ 2 + σ −

σ2 + σ3 

σ +σ3  2 σ2 −σ3   2  .l +   .(1 − l )  = σ 1 − 2 2  2    

2

 

σ1 + σ3 

 

σ1 + σ 2 

Ecuación B)

τ 2 + σ −

Ecuación C)

τ 2 + σ −

2

2

2

2

2

σ + σ3  2 σ1 −σ3   2  = σ 2 − 1  .m +   .(1 − m ) 2 2      2

2

2

σ + σ 2  2  σ1 − σ 2   2  = σ 3 − 1  .n +   .(1 − n ) 2     2  2

2

2

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( X − α )2 + (Y − β )2 = R2 es decir que cada ecuación representa una familia de circunferencias con centro C (α ; β ) y radio R, siendo: è

Estas tres ecuaciones (A), (B) y (C) son de la forma ,

1)

è

X , Y

σ,τ

2) β = 0 Para la primera familia de circunferencias: è Ecuación A) Para l = 0 è

Centro  σ +σ3 c1  0; 2  2

   

Para l = 1 è

τ

σ2 − σ3

R =

σ + σ3  τ +  σ − 2 è 2 

  σ − σ3  =  2 2   2

2

2 R = σ1 −

(Ver figura 29)

σ2 + σ3 2

σ2 + σ3  è τ +  σ − 2  2

  

2

σ + σ3    = σ − 2  1  2   2

   

l=1

n=1 m=0 n=0 m=1

σ3

l=0

σ2

C1

σ1

σ

C2 C3

Figura 29

Para la segunda familia de circunferencias: è Ecuación B) Para m = 0 è R =

Centro  σ +σ3 c 2  0; 1 2 

   

σ1 − σ 3

σ1 + σ 3  è τ +  σ −  2 2

2 Para m = 1 è R = σ 2 −

(Ver figura 29)

σ1 + σ 3 2

  σ − σ3  =  1   2 2

σ + σ3  è τ +  σ − 1 2  2

  

2

σ + σ3    = σ 2 − 1   2   2

   

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2

2

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Para la tercera familia de circunferencias: è Ecuación C) Para n = 0 è R =

Centro  σ +σ2 c 2  0 ; 1  2

   

σ1 − σ 2

σ1 + σ 2  è τ +  σ −  2 2

2 Para n = 1 è R = σ 3 −

(Ver figura 29)

σ1 + σ 2 2

σ −σ2   = 1     2 2

σ1 + σ 2  è τ +  σ − 2  2

   

2

σ + σ2    = σ 3 − 1   2   2

   

2

Las dos circunferencias graficadas para cada familia A). B) y C) constituyen las circunferencias extremas, pues fueron trazadas con los valores límites de de los parámetros l, m, n (cosenos directores). Dado que l puede variar entre 0 y 1; y lo mismo m y n, los puntos que nos interesan son los que quedan encerrados por l = 0 , m = 0 y n = 0 . Queda formado así un triángulo curvilíneo, siendo el área sombreada la que cumple con estas condiciones en forma simultánea. Ahora dibujemos sólo la parte útil de los circunferencias de Mohr (Ver figura 30) y analicemos los puntos notables del gráfico.

τ

τmáx

D

m= 0 n=0

σ3 C

l=0

σ2

σ1

B

A

σ Figura 30

l =1 Punto A – Este punto tiene: m = 0 por él pasa el plano principal de la dirección 1. n=0 l=0 Punto B – Este punto tiene: m = 1 n=0

por él pasa el plano principal de la dirección 2.

l=0 Punto C – Este punto tiene: m = 0 n =1

por él pasa el plano principal de la dirección 3.

