1 sept. 2014 - de clase, calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: a) Que los dos hayan asistido a clase ese día. Puesto que los dos ...
Septiembre 2014 Opción A Ejercicio 1. Sean las matrices
⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ y B=⎜ A=⎜ ⎟ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −5 2 ⎟⎠
a) Calcular las matrices X e Y para las que se verifica:
X +Y = A 3X + Y = B Este sistema de ecuaciones matriciales lo podemos resolver mediante reducción, es decir:
⎧X + Y = A −⎨ ⎩ 3X + Y = B −2X = A − B → X = −
1 ( A − B) 2
Sustituyendo queda por tanto:
1 ⎛ ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎞ 1 ⎛ 0 −7 ⎞ ⎛ 0 7/2 ⎞ X =− ⎜ ⎜ −⎜ =− ⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎝ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −5 2 ⎠ ⎠ 2 ⎝ 7 −3 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎟⎠ Con el valor de la matriz X podemos calcular la matriz Y:
X + Y = A → Y=A − X ⎛ 1 −7 ⎞ ⎛ 0 7/2 ⎞ ⎛ 1 −21 / 2 ⎞ Y =⎜ −⎜ =⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ −7 / 2 3 / 2 ⎠ ⎝ 11 / 2 −5 / 2 ⎟⎠ b) Hall BZ + Bt = 2I e la matriz Z que verifica En primer lugar despejamos la matriz Z de la ecuación matricial dada:
BZ + Bt = 2I BZ = 2I − Bt → ( B ) BZ = ( B ) −1
−1
( 2I − B ) → Z = ( B ) ( 2I − B ) −1
t
⎛ 1 0 ⎞ ⎝ −5 2 ⎟⎠
Como se ve, será necesario calcular la inversa de B siendo B = ⎜ A continuación, calculamos la matriz inversa de B :
Ejercicio 2. Una empresa ha realizado un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, que ha obtenido en los últimos 10 años. La función a la que se ajustan dichos beneficios viene dada por B(t) = 2t 3 − 36t 2 + 162t − 6 con 0 ≤ t ≤ 10 a) ¿Qué beneficios obtuvo al inicio del periodo y al final del décimo año? Para saber los beneficios al inicio del periodo basta con calcular: B(0) = −6 Para saber los beneficios al final del periodo basta con calcular:
b) ¿En qué momentos se obtiene el máximo y el mínimo beneficio y cuáles fueron sus cuantías? Para calcular el beneficio máximo y mínimo será necesario calcular los vértices de la función empleando para ello la primera derivada:
B'(t) = 6t 2 − 72t + 162 A continuación, calculamos los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x que anulan la derivada:
B'(t) = 0 → 6t 2 − 72t + 162 = 0 → t 2 − 12t + 27 = 0 t=3 t=9 Finalmente estudiamos el signo de la derivada: