Una aproximaci´ on discreta a la aplicaci´ on conforme de Riemann Felipe Riquelme Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Fecha: Jueves 13 de Septiembre de 2018 Sala: IMA Aula Hora: 11:45 - 13:00

Resumen: Una aplicaci´on f : U ⊂ R2 → V ⊂ R2 se dice conforme si esta preserva localmente ´angulos orientados. Una familia importante de ejemplos de tales transformaciones proviene del an´alisis complejo. En efecto, si U ⊂ C es un conjunto abierto del plano, entonces una funci´on f : U → C es conforme si y solamente si esta es holomorfa y su derivada no se anula en U . De particular inter´es resulta el estudio de transformaciones definidas en dominios simplemente conexos, o en t´erminos informales, dominios sin agujeros. Formulado por Bernhard Riemann en 1851 para el caso de dominios con frontera suave, y demostrado en toda generalidad por Constantin Carath´eodory en 1912, el teorema de la aplicaci´on conforme nos asegura que todo dominio U ⊂ C no vac´ıo, propio y simplemente conexo, es conformemente equivalente al disco unitario D. En otras palabras, un tal abierto U del plano se identifica a D mediante una u ´nica funci´on biholomorfa (m´odulo transformaciones de M¨obius). En esta charla estudiaremos la soluci´on de Burt Rodin y Dennis Sullivan a un problema planteado por William Thurston en 1985. Dicho problema consiste en aproximar la aplicaci´on conforme de Riemann mediante transformaciones quasi-conformes construidas a partir de apilamientos de c´ırculos de naturaleza combinatoria. Los resultados presentados forman parte de [Mat].

References [Mat] F. Math´eus, Empilements de cercles et repr´esentations conformes: une nouvelle preuve du th´eor`eme de Rodin-Sullivan, L’enseignement Math´ematique, 42 (1996), 125–152. Contacto Sebasti´ an Ram´ırez Duarte - [email protected] Cristian P´erez Leiva - [email protected] Gabriel Pinochet Soto - [email protected] webpage: http://ima.ucv.cl/seminarios/coloquio-ima/