20-30

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Punto D – Tensión tangencial máxima τ máx = Buscamos determinar las tensiones

σ1 − σ3 2

, conozco un coseno director: m = 0

σ y τ que actúan en un plano cualquiera definido por un versor cuyos cosenos

directores son lp, mp y np o inversamente determinar el plano que corresponde a dos tensiones dadas. (Ver figura 31) De las ecuaciones A), B) y C) sacamos los radios de tres circunferencias:

 σ + σ3  c1  0; 2  2    σ + σ3  c2  0; 1  2    σ +σ2  c3  0; 1  2  

(

)

(

)

R23

σ + σ3  =  σ 1 − 2  2

 2  σ2 − σ3  .l p +      2

  .1 − lp  

R13

σ + σ3    σ − σ3  .m p 2 +  1 =  σ 2 − 1    2   2

  .1 − mp  

R12

σ + σ2  =  σ 3 − 1  2

2

2

τ

P(lp,mp,np)

m=0

np

τ 3 R2-

σ3 C1 σ σ2

2

2

)

2

n= 0 R1 -2

l=0

(

  .1 − np  

2

R13

ρ

2

2

  σ − σ2  .n p 2 +  1     2

mp

lp

2

C2 C3

σ1

σ Figura 31

Se trazan las tres circunferencias con los centros y radios indicados, las que se cortan en un punto P, cuyas coordenadas representan las tensiones buscadas. No es necesario calcular los radios para determinar el punto representativo de las tensiones del plano analizado. Los datos son lp, mp y np , cosenos directores de los ángulos α, β y γ que el versor normal al plano forma con las direcciones 1, 2 y 3. Las normales al eje 32).

σ, pasantes por σ1, σ2 y σ3 representan las direcciones 1, 2 y 3 respectivamente (Ver figura

Por σ1 tracemos una recta que forme con DP1 el ángulo

α hasta que corte a la circunferencia σ1-σ3 en H’ y a la

circunferencia σ1-σ2 en H’’.

21-30

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γ

τ

m=0

lp H'

np

I'

n=0

P H''

α

I''

σ3

σ2

C1

σ1

C2 C3

σ

Por σ3 tracemos una recta que forme con DP3 el ángulo

DP1

Figura 32

DP2

DP3

l=0

γ

hasta que corte a la circunferencia σ1-σ3 en I’ y a la

circunferencia σ2-σ3 en I’’. Trazamos con centro en C3 un arco pasante por I’I’’’ y con centro C1 un arco pasante por H’H’’’. Donde los dos arcos se crucen se encuentra el punto P. La demostración geométrica se puede ver detalladamente en el libro “Estabilidad II” de Enrique D. Fliess.

Si buscamos determinar

τ máx ;

τ

γ=45°

° α=45

m=0

(Ver figura 33)

τmax

→ α = γ = 45º

σ2

σ3

σ1

l=0

σ

DP1

Figura 33

DP2

2

DP3

τ máx =

σ1 − σ 3

0 n=

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τ

CASOS PARTICULARES: a. Tensión hidrostática

Figura 34

σ1 = σ 2 = σ 3 ; τ = 0

σ3=σ2=σ1

Las tres circunferencias se reducen a un punto. (Ver figura 34)

b. Estado plano

σ1 > σ 2 > 0 ; σ 3 = 0

σ

τmax=(σ -σ )/2 1

τ

3

Pese a ser una tensión nula, resulta que, para la tensión tangencial máxima: (Ver figura 35)

σ2

σ3=0

2

DP3

Ejemplo: cañería a presión. Para todos los puntos de la cañería el estado es plano. Sólo para los puntos que pertenecen a la superficie interior de la cañería presentan estado triple siendo una de las presiones principales, la presión del fluido.

σ1

σ

DP1

σ1 − σ 2

DP2

τ máx ≠

Figura 35

τ c. Estado simple

(Ver figura 36)

σ1 ≠ 0 ; σ 2 = σ 3 = 0

σ3=σ2=0

Una circunferencia se reduce a un punto (σ2-σ3) y las dos restantes (σ1-σ3 y

σ1-σ2) son coincidentes.

