RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD Magnitudes directamente proporcionales: 1) En la vidriera de una casa de artículos para computación hay un cartel que promociona una oferta en el precio de los CD grabables. Patricia entró a preguntar y le aclararon que podía llevar la cantidad que necesitaran que el precio de cada uno no dependía de la cantidad comprada. Completar el cuadro con los datos que faltan: Cantidad de CD 4 2

Precio ($) 12

¿Cómo hiciste para hallar los datos que faltaban?

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Todo lo que se puede contar o medir es una magnitud. Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una (el doble, el triple, etc.) también aumenta la otra de la misma manera; así como cuando una disminuye (la mitad, la tercera parte, etc.) también disminuye la otra de la misma manera. En este caso, la cantidad de CD y el precio son dos magnitudes directamente proporcionales.

:3 .2

Cantidad de CD 3 1 2

Precio ($) 9 3 6

:3 .2

Constante de proporcionalidad directa: La constante de proporcionalidad directa se calcula dividiendo la segunda magnitud con la primera, obteniendo siempre el mismo resultado. En el ejemplo anterior:

k = precio : cantidad de CD k1  9 : 3

k2  3 : 1

k3  6 : 2

k1  3

k2  3

k3  3

2) La siguiente tabla relaciona el tiempo que tarda un delfín en recorrer diferentes distancias. Completar teniendo en cuenta que este excelente nadador se desplaza con una velocidad constante de 50 km por hora. Tiempo (hs)

Distancia (km) 25 50

2 3 300

3) Analizar los datos que aparecen en cada tabla e indicar si entre las magnitudes hay proporcionalidad directa. Botellas de gaseosa 2 8 10

Costo ($)

Cantidad de plantas

4 16 20

5 15 20

Número de flores 15 45 65

4) Para fabricar 20 pantalones del mismo talle, se necesitan 16 m2 de tela. ¿Qué cantidad de tela será necesaria para fabricar una sola de estas prendas? 5) ¿Cuánto cuesta 1 kg de manzanas si por ¼ kg se pagan $0,45? 6) Completar las tablas teniendo en cuenta que cada par de magnitudes se relaciona en forma directamente proporcional: A 5

B 60 108

A 15 1

B 108

A 48

B 12 7,20

Porcentaje En el gran Buenos Aires se concentra el 38% de la población de la Argentina. Esto significa que 38 de cada 100 habitantes de la Argentina viven en el Gran Buenos Aires. Muchos cálculos relacionados con porcentajes pueden ser planteados en forma de proporciones y resueltos aplicando sus propiedades. Por ejemplo, para averiguar qué cantidad de personas p es el 38% de 32423400, que es la cantidad de habitantes de la Argentina, podemos hacer así: Planteamos una proporción asociando el 100% al total Despejamos el dato que nos interesa obtener

38 p  100 32423400 38  32423400  p 100 38  32423400 p 100 p  12320892

Actividad 1: Resuelve los siguientes problemas: 1) En nuestro colegio hay 46 chicos y 54 chicas. a) ¿Cuántos alumnos hay en el colegio? b) ¿Cuál es el porcentaje de chicas? c) ¿Y el de chicos? 2) Completar las siguientes oraciones: a) Cada una de las cuatro estaciones dura el ……% del año. b) Un descuento del 10% en un pantalón que cuesta $22, son $ ……… c) Un aumento de $3,50 en una camisa que costaba $15, es un recargo del ……..% d) Una rebaja de $8 en un artículo que costaba $56, es un descuento del ……..%

3) Alejandra contrata un viaje a Egipto por el que paga $2200; si decide visitar las pirámides deberá abonar $2794. ¿Cuál es el porcentaje de recargo que realiza la agencia por incluir esa excursión? 4) Una tienda está realizando liquidación por fin de temporada y en su vidriera se observan estos carteles. Calcular el porcentaje de descuento en cada una de las prendas. 15 13,50

21 17,85

28 23,80

5) Paula y Manuel van a comprar un par de zapatillas que cuesta $65. El vendedor les aclara que si las pagan en efectivo, tiene un 7% de descuento en la compra; y si abonan con tarjeta, sólo les puede rebajar $5. Manuel dice que es más conveniente pagar en efectivo pero Paula opina que sale más barato pagar con tarjeta. ¿Quién tiene razón? 6) Un artículo se rebaja de $40 a $32. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja? 7) De las 96 figuritas que tiene Abel, 36 están repetidas. ¿Qué porcentaje de figuritas están repetidas? 8) Mariano leyó el 60% de las 240 páginas de un libro. ¿Cuántas ha leído? 9) ¿A cuántos minutos corresponde el 45% de una hora? 10) Si compro 90 CDs y luego vendo el 30% de ellos, ¿cuántos CDs me quedaron?

