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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: LIMITES DE FUNCIONES ASIGNATURA: MATEMÁTICA I (ECONOMIA) - U.N.R.N. – AÑO: 2014

1. Graficar en cada caso una función f con dominio R tal que: a)

lim f(x)=1 x→4

b)

lim f(x)=0 x → −1

d) Cumpla con a) y b) a la vez. f)

c)

lim x→2

f(x)= – 3 +

y

lim x → 2−

f(x)=5

e) Cumpla con a) y b) a la vez, y que f(4)=0 y f(–1)=3

lim lim f(x)=1/2 y f(x) no exista x →1 x→3

g)

lim x→5

−

f(x)= –1

y

lim x → 5+

f(x) = 2 y f(5)=3

2. Calcular los siguientes límites, utilizando el álgebra de límites. lim a) (x 2 − x + 2) x →1

b)

lim x →1

 x2 − 4  ln + 1 c) lim x→2 x  

2x − x + 8 3

3. Calcular los siguientes límites usando límites laterales. Luego, graficar las funciones. a)

lim f ( x) x→3

 x 2 + 5 si x ≤ 3 donde f ( x) =  4 x + 2 si x > 3

4. Comprobar haciendo una tabla de valores que:

b)

lim

1 x → 0 x2

lim

1 = +∞ + x→2 x−2

c)

x

lim

x→0 x

lim

1 = −∞ x →2 x−2

y que

−

5. Indeterminación 0/0. Calcular los siguientes límites: lim x 2 − 36 x →6 x−6 lim x2 + x − 6 e) 2 x → 2 x − 3x + 2

a)

x 4 − 16 x → 2 x2 − 4 lim 1+ x − 1− x f) x x→0 b)

lim

(3 + x) 2 − 9 x x→0 lim x −1 g) 2 x → 1 x − 2x + 1 c)

x −2 x→4 x−4 lim x 3 − 1 h) x → 1 x −1

lim

d)

lim

6. Indeterminación ∞/∞. Calcular los siguientes límites: a)

lim 3x 2 + 8 x − 6 x+2 x → +∞

b)

2x 2 − 4x + 1 x → +∞ 9 x 2 + 2

lim

c)

lim 6x + 7 x → +∞ x 3 − 1

d)

lim − x +1 3 x → −∞ x − x 2 − 1

7. Indeterminación ∞-∞. Calcular los siguientes límites: a)

lim x → +∞

( 1+ x − x)

b)

lim x → +∞

 2x 2 − 5   − 2 x   x+3 

c)

lim x → +∞

(

x 2 − 5x − x

)

1

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i ) f (1) ii ) lim− f ( x) iii) lim f ( x) iv) lim f ( x) x → 1+

x→ 1

si x ≤ −1 si - 1 < x < 1 hallar si x ≥ 1

x  8. Si f ( x ) =  x 1 − x  3

x →1

v) f (−1) vi) lim− f ( x) vii) lim f ( x) viii) lim f ( x) x → −1+

x → −1

x →−1

Luego graficar la función.

lim senx =1 x→0 x lim lim 1− cos x sen 2 x b) c) x x → 0 sen5 x x→0

9. Calcular sabiendo que a)

lim

sen8 x x→0 x

10. Calcular sabiendo que x

lim  1 1 +  = x x→∞  a)

lim  1 1 +  x→∞  x

lim 1 (1 + x ) x = e x→0

3x

b)

lim  1 + x→∞

11. Calcular los siguientes límites: lim lim 5x − 8 6x3 + 2 b) a) x → ∞ 2x 2 − x + 1 x → ∞ 2x −1

( x + 1) 2 e) x → ∞ x2 +1 lim

i)

lim x → −∞

x e−x

tg ( x − 3) x → 3 3x − 9

lim

f)

j)

c)

x 2 − x − 12 x → −3 x 2 + 3 x

lim

5  x

4x

c)

2 lim (1 + 8 x ) x x→0

3x 2 + 4 x − 2 4x2 x→∞

lim

g)

lim x→∞ k)

x 2 + 2x x

lim

sen( x) 2 x → 0 x + 2x

d)

3− x +5 x → 4 4− x

lim

x

6 2  h) 1 −  x → ∞  4x 

lim

l)

lim

sen (3 x) x → 0 x + tgx

12. Graficar funciones que cumplan con lo indicado. En c) dar la ecuación de las asíntotas. a) Que las rectas x = 3, x = –1, y = 2x +1 sean asíntotas. b) Que Dom(f)= ℜ y que las rectas x = 2, y = – x e y = 2x sean asíntotas. c) Que

lim

x→2

f(x) = +∞ ,

lim

lim f(x) = + ∞ y f(x) = -∞. x → −1+ x → −1−

13. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de las funciones de ejercicio 31 del TP Nro.2.

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14. Haga corresponder a cada función dada en los incisos a) hasta f) con su gráfica. Justifique.

a) y =

1 x −1

b) y =

x x −1

c) y =

1 (x − 1)2

d) y =

1 x −1 2

15. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: 1 1 1 a) f ( x) = 2 b) f ( x) = c) f ( x) = x + x−3 x x 2 x+2 x +1 e) f ( x) = e x f) f ( x) = 2 g) f ( x) = x +1 x −4

e) y =

x x −1 2

f) y =

x (x − 1)2

1 x +1 4x − 3 h) f ( x) = 2x − 2 d) f ( x) =

2

16. ¿Qué valor debe tomar la constante k para que y=1 sea asíntota de la función f ( x) =

kx + 1 ? 3x

3