ESPE PROCESOS ESTOCASTICOS DARWIN ROJAS Proyecto N° 1

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PROYECTO N°1: LA TRANSFORMADA DE LA PLACE Rojas Quishpe Darwin Javier Estudiante Ingeniería Electrónica ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO Engrade: Darwin90 correo:[email protected] 

Resumen—

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema) a una señal de entrada o excitación.

Los sistemas retroalimentados son básicamente sistemas donde cierta porción de la señal de salida se re direcciona hacia la señal entrada para realizar una operación especifica, así la salida no dependería solo de la entrada, también dependería de la realimentación.

I. INTRODUCCIÓN

3. El diagrama de bode de la función de transferencia. 4. La respuesta del sistema al impulso. 5. La respuesta del sistema al escalón. 6. La respuesta del sistema a una entrada sinusoidal. Todos los cálculos deben hacerse en Matlab y los resultados deben presentarse gráficamente. B. Sistema Realimentados Utilizando las 3 funciones de transferencia G(s) creadas en la sección anterior construya el sistema realimentado que se muestra en la figura 1 y escoja tres valores distintos para K. En base a esos nueve sistemas determine: 1. La función de transferencia resultante. 2. Los polos y ceros del sistema. 3. El diagrama de bode de la función de transferencia.

El siguiente conjunto de actividades tienen por objetivo aplicar los conceptos estudiados sobre señales y sistemas continuos usando la transformada de Laplace. A lo largo de este laboratorio (basado en Octave o Matlab [1]) se generaran y visualizaran señales diversas y se utilizara la transformada de Laplace [2] para calcular respuestas de sistemas. A. Respuesta de un Sistema II. FUNDAMENTOS TEORICOS UTILIZADOS A. Transformada de Laplace y escoger al menos tres conjuntos de coeficientes A, B, C,D y E. En base a esas tres funciones indique: 1. La función de transferencia creada. 2. Los polos y ceros del sistema.

Si es una función definida para la integral L{f(t)}=∫∞0e−stf(t)dt

. Entonces

se llama Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja. Cuando la integral

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definitoria converge, el resultado es una función de s. Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver. Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente más sencilla. La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace. La transformada de Laplace es al tiempo continuo lo que la transformada de Z es al discreto Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como

sigue: La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t). B. Función de Transferencia

La función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema a una señal de entrada. A menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Definición: La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define

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como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas. C. Polos y Ceros Es muy difícil analizar cualitativamente la transformada de Laplace , ya que al graficar su magnitud y ángulo a su parte real e imaginaria da como resultado varias graficas de superficies de dos dimensiones en espacios de tres dimensiones. Por esta razón, es común el examinar la grafica de la función de transferencia con sus polos y ceros y tratar una vez mas una idea cualitativa de lo que hace el sistema. 1) Los ceros se obtienen al igualar el numeradora cero, de esta manera encontramos valores para los cuales la función va a ser un cero. 2) Los polos se los obtiene al igualar el denominador a cero, de esta manera obtenemos los valores en los que representara la función los polos.

C. Sistemas Retroalimentados Los sistemas retroalimentados son básicamente sistemas donde cierta porción de la señal de salida se re direcciona hacia la señal entrada para realizar una operación especifica, así la salida no dependería solo de la entrada, también dependería de la realimentación. Un sistema con realimentación puede ser clasificado como positivo o negativo. No hay nada especialmente bueno en un sistema con realimentación “positiva” y nada malo en otro “negativo”. Los nombres de “positivo” y “negativo” indican si los cambios en la realimentación se hacen en la misma dirección para producir un comportamiento reforzado, o se mueven en direcciones opuestas, para producir equilibrio y un comportamiento estable.

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III. PROCEDIMIENTO REALIZADO A. RESPUESTA DE UN SISTEMA Se pide el ingreso de los coeficientes en el numerador y denominador para la funcion de transferencia.

Para realizar las diferentes graficas utilice (figure()) que me permite desplegar varias ventanas en donde se puede apreciar mejor los graficos. Las representaciones graficas de la funcion de transferencia se las realiza con diferentes comandos Con este comando se realiza el diagrama de Bode de la funcion de transferencia:

Realizamos la funcion de transferencia asignando en una variabe cualquiera los numeradores y denominadores ingresados por teclado y uniendolos con el siguiente comando: Obtenemos la funcion con los coeficientes ingresados de esta manera:

La forma en las que se muestran los polos y los ceros es asignando a una variable la funcion de transferencia ingresada, para que nos muestre en la funcion de transferencia los polos y ceros, utilizando el siguiente comando:

Para observar de una mejor manera los valores que representan los ceros y los polos se utiliza (root) para hallar las raíces del polinomio:

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La representacion grafica de la respuesta del sistema al impulso se la realiza con el siguiente comando:

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La representacion grafica de la respuesta del sistema al escalon se la realiza con el siguientecomando:

B. SISTEMA DE RETORALIMENTACION La retroalimentacion sera realizada con la funcion de transferencia de la primera parte, asi que solo se necesita ingresar las tres K´s a multiplicar.

