SUCESIONES 1. Hallar el término general de las siguientes sucesiones: 7 9 11 13 , , , , ... i. 4 8 12 16 Solución. Fijando la atención en las colecciones de números que forman numerador (7, 9, 11, 13,…) y denominador (4, 8, 12, 16,…), puede observarse que los términos del numerador se corresponden con una progresión aritmética (a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d ) , de diferencia 2 y primer término 7, por lo que su término general será: a n = 7 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n + 5

Los términos de los denominadores corresponden también a una progresión aritmética de diferencia 4 y primer término 4. b n = 4 + (n − 1) ⋅ 4 = 4n El término general es: an =

7 9 11 13 2n + 5 , , , , ... = 4 8 12 16 4n

5 12 19 26 , , , ,... 4 9 16 25

ii.

Solución. Los términos de los numeradores (5, 12, 19, 26,…), corresponden a una progresión aritmética (a n = a 1 + (n − 1)⋅ d ) de diferencia 7 y primer término 5, su término general es: d n = 5 + (n − 1) ⋅ 7 = 7 n − 2

Los términos de los denominadores (4, 9, 16, 25,…), corresponden a los cuadrados perfectos empezando por el cuadrado de dos: nn = 4, 9, 16, 25, … = 22, 32, 42, 52, … = (1+1)2, (2+1)2, (3+1)2, (4+1)2, … = (n+1)2 El término general de la sucesión es: 5 12 19 26 d 7n − 2 a n = , , , ,... = n = 4 9 16 25 n n (n + 1)2 1,

iii.

4 16 64 256 ,... , , , 3 9 27 81

Solución. 1,

(a

4 16 64 256 1 4 16 64 256 , , , ,... = , , , , ,... 3 9 27 81 1 3 9 27 81

Los numeradores de los términos de la sucesión corresponden a una progresión geométrica n

)

= a 1 ⋅ r n −1 de razón 2 y primer término 1. n n = 1 ⋅ 2 n −1 = 2 n −1

Los denominadores de los términos de la sucesión también corresponden a una progresión geométrica de razón 3 y primer término 1. d n = 1 ⋅ 3n −1 = 3n −1

El término general de la sucesión es: 4 16 64 256 n 2 n −1  2  a n =, , , , ,... = n = n −1 =   3 9 27 81 dn 3 3

1

n −1

17 26 37 50 , , , ,... 16 25 36 49

iv.

Solución. Típico ejercicio de “idea feliz”. Loa términos que forman la sucesión no están ni en progresión aritmética, ni en geométrica, están relacionados con los cuadrados perfectos. an =

17 26 37 50 16 + 1 25 + 1 36 + 1 49 + 1 4 2 + 1 52 + 1 6 2 + 1 7 2 + 1 , , , ,... = 2 , 2 , 2 , 2 ,... = , , , ,... = 16 25 36 49 4 5 6 7 (1 + 3)2 (2 + 3)2 (3 + 3)2 (4 + 3)2

= v. Solución.

(1 + 3)2 + 1 , 52 + 1 , (2 + 3)2 + 1 , (4 + 3)2 + 1 ,... = (n + 3)2 + 1 = n 2 + 9n + 10 n 2 + 9n + 9 (1 + 3)2 (2 + 3)2 (3 + 3)2 (4 + 3)2 (n + 3)2

1, −2, 4, −8, 16,....

(

)

La sucesión está formada por términos de una progresión geométrica a n = a 1 ⋅ r n −1 , de razón 2, primer término 1 y signos alternados empezando por positivo. a n = 1 ⋅ 2 n −1 = 2 n −1

La alternancia de signo se consigue con las siguientes expresiones: +, −, +, −,… = (−1)n + 1 −, +, −, +,… = (−1)n El término general es:

an = 1, −2, 4, −8, 16,.... = (− 1)n +1 ⋅ 2 n −1

vi. −2, 4, −6, 8, −10,.... Solución. Progresión aritmética (a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d ) , diferencia 2, valor absoluto del primer término 2 y signos alternados empezando por negativo. a n = (− 1)n ⋅ (2 + (n − 1) ⋅ 2) = (− 1)n ⋅ 2n

vii.

