I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” PROFESORADO DE MATEMÁTICA

Superficies II SUPERFICIES CUÁDRICAS

TÓPICOS DE GEOMETRÍA

Prof. Roberto Biraghi / Año 2014

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Superficies II

Índice Superficies cuádricas

2

1. Superficies cuádricas con centro

2

1.1. Elipsoide

3

1.2. Hiperboloide de una hoja

5

1.3. Hiperboloide de dos hojas

7

2. Superficies cuádricas sin centro

10

2.1. Paraboloide elíptico

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2.2. Paraboloide hiperbólico

12

Anexo: Clasificación de las superficies cuádricas

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Bibliografía

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Superficies II

Superficies cuádricas Definición Se denomina superficie cuádrica, o simplemente cuádrica, al lugar geométrico de los puntos de ℝ3 que satisfacen la ecuación general de segundo grado en tres variables 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 2 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 2 + 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 + 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 + 𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹𝐹 + 𝐺𝐺𝐺𝐺 + 𝐻𝐻𝐻𝐻 + 𝐼𝐼𝐼𝐼 + 𝐾𝐾 = 0 con al menos un coeficiente de término cuadrático no nulo.

Se demuestra en tratados avanzados que mediante una transformación apropiada de coordenadas (una rotación en el espacio ℝ3 ), se puede llevar esta ecuación a una ecuación de segundo grado, donde los coeficientes correspondientes a los términos rectangulares (𝐷𝐷, 𝐸𝐸, 𝐹𝐹) sean nulos. Si en la ecuación obtenida operamos completando cuadrados (seguiremos indicando a los ejes rotados con 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 por una cuestión de comodidad), se podrá obtener siempre una ecuación de alguno de los dos tipos: 𝑀𝑀(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + 𝑁𝑁(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 + 𝑃𝑃(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 )2 = 𝑅𝑅 𝑀𝑀(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + 𝑁𝑁(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 = 𝑆𝑆(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 )

[𝟏𝟏] [𝟐𝟐]

Las superficies del tipo [𝟏𝟏] tienen un centro de simetría en el punto (𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) y por esto se llaman superficies cuádricas con centro. Las superficies del tipo [𝟐𝟐] no tienen centro de simetría y se llaman, por lo tanto, superficies cuádricas sin centro. La naturaleza de estas superficies dependerá, naturalmente, de los coeficientes, de los cuales algunos pueden ser nulos.

1. Superficies cuádricas con centro En esta sección vamos a considerar las superficies cuádricas con centro, representadas por la ecuación 𝑀𝑀(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + 𝑁𝑁(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 + 𝑃𝑃(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 )2 = 𝑅𝑅 donde el punto 𝐶𝐶(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) se denomina centro de la superficie cuádrica.

Haciendo una traslación de ejes al punto 𝐶𝐶, la ecuación en los ejes trasladados (que seguiremos indicando como ejes 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 por una cuestión de comodidad), resulta 𝑀𝑀𝑥𝑥 2 + 𝑁𝑁𝑦𝑦 2 + 𝑃𝑃𝑧𝑧 2 = 𝑅𝑅 donde todos los coeficientes son no nulos. Podemos entonces escribir esta ecuación como 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 ± 2 ± 2 ± 2 =1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 que es la forma canónica de la ecuación de una superficie cuádrica con centro.

Análogamente que para las secciones cónicas, veremos que es más sencillo estudiar las superficies cuádricas a partir de las formas canónicas de sus ecuaciones. De esta ecuación, se deduce que cada cuádrica con centro tiene tres planos de simetría (los planos coordenados) llamados planos principales, tres ejes de simetría (los ejes coordenados) llamados ejes principales, y un centro de simetría (el origen de coordenadas) llamado centro de la superficie.

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Superficies II Según el número de coeficientes positivos en la ecuación en su forma canónica, tenemos los siguientes tipos de superficies: → ELIPSOIDE (todos los coeficientes positivos) → HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA (dos coeficientes positivos, uno negativo) → HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS (un coeficiente positivo, dos negativos) Observemos que si todos los coeficientes son negativos, no hay lugar geométrico en ℝ3 .