σ1

σ Figura 36

τ d. Resbalamiento simple o corte puro

γ=45 °

° α=45

τmax=τ

σ 1 = −σ 3 ; σ 2 = 0 Las tensiones tangenciales máximas se dan en

2

=

(τ − (−τ )) =τ 2 Figura 37

σ1=τ

τmin=-τ

σ1 − σ 3

σ2=0

σ

DP1

τ máx =

σ3=-σ

DP2

(Ver figura 37)

DP3

los dos planos inclinados a 45º respecto a los planos principales pero no presentan tensión normal.

23-30

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ESTADO DOBLE O PLANO Todo lo visto hasta ahora para el caso general de estado triaxial de tensiones, lo desarrollaremos para el caso del estado plano de tensiones:

v

ρ π = [T ] .nπ v

(

ρ    x  σ x  ρ  = τ  y   xy  ρ  τ xz  z 

y

σx τ xy

τ yx τ zx  l    σ y τ zy . m   τ yz σ z   n 

z

β y ρπ σx

σπ

τπ τ xy

v (

(

( nπ

σ = ρπ . nπ . cos ϕ = ρ π .nπ

α

 ρ x = σ x .l + τ yx .m   ρ y = τ xy .l + σ y .m 

r

x

σy



Los términos subrayados son nulos (es decir se anula la 3er columna y 3er fila del tensor de tensiones y el 3er coseno director del versor normal al plano.

Recordando que

τ yx

x τ yx

σ x .l + τ xy .m  l   .   σ = τ yx .l + σ y .m   m   

σy Figura 38

2

σ = σ x .l + 2.τ xy .l .m + σ y .m

2

Siendo:

l = cos α m = cos β = senα

Reemplazamos y obtenemos: 2

2

σ = σ x . cos α + 2.τ xy . cosα .senα + σ y .sen α

Como

cos α .sen α =

sen 2α 2

podemos reescribir la ecuación: 2

2

σ = σ x . cos α + τ xy .sen2α + σ y .sen α 2

Reagrupando nos queda:

2

σ = σ x . cos α + σ y .sen α + τ xy .sen 2α Ahora trabajaremos con las tensiones tangenciales:

τ π = − ρ πx .senα + ρπy . cos α 2

2

τ π = −σ x . cos α .senα − τ xy .sen α + τ xy . cos α + σ y .senα . cos α . 24-30

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Como cos α − sen α = cos 2α

y

cos α .senα =

sen 2α 2

Reescribimos la ecuación y la reagrupamos:

σ y −σ x

τ = τ xy . cos 2α +

2

β

. sin 2α

ρπ

ρ πy

y

Adoptamos para el estado plano una convención de signos distinta:

σx

“Las tensiones tangenciales serán positivas si producen un giro de sentido horario respecto a un punto interior del elemento”.

σπ

τπ

ρπx

τ xy

En la figura 39, τyx es positiva, mientras que τxy es negativa.

( nπ

α

α

x

τ yx

σ

y

Figura 39

TENSIONES PRINCIPALES Y DIRECCIONES PRINCIPALES Recordamos las expresiones vistas para el

ρ x = σ i .l = σ x .l + τ xy .m

estado triple, adaptadas al estado doble

ρ y = σ i .l = τ yx .l + σ y .m

- Las componentes del vector tensión:

σx − σi τ xy =0 τ yx σ y − σi

- Los autovalores (tensiones principales) surgen de resolver el determinante:

è

(σ

x

)(

− σi .σ

y

)

2

− σ i − τ xy = 0

è σ

2 i

(

− σ i. σ

+ σ

x

y

)+

 σ .σ  x

y

− τ

2 xy

 = 0 

Ecuación de Lagrange (2º grado) Recordando que: x1, 2 =

σi =

La solución es:

σx +σy 2

σx −σy ±   2 

− b ± b 2 − 4.a.c , 2.a

2

  +τ 2 xy  

Para determinar los planos principales, buscamos la primer derivada respecto de α de la expresión: 2

2

σ = σ x . cos α + σ y .sen α + τ xy .sen 2α

resulta:

∂σ ∂α

; recordando que

∂ (cos α ) ∂α

= − senα

y

∂ (sen α ) ∂α

= cos α

= −2.σ x .senα . cos α + 2.σ y . cos α .senα + 2.τ xy . cos 2α

Igualando a cero, obtendremos los planos de máxima tensión.