1 1 1 1 , , , ,... 3 5 7 9

Solución. 3, 5, 7, 9,… progresión aritmética (a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d ) , diferencia 2 y primer término 3. 3, 5, 7, 9,… a n = 3 + (n − 1) ⋅ 2 = 2n + 1 1 1 1 1 1 a n = , , , ,... = 3 5 7 9 2n + 1 viii.

1 1 1 1 , , , ,... 4 9 16 25

Solución. Los denominadores son los cuadrados de los números naturales empezando por el de 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a n = , , , ,... = 2 , 3 , 2 , 2 ,... = , , , ,... = 2 3 2 2 4 9 16 25 2 3 4 5 (1 + 1) (2 + 1) (3 + 1) (4 + 1) (n + 1)2 2. Razonar si son crecientes o decrecientes las siguientes sucesiones. Solución. Para saber si una sucesión es creciente o decreciente se estudia la diferencia entre los término an+1 y an: • Si an+1 − an > 0 ⇔ an+1 > an. La sucesión es creciente • Si an+1 − an < 0 ⇔ an+1 < an. La sucesión es decreciente

2

i.

an =

=

4n + 3 4(n + 1) + 3 4n + 7 = : a n +1 = (n + 1) + 1 n + 2 n +1 4n + 7 4n + 3 (4n + 7 ) ⋅ (n + 1) − (4n + 3) ⋅ (n + 2 ) a n +1 − a n = − = = n+2 n +1 (n + 2) ⋅ (n + 1)

(

)

4n 2 + 4n + 7n + 7 − 4n 2 + 8n + 3n + 6 1 = > 0∀ n∈N* (n + 2) ⋅ (n + 1) (n + 2) ⋅ (n + 1) a n +1 − a n > 0 ⇔ a n +1 > a n : Sucesión CRECIENTE

ii.

an =

=

5n + 1 5(n + 1) + 1 5n + 6 = : a n +1 = (n + 1) + 3 n + 4 n +3 5n + 6 5n + 1 (5n + 6) ⋅ (n + 3) − (5n + 1) ⋅ (n + 4) a n +1 − a n = − = = n+4 n+3 (n + 4) ⋅ (n + 3)

(

)

5n 2 + 15n + 6n + 18 − 5n 2 + 20n + n + 4 14 = > 0∀ n∈N* (n + 4) ⋅ (n + 3) (n + 4) ⋅ (n + 3) a n +1 − a n > 0 ⇔ a n +1 > a n : Sucesión CRECIENTE

iii.

an =

2n + 1 2(n + 1) + 1 2n + 3 : a n +1 = = n +1 n +1 n 2n + 3 2n + 1 (2n + 3) ⋅ n − (2n + 1) ⋅ (n + 1) a n +1 − a n = − = = (n + 4) ⋅ (n + 3) n +1 n

=

(

)

2n 2 + 3n − 2n 2 + 2n + n + 1 −1 = < 0∀ n∈N* (n + 4) ⋅ (n + 3) (n + 4) ⋅ (n + 3) a n +1 − a n < 0 ⇔ a n +1 < a n : Sucesión DECRECIENTE

iv.

an =

=

3 − 2n 3 − 2(n + 1) 1 − 2n : a n +1 = = 3(n + 1) − 2 3n + 1 3n − 2 1 − 2n 3 − 2n (1 − 2n ) ⋅ (3n − 2) − (3 − 2n ) ⋅ (3n + 1) a n +1 − a n = − = = (3n + 1) ⋅ (3n − 2) 3n + 1 3n − 2

(

)

3n − 2 − 6n 2 + 4n − 9n + 3 − 6n 2 − 2n −5 = < 0∀ n∈N* (3n + 1) ⋅ (3n − 2) (3n + 1) ⋅ (3n − 2) a n +1 − a n < 0 ⇔ a n +1 < a n : Sucesión DECRECIENTE