1.1. Elipsoide

La forma canónica de la ecuación del elipsoide es 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + + =1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 Estudiaremos este lugar geométrico por medio de un estudio elemental de su ecuación:

1) Intersecciones con los ejes coordenados: ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, los puntos 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0, 0) y 𝐴𝐴′ (−𝑎𝑎, 0, 0) ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦, los puntos 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏, 0) y 𝐵𝐵′(0, −𝑏𝑏, 0) ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧, los puntos 𝐶𝐶(0, 0, 𝑐𝑐) y 𝐶𝐶′(0, 0, −𝑐𝑐)

Los seis puntos de intersección del elipsoide y los ejes coordenados se denominan vértices del elipsoide. Si 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 𝑐𝑐, los segmentos 𝐴𝐴𝐴𝐴′ , 𝐵𝐵𝐵𝐵 ′ y 𝐶𝐶𝐶𝐶 ′ se llaman, respectivamente, eje mayor, eje medio y eje menor del elipsoide.

2) Trazas sobre los planos coordenados: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos � + 𝑏𝑏2 = 1 ⇔ elipse. 𝑧𝑧 = 0 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦, obtenemos �𝑏𝑏2 𝑐𝑐 2 = 1 ⇔ elipse. 𝑥𝑥 = 02 𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 + =1 ⇔ elipse. ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎2 𝑐𝑐 2 𝑦𝑦 = 0 𝑎𝑎2

3) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen: La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, a todos los ejes coordenados y al origen de coordenadas.

4) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados: Analicemos las secciones del elipsoide hechas por los planos paralelos al 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥 (𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, 𝑘𝑘 ∈ ℝ): 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑘𝑘 2 + + = 1 + = 1 − � � ⇒ �𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 �𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 𝑐𝑐 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘

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Superficies II Estudiando esta última ecuación, se pueden dar tres casos: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

→ Si |𝑘𝑘| < |𝑐𝑐|, se obtiene � + 𝑏𝑏2 > 0 ⇔ elipses. 𝑧𝑧2= 𝑘𝑘 2 𝑥𝑥 𝑦𝑦 → Si |𝑘𝑘| = |𝑐𝑐|, se obtiene � 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 0 ⇔ los puntos 𝐶𝐶(0,0, 𝑐𝑐) y 𝐶𝐶′(0,0, −𝑐𝑐). 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + → Si |𝑘𝑘| < |𝑐𝑐|, se obtiene �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 < 0 ⇔ no existe lugar geométrico. 𝑎𝑎2

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 Se procede análogamente para las intersecciones con los planos 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 e 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ).

5) Extensión de la superficie:

Todas las secciones hechas al elipsoide por los planos paralelos a los coordenados, son elipses dentro de los límites de la superficie, que es cerrada y está contenida en su totalidad dentro del paralelepípedo que tiene por caras los planos 𝑥𝑥 = ±𝑎𝑎, 𝑦𝑦 = ±𝑏𝑏 y 𝑧𝑧 = ±𝑐𝑐.

6) Gráfica de la superficie:

Con la información obtenida ya se puede realizar la gráfica del elipsoide, indicando en ella sus elementos característicos.

Algunas observaciones… → Si dos de los coeficientes de la ecuación del elipsoide son iguales, la superficie se denomina elipsoide de revolución, que se genera al girar una elipse alrededor de uno de sus dos ejes. → En el caso de que todos los coeficientes sean iguales (𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 = 𝑟𝑟 ≠ 0), se tratará de una superficie esférica de radio 𝑟𝑟.

Práctica

En cada una de las ecuaciones, estudiar y construir la gráfica de la superficie: a) 4𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 4 b) 4𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 8𝑥𝑥 = 0 c)

𝑥𝑥 2 4

+

𝑦𝑦 2 9

+ 𝑧𝑧 2 = 1

d) 36𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 + 4𝑧𝑧 2 = 36

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Superficies II

1.2. Hiperboloide de una hoja La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de una hoja es la siguiente 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 + − =1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 Las otras dos formas canónicas son 𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

− 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 1

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

− 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 1

y

Lo que se estudie para la primera de las ecuaciones, servirá también para estas dos últimas formas, ya que las tres superficies difieren solamente en sus posiciones con relación a los ejes coordenados.

