Trabajo Práctico N◦ 6: Función cuadrática Asignatura: Razonamiento y resolución de problemas Curso cuatrimestral 2017 - EEAyT - UNRN 1) Un depósito contiene 190 litros de agua que drenan desde un orificio en el fondo, lo cual causa que el depósito se vacíe en 20 minutos. El depósito drena más rápido cuando está casi lleno porque la presión en el orificio es mayor. La ley de Torricelli da el volumen de agua que permanece en el depósito después de t minutos como 

V (t) = 190 1 −

t 20

2

,

0 ≤ t ≤ 20.

(a) Determinar V (0) y V (20). ¿Qué representan estos valores? (b) Elaborar una tabla de valores de V (t) para t = 0, 5, 10, 15, 20. Graficar. 2) Para cada una de las siguientes funciones de segundo grado hallar el vértice, hallar las intersecciones con los ejes x e y, escribirla en sus otras dos formas y graficar indicando dominio, imagen e intervalos de crecimiento: (a) f (x) = x2 − 6x − 7

(g) f (x) = 2 + 4x + 2x2

(b) f (x) = x2 − 29 x + 2

(h) f (x) = −(x + 1)2 +

(c) f (x) = 12 (x − 1)2 (d) f (x) = (x −


1 4

1 4

(i) f (x) = 6x2 + 4x

(x +

(j) f (x) = − 23 (x − 12 )(x + 2)


3 2

(e) f (x) = − 34 + 3(x − 1)2

(k) f (x) = −2x2 + 12x − 10

(f) f (x) = 4x2 − 1

(l) f (x) = x2 − x − 2

3) De cada una de las parábolas graficadas, indicar la función cuadrática correspondiente. En todos los casos |a|. 5 y

(d)

4 (a)

3 (g) 2 1

(c) −8

−7

−6

−5

−4

x −3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

−1 −2 −3

(b) (e)

(f)

−4 −5

4) Se lanza una pelota en un campo de juego. Su trayectoria está dada por la ecuación y = −0.025x2 + x + 1.5 donde x es la distancia que la pelota ha viajado horizontalmente e y es

la altura sobre el nivel del suelo, ambas medidas en metros. (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota? (b) ¿Qué tan lejos ha viajado horizontalmente la pelota cuando choca con el suelo? 5) Un pub abre y cierra cuando todos los clientes se han ido. A partir de registros mensuales se obtuvo una función que permite modelizar el número de personas que hay en el pub x horas después de su apertura, la misma es: P (x) = 60x − 10x2 . (a) Determinar el dominio y la imagen de P para este problema. (b) Hallar el número máximo de personas que van a pub una determinada noche e indicar en qué horario se produce la máxima asistencia de clientes. (c) Si queremos ir al pub cuando haya al menos 50 personas, ¿a qué hora tendríamos que ir? (d) Si queremos estar sentados y el pub sólo tiene capacidad para 80 personas sentadas, ¿a partir de qué hora ya estamos seguros que no conseguiremos sillas? (e) Graficar la función. 6) Un fabricante encuentra que el ingreso generado por vender unidades de cierto artículo está dado por la función I(x) = 80x − 0.4x2 , donde el ingreso I(x) se mide en miles de pesos. ¿Cuál es el ingreso máximo y cuántas unidades se tienen que fabricar para obtener ese máximo? 7) La efectividad de un comercial de televisión depende de cuántas veces lo vea un televidente. Después de algunos experimentos una agencia de publicidad encuentra que si la efectividad E 1 2 se mide en una escala de 0 a 10, entonces, E(n) = 32 n − 90 n , donde n es el número de veces que un televidente ve un determinado comercial, ¿cuántas veces lo debe ver un televidente para alcanzar la máxima efectividad? 8) Un fabricante de carteras tiene costos fijos mensuales de $800, y un costo adicional de $60 en insumos por cada cartera producida. La función de ingreso está dada por I(x) = 40x + x2 donde x es la cantidad de carteras vendidas en el mes. (a) Determinar las funciones costo total, ingreso y beneficio mensuales, en función de la cantidad de carteras producidas y vendidas por mes. (b) Determinar el punto de equilibrio costo-ingreso. (c) Graficar la función de beneficio. Si el fabricante desea obtener ganancias, ¿cuántas carteras deberá vender por mes, como mínimo? 9) Se lanza una pelota desde el suelo hacia arriba. La altura que alcanza la pelota, medida desde el suelo en metros, en función del tiempo, medido en segundos, se calcula a través de la siguiente fórmula: h(t) = −5t2 + 20t. (a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué momento lo hace? (b) ¿Después de cuánto tiempo cae la pelota al suelo? (c) ¿Cómo se contestan las preguntas anteriores si la pelota se lanza a 25mts del suelo? 10) ¿Cuáles pueden ser los valores de h para que las siguientes ecuaciones tengan dos soluciones en los reales? (a) 3hx2 + 2x + 9 = 0

(b) −3x2 + 5x + h = 3

11) Encontrar los puntos de intersección si existen y graficar. (a) f (x) = 4x2 − 6x + 3, g(x) = −3x + 18 (b) f (x) = 3x2 − 6x + 3, g(x) = −x2 + 6x − 5 (c) f (x) = x2 − x − 2, g(x) = 25 x − 4 2

(c) 4x2 − 3x + 2h = −hx2 + 3

(d) f (x) = 4x2 + 3x − 50, g(x) = −2x + 1 (e) f (x) = −3x2 + 6x + 105, g(x) = 31 x + 5 (f) f (x) = 5x2 + 4x + 10, g(x) = 21 x + 5 



12) Hallar las coordenadas del vértice de una parábola cuya imagen es el intervalo − ∞, 12 y cuyas raíces son 0 y 4. 13) Hallar los valores de b tales que la parábola f (x) = x2 + bx + 4 corte al eje x. 14) Hallar el valor de b para que la parábola f (x) = 3x2 + bx + 1 corte al eje x en un solo punto.

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