Magnitudes inversamente proporcionales: Ignacio y Mariela tienen que acomodar 60 libros en la biblioteca, y decidieron agruparlos en cantidades iguales por estante. Completar la tabla que relaciona la cantidad de estantes que se ocuparán de acuerdo con la cantidad de libros que los chicos pongan en cada uno: Cantidad de libros por estante 3 4 5 6 10 15

Cantidad de estantes

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una (el doble, el triple, etc.) la otra disminuye en la proporción inversa (la mitad, la tercera parte, etc.) y viceversa. En este caso, la cantidad de libros que se ponen por estante y la cantidad de estantes que se utilizan, son dos magnitudes inversamente proporcionales.

Constante de proporcionalidad inversa: Un premio de $36000 es repartido entre varios ganadores. Esta tabla muestra lo que le corresponde recibir a 3, 4 y 6 ganadores. Cuantos más ganadores sean, menos dinero recibirá cada uno. La constante de proporcionalidad inversa se calcula multiplicando la primera magnitud con la segunda, obteniendo siempre el mismo resultado. Personas 3 4 6

Precio por persona($) 12000 9000 6000

k = personas . precio por personas k1  3  12000

k 2  4  9000

k 3  6  6000

k1  36000

k 2  36000

k 3  36000

Actividad 2: Resuelve los siguientes problemas, determina en todos los casos, si se trata de proporcionalidad directa o inversa y calcula la constante de proporcionalidad. 1) Una torta se corta en 12 porciones del mismo tamaño y cada porción pesa 144 gramos. ¿Cuánto pesará cada porción si la torta se cortara en 18 porciones iguales? 2) Se vendieron 6 botellas de aceite a $21. ¿Cuánto costarán 10 botellas del mismo precio? 3) Una tela se dividió en 5 partes de 20 cm de ancho. ¿En cuántas partes se podrá dividir si el ancho de cada una fuera de 25 cm? ¿Y si fuera de 10 cm? 4) Para envasar cierta cantidad de litros de aceite se necesitan 12 envases de 10 litros cada uno. ¿Cuántos envases hacen falta si cada uno tiene 1,5 litros de capacidad? 5) Un grupo de amigos alquilará una casa por $1200 y se repartirá entre todos los inquilinos en forma equitativa. Completar la tabla que relaciona la cantidad de inquilinos con la cantidad de dinero que debe aportar cada uno; Cantidad de inquilinos 1 2 3 4 6 12

Dinero que aporta cada uno

6) De los 350 alumnos de una escuela, el 18% practica básquetbol. ¿Cuántos alumnos practican este deporte? 7) Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? 8) En una granja avícola hay 300 gallinas que comen un camión de granos en 20 días. Si se compran 100 gallinas más, ¿en cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano? 9) Para recorrer una distancia de 360 km, un auto que se desplaza a 60 km/h tarda 6 horas. ¿A qué velocidad constante deberá ir para llegar en 8 horas?

10) Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo? 11) Un ganadero tiene pasto suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántas vacas podrá alimentar en 22 días? 12) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? 13) Los soldados de un cuartel se colocan formando 9 filas de 40 reclutas cada una. ¿Cuántas filas de 30 hombres cada una se pueden formar? 14) Por preparar un campo de 7 hectáreas de superficie, un labrador cobra $21315. ¿Cuánto sobraría si la superficie del campo midiera 12 hectáreas? 15) Si para repartir el vino de un barril en botellas de 0,75 litros se necesitan 1040 botellas, ¿cuántas botellas de 0,65 litros se necesitarán? 16) Compré un automóvil de $45000 y, como pagué en cuotas, terminé abonando $47500. ¿Cuál fue el porcentaje de recargo? 17) Un automóvil que va a 90 km/h recorre 160 km. ¿Cuántos km recorrería si fuera a 50 km/h? 18) En una granja, cada 2 meses nacen 245 conejos. ¿Cuántos conejos nacerán en un año? 19) Con 25 m3 de agua, un campesino riega las 4 hectáreas de su propiedad. Si dispusiera de 125 m3 de agua, ¿cuántas hectáreas podría regar? 20) Según las ordenanzas municipales de cierta ciudad, lo máximo que puede construirse en determinada zona corresponde a 28 pisos de 3 metros de altura cada uno. ¿Qué altura deberá tener cada piso, si en dicha zona se desea construir un edificio de 30 plantas?