1) Intersecciones con los ejes coordenados: ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, los puntos 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0, 0) y 𝐴𝐴′(−𝑎𝑎, 0, 0). ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦, los puntos 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏, 0) y 𝐵𝐵′(0, −𝑏𝑏, 0). ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧, no existe lugar geométrico.

2) Trazas sobre los planos coordenados: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 1 ⇔ elipse. 𝑧𝑧 = 0 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − = 1 ⇔ hipérbola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦). 2 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦, obtenemos �𝑏𝑏 𝑐𝑐 2 𝑥𝑥 = 02 𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 − =1 2 𝑐𝑐 2 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎 ⇔ hipérbola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥). 𝑦𝑦 = 0

3) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen: La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y al origen de coordenadas.

4) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados: En forma análoga, estudiaremos ahora las secciones de la superficie por planos paralelos a los coordenados: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑘𝑘 2

𝑧𝑧 2

𝑘𝑘 2

▪ En los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 1 + � 𝑐𝑐 � > 0 ⇔ ▪ En los planos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘

𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

− 𝑐𝑐 2 = 1 − �𝑏𝑏�

𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

elipses (∀𝑘𝑘 ∈ ℝ)

→ Estudiando esta última ecuación, se pueden dar tres casos: → Si |𝑘𝑘| < |𝑏𝑏|, se obtiene � → Si |𝑘𝑘| = |𝑏𝑏|, se obtiene �

𝑥𝑥 2

𝑧𝑧 2

− 𝑐𝑐 2 > 0 𝑎𝑎2

𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑎𝑎 𝑥𝑥 = ± 𝑐𝑐 𝑧𝑧 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

⇔ hipérbolas (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥).

⇔ rectas secantes en 𝐵𝐵(0, 𝑏𝑏, 0) y 𝐵𝐵′(0, −𝑏𝑏, 0).

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Superficies II → Si |𝑘𝑘| > |𝑏𝑏|, se obtiene �

𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑧𝑧 2

− 𝑐𝑐 2 < 0

𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

𝑦𝑦 2

⇔�

𝑧𝑧 2

𝑥𝑥 2

𝑧𝑧 2

− 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 2 > 0 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘

𝑘𝑘 2

▪ En los planos 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 1 − �𝑎𝑎� 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 → Estudiando esta última ecuación, se pueden dar tres casos: 𝑦𝑦 2

⇔

hipérbolas (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧).

𝑧𝑧 2

→ Si |𝑘𝑘| < |𝑎𝑎|, se obtiene �𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 > 0 ⇔ hipérbolas (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦). 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = ± 𝑐𝑐 𝑧𝑧 ⇔ rectas secantes en 𝐴𝐴(𝑎𝑎, 0, 0) y 𝐴𝐴′(−𝑎𝑎, 0, 0). → Si |𝑘𝑘| = |𝑎𝑎|, se obtiene � 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 hipérbolas 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − < 0 − + > 0 2 2 2 2 (eje focal paralelo al → Si |𝑘𝑘| > |𝑎𝑎|, se obtiene �𝑏𝑏 ⇔ � 𝑏𝑏 ⇔ 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧).

5) Extensión de la superficie:

Como se estudió en la intersección con planos del tipo 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘, a medida que la constante 𝑘𝑘 aumenta en valor absoluto, las elipses aumentan de tamaño. Se deduce de aquí, además, que la superficie no es cerrada sino que se extiende indefinidamente a lo largo del 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧.

6) Gráfica de la superficie:

Se obtiene la gráfica del hiperboloide de una hoja, según el siguiente esquema:

Algunas observaciones… → En general, cualquier hiperboloide de una hoja se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es negativo en la forma canónica de su ecuación.

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Superficies II → Si en la ecuación estudiada de la superficie es 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, la superficie es un hiperboloide de una hoja de 𝑦𝑦 2

2

𝑥𝑥 2

𝑧𝑧 2

𝑧𝑧 − =1 revolución que puede generarse haciendo rotar la hipérbola �𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 1 o la hipérbola �𝑎𝑎2 𝑐𝑐 2 𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥 = 0 alrededor del 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 (de acuerdo al teorema de las superficies de revolución). Entonces las secciones por planos perpendiculares al eje de rotación, es decir, los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (con |𝑘𝑘| > |𝑐𝑐| y 𝑘𝑘 ∈ ℝ), serán circunferencias con centro en el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧.

→ Puede demostrarse que el hiperboloide de una hoja es una superficie reglada generada por dos familias de rectas, y que por cada punto perteneciente a la superficie pasa un par de rectas que están contenidas en la superficie.

Práctica En cada una de las ecuaciones, estudiar y construir la gráfica de la superficie: a) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 9𝑧𝑧 2 = 9 b) 3𝑥𝑥 2 − 6𝑦𝑦 2 + 2𝑧𝑧 2 − 6 = 0 c) −𝑥𝑥 2 +

𝑦𝑦 2 4

+

𝑧𝑧 2 9

=1

1.3. Hiperboloide de dos hojas La forma canónica de la ecuación del hiperboloide de dos hojas es 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − − =1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 2 Como para el hiperboloide de una hoja, hay otras dos formas canónicas, 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − 2− 2+ 2=1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

y

𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − 2− 2+ 2=1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐

Por comodidad, se estudiará la ecuación del recuadro, teniendo en cuenta que su estudio es representativo de todas las otras formas.

1) Intersecciones con los ejes coordenados: ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, no existe lugar geométrico. ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑦𝑦, no existe lugar geométrico. ▪ En el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧, los puntos 𝐶𝐶(0, 0, 𝑐𝑐) y 𝐶𝐶′(0, 0, −𝑐𝑐).

2) Trazas sobre los planos coordenados:

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥 no existe lugar geométrico. 𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦, obtenemos �− 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 1 ⇔ hipérbola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑥𝑥 =2 0 2 𝑥𝑥 𝑧𝑧 − 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 2 = 1 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos � ⇔ hipérbola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑦𝑦 = 0

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Superficies II 3) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen:

La superficie es simétrica con respecto a todos los planos coordenados, ejes coordenados y al origen de coordenadas.

4) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados: 𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

𝑘𝑘 2

▪ En los planos 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �− 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 1 + �𝑎𝑎� ⇔ 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 2 𝑘𝑘 2 − + = 1 + � � ⇔ ▪ En los planos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene � 𝑎𝑎2 𝑐𝑐 2 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 ▪ En los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑘𝑘 2 𝑘𝑘 2 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 �− 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 = 1 − � 𝑐𝑐 � ⇔ �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = � 𝑐𝑐 � − 1 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 Pueden darse estos tres casos: → Si |𝑘𝑘| < |𝑐𝑐|, se obtiene �

𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

hipérbolas (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). hipérbolas (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧).

𝑦𝑦 2

+ 𝑏𝑏2 < 0 ⇔ no existe lugar geométrico.

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑦𝑦 2 + = 0 ⇔ los puntos 𝐶𝐶(0, 0, 𝑐𝑐) y 𝐶𝐶′(0, 0, −𝑐𝑐). 2 |𝑐𝑐|, → Si |𝑘𝑘| = se obtiene �𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + → Si |𝑘𝑘| > |𝑐𝑐|, se obtiene �𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 > 0 ⇔ elipses.

5) Extensión de la superficie:

𝑥𝑥 2

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘

De lo anterior puede deducirse que la superficie no es cerrada, sino que está compuesta de dos hojas o ramas diferentes que se extienden indefinidamente, a lo largo del 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧.

6) Gráfica de la superficie:

Se obtiene la gráfica del hiperboloide de dos hojas, según el siguiente esquema.

