PROGRESIONES ARITMETICAS 1. De entre las sucesiones siguientes decir cuáles son progresiones aritméticas: 4, 8, 12, 16, 20, ... 4, −7, 14, −21, ... 27, 23, 19, 15, 11, ... 5a, 7a, 9a, 11a, ... e. 1 , 2 , 3 , 5 , ... 2 3 4 5 f. 5a, 5a −3, 5a −6, 5a −9, … g. 64, −16, 4, −1,... h. (a + b), 2(a +b), 3(a +b), ... Solución. Los términos de una sucesión están en progresión aritmética si la diferencia entre términos consecutivos es constante. a. b. c. d.

a.

4, 8, 12, 16, 20, ...: SI 8 − 4 = 12 − 8 = 16 − 12 = 20 − 16 = 4 = CTE. d (diferencia) = 4

b. 4, −7, 14, −21, ...: NO −7 − 4 ≠ 14 −(−7) Basta con que se incumpla una vez. c.

27, 23, 19, 15, 11, ...: SI 23 − 27 = 19 − 23 = 15 − 19 = 11 − 19 = −4 = CTE. d (diferencia) = −4

d. 5a, 7a, 9a, 7a, 11a, ...: SI 7a − 5a = 9a − 7a = 11a − 9a = 2a = CTE. d (diferencia) =2a e.

1 , 2 , 3 , 4 , ... : NO 2 3 4 5

2 1 3 2 − ≠ − 3 2 4 3 f.

5a, 5a −3, 5a −6, 5a −9, …: SI 5a −3 − 5a = 5a −6 − (5a −3) = 5a −9 − (5a −6) = −3 = CTE. d (diferencia) = −3

g.

64, 16, 4, 1, …: NO 16 − 64 ≠ 4 − 16

h. (a + b), 2(a +b), 3(a +b), ...: SI 2(a +b) − (a + b) = 3(a +b) − 2(a +b) = (a +b) = CTE. d (diferencia) = (a +b) 2. En una progresión aritmética el primer término es 5 y la diferencia 4. Hallar el quinto término. Solución. El término general de una progresión aritmética es: a = 5 a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d =  1  = 5 + (n − 1) ⋅ 4 = 4n + 1 d =4 a 5 = 4 ⋅ 5 + 1 = 21

3. Calcular la diferencia de la progresión aritmética cuyo primer término es 12, el último 42 y el número de términos 11. Solución. Se aplica la definición de término general (a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d ) al término 11: a 11 = a 1 + (11 − 1) ⋅ d : a 11 = a 1 + 10d a 11 = 42 42 − 12 =3  : 42 = 12 + 10d : d = a 1 = 12  10

1

4. Hallar el número de términos de una progresión aritmética cuyo último y primer término son, respectivamente, 126 y 42, y la diferencia 7. Solución. Se aplica la definición de término general (a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d ) , tomando 126 como término enésimo:  a 1 = 42    a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d : a n = 126 : 126 = 42 + (n − 1) ⋅ 7  d=7    n −1 =

126 − 42 = 12 : n = 13 7

5. Interpolar: a. Diez medios diferenciales entre 4 y 26. b. Siete medios diferenciales entre 7 y −9. Solución. Se conoce el primer término, el último, y la posición que ocupa este, solo necesitamos calcular la diferencia, se aplica la definición de término general al último y se despeja la diferencia. a. a1 = 4, a 2 , a 3, a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a10 , a11, a12 = 26 144444424444443 10 términos

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d

Para n = 12: a12 = a1 + (12 − 1) ⋅ d 26 = 4 + 11d : d =

26 − 4 =2 11

a1 = 4, 61 , 84 104 , 12 14, 184 , 20 224 ,3 24, 26 4,4 416 2,4 4,4 10 términos

b.