Para realizar la realimentacion del sistema se: Matlab dispone de un comando para crear sistemas realimentados a partir de dos sistemas LTI (sys1 y sys), la sintaxis básica es la siguiente:

Así podemos encontrar la función de transferencia resultante con la retroalimentación con los 3 k´s Para la representacion grafica de la respuesta del sistema a una entrada sinusoidal se necesita determinar los limites de la grafica y en cuantas partes esta dividia para esto hacemos una variable t que comience en 0 y vaya hasta 14 en pasos de 0.1 Luego realizamos la funcion seno que va a ser graficada tomando en cuenta el comando lsim el cual simula la respuesta (tiempo) de los sistemas lineales continuos o discretos a entradas arbitrarias.

Para poder acceder a los datos de la función de transferencia antes ingresada he utilizado el comando: [Num, den] = tfdata (sys)

De esta manera pasamos a realizar el diagrama de las dos funciones en los limites planteados en t.

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Devuelve el numerador y el numerador de la función de transferencia.

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Luego realizamos los procesos explicados en la primera parte para obtener los polos y ceros, pero en esta ocasión serán de la función retroalimentada con los K correspondientes.

RESPUESTA AL IMPULSO

RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO

A continuacion se realizan los mismos procedimientos descritos en la primera parte para realizar las diferentes graficos de los sistemas retroalimentados con sus respectovas K´s.

DIAGRAMA DE BODE DE LA TERCERA FUNCION DEL SISTEMA DE RETROALIMENTACION

RESPUESTA A LA ENTRADA SINUSOIDAL

Las graficas de las funciones a las diferentes respuestas las realice en un solo grafico cada uno para observar su comportamiento.

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IV. CONCLUSIONES En relación a la función de transferencia con el sistema de retroalimentación, al ingresar números Enteros Positivos en coeficientes y K´s. Los diagramas de Bode en el sistema retroalimentado al ser multiplicados por las K ingresadas no muestran un cambio significativo en las graficas, en general las funciones de transferencia retroalimentados no varían en gran medida a la función de transferencia general. Los cambios se realizan en amplitudes pero sin existir cambios mayores en su forma. Comparando diferentes funciones de transferencia con coeficientes enteros positivos observe que existe una deformación de la figura más notable aunque existe gran parentesco entre los diagramas de bode. En la respuesta a una entrada sinusoidal el cambio se realiza en la amplitud o en el periodo siendo más notorio.

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una curva que de manera acelerada se atenúa hasta casi perder su forma convirtiéndose en una línea recta que se propaga al infinito.

REFERENCIAS http://www.mathworks.com/help/control/ref/pzmap.html http://www.mathworks.com/help/ident/ref/lsim.html http://usuarios.multimania.es/automatica/temas/tema2/pags/FdT/FdTs isrealmatlab.htm http://www.mathworks.com/help/ident/ref/tfdata.html http://mit.ocw.universia.net/13.00/NR/rdonlyres/27BBA896-7C034CCB-8810-B02382E5B5D0/0/matlab_handout.pdf http://html.rincondelvago.com/generador-de-funciones.html http://fisica.unav.es/~angel/matlab/matlab0.html http://es.slideshare.net/Grupo03senales/funcin-de-transferencia

Con entradas enteras negativas en coeficientes y K´s, al comparar la función de transferencia con las funciones del sistema de retroalimentación, pude notar que existe un cambio muy notorio entre los diagramas de bode de la función respecto a las funciones del sistema. Pero no existe mayor diferencia entre los diagramas de las funciones del sistema retroalimentado Los cambios son más notorios cuando se compara funciones de transferencia con coeficientes positivos y negativos. Siendo un cambio notorio ya que las graficas no solo cambian de forma sino que también su rango y su domino pertenecen a números positivos como negativos, teniendo en cuenta que las respuestas a impulsos y escalones son prácticamente líneas que tienden hacia el infinito negativo. Al ingresar números enteros decimales y menores a cero, observe que la relación entre los diagramas de bode es similar, casi exactamente iguales las curvas pero con cambios mínimos en la amplitud, los diagramas de bode se mantienen prácticamente iguales entre las funciones del sistema de retroalimentación. En las respuestas al impulso, al escalón unitario y a la entrada sinusoidal, se puede ver la atenuación que sufre la señal, demostrando ESCUELA POLITECNICA DEL EJÉRCITO

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_transferencia

Autor Darwin J. Rojas Q. Nacido en Quito-Ecuador, el 22 de Mayo de 1990.

Estudiante de Pregrado de la carrera de Electrónica, Automatización y Control en la Escuela Politécnica del Ejército. Graduado en el Unidad Educativa Experimental FAE N°1 en la especialidad de Fisco Matemático.