Proyecto CITSU

Modelamiento de la propagación de las ondas de un Tsunami. Para el cálculo de la propagación de las olas se aplica la teoría aproximativa de ondas largas, donde el período T >> profundidad del agua, a partir de las ecuaciones bidimensionales descritas a continuación. El código numérico está basado en la teoría de ondas de aguas someras, que integra verticalmente las ecuaciones de continuidad y de conservación de momentum a lo largo de la columna de agua en un sistema ortogonal de coordenadas, utilizando el esquema de diferencias finitas denominado “salto de la rana”.

1.-

Teoría de Aguas Someras (versión integral)

La siguiente es la integración de la ecuaciones que gobiernan la teoría de aguas someras:

∂u ∂v ∂w + + =0 ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u ∂η τ x +u +v + g + =0 ∂t ∂x ∂y ∂x ρ ∂v ∂v ∂v ∂η τ y +u +v + g + =0 ∂t ∂x ∂y ∂y ρ

x, y, z, t: u, v, w η: h: g: ρ: τx , τy :

MEAN SEA LEVEL

η

x

u

z

OCEAN BOTTOM

Coordenadas y tiempo Velocidad en los ejes x, y, z Desplazamiento vertical Profundidad (respecto al nnm.) Aceleración de gravedad Densidad Fricción de fondo en los ejes x e y

La integración se presenta en forma separada para la conservación de masa (o continuidad) en el punto 1.1. La integración de las ecuaciones de conservación de momentum se presenta en el punto 1.2.

1.1

Conservación de Masa

La conservación de masa es representada con la ecuación de divergencia, en términos de la velocidad de las partículas de agua:

∂u ∂v ∂w + + = 0 ∂x ∂y ∂z

(Conservación de Masa)

Integrando sobre la vertical, coordenada z:

(A . 1 )

 ∂u ∂v ∂w ∫ho  ∂ x + ∂ y + ∂ z h

  dz = 

∫

h

ho

h ∂v ∂u dz + ∫ dz + ho ∂ y ∂x

∫

h

ho

∂w dz = 0 ∂z

El tercer término al lado derecho de (A.1) es expresado mediante la aplicación de las condiciones cinematicas en el fondo del oceáno (A.3) y en la superficie (A.4):

( A.2 )

∫

h

ho

∂w dz = w ∂z

h

−w

ho

La condición cinemática en el fondo implica que la velocidad vertical de las partículas es dependiente solamente de las coordenadas espaciales, de esta manera:

( A. 3)

z = ho(x,y) dz dt

= ho

∂ho dx ∂ho dy + ∂x dt ∂y dt

⇒

w ho =

dz dt

= ho

∂ ho ∂ho u+ v ∂x ∂y

La condición cinemática en la superficie del agua incluye la variable tiempo, de esta manera:

( A.4 )

z = h(x,y, t) dz dt

= h

∂h dx ∂h dy ∂h dt + + ∂x dt ∂y dt ∂t dt

⇒

wh =

dz dt

= h

∂h ∂h ∂h + u+ v ∂t ∂ x ∂y

Las expresiones para el primer y segundo término en el lado derecho de (A.1) se obtienen utilizando la formula de Leibniz (A.5):

∂ ∂x

(A .5 )

∫ ∫

h ho

h ho

∫

h(x, y, t) ho(x, y)

u ( x , y , t )dz = u

∂u dz ∂x

= u

∂v dz ∂y

= v

ho

ho

∂h − u ∂x

h

∂h − u ∂x ∂h − v ∂y

ho

∂h + ∂x

∂h ∂ + ∂x ∂x

h

∂h ∂ + ∂y ∂y

h

∫ ∫

h ho

h ho

∫

h(x, y, t) ho(x, y)

∂u dz ∂x

udz

vdz

Reemplazando (A.3), (A.4) y (A.5) en (A.1), y efectuando un simple trabajo algebraico, se obtiene:

∂   ∂x 

(A . 6 )

∂ ∫ ho udz  + ∂ y  h

∫

h ho

∂h vdz  + = 0  ∂t

Asumiendo que las velocidades (u y v) se consideran uniformes en toda la columna de agua, los campos de integración resultantes son:

∂ ∂x

( A. 7 )

( h − ho u ) +

∂ ∂y

( h − ho v ) +

∂h = 0 ∂t

Introduciendo la profundidad total (D) y el desplazamiento vertical (η) en (A.7), donde:

h = h + η ( x, y , t )

D = h − ho

⇒

∂η ∂h = ∂t ∂t

Se obtiene la versión integral de la ecuación de continuidad (A.8):

