Cuadripolos

Introducción: Un cuadripolo es una red eléctrica de cuatro terminales (bornes o polos) ordenados en dos pares. Un par de entrada (a y b) y un par de salida c y d). La corriente I1 que entra al borne (a) es idéntica a la que sale del borne (b). Lo mismo ocurre con la corriente I2 en los bornes (c) y (d). En general, se utiliza el cuadripolo como elemento de interconexión entre el generador que proporciona la señal de entrada y la impedancia de carga que recibe la señal de salida.

Configuraciones

Configuración “T”

Configuración “∏”

Configuración “L”

Configuración “ELEMENTAL”

Parámetros Característicos El propósito inmediato es estudiar las relaciones entre las variables eléctricas, es decir tensiones y corrientes, que podemos medir en los bornes de entrada (U1 e I1) y en los bornes de salida (U2 e I2) del cuadripolo

Parámetros Impedancia o “Z” Si la red interna del cuadripolo se puede representar por una configuración “T” equivalente, las relaciones entre tensiones y corrientes se pueden expresar del siguiente modo

Comparando término a término las ecuaciones con las anteriores

Ensayos en vacío: a) Lado 2 en Vacío

b) Lado 1 en Vacío

Parámetros de Admitancia o “Y” Si la red interna del cuadripolo se puede representar por una configuración “∏” de admitancias las relaciones entre corrientes y tensiones se pueden expresar del siguiente modo:

Comparando término a término las ecuaciones con las anteriores

Ensayos en cortocircuito: a) Lado 2 en Cortocircuito

b) Lado 1 en Cortocircuito

Juegos de Parámetros Para el estudio de cada uno de los juegos de parámetros, se considerará las referencias de tensiones y corrientes que se indican en la figura:

a) Parámetros “Z” o de Impedancia:

b) Parámetros “Y” o de Admitancia:

c) Parámetros “h” o Híbridos “h”:

d) Parámetros “g” o de Híbridos “g”:

e) Parámetros de Transmisión “ABCD”

f) Parámetros de Transmisión “EFGH”

CONDICION DE BILATERALIDAD Un cuadripolo es bilateral cuando cumple el teorema de reciprocidad. El teorema de reciprocidad establece que en cualquier red lineal y pasiva, si la única fuente de tensión Vk en la rama “k” produce la respuesta de corriente Im en la rama “m”, entonces al trasponer la fuente de tensión Vk ubicándola en la rama “m” (en el lugar en que estaba ubicado antes el amperímetro Im) y el amperímetro Im conectándolo en la rama “k” (en la posición en que estaba ubicado antes la fuente de tensión Vk), la lectura del amperímetro no cambia. Se puede decir también que el intercambio de una fuente ideal de tensión y un amperímetro ideal en cualquier circuito lineal y pasivo, no cambiará la lectura del amperímetro. Podemos constatar el teorema de reciprocidad mediante dos ensayos de laboratorio sobre un cuadripolo lineal y pasivo.

Ensayo 1:

Ensayo 2:

Si las lecturas de los amperímetros en ambos ensayos son idénticas, se cumple la igualdad

Observando las ecuaciones de los parámetros “Y” del cuadripolo

Esta igualdad expresa la condición de bilateralidad en los parámetros “Y”

Y puede extenderse para los demás parámetros:

CONDICION DE SIMETRÍA EN UN CUADRIPOLO Un cuadripolo con elementos dispuestos en configuración “ ∏ ” es eléctricamente simétrico cuando la admitancia “vista” desde el lado 1 con el lado 2 en cortocircuito, es igual a la admitancia vista desde el lado 2 con el lado 1 en cortocircuito, es decir:

En una configuración “T” la condición de simetría se da cuando:

Condición de simetría en los parámetros [A, B, C, D]:

IGUALANDO:

IMPEDANCIA DE ENTRADA DEL CUADRIPOLO CARGADO Se denomina impedancia de entrada al cuadripolo, al cociente entre la tensión y la corriente en el par de bornes de entrada al cuadripolo

Utilizando los parámetros [A, B, C, D]

Casos particulares de Impedancia de Entrada: a) Con el lado 2 en cortocircuito: ZL= 0



b) Con el lado 2 en circuito abierto: ZL → ∞ 

IMPEDANCIA ITERATIVA Cuando la impedancia que medimos en el par de bornes de entrada “Zent1” es igual a la impedancia que medimos en el par de bornes de salida “ZL”, decimos que el cuadripolo está cargado con su impedancia iterativa.