3. Hallar a5 en una sucesión tal que: a) a1 = 3, a2 = 7 an = 2a n−1 + a n−2 b) a1= 5, an = 2an−1 + 3 c) a1= −3, a n = 3·a n−12 Solución. a. Aplicando el término general habrá que expresar a5 en función de a1 y a2. a = 2a 4 −1 + a 4 − 2 = 2a 3 + a 2  a 5 = 2a 5 −1 + a 5 − 2 = 2a 4 + a 3 =  4 =  a 3 = 2a 3−1 + a 3− 2 = 2a 2 + a1 

= 2(2a 3 + a 2 ) + (2a 2 + a1 ) = 4a 3 + 4a 2 + a1 = 4(2a 2 + a1 ) + 4a 2 + a1 = = 8a 2 + 5a1 = 8 ⋅ 7 + 5 ⋅ 3 = 71

b.

a 5 = 2a 5 −1 + 3 = 2a 4 + 3 = 2(2a 4 −1 + 3) + 3 = 4a 3 + 9 = 4(2a 3−1 + 3) + 9 = = 8a 2 + 21 = 8(2a 2 −1 + 3) + 21 = 16a1 + 45 = 16 ⋅ 5 + 15 = 95

3

c.

(

a 5 = 3a 52−1 = 3a 24 = 3 3a 24 −1

)

2

(

= 33 a 34 = 33 3a 32−1

)

4

(

= 37 a 82 = 37 3a 22 −1

= 315 (− 3)16 = 331

) =3 8

15 16 a1

=

4. Escribe los diez primeros términos de una sucesión cuyo término general viene definido de la siguiente forma: 3 sí n es múltiplo de de tres   a n =  n si n es múltiplo de tres más uno (−1) n sí n es multiplo de tres más dos  Solución. a3 = 3; a4 = 4; a5 = (−1)5 = −1; a6 = 3; a7 = 7; a8 = (−1)8 = 1; a9 = 3; a10 = 10; a11 = (−1)11 = −1; a12 = 3

an = {3; 4; −1; 3; 7; 1; 3; 10; −1; 3 …..} 5. De las siguientes sucesiones encontrar los términos a partir de los cuales todos los siguientes distan del valor del límite menos de una milésima (ε = 10−3). 4n + 3 i. n +1 5n + 1 ii. n+3 2n + 1 iii. n 3 − 2n iv. 3n − 2 Solución. Para demostrar que una succión converge hacia un valor L (límite), habrá que demostrar que a partir de un cierto término, los siguientes estarán del límite una distancia inferior a un valor ε que se podrá escoger tan pequeño como queramos. an − L < ε i.

4n + 3 4n ≈ Lím =4 n →∞ n + 1 n →∞ n 4n + 3 −1 1 1 − 4 < 10 − 3 : < 10 − 3 : < 3 : n > 999 n +1 n +1 n + 1 10 Lím

Los términos siguientes al a999 distan de 4 menos de una milésima ii.

Lím

n →∞

5n + 1 5n ≈ Lím =5 n + 3 n →∞ n 5n + 1 − 14 14 1 − 5 < 10 − 3 : < 10 − 3 : < : n > 1397 n+3 n+3 n + 3 103

Los términos siguientes al a1397 distan de 5 menos de una milésima iii.

2n + 1 2n ≈ Lím =2 n →∞ n n →∞ n 2n + 1 1 1 1 − 2 < 10 − 3 : < 10 − 3 : < 3 : n > 1000 n n n 10 Lím

Los términos siguientes al a1000 distan de 2 menos de una milésima iv.

3 − 2n 2 −2n ≈ Lím =− 3 n → ∞ 3n − 2 n → ∞ 3n Lím

4

) 3 − 2n − 2 5 5 1 − < 10 − 3 : < 10 − 3 : < 3 : n > 556,2 3n − 2 3 9n − 6 9n − 6 10

El término a557 y los sucesivos, distan de −

2 menos de una milésima 3

5