a1 = 7, a 2 , a 3, a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 = −9 144424443 6 términos

a n = a1 + (n − 1) ⋅ d

Para n = 8: a 8 = a1 + (8 − 1) ⋅ d −9 = 7 + 7d : d =

7,

−9 − 7 16 =− 7 7

33 17 1 −15 −31 −47 , , , , ,−9 7 44 7 4 7 42 7 44 7 4473 1 6 términos

6. Calcular la suma de: a) Los 50 primeros términos de la progresión 36, 30, 24,... 9 11 b) Los veinte primeros términos de la progresión 4, , 5, , ... 2 2 5 1 c) Los diez primeros términos de la progresión − ,− , 3 , ... 2 2 2 Solución. La suma de n términos de una progresión aritmética viene dada por la expresión: a + an Sn = 1 ⋅n 2 a.

36, 30, 24,... Progresión aritmética: a1 = 36 ; d = −6 a +a S50 = 1 50 ⋅ 50 2

2

Para calcular a 50 se aplica la definición de término general. a n = a1 + (n − 1) ⋅ d = 36 + (n − 1) ⋅ (− 6) = 42 − 6n a 50 = 42 − 6 ⋅ 50 = −258 a +a 36 + (− 258) S50 = 1 50 ⋅ 50 = ⋅ 50 = −5550 2 2

b.

9 11 1 4, , 5, , ... Progresión aritmética: a1 = 4 ; d = 2 2 2 a1 + a 20 S20 = ⋅ 20 2

Para calcular a 20 se aplica la definición de término general. 1 n+7 a n = a1 + (n − 1) ⋅ d = 4 + (n − 1) = 2 2 20 + 7 27 = a 20 = 2 2 27 4+ a1 + a 20 2 ⋅ 20 = 175 S20 = ⋅ 20 = 2 2

7. Calcular la suma de los n primeros números: a) naturales b) pares c) impares. Solución. Se aplica la definición de suma de n términos y se ordena. a + an Sn = 1 ⋅n 2 a.

Naturales: Término general: a n = n ; a1 = 1 1+ n 1 Sn = ⋅ n = n ⋅ (n + 1) 2 2

b.

Pares: Término general: a n = 2n ; a1 = 2 2 + 2n Sn = ⋅ n = n ⋅ (n + 1) 2

c.

Impares: Término general: a n = 2n − 1 ; a1 = 1 1 + 2n − 1 Sn = ⋅ n = n ⋅ n = n2 2

8. Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 1000 Solución. Se debe calcular cual el primer y el último múltiplo de siete de tres cifras 100 1º: = 14,28... ⇒ a1 = 15 ⋅ 7 = 105 7 1000 = 142,85... ⇒ a n = 142 ⋅ 7 = 994 Último: 7

Para calcular el número de términos se aplica la definición de término general al último término, teniendo en cuenta que la diferencia es 7. a n = a1 + (n − 1) ⋅ d : 994 = 105 + (n − 1) ⋅ 7 994 − 105 n= + 1 = 128 7

3

Conocido el número de términos se puede calcular la suma de todos ellos.  n = 128  a1 + a n 105 + 994   Sn = ⋅ 128 = 70336 ⋅ n :  a1 = 105  : S128 = 2 2 a  994 =  128  9. ¿Qué valor numérico debe tener x para que las expresiones 2(x − 1); x2 + 1; 5x + 1 formen una progresión aritmética? Solución. Para que los términos de una sucesión estén en progresión aritmética la diferencia entre términos consecutivos debe ser constante. a 2 − a1 = a 3 − a 2 = ...

(

)

x122+ (x2−31) = 51x2+31 − 1 x 22+3 1 31 − 21 a2

a3

a1

2

a2

2

x − 2 x + 3 = − x + 5x 2x 2 − 7 x + 3 = 0 x = 1 2 Resolviendo la ecuación de 2º grado se obtienen dos posibles valores:   x = 3 2

Para x =

1 5 7 9 1 1  1 : 2 − 1,   + 1, 5 + 1 = −1, , , ... d = 2 4 2 4 2 2  2

Para x = 3: 2(3 − 1), (3)2 + 1, 5 ⋅ 3 + 1 = 4, 10, 16, ... d = 6

10. ¿Qué valor numérico debe tener a para que las expresiones a2 + 1; 4a + 1; 4a2 + 4 sean tres términos consecutivos de una progresión aritmética? Solución. a n +1 − a n = a n + 2 − a n +1 = ...

