TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: DERIVACIÓN ASIGNATURA: MATEMÁTICA I (LIC. ADMINISTRACIÓN) - U.N.R.N. – AÑO: 2018

A)

1. Indicar los puntos en los cuales piensa que las siguientes funciones no son derivables. Justificar. B) C)

D)

E)

F)

2. Hallar a partir de la definición de derivada: a) f '(1) c)

f ' (10) si

f ( x)  x 1 d) f ' (2) si f ( x)  x

f ( x)  3x  4

si

b) f ' (4) si

f ( x)  x 2

3. Estudiar la continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones (pueden usar tablas de derivadas). Hallar las ecuaciones de las eventuales asíntotas. Graficar. a)

c)

2 x  1 g ( x)   2 4 x  x

si x  1 si x  1

b) (*) f ( x)  x  2 en R

en x=1

1 si x  1 x  1  d) f ( x)   x 2  ln( x ) si 0  x  1  x2  ex si x  0   

3x 2  x si x  0 m( x )   en x=0 5 x  2 si x  0

4. Derivar las siguientes funciones utilizando el álgebra de derivadas y la tabla de derivadas: a)

f ( x)  x 4  3x  5

e)

f ( x) 

2x cos(x)

i) f ( x)  sen(ln x)

j)

b) f ( x)  2 ln( x)  3.sen( x)

c) f ( x)  xsen( x)

f) f ( x)  x x  5

g)

f ( x)  ( x 4  5) 6

 

 x 1  3 2  n) f ( x)  cos x  x  2

m) f ( x )  ln

f ( x) 

f ( x)  9  3 x 7

k) o) (*)

1

f ( x)  3 sen(3 x)

4 ln( x) cos(x) l)(*)

d)(*) f ( x)  h)

3x  1 x2  4

f ( x)  e cos x

f ( x)  sen 3x 2  5

p) (*)

f ( x)  e cos

2

x

2

5. Hallar las derivadas sucesivas:

f ´´´ si f ( x)  x 7 v c) (*) f si f ( x)  ln x a)

b)

f ' ' si iv d) (*) f

f ( x)  xe x si f ( x)  sen( x)

6. Hallar las rectas tangente y normal a las siguientes funciones en los puntos indicados. Graficar la función y las rectas en cada caso: a)

f ( x)  x 2  1 en x = 2

b) f ( x) 

1 en x = 1 x

c)

f ( x)  e x en x = 0

7. Indicar la respuesta correcta en cada caso.

ex  1 en x = 1 es paralela a la recta de ecuación: x b) y  2 c) x  2 d) y   x  1

I. La recta tangente a la función f ( x)  a) y  x

II. Sea f ( x)  2 x  1 . Entonces el punto donde la recta tangente a f es paralela a la recta de la 2

ecuación y  8x  2 es: a) x  3 / 2

b) x  1 / 2

c) x  5 / 2

d) x  3 / 4

8. Hallar los siguientes límites utilizando la regla de L'Hopital.

lim sen(5 x ) a) x  0 3x

d)

b)

lim x 2 ln x  x0

h) (*)

lim

x2 ex

x

lim e 2 x  1 e) 2 x0 x  x

x0 g) (*)

c)

x0

ln( x  1) sen( x)

lim

sen( x  e x  1) x2

lim

f)

e x  ex  sen(2 x)

lim x0

1  lim  1     x  1  ln( x) x  1 

i) (*)

lim tg ( x)  x  x  0 x  sen( x)

9. Determinar el valor de la constante k para que las siguientes funciones resulten continuas en x=0 a)

 1 ex si x  0  f ( x)   sen( x) k si x  0 

 3  3e kx si x  0  b) (*) f ( x)   5 x 6 si x  0 

10. Analizar el crecimiento de las siguientes funciones y obtener los extremos relativos: a)

f ( x)  4x 3  3x 4

b) f ( x) 

x2 x 1

c) f ( x)  x 

1 x

11. Determinar los intervalos de concavidad y hallar los puntos de inflexión de las siguientes funciones: a)

f ( x)  4x 3  3x 4

b)

f ( x) 

x2 x 1

c)

f ( x)  xe x

12. Sabiendo que la derivada de una función polinómica es: f ' ( x)  ( x  10 )( x  50 ) a) Determine los extremos de la función f(x) b) Indique cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x) c) Determine los puntos de inflexión e intervalos de concavidad de f(x) 13. Si la derivada de una función es: f ' ( x)  3x 2  6 x , entonces f tiene: a) Puntos de inflexión en x = -2 y x = 0 b) Un punto de inflexión en x = -1, un máximo en x = -2 y un mínimo en x = 0 c) Ningún punto de inflexión y un mínimo en x = 0 d) Un punto de inflexión en x = -1, un mínimo en x = -2 y un máximo en x = 0 2