25-30

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2. cosα.senα = sen2α podemos reescribir la ecuación:

Recordando que:

(σ

y

)

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− σ x sen 2α 1 + 2 .τ xy . cos 2α 1 = 0

(

)

2.τ xy . cos 2α 1 = σ x − σ y sen 2α 1

(σ

2.τ xy x

−σy

)

=

sen 2α 1

tan 2α 1 =

è

cos 2α 1

2 .τ xy

σx −σy

Existen dos valores de 2α1 que difieren entre sí π que satisfacen la ecuación è

existirán dos ángulos α1 que difieran π

2

α1  α1 + π  2

,

MÁXIMA TENSIÓN TANGENCIAL τ máx = ±

Su valor está dado por:

Si la expresión:

τ = τ xy . cos 2 α +

1 2

σ

y

(

. σx −σy

−σx

)

2

2

+ 4 .τ xy

. sen 2 α

2

, la derivamos respecto α de e igualamos a 0,

obtenemos lo siguiente:

)

2.τ xy

=

sen 2α

è

tan 2α 2 =

σy −σx 2 .τ xy

cos 2α

En las dos expresiones que dan las tangentes de los ángulos 2α1 y 2α2, puede observarse una es inversa de la otra y están cambiadas de signo (lo que es condición de perpendicularidad). Luego α1 y α2 difieren en 45º. es decir que:

“LOS PLANOS PRINCIPALES SE ENCUENTRAN ORIENTADOS A 45º CON RESPECTO DE LOS PLANOS DE TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS”. (Ver figura 40)

2 α2

2α 45° 1

90°

σy −σx

α2

∂α

(

= −2.τ xy .sen 2α + σ y − σ x . cos 2α = 0

α1

∂τ

Pl a

no p

rin cip al

Plano máxima tensión tangencial

Figura 40

26-30

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CIRCUNFERENCIA DE MOHR Consideremos las expresiones que nos permiten calcular σ y τ para un plano cualquiera, conocido el ángulo α:

 σ = σ . cos 2 α + σ .sen 2 α + τ .sen 2α  x y xy  σy −σx  .sen 2α  τ = τ xy . cos 2α + 2  2

cos α =

1 + cos 2α 2

Teniendo en cuenta que: 2

sen α =

1 − cos 2α 2

  1 − cos 2α  1 + cos 2α   σ = σ .  + σ y . x        2 2  σy −σx  .sen 2α  τ = τ xy . cos 2α + 2 

  + τ xy .sen 2α  

 σ σ . cos 2α σ y σ y . cos 2α σ = x + x + − + τ xy .sen2α  2 2 2 2  σy −σx  .sen2α  τ = τ xy . cos 2α +  2

(

como σ y − σ x = − σ x − σ y

)

è

σ +σy σx −σy  σ = x + . cos 2α + τ xy .sen2α  2 2  σx −σy  .sen2α + τ xy . cos 2α τ = −  2

σ +σy σx −σy  σ − x = . cos 2α + τ xy .sen 2α  2 2 ,  σx −σy  τ =− .sen 2α + τ xy . cos 2α  2  σ +σy  σ − x  2 

 σ −σy 2  +τ =  x   2   2

si elevamos al cuadrado y sumamos:

 σ −σy 2  . cos 2α +  x   2   2

2

 2 2 2 2 2  .sen 2α + τ .sen 2α + τ . cos 2α + xy xy  

σx −σy σx −σy + 2. . cos 2α .τ xy .sen2α − 2. .sen2α .τ xy . cos 2α 2 2 14444444444442444444444444 3 =0

σ +σy  σ − x  2 

 σ − σy 2  +τ =  x   2   2

2

 2 2 2 2 2  .(cos 2α + sen 2α ) + τ .( sen 2α + cos 2α ) xy  144424443 144424443  =1 =1

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σ +σy  σ − x  2 

Luego:

 σ −σy 2  +τ =  x   2   2

2

 2  +τ xy  

( X − α )2 + (Y − β )2 = R 2

Esta ecuación responde a la forma:

è

es la ecuación de una circunferencia con

centro C (α ; β ) y radio R.