(

)

2 41 a2+ a 22+3 1 = 41 a2 +34 − (1 4a2+3 1) 31 − 1 4 4 a n +1

an+2

an

a n +1

− a 2 + 4a = 4a 2 − 4a + 3

5a 2 − 8a + 3 = 0 a = 3 5 Resolviendo la ecuación de 2º grado se obtienen dos posibles valores:   a = 1 2

Para a =

3 3 3 :   + 1, 4 + 1, 5 5 5

2

34 17 136 51 3 , , , ... d = 4  + 4 = 5 25 5 25 25  

Para a = 1: 12 + 1, 4 ⋅ 1 + 1, 4 ⋅ 12 + 4 = 2, 5, 8, ... d = 3 11. En una progresión aritmética de 10 términos, el 2º y el 9º, suman 25, si el 4º términos es 13, ¿cuál es el séptimo término? Solución. En una progresión aritmética, la suma de términos equidistantes es constante.

En la progresión: Se cumple

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10 a1 + a10 = a 2 + a 9 = a 3 + a 8 = a 4 + a 7 = a 5 + a 6 a 2 + a 9 = a 4 + a 7 ; 25 = 13 + a 7 ; a 7 = 12

4

12. ¿Forman progresión aritmética las expresiones x2 − 3x + 1; x2 + 3x + 1; x2 + 6x + 1? Solución. Para que los términos de una sucesión estén en progresión aritmética la diferencia entre términos consecutivos debe ser constante. a n +1 − a n = a n + 2 − a n +1 = ...

(

)

(

)

x 24 +2 3x4+ x 242 − 3x43 + 1 = x124 +2 6x4+ x 242 + 3x43 +1 1 31 − 1 31 − 1 a n +1

an+2

an

a n +1

6 x ≠ 3x ∀ x ≠ 0

No forman progresión aritmética para ningún valor real excepto para x = 0, que formarían una sucesión constante de diferencia cero. 13. En una progresión aritmética a10= 70 y a20= 270, ¿cuál es el término que es igual a 350? Solución. Conocidos dos términos de la progresión aritmética, se puede obtener el término general, y conocido el término general, se puede calcular la posición de cualquier término de la progresión. a10 = a1 + 9d = 70  200 = 20 : a1 = 70 − 9 ⋅ 20 = −110  : a 20 − a10 = 10d = 200 : d = a 20 = a1 + 19d = 270 10 a n = a1 + (n − 1)d = −110 + (n − 1) ⋅ 20 = 20n − 130

Si a n = 350 = 20n − 130 : n =

350 + 130 = 24 20

14. En la progresión aritmética 48, 40, 32, 24,.. ¿Cuántos términos hay que tomar para que la suma sea 168? Solución. Se aplica la expresión de la suma de n términos de una progresión aritmética: a + an Sn = 1 ⋅n 2

El término an se expresa en función de n mediante el término general. a n = a1 + (n − 1) ⋅ d La diferencia se obtiene restando dos términos consecutivos cualesquiera. d = a 2 − a1 = 40 − 48 = −8 a n = 48 + (n − 1) ⋅ (− 8) = 56 − 8n Sustituyendo en la suma de n términos se despeja n. 48 + 56 − 8n 168 = ⋅ n : 336 = (104 − 8n ) ⋅ n : 8n 2 − 104n + 336 = 0 : n 2 − 13n + 42 = 0 2 Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtienen las posibles soluciones n = 6 n 2 − 13n + 42 = 0 :  n = 7 Las dos son válidas

5

15. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia 4. Hallar las medidas de los lados de dicho triángulo. Solución. Si los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia 4, el cateto menor será n, el cateto mayor n +4 y la hipotenusa n + 8. Entre ellos se cumplirá el teorema de Pitágoras. h 2 = c2 + c2

(n + 8)2 = n 2 + (n + 4)2 n 2 + 16n + 64 = n 2 + n 2 + 8n + 16 n = −4 n 2 − 8n − 48 = 0 :   n = 12 n = −4 no es válida, no existen longitudes negativas. Las longitudes de los lados del triángulo serán 12, 16 y 20.