14. Hacer el estudio completo de las siguientes funciones. Indicar dominio, raíces, paridad, discontinuidades, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos, puntos de inflexión, intervalos de concavidad. Graficar.

x2 1 x2 c) (*) f ( x)  2 d) f ( x)  x ln( x) x 1 x 1 1 2 x e) f ( x)  xe f) f ( x)  x  g) f ( x)  ln(1  x ) x 15. (*) Verificar que la función f ( x)  x  x 3 satisface las condiciones del Teorema de Rolle en los intervalos a)

f ( x)  4x 3  3x 4

b) f ( x) 

 1, 0 y 0, 1 . Hallar los valores correspondientes del valor medio x0 que implica el teorema.

16. (*) Derivar las siguientes funciones (aplicar derivada de la función inversa): c) f ( x ) 

b) f ( x)  2 arccos x

a) f ( x)  x  arcsen( x)

arctg ( x )

17. (*) Usando logaritmos hallar la derivada de las siguientes funciones (derivada logarítmica): a)

f ( x)  x

senx

b)

f ( x)  cos x 

3 c) f ( x)     x

x

3x

d)

f ( x)  ( x 3  4x) ln x

Aplicaciones económicas 18. La ecuación de demanda para un artículo está dada por p( x)  36  2 x . Hallar la función de ingreso

I ( x) , el ingreso medio y el ingreso marginal y determinar la cantidad de unidades para las cuales el ingreso es máximo. 19. La función de ingreso marginal de un dado artículo en función de nivel de ventas x está dada por I m arg ( x)  30 x  x 2 . Entonces la cantidad de unidades vendidas x que optimiza el ingreso total es: a) x=0

b) x=15

c) x=30

d) ningún valor de los anteriores

20. El máximo valor que toma la función Costo C ( x)  2 x a) 10 b) 2 c) 0 d) 32

2

 8x  2 vale:

21. Si el Costo marginal de producción de x unidades diarias de un producto es Cmg ( x)  3x entonces el punto de inflexión del costo total se tiene para un nivel de producción x igual a: a) 12 b) 0 c) 6 d) no tiene puntos de inflexión

2

 36x  750 ,

22. Si el beneficio marginal es Bmg ( x)  ( x  1)(2 x  10) , entonces el beneficio es máximo si: a) x = 1 b) x = 5 c) x = -1 d) no tiene máximo 23. El Costo de producción x unidades diarias de un producto es de cada unidad es a) 10

p  50 

C ( x) 

x2  35 x  25 y el precio de venta 4

x . El máximo beneficio se alcanza, entonces, para x igual a: 2

b) 20

c) 30

d) 0

24. Para un producto, el costo marginal de producción de x unidades diarias es: Cmg ( x) 

x , mientras 5000

que el respectivo ingreso marginal es Im g ( x)  2 . Entonces el nivel de producción que optimiza el beneficio marginal es: a) 5000 b) 10000 c) 20000 d) Ninguno 25. Si la ecuación de demanda de un producto es p  250 

x , determinar para qué precio la demanda es 2

elástica. 26. Si la función de demanda de un producto es p  2 x  500 , indicar cuándo el coeficiente de elasticidad es unitario, cuándo la demanda es elástica y cuándo inelástica. 3

27. Dadas las siguientes funciones de demanda: hallar su elasticidad con respecto al precio indicado, interpretar el resultado y determinar si la demanda es elástica, inelástica o unitaria. a)

q

500 p2

b) (*) q  150  e

p  100

28. Si la función de demanda de un producto es p ( x)  12 

p /100

p  100

x , se pide: a) determine la función de 200

ingreso total y su punto óptimo. B) Calcule la elasticidad precio de la demanda y determine para qué niveles de producción será elástica la demanda.

4