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Superficies II Definición: Cono asintótico

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

Si analizamos la ecuación canónica 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 1 (que representa un hiperboloide de una hoja 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

a lo largo del eje 𝑧𝑧) junto con la ecuación canónica 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 0 (que representa una superficie cónica a lo largo del eje 𝑧𝑧 con vértice en el origen de coordenadas), puede demostrarse que las dos superficies guardan una relación análoga a la que guardan las asíntotas con una hipérbola, y que el hiperboloide de una hoja se aproxima más y más a la superficie cónica a medida que ambas superficies se alejan más y más del origen.

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

Por esa razón, la superficie cónica de ecuación canónica 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 0 recibe el nombre de cono asintótico del hiperboloide de una hoja. Análogamente, puede demostrarse que un hiperboloide de dos hojas de ecuación canónica 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 − 2− 2+ 2=1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

como el que estudiamos, tiene también un cono asintótico de ecuación canónica 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 − 𝑐𝑐 2 = 0, que es el cono asintótico del hiperboloide de una hoja.

Definición: Hiperboloides conjugados Cuando un hiperboloide de una hoja y un hiperboloide de dos hojas tienen un cono asintótico común, se denominan hiperboloides conjugados.

Algunas observaciones… → En general, cualquier hiperboloide de dos hojas se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable cuyo coeficiente es positivo en la forma canónica de su ecuación. → Si en la ecuación estudiada de la superficie es 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, la superficie es un hiperboloide de dos hojas de 𝑥𝑥 2

𝑧𝑧 2

– + =1 revolución que puede generarse haciendo rotar la hipérbola � 𝑎𝑎2 𝑐𝑐 2 o la hipérbola 𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦 2

𝑧𝑧 2

�– 𝑏𝑏2 + 𝑐𝑐 2 = 1 alrededor del 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 (aplicando el teorema de las superficies de revolución). Entonces 𝑥𝑥 = 0

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Superficies II las secciones por planos perpendiculares al eje de rotación, es decir, los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (con |𝑘𝑘| > |𝑐𝑐| y 𝑘𝑘 ∈ ℝ), serán circunferencias con centro en el 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧.

Práctica

1) En cada una de las ecuaciones, estudiar y construir la gráfica de la superficie: a) 9𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 = 36 b) −3𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 12 = 0 c) 𝑥𝑥 2 −

𝑦𝑦 2 4

−

𝑧𝑧 2 9

=1

2) Hallar la ecuación canónica de los hiperboloides conjugados que tienen por cono asintótico común a la superficie dada: a) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧 2 = 0 b) 𝑥𝑥 2 − 2𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 0 c) 3𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − 𝑧𝑧 2 = 0

2. Superficies cuádricas sin centro En esta sección vamos a considerar las superficies cuádricas sin centro, representadas por la ecuación 𝑀𝑀(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 )2 + 𝑁𝑁(𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 )2 = 𝑆𝑆(𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 ) donde el punto 𝑉𝑉(𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑧𝑧0 ) se denomina vértice de la superficie cuádrica.

Haciendo una traslación de ejes al punto 𝑉𝑉, la ecuación en los ejes trasladados (que seguiremos indicando como ejes 𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧 por una cuestión de comodidad), resulta 𝑀𝑀𝑥𝑥 2 + 𝑁𝑁𝑦𝑦 2 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 donde todos los coeficientes son no nulos. Podemos entonces escribir esta ecuación como 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 ± = ±𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 que es la forma canónica de la ecuación de una superficie cuádrica sin centro. ±

De esta ecuación, se deduce que las superficies cuádricas de este tipo, tienen dos planos de simetría (los planos coordenados 𝑦𝑦𝑦𝑦 y 𝑥𝑥𝑥𝑥) llamados planos principales, un eje de simetría (el eje coordenado 𝑧𝑧) llamados eje principal, pero ningún centro de simetría. Atendiendo a las diversas combinaciones posibles de signos en la ecuación canónica, se deduce que, en esencia, existen solamente dos tipos diferentes de superficies: → PARABOLOIDE ELÍPTICO (coeficientes de los términos cuadráticos del mismo signo) → PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (coeficientes de los términos cuadráticos de distinto signo) Estudiaremos cada caso en particular.

