Tarea 3 ´ Algebra Lineal 21 de marzo 1. Considerar la funci´ on f : M2×3 (F) → M2×2 (F), definida por     a11 a12 a13 2a11 − a12 a13 + 2a12 f = . a21 a22 a23 0 0 Demuestra que f es lineal. 2. Supongase que f : R2 → R2 es lineal y que f (1, 0) = (1, 4) y f (1, 1) = (2, 5). ¿Qu´e es f (2, 3)? ´ f inyectiva? ¿Es 3. Sea f ∈ V ∗ es decir f : V → F, ¿se pueden encontrar dos vectores linealmente independientes, tales que f evaluada en cada uno de ellos sea distinta de cero? 4. Sean V y W espacios vectoriales con subespacios V1 ⊂ V y W1 ⊂ W ; si f : V → W es lineal, probar que f [V1 ] = Im(f |V1 ) = {f (v)|v ∈ V1 } es subespacio de W y {x ∈ V |f (x) ∈ W1 } es subespacio de V . 5. Sean V, W y V˜ , F-espacios vectoriales, considera T ∈ Hom(V, V˜ ), demuestra que las composiciones RT : Hom(V˜ , W ) → Hom(V, W ) LT : Hom(W, V ) → Hom(W, V˜ ) dadas por LT (F ) = T ◦ F y RT (F ) = F ◦ T , son lineales. 6. Considera el espacio vectorial V = C ∞ (R, R) y (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , demuestra que si se denota por f (n) , la n-esima derivada de f entonces, las funciones F, G: V → Rn , dadas por: (a) F (f ) = (f (x1 ), . . . , f (xn )) (b) G(f ) = (f (x1 ), f 0 (x1 ), . . . , f (n) (x1 )) son lineales. 7. Una funci´ on f : V → W entre espacios vectoriales V y W , se dice aditiva, si f (x + y) = f (x) + f (y), para toda x, y ∈ V . Demostrar que si V y W son espacios vectoriales sobre los n´ umeros racionales entonces cualquier funci´on aditiva entre V y W es lineal. 8. Probar que Q[x], el espacio de los polinomios con coeficientes racionales, no es isomorfo a su dual. (Sugerencia: considerar las cardinalidades.)

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