16. Hallar los ángulos de un cuadrilátero, sabiendo que sus medidas forman una progresión aritmética y que el menor mide 60º. Solución. Los ángulos de un cuadrilátero suman 360º, si están en progresión aritmética y el 1º vale 60º, lo demás serán 60º + d, 60º + 2d y 60º + 3d. 360º −240º 360º = 60º +60º +d + 60º +2d + 60º +3d º : 360º = 240º +6d : d = = 20º 6 Los ángulos serán: 60º, 80º, 100º, 120º. 17. Un terreno de forma de triángulo rectángulo tiene 720 metros de perímetro. Calcular sus lados sabiendo que están en progresión aritmética. Solución. Se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, una ecuación con el perímetro y otra con el teorema de Pitágoras.  n + n + d + n + 2d = 720  2 2 2 n + (n + d ) = (n + 2d )  3n + 3d = 720  n + d = 240  2 2 2 2 2:  2 2 n + n + 2nd + d = n + 4nd + 4d n − 2nd − 3d = 0

De la 1ª ecuación se despeja y se sustituyen en la 2ª.

n = 240 − d : (240 − d )2 − 2 ⋅ (240 − d ) ⋅ d − 3d 2 = 0

240 2 − 2 ⋅ 240 ⋅ d + d 2 − 2d ⋅ 240 + 2d ⋅ d − 3d 2 = 0 : 57600 − 480d + d 2 − 480d + 2d 2 − 3d 2 = 0 57600 57600 − 960d = 0 : d = = 60 960 n = 240 − 60 = 180

Los lados del triángulo son: 180, 240, 300 18. Determinar el primer término y el número de términos de una progresión aritmética en que an = 18; d = 2 y Sn = 88 Solución. Se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Una ecuación se obtienen al aplica la expresión de la suma de n términos de una progresión aritmética: a + an a + 18 Sn = 1 ⋅ n : 88 = 1 ⋅ n : (a1 + 18) ⋅ n = 176 2 2

La segunda ecuación se obtiene al aplicar el término general al término enésimo. a n = a1 + (n − 1)d : 18 = a1 + (n − 1) ⋅ 2 : a1 + 2n = 20

6

(a + 18) ⋅ n = 176 El sistema queda:  1 : a1 = 20 − 2n : (20 − 2n + 18) ⋅ n = 176  a1 + 2n = 20  n = 8 : a1 = 20 − 2 ⋅ 8 = 4 2n 2 − 38n + 176 = 0 : n 2 − 19n + 88 = 0 :  n = 11 : a1 = 20 − 2 ⋅ 11 = −2

Dos posibilidades: (a1 = 4; n = 8) ó (a1 = −2; n = 11). 19. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 24 horas, si no suena más que a las horas en punto? Solución. El doble de la suma de 12 términos en progresión aritmética de diferencia 1 y a1 = 1. a1 = 1  : a n = 1 + (n − 1) ⋅ 1 : a n = n d =1 Sn =

 a = 1  1 + 12 a +a a1 + a n ⋅ 12 = 78 ⋅ n : S12 = 1 12 ⋅ 12 =  1 = 2 2 2 a12 = 12

