SEPTIEMBRE 1995 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min. OPCIÓN A 1. Se considera una parábola cualquiera P y se la traslada una cierta distancia en la dirección de su eje. Analícese si la parábola P y su trasladada P´ se pueden cortar (en caso afirmativo, de sé un ejemplo; en caso contrario justifíquese) 2. Hallar los máximos y mínimos de la función f(x) = ex^2 3. Sean u (x) y v (x) dos funciones derivables en un punto x. Pruébese que su producto u(x)v(x) es derivable obteniendo la expresión de su derivada: D[u (x)·v (x)] = u´(x)·v (x) + u (x)·v´(x) PROBLEMA. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener unas ganancias del 20 %, del 50% y del 25 %, respectivamente, con lo que su beneficio total seria de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama mucho la atención), pues con la venta que obtiene de ellos ganancias del 80 %, del 90 % y del 85 %, respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuánto le costó cada objeto? OPCIÓN B 1. Dada una recta del vector director v (α, β, γ) y el plano de la ecuación Ax + By + Cz + D = 0, deducir la forma del ángulo que forman la recta y el plano 2. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa y razone la respuesta. El sistema formado por las ecuaciones generales de dos planos distintos cualesquiera es siempre un sistema de ecuaciones implícitas de una recta b) La condición necesaria y suficiente para que 3 puntos estén alineados es que el determinante formado por las coordenadas de esos tres puntos sea nulo a)

k ∈ N.

0 r   , siendo r y s dos números reales tales que r·s≠1. Calcular M2, M3, M4, y M2 k para 4. Sea M =   s 0

PROBLEMA- La aceleración de un móvil que describe una trayectoria rectilínea es (en función del t tiempo t) a ( t ) = 4 − . Se sabe que para t = 0 el móvil está parado en la posición x = 5 8 a) ¿Para qué valores de t es 0 la velocidad del móvil? b) Hallar la variación de la velocidad en el intervalo de tiempo (4, 8) y el espacio haya recorrido en ese intervalo Hallar la función de posición de éste móvil