Unidad 4

Trabajo y Energía

Introducción  Hasta el momento hemos analizado el movimiento de los cuerpos en función de fuerzas y los efectos que estas producen.  Leyes de Newton

 Un análisis alternativo es mediante los conceptos de Trabajo y Energía. • Leyes de la Conservación de la Energía.

Trabajo El Trabajo realizado sobre un objeto por una fuerza constante se define como: “el producto de la magnitud del desplazamiento del objeto multiplicado por la componente de la fuerza paralela al desplazamiento”.

𝑊 = 𝐹|| 𝑑 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃

𝑊 =𝐹∙𝑑

Unidades (SI):

Joule (J)

J=N×m

Trabajo Ejemplo: Una persona hace fuerza para levantar un objeto (fuerza vertical hacia arriba) y camina hacia adelante. ¿Cual es el trabajo realizado por esa fuerza al moverse hacia adelante? 𝑊 =𝐹∙𝑑

𝑊 = 𝐹|| 𝑑 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃 = 0

(𝜃 = 90˚)

Cuando la fuerza que se analiza es perpendicular al desplazamiento, la fuerza NO realiza trabajo. Únicamente realiza trabajo la componente de la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento.

𝑊 = 𝐹 𝑑 cos 𝜃

Trabajo realizado por la fuerza de gravedad

P h Si asumimos que la aceleración es constante (g), entonces la fuerza que ejerce sobre un cuerpo también es constante (P). P=mg 𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑 = 𝑃 ∙ ℎ = 𝑃ℎ cos 𝜃 = 𝑚𝑔ℎ

𝑊𝑔 = 𝑚𝑔ℎ 5

Trabajo ¿Qué sucede cuando la fuerza no es constante? Supongamos que movemos un objeto una distancia d1 con una fuerza F1 , y luego una distancia d2 con una fuerza F2. Cual es el trabajo realizado? F2 F1

F

d2

d1

F2 F1

W2

W1

d2

d1

x

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑊1 + 𝑊2 = 𝐹1 ∙ 𝑑1 + 𝐹2 ∙ 𝑑2 = 𝐹1 ∙ 𝑑1 cos 𝜃1 + 𝐹2 𝑑2 cos 𝜃2 Nota: Podemos ver que el trabajo es igual al área bajo la curva de F vs x.

• Es decir que cada vez que la fuerza cambia hay que sumar el trabajo que se realiza. 𝑖=𝑛 • De manera general:

𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =

𝐹𝑖 ∙ 𝑑𝑖 𝑖=1

6

Trabajo (fuerza variable) 𝑛

𝑊 = lim

∆𝑙𝑖 →0

𝐹𝑖 ∆𝑙𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑖=1

7

𝑊≈

𝐹𝑖 ∆𝑙𝑖 cos 𝜃𝑖 𝑖=1

 Definición general de trabajo: el trabajo realizado por una fuerza aplicada a un objeto cuando este se mueve del punto a al punto b a lo largo de una cierta trayectoria viene dado por:

7

Ejemplo: Trabajo realizado por un resorte

¿Porque negativo? Aplicando integrales: • Sabemos que: 𝐹𝑟

1 2 𝑊𝑟 = − 𝑘𝑥 2

𝑥

= −𝑘 𝑥 y 𝑊𝑟 = 𝑥

• Entonces:

𝑊𝑟 = − 0

𝑭𝒓 ∙ 𝑑 𝒍 0

1 𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑘 𝑥 2 2

𝑥 0

1 = − 𝑘 𝑥2 2 8

Energía “La Energía es la capacidad de realizar trabajo.” Tipos de Energía: - Mecánica (Cinética y Potencial) - Térmica - Química - Eléctrica - Nuclear - Etc. Principio de Conservación de energía: En un sistema aislado la energía ni se crea ni se destruye, solo se transforma en otro u otros tipos de energías.

Energía Cinética  La Energía Cinética es la energía debida al movimiento. Ejemplos: •

Cuando un cuerpo en movimiento choca contra otro cuerpo, este último se desplaza, por lo que se dice que el primero tenía una energía cinética asociada.

•

Una persona salta al suelo desde un primer piso y otra persona salta desde un quinto piso. ¿Que persona elegiríamos ser y porque? 