Nº de campanadas en 24 horas = 2 ⋅ S12 = 2 ⋅ 78 = 156 20. Hallar los ángulos de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en progresión aritmética. Solución. La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados, si es rectángulo, el mayor de ellos será de 90º, con estos datos se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas α1 y d. α + α3 180º⋅2 α = 30º   S3 = 1 ⋅ 3 = 180º α1 + 90 = 1 : ⇒ α 2 = 30º +30º = 60º   3 : 2 d  α1 + 2d = 90º  = 30º  α 3 = α1 + 2d = 90º 21. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 30 árboles de una calzada. Sabiendo que los árboles se encuentran a una distancia de 6m y que del montón de arena al primero hay 10m, ¿Qué camino habrá recorrido hasta depositar la carretilla en el montón tras el último viaje? Solución. Se pide calcular la suma de le los 30 primeros términos de una progresión aritmética, conociendo que a1 = 20, y d = 12, tal como puede observarse en el esquema.

Término general: a n = a 1 + (n − 1) ⋅ d = 20 + (n − 1) ⋅12 = 12n + 8 a1 + a n ⋅n 2 a 1 = 20 a + a 30  20 + 368  ⋅ 30 = 5820 m Para n = 30: S 30 = 1 ⋅ 30 =  = 2 2 a 30 = 12 ⋅ 30 + 8 = 368

Suma de n términos: S n =

22. La suma de los 4 términos centrales de una progresión aritmética es 74. Sabiendo que los términos son 12 y que el producto de los extremos es 70, hallar la progresión. Solución. a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 , a 9 , a 10 , a 11 , a 12 Datos: a 5 + a 6 + a 7 + a 8 = 74 a1 ⋅ a12 = 70

Aplicando la definición de término general a los datos se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a1, d). a n = a1 + (n − 1) ⋅ d  a1 + 4d + a1 + 5d + a1 + 6d + a1 + 7d = 74 4a1 + 22d = 74 :   a1 ⋅ (a1 + 11d ) = 70  a1 ⋅ (a1 + 11d ) = 70

7

2a1 + 11d = 37 :  a1 ⋅ (a1 + 11d ) = 70 a12

• •

11d = 37 − 2a1 : a1 ⋅ (a1 + 37 − 2a1 ) = 70 : a1 ⋅ (37 − a1 ) = 70

37 − 2 ⋅ 2  =3  a1 = 2 ⇒ d = 11 − 37a1 + 70 = 0 :  37 − 2 ⋅ 35 a1 = 35 ⇒ d = = −3 11 

Dos posibles progresiones: a1 = 2; d = 3: an ={2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35} a1 = 35; d = −3: an ={35, 32, 29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2}

23. La suma de tres términos consecutivos de una progresión aritmética es 36 y su producto 1680. Calcular los 3 términos. Solución. Datos: a n + a n +1 + a n + 2 = 36 a n ⋅ a n +1 ⋅ a n + 2 = 1680

Teniendo en cuenta que cada término se diferencia del anterior en la diferencia, se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (an, d). a n + a n + d + a n + 2d = 36 3a + 3d = 36  a + d = 12 :  n :  n  a n ⋅ (a n + d ) ⋅ (a n + 2d ) = 1680 a n ⋅ (a n + d ) ⋅ (a n + 2d ) = 1680 a n ⋅ (a n + d ) ⋅ (a n + 2d ) = 1680 d = 12 − a n : a n ⋅ (a n + 12 − a n ) ⋅ (a n + 2 ⋅ (12 − a n )) = 1680 : 12a n ⋅ (24 − a n ) = 1680  a = 10 ⇒ d = 12 − 10 = 2 12a 2n − 288a n + 1680 = 0 : a 2n − 24a n + 140 = 0 :  n a n = 14 ⇒ d = 12 − 14 = −2

• •

Dos posibilidades: 10, 12, 14. 14, 12, 10.

24. Hallar los 4 términos de una progresión aritmética, sabiendo que la diferencia es 4 y el producto de los términos 585. Solución. Si la diferencia es 4, los términos se pueden expresar en función de a1. a1 ⋅ (a1 + 4) ⋅ (a1 + 8) ⋅ (a1 + 12 ) = 585

Desarrollando se llega a un polinomio de cuarto grado que se resuelve por