La demostración se hace mediante el teorema de Bolzano: “Sí una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos del mismo toma valores ...
Para demostrar que las funciones f (x ) = sen x y g(x ) =
1 se cortan en el intervalo x
5π 2 π, 2 , debemos demostrar que en dicho intervalo, existe un valor “c” tal que: f (c ) = g (c )
La demostración se hace mediante el teorema de Bolzano: “Sí una función es continua en un intervalo cerrado [a, b] y en los extremos del mismo toma valores de signo contrario, dicha función se anula al menos en un punto interior del intervalo” Como nos piden demostrar que f (c ) = g (c ) , esto es equivalente a demostrar que: f (c ) − g(c ) = 0
Para demostrar esto último se genera una nueva función H(x). H(x ) = f (x ) − g(x ) = sen x −
1 x 5π H(x) es una función continua en el intervalo 2 π, por ser resta de funciones 2
continuas en dicho intervalo. f (x ) = sen x es continua en todo R por definición, y g(x ) =
5π
1 es continua en R − {0} , x
5π
pero como 0 ∉ 2π, , g(x ) = también es continua en 2 π, . 2 x 2 1
H (2π ) = f (2π ) − g(2 π ) = sen 2π −
1 1 = 0− 0 2 5π 2 5π 2 2 2
La función H(x) cumple las condiciones del teorema de Bolzano, por lo tanto, existe al
menos un valor c ∈ 2 π,
5π tal que H(c) = 0 2 H (c ) = f (c ) − g(c ) = sen c −