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Superficies II

2.1. Paraboloide elíptico Una de las formas canónicas de la ecuación del paraboloide elíptico es 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + = 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 Las otras dos formas canónicas son 𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑧𝑧 2

+ 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐

y

𝑦𝑦 2 𝑎𝑎2

𝑧𝑧 2

+ 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐

Para cada forma podemos tener dos variaciones según que 𝑐𝑐 sea positivo o negativo. El estudio que haremos de la primera de las ecuaciones canónicas, será representativo de todas las formas.

1) Intersecciones con los ejes coordenados: La única intersección con los ejes coordenados es el origen de coordenadas, que se denomina vértice de la superficie.

2) Trazas sobre los planos coordenados: ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos el punto (0, 0, 0), el origen de coordenadas. 𝑦𝑦 2

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦, obtenemos �𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 ⇔ parábola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎2 ⇔ parábola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑦𝑦 = 0

3) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen: La superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑥𝑥𝑥𝑥, y con respecto al eje coordenado 𝑧𝑧 (por definición, no tiene centro de simetría).

4) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados: 𝑦𝑦 2

𝑘𝑘 2

𝑥𝑥 2

𝑘𝑘 2

▪ En los planos 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene � = 𝑐𝑐𝑐𝑐 − �𝑎𝑎� ⇔ parábolas (eje focal paralelo al 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧), cuyos vértices se alejan del plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 cuando |𝑘𝑘| aumenta. 𝑏𝑏 2

▪ En los planos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 − �𝑏𝑏� ⇔ parábolas (eje focal paralelo al 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧), cuyos vértices se alejan del plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 cuando |𝑘𝑘| aumenta. 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

▪ En los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 Pueden darse estos dos casos: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

→ Si 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘) , se obtiene �𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 ≥ 0 ⇔ elipses, que aumentan de tamaño 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 cuando |𝑘𝑘| aumenta y los planos de corte se alejan del plano 𝑥𝑥𝑥𝑥. → Si 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐) ≠ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘), se obtiene �

𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦 2

+ 𝑏𝑏2 < 0 ⇔ no existe lugar geométrico.

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘

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Superficies II 5) Extensión de la superficie:

La superficie se extiende totalmente por encima o por debajo del plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 según sea 𝑐𝑐 > 0 o 𝑐𝑐 < 0, respectivamente. La superficie no es cerrada, sino que se extiende indefinidamente a lo largo del eje 𝑧𝑧.

6) Gráfica de la superficie:

Se obtiene la gráfica del paraboloide elíptico, según el siguiente esquema.

Algunas observaciones… → En general, cualquier paraboloide elíptico se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable de primer grado en la forma canónica de su ecuación. → Si en la ecuación estudiada de la superficie se cumple que 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏, la superficie es un paraboloide elíptico 𝑦𝑦 2

𝑥𝑥 2

= 𝑐𝑐𝑐𝑐 de revolución que puede generarse haciendo rotar la parábola �𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 o la parábola �𝑎𝑎2 alre𝑦𝑦 = 0 𝑥𝑥 = 0 dedor del 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧 (aplicando el teorema de las superficies de revolución).

Práctica

1) En cada una de las ecuaciones, estudiar y construir la gráfica de la superficie: a) 3𝑥𝑥 2 + 2𝑦𝑦 2 − 6𝑧𝑧 = 0 b) 𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 + 9𝑦𝑦 = 0 c) 4𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 + 2𝑥𝑥 = 0

2.2. Paraboloide hiperbólico Una de las formas canónicas de la ecuación del paraboloide hiperbólico es 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − = 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2

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Superficies II El estudio de esta ecuación será representativo de las otras dos formas canónicas, 𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑧𝑧 2

− 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐

y

𝑦𝑦 2 𝑎𝑎2

𝑧𝑧 2

− 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐

Además, hay dos variaciones para cada forma, según sea 𝑐𝑐 positivo o negativo (para una mayor claridad, en la figura se muestra el caso de un paraboloide hiperbólico cuando 𝑐𝑐 < 0). Realizaremos el estudio de esta superficie.