Sí aplicamos la misma condición de iteración pero alimentando el cuadripolo desde el lado “2” y cargando el lado “1”, obtenemos:



IMPEDANCIA IMAGEN Suponemos un cuadripolo que interconecta un generador de impedancia interna Zi,1 con una carga de impedancia Zi,2:

Para encontrar cual es la relación entre cada impedancia imagen y los parámetros del cuadripolo, utilizamos:

(1)

Tomamos el mismo cuadripolo y alimentamos desde el lado “2” con un generador de impedancia interna Zi,2 y conectamos como carga en el lado “1” una impedancia Zi,1

(2)

Teniendo en cuenta que la equivalencia entre parámetros es: Haciendo la sustitución de los parámetros [E, F, G, H] en (1) por los [A, B, C, D] obtenemos la relación:

(3)

Reemplazando (1) en (3) y trabajando la ecuación se obtiene: Análogamente, al reemplazar (2) en (3) resulta:

RELACIONES DE LAS IMPEDANCIAS IMAGEN CON OTRA IMPEDANCIAS DEL CUADRIPOLO Con las ecuaciones de los parámetros [A, B, C, D] podemos calcular la impedancia de entrada al lado “1” cuando el lado “2” está en vacío:

La impedancia de entrada al lado “1” cuando el lado “2” está en cortocircuito es:

Comparando con las ecuaciones de impedancia imagen:

Recíprocamente:

IMPEDANCIA CARACTERISTICA En el caso que el cuadripolo sea simétrico, se cumple que A = D . Por lo tanto las dos impedancias imagen se igualan:

Lo mismo ocurre para las impedancias iterativas

Por lo tanto, se denomina “Impedancia Característica” y se denota:

Si un cuadripolo simétrico se carga con una impedancia ZL igual a su impedancia característica ZC, la impedancia de entrada al cuadripolo será:

GENERADORES CONTROLADOS A. Generador de tensión controlado por tensión.

B. Generador de tensión controlado por corriente.

C. Generador de corriente controlado por corriente.

D. Generador de corriente controlado por tensión.

CUADRIPOLOS CON FUENTES CONTROLADAS A) Parámetros “Z”

B) Parámetros “Y”

C) Parámetros “g”

D) Parámetros “h”

FUNCIÓN TRANSFERENCIA

Si el cuadripolo sirve para adaptar la impedancia del generador con la impedancia de carga por impedancia imagen podemos escribir las siguientes relaciones:

Dividiendo ambos miembros de la primera ecuación de los parámetros en U2 y trabajando sobre ella obtenemos:

(1) Definimos ahora un nuevo parámetro complejo    + j relacionado con los parámetros [A, B, C, D] tal que:

(2) (3)

Expresando (1) en función de (2) y (3) tenemos: Si queremos expresar el valor de la tensión de salida del cuadripolo U2 con respecto a la tensión de entrada U1 nos queda:

Sabiendo:

Nos queda:

Trabajando similarmente sobre las corrientes obtenemos:

Llamada “Transferencia de Tensión” TU

Llamada “Transferencia de Corriente” TI

Podemos expresar la relación de “Transferencia de Potencia” TP como:

Si el cuadripolo es simétrico A = D y Zi,1 = Zi,2

La relación entre tensión del lado “1” y la tensión del lado “2” puede expresarse como:

Tomando logaritmo nepperiano en ambos miembros

Atenuación [Np]

Angulo de desfasaje [rad]

CONEXIÓN DE DOS CUADRIPOLOS DE IGUAL IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA

INTERCONEXIÓN DE CUADRIPOLOS CONEXION EN SERIE

CONEXION EN PARALELO

CONEXION SERIE - PARALELO

CONEXION PARALELO - SERIE

CONEXION EN CASCADA