∂ η ∂ t

+

∂M ∂x

+

∂N ∂y

= 0

(Versión integral de la ecuación de conservación de masa)

1.2

Conservación de momentum

Basados en la ley de Newton y considerando que las principales fuerzas externas que gobiernan el fenómeno son, la presión del agua, la gravedad y la fricción con el fondo, obtenemos las ecuaciones de la conservación de momentum para los tres ejes:

(A . 8 . a ) ( A . 8 .b ) ( A . 8 .c )

τ ∂u ∂u ∂u ∂u 1 ∂P + u + v + w = − − x ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂x ρ τ y ∂v ∂v ∂v ∂v 1 ∂P + u + v + w = − − ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂y ρ ∂w ∂w ∂w ∂w 1 ∂P + u + v + w = − − ρg ∂t ∂x ∂y ∂z ρ ∂z

x, y, z, t: u, v, w: P: h: g: ρ: τx , τy :

Coordenadas y tiempo Velocidades de las partículas de agua Presión del agua Profundidad total, referida al nmm. Aceleración de gravedad Densidad Fricción de fondo en los ejes x e y.

La ecuación (A.8.c) es reemplazada por una aproximación hidrostática con las siguientes consideraciones. Representando la componente vertical como una onda sinusoidal en (A.9):

( A .9 )

z = A sen (

2π t) T

La derivada de segundo orden representa la inercia local y corresponde al primer termino en (A.8.c). Si se considera que las ondas de tsunami presentan amplitudes máximas no superiores a 10 metros (A∼10m) y períodos de onda máximos de alrededor de 30 minutos (T∼1800s ), entonces:

( A. 10 )

(MAX = 1) 6 47 4 8 d z dw 2π  2π  = = − A t ) ≅ 10 − 3 ( m / s 2 )  s en( 2 dt T dt  T  2

2

Esto es despreciable comparado con las magnitudes de la presión y la gravedad. Si los términos convectivos son ignorados también, la ecuación (A.8.c) se reemplaza por la denominada aproximación hidrostática:

( A . 11 )

0 = −

1 ∂P − g ρ ∂z

P = ρ g (h - z )

⇒

Esto significa que la expresión vertical para la conservación de momentum (A.8.c) está implícitamente incorporada en (A.8.a) y (A.8.b), expresada por las variaciones de la presión en términos de la profundidad del agua (h):

( A . 12 )

∂P ∂h = ρg ∂x ∂x

∂P ∂h = ρg ∂y ∂y

Reemplazando estos términos y considerando que la velocidad vertical es cero (w = 0), las ecuaciones (A.8) son reducidas a:

∂u ∂u ∂u ∂η + u + v + g ∂t ∂x ∂y ∂x ∂v ∂v ∂v ∂η + u + v + g ∂t ∂x ∂y ∂y

+ +

τ

x

ρ τ

y

ρ

= 0 = 0

(VERSIÓN DIFERENCIAL DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM)

La integración de la ecuación en x sobre la coordenada vertical (z) es:

(A.13)

 ∂u

∂u

∂u

∂η τ x 

h  ∂u h hτ ∂u ∂u  ∂η dz +∫  u + v dz + ∫ g dz + ∫ x dz ho ∂t ho ho ∂x ho ρ  ∂x ∂y 

∫  ∂t + u ∂x + v ∂y + g ∂x + ρ dz = ∫ h

ho

h

Asumiendo que las velocidades horizontales son uniformes en la columna de agua, la integración de los términos de aceleración local, convectivos y de presión, es directa.

(A.14)

h  ∂u h ∂η ∂u ∂u ∂u  ∂u ∂u  ∂η dz +  u + v  dz + ∫ho ∂t ∫ho ∂x ∂y  ∫hog ∂x dz= ∂t h− ho +u ∂x + v ∂y  h− ho + g ∂x h −ho h

Los términos de fricción de fondo son expresados por:

( A. 15 )

τx g n2 = 4/ 3 u u 2 + v 2 ρ D

donde D = h − ho

Combinando (A.14), la versión verticalmente integrada de (A.15) y reexpresando los términos de convección, obtenemos la versión integral de la ecuación de conservación de momentum para las direcciones x e y:

∂M ∂  M 2 + ∂t ∂ x  D

  + ∂  M N  ∂y  D  ∂N ∂  M N  ∂  N 2 +  + ∂t ∂ x  D  ∂ y  D

∂η g n2  + M  + g D ∂x  D 7 /3 2   + g D ∂η + g n N  ∂y D 7 /3 

2

M

M

2

+ N + N

2

(VERSIÓN INTEGRAL DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MOMENTUM)

con

M = D u , caudal en el eje x N = D v , caudal en el eje y

2

= 0 = 0