1) Intersecciones con los ejes coordenados: La única intersección con los ejes coordenados es el origen de coordenadas, que se denomina vértice de la superficie.

2) Trazas sobre los planos coordenados: 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑏𝑏

𝑦𝑦 = ± 𝑎𝑎 𝑥𝑥 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 0 ⇔ � ⇔ dos rectas secantes en el punto 𝑧𝑧 = 0 𝑧𝑧 = 0 (0, 0, 0), el origen de coordenadas. 𝑦𝑦 2

▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑦𝑦𝑦𝑦, obtenemos �− 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 ⇔ parábola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑥𝑥 = 0 𝑥𝑥 2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 ▪ En el 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑥𝑥𝑥𝑥, obtenemos �𝑎𝑎2 ⇔ parábola (eje focal paralelo al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧). 𝑦𝑦 = 0

3) Simetría con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al origen:

La superficie es simétrica con respecto a los planos coordenados 𝑦𝑦𝑦𝑦, 𝑥𝑥𝑥𝑥, y con respecto al eje coordenado 𝑧𝑧 (por definición, no tiene centro de simetría).

4) Secciones por planos paralelos a los planos coordenados: 𝑘𝑘 2

𝑦𝑦 2

▪ En los planos 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene �𝑏𝑏2 = −𝑐𝑐𝑐𝑐 + �𝑎𝑎� ⇔ parábolas (eje focal paralelo al 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧), que se abren hacia arriba o hacia abajo, según sea 𝑐𝑐 > 0 o 𝑐𝑐 < 0, respectivamente. 𝑘𝑘 2

𝑥𝑥 2

▪ En los planos 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), se obtiene � = 𝑐𝑐𝑐𝑐 + �𝑏𝑏� ⇔ parábolas (eje focal paralelo al 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑧𝑧), las cuales se abren hacia arriba o hacia abajo, según sea 𝑐𝑐 > 0 o 𝑐𝑐 < 0, respectivamente. 𝑎𝑎2

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

▪ En los planos 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 (𝑘𝑘 ∈ ℝ), e obtiene � − 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐𝑐𝑐 ⇔ hipérbolas cuyas ramas se alejan del eje 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑧𝑧 a medida que |𝑘𝑘| aumenta. 𝑎𝑎2

Pueden darse estos dos casos:

→ Si 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘), se obtiene �

𝑥𝑥 2

𝑎𝑎2

𝑦𝑦 2

− 𝑏𝑏2 ≥ 0 ⇔ hipérbolas (eje focal paralelo al eje 𝑥𝑥).

𝑧𝑧 = 𝑘𝑘

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Superficies II 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

→ Si 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑐𝑐) ≠ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑘𝑘), se obtiene �𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 < 0 ⇔ �− 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 > 0 ⇔ hipérbolas (eje 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 𝑧𝑧 = 𝑘𝑘 focal paralelo al eje 𝑦𝑦).

5) Extensión de la superficie:

Por lo visto anteriormente, la superficie no es cerrada, sino que se extiende indefinidamente. La superficie tiene la forma de una silla de montar y se dice que se extiende a lo largo del eje 𝑧𝑧 (recordar que en la figura, para una mayor claridad, se muestra el caso de un paraboloide hiperbólico cuando 𝑐𝑐 < 0).

6) Gráfica de la superficie:

Se obtiene la gráfica del paraboloide hiperbólico, según el siguiente esquema.

Algunas observaciones… → En general, todo paraboloide hiperbólico se extiende a lo largo del eje coordenado correspondiente a la variable de primer grado en la forma canónica de su ecuación. → Análogamente al caso del hiperboloide de una hoja, puede demostrarse que el paraboloide hiperbólico es una superficie reglada generada por dos familias de rectas, y que por cada punto perteneciente a la superficie pasa un par de rectas que están contenidas en la superficie.