σ +σy  Para nuestro caso, es la circunferencia con C =  x ,0  y   2  

σ −σy R=  x  2 

2

 2  +τ xy  

CONSTRUCCION DE LA CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO Supongamos un elemento diferencial en equilibrio como el indicado en la figura 41(a). En un sistema cartesiano σ-τ, adoptada una escala conveniente, se representan los pares de valores de las tensiones actuantes sobre cada una de las caras del elemento. Comencemos con la cara AD (plano X). Sobre las abscisas dibujemos un segmento equivalente a

σx, y a partir de allí, otro segmento que representa τxy, obteniendo así el

punto X (debemos respetar la convención de signos adoptada para las tensiones tangenciales). Hacemos lo propio con las tensiones actuantes sobre la cara AB (plano Y) y obtenemos el punto Y. (En la figura 41(b) se supuso que

σx > σy). Unimos con una recta los puntos X e Y. Dicha recta corta al eje σ en el punto C. Es sencillo comprobar, comparando con las expresiones anteriores, que las coordenadas de C corresponden al centro de la circunferencia de Mohr y que el segmento CX=CY representa su radio. Hemos trazado la circunferencia buscada. El punto X de la circunferencia representa las tensiones que actúan sobre el plano X, que en el elemento de la fig. 41(a) es un plano vertical, por lo tanto trazamos por el punto X una recta vertical hasta cortar la circunferencia. De forma análoga se procede con el punto Y, imagen de las tensiones actuantes sobre el plano Y, el cual es horizontal; luego por Y trazamos una recta horizontal hasta cortar la circunferencia. Ambas rectas, horizontal y vertical, se intersectan en un punto P situado sobre la circunferencia, al cual denominamos “POLO”.

σπ

D

α

α

τπ

Y

τ xy

x

τ yx

B

σ

y

O

(a)

σy

C

σx τxy

A

Plano Y

P (Polo )

τyx

σx

τ

( nπ

Plano X

ρπ

y

σ

(b)

X Figura 41

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La justificación de todo lo expuesto y otras interesantes propiedades puede verse detalladamente en el libro “Estabilidad II” de Enrique D. Fliess. Si por el polo P trazamos una recta paralela a la traza del plano π, ésta corta a la circunferencia en el punto S. Las coordenadas de dicho punto en el sistema de ejes

σ-τ representan la tensión normal σπ

y la tangencial τπ que

actúan sobre el mencionado plano. (Ver figura 42)

τ

o

π S

Y

τπ

O

α

ρπ

nπ

Plano X

Pl an

P (Polo)

Plano Y

α

σπ

C

Figura 42

σ X

De los infinitos planos pasantes por el punto nos interesan en particular: •

Planos principales con sus respectivas tensiones σ1 y σ2. (Ver figura 43)

•

Planos con tensiones tangenciales máximas a 45º respecto de los principales. (Ver figura 44)

Y

O

σ2 C

n2

α1

α1

Plano Y

P (Polo)

2

/2

al . 1

pal. P. P

+π

p P. P

n1

Plano X

α1

τ

+π /2

Figura 43

σ1 α1

σ

X

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nτ−

Y

τmax

τ+

nτ+ +π /2

/2

45°

Figura 44

α2

+π

α2

στmax

α2

Plano Y Pla no

P (Polo)

C

O

Pla no

Plano X

τ-

τ

σ

α2

X

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