Cuanto mayor es la velocidad al tocar el suelo, mayor es la energía que se libera o transforma y más daño nos hacemos (Energía Cinética). 10

Energía Cinética 𝒗1

𝒗2

𝑭𝑛𝑒𝑡

𝑭𝑛𝑒𝑡

𝒅

Sabemos que:

𝐹 = 𝑚𝑎 𝐹=𝑚 𝑊𝑛𝑒𝑡 = 𝐹𝑛𝑒𝑡 𝑑

y 𝑣22 −𝑣12 2𝑑

𝑊𝑛𝑒𝑡

Así definimos que la Energía Cinética es:

𝑣22 − 𝑣12 𝑎= 2𝑑

1 1 2 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣12 2 2

1 𝐾 = 𝑚𝑣 2 2 11

Energía Cinética 𝑊𝑛𝑒𝑡 =

1 𝑚𝑣22 2

−

1 𝑚𝑣12 2

= 𝐾2 − 𝐾1 = ∆𝐾

 Principio del Trabajo y la Energía Cinética

𝑊𝑛𝑒𝑡 = ∆𝐾 “El trabajo neto efectuado sobre un objeto es igual al cambio en su energía cinética” Trabajo negativo y positivo: • El martillo ejerce una fuerza F sobre el clavo, y el clavo ejerce una fuerza –F sobre el martillo (3ra Ley de Newton). • El trabajo realizado sobre el clavo es positivo, es decir, W = 𝐹𝑑 > 0 (el clavo gana energía cinética). • El trabajo realizado sobre el martillo es negativo, W = 𝐹𝑑 < 0 (el martillo pierde energía cinética). 12

Energía Potencial  La Energía Potencial es la energía asociada con fuerza que depende de la posición de un objeto con respecto a su entorno.  Decimos que un cuerpo tiene energía potencial cuando, en virtud de su posición, es capaz de realizar trabajo. Ejemplos: - Cuerpo a cierta altura (gravitatoria) - Péndulo levantado (gravitatoria) - Resorte comprimido o estirado (elástica)

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Energía Potencial Gravitatoria Trabajo de la gravedad 𝑊𝐺 = 𝑭𝐺 ∙ 𝒅 = 𝑭𝒅 cos 𝟏𝟖𝟎˚

= −𝑚𝑔ℎ Trabajo de la fuerza externa 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑭𝑒𝑥𝑡 ∙ 𝒅 = 𝑭𝒅 cos 𝟎˚ = 𝑚𝑔 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑚𝑔ℎ 𝑊𝑒𝑥𝑡 = −𝑊𝐺 14

Energía Potencial Gravitatoria Un objeto en caída libre desde el reposo, desde una altura ℎ, adquiere una velocidad:

𝑣𝑓2 = 𝑣02 + 2𝑔∆𝑦 𝑣 2 = 2𝑔ℎ Entonces tendrá una energía cinética:

1 1 2 𝐾 = 𝑚𝑣 = 𝑚 2𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ 2 2 El trabajo realizado al levantar el objeto ha sido almacenado como energía potencial gravitacional

𝑈 = 𝑚𝑔ℎ

Problema: ¿desde donde medimos h? 15

Energía Potencial Gravitatoria Físicamente, lo que importa es el cambio de energía potencial entre dos puntos.  El cambio en energía potencial gravitatoria es igual al trabajo hecho por una fuerza externa para lograr mover un objeto sin aceleración desde una altura 𝑦1 hasta una altura 𝑦2 .

∆𝑈 = 𝑈2 − 𝑈1 = 𝑊𝑒𝑥𝑡 = 𝑚𝑔 𝑦2 − 𝑦1  El cambio en energía potencial gravitatoria es igual al negativo del trabajo hecho por la fuerza de gravedad cuando el objeto se mueve desde una altura 𝑦1 hasta una altura 𝑦2 .

∆𝑈 = 𝑈2 − 𝑈1 = −𝑊𝐺 = 𝑚𝑔 𝑦2 − 𝑦1 16

Energía Potencial Elástica Un resorte comprimido o estirado posee energía potencial, porque si se lo suelta, es capaz de realizar trabajo sobre un objeto.

∆𝑈 = 𝑈 𝑥 − 𝑈 0 = −𝑊𝑠 𝑥

=−

𝑭𝑆 ∙ 𝑑 𝒍 0

𝐹𝑆 = −𝑘 𝑥 𝑥

=− 0

1 −𝑘 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘 𝑥 2 2

𝑈𝑒𝑙

1 𝑥 = 𝑘 𝑥2 2 17

Problemas: Guía 4

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