Práctica 1) En cada una de las ecuaciones, estudiar y construir la gráfica de la superficie: a) 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − 2𝑧𝑧 = 0 b) −4𝑥𝑥 2 − 3𝑦𝑦 + 25𝑧𝑧 2 = 0 c) −4𝑥𝑥 + 5𝑦𝑦 2 − 3𝑧𝑧 2 = 0

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Superficies II

Anexo: Clasificación de las superficies cuádricas ***

𝑅𝑅 *

>0

=0

Tipo [1] Superficies cuádricas con centro 𝑀𝑀𝑥𝑥 2 + 𝑁𝑁𝑦𝑦 2 + 𝑃𝑃𝑧𝑧 2 = 𝑅𝑅

COEFICIENTES 𝑀𝑀, 𝑁𝑁, 𝑃𝑃 Todos positivos Dos positivos, uno negativo Uno positivo, dos negativos Todos negativos Uno cero, dos positivos Uno cero, dos negativos Uno cero, uno positivo, uno negativo Dos cero, uno positivo Dos cero, uno negativo Todos del mismo signo Dos positivos, uno negativo Uno cero, dos del mismo signo Uno cero. dos de distinto signo Dos cero

LUGAR GEOMÉTRICO

ELIPSOIDE HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS Ningún lugar geométrico CILINDRO ELÍPTICO (O CIRCULAR) RECTO *** Ningún lugar geométrico CILINDRO HIPERBÓLICO RECTO *** DOS PLANOS PARALELOS NO COINCIDENTES *** Ningún lugar geométrico ORIGEN DE COORDENADAS *** CONO RECTO *** EJE COORDENADO *** DOS PLANOS SECANTES *** PLANO COORDENADO (DOS PLANOS COINCIDENTES) ***

Tipo [2] Superficies cuádricas sin centro 𝑀𝑀𝑥𝑥 2 + 𝑁𝑁𝑦𝑦 2 = 𝑆𝑆𝑆𝑆

COEFICIENTES 𝑆𝑆 ** 𝑀𝑀, 𝑁𝑁 Del mismo signo De distinto signo >0 Uno cero Del mismo signo De distinto signo =0 Uno cero

LUGAR GEOMÉTRICO

PARABOLOIDE ELÍPTICO PARABOLOIDE HIPERBÓLICO CILINDRO PARABÓLICO RECTO *** UN EJE COORDENADO *** DOS PLANOS SECANTES *** UN PLANO COORDENADO (DOS PLANOS COINCIDENTES) ***

* Cuando 𝑅𝑅 < 0, se invierten los signos de los coeficientes 𝑀𝑀, 𝑁𝑁 y 𝑃𝑃, los lugares geométricos correspondientes estarán dados entonces como para 𝑅𝑅 > 0. ** Cuando 𝑆𝑆 < 0, se invierten los signos de los coeficientes 𝑀𝑀 y 𝑁𝑁, los lugares geométricos correspondientes estarán dados entonces como para 𝑆𝑆 > 0.

*** Cuando uno o más coeficientes son nulos, decimos que las ecuaciones resultantes no representan superficies cuádricas de acuerdo a su definición, sino otros lugares geométricos que suelen denominarse superficies cuádricas degeneradas, o también casos patológicos.

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Superficies II

Bibliografía KOZAK, A. y otros; “Nociones de geometría analítica y álgebra lineal”; McGraw-Hill; Buenos Aires; 2007. LEHMANN, C.; “Geometría analítica”; Limusa; México; 2009. REES, P.; “Geometría analítica”; Reverté; México; 2003. SMIRNOV, I.; “Curso de geometría analítica”; Mir; Moscú; 2005. STEWART, J.; “Cálculo (4º Ed.)”; Thomson Learning; Buenos Aires; 2005. “Cálculo de una variable (6º Ed.)”; Cengage Learning; México; 2008. STEWART, J. y otros; “Introducción al cálculo”; Thomson Learning; Buenos Aires; 2007. XAMBÓ, S.; “Geometría”; Edicions UPC; Barcelona; 2000. YÁKOVLIEV, G.; “Geometría”; Mir; Moscú; 1985.

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