Presentación de la Unidad 3 Ahora que ya conoces el comportamiento de los objetos con movimiento rectilíneo uniforme, estas preparado para ver otro tipo de movimiento. El más común sobre la Tierra: el movimiento acelerado. Por simplicidad, veremos solamente el movimiento de los objetos o animales que se aceleran de manera continua. A este movimiento se le llama MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUA). La gran mayoría de los movimientos que ves a tu alrededor son del tipo MUA, por ejemplo, un balón de fútbol rodando sobre el pasto, un ciclista que va frenando hasta detenerse, o simplemente la acción de girar tu cabeza para voltear al costado. Por ello, es importante esta clase de movimiento. Sin duda, estarás de acuerdo en que al usar gráficas y el lenguaje matemático aumentas las herramientas a tu alcance para entender estos fenómenos físicos.

Los ejemplos de MUA que verás en esta unidad te harán comprender cuán involucrado está el movimiento en nuestra vida (por ejemplo: el despegue y aterrizaje de los aviones o los movimientos de traslación y rotación de la Tierra) y te darás cuenta de la utilidad que tienen algunas reglas para el movimiento que, hace ya más de 300 años, descubrió un personaje célebre de apellido Newton (aquel famoso inglés de la manzana). Por todo lo anterior, creemos que esta unidad te servirá mucho y te ayudará también a la comprensión de otras asignaturas del Bachillerato. Este es un menú para que puedas navegar por los subtemas de la Unidad 3 1. Presentación 1.1 Presentación de la unidad 2. Mecánica de Newton. Segunda Ley 2.1 Movimiento uniformemente acelerado (MUA) 2.1.1 Características del MUA 2.1.2 Gráficas distancia vs. tiempo y velocidad vs. tiempo del MUA 2.2 La función cuadrática y= ax2 + bx +c 2.2.1 Características de la variación cuadrática 2.2.2 Relación entre los parámetros y la gráfica 2.3 Caída libre 2.3.1 Tiro vertical. Máxima altura de alcance 2.4 Plano Inclinado

2.5 Análisis gráfico y analítico de funciones cuadráticas en el estudio de fenómenos que presentan MUA 3. Tercera Ley de Newton y sistemas de fuerzas 3.1 Sistemas de fuerzas 3.1.1 Fuerzas colineales 3.1.2 Fuerzas concurrentes 3.2 Método del paralelogramo para la suma de fuerzas 4. Evaluación de la Unidad 4.1 Evaluación de la Unidad Introducción al MUA Aunque existen en la naturaleza infinidad de movimientos, podemos agruparlos en solamente dos tipos: El movimiento SIN aceleración (MRU) y el movimiento CON aceleración. Conocemos ambos movimientos desde que somos niños; sin embargo, el movimiento SIN aceleración es menos común que el otro. Revisaste el MRU en las unidades anteriores y observaste su ecuación y gráfica que lo representan. Ahora verás el tipo de movimiento CON aceleración en una de sus formas más sencillas: el comportamiento de un objeto cuando tiene una aceleración fija. Podemos encontrar el movimiento acelerado en muchas situaciones y con gran variedad, una buena parte presentan aceleración que no cambia (MUA): la acción de empezar a caminar, un auto frenándose, el movimiento circular de un disco compacto, la caída de un objeto, etcétera. Lo interesante de su estudio reside en que es posible, con un puñado de fórmulas, describirlo y predecir su comportamiento. Pero como en todo estudio que queramos iniciar primero vamos a conocer las reglas del MUA. Las reglas del MUA El movimiento es uno de los fenómenos físicos más antiguos que el hombre conoce. Sin embargo, en un principio el “estudio” de este fenómeno se reducía a tratar de dar una explicación del comportamiento de los distintos móviles. Imagínate que alguna vez se consideró que las piedras que caen hacia la tierra lo hacían porque les “daba gusto” regresar al sitio de donde pertenecen. Uno de los motivos que dificultaron la comprensión del movimiento es que no son evidentes algunas fuerzas involucradas como la fuerza de fricción o la fuerza gravitacional. Sólo un genio podría imaginar una situación donde la fricción no existe y la fuerza gravitacional se hace evidente en todos los cuerpos, para poder entender las reglas que siguen todos los movimientos. Ese hombre fue Isaac Newton, quien estableció tres reglas que son aplicables ¡a todos los movimientos en el universo! ¿Te das cuenta de la grandeza e importancia de su descubrimiento? Una de esas reglas se puede derivar de las conclusiones que se obtienen al observar la relación que existe entre la fuerza aplicada a un cuerpo, la masa del mismo y el cambio en su velocidad. Como estamos seguros que intuyes parte de esta regla te proponemos que, basándote solamente en tu experiencia, contestes la siguiente pregunta: Si aplicas siempre la misma fuerza para arrojar hacia arriba una naranja y un melón ¿Qué fruta alcanza a llegar más alto? Otras observaciones reveladoras Otra observación que seguramente has hecho a lo largo de tus actividades cotidianas es que al aplicar una fuerza a un objeto, éste se mueve generalmente; por ejemplo: al dar un puntapié a un balón de fútbol. Aunque aparentemente esta observación es

más evidente y sencilla, sucede que el fenómeno de la fricción que siempre está presente, no nos permite ver con facilidad que a todo objeto que se le aplique una fuerza (por pequeña que ésta sea) le modificará su velocidad inicial. Fue precisamente este hecho lo que se imaginó el gran Newton y determinó que en la naturaleza sucede que al aplicar una fuerza a un objeto, éste experimentará una aceleración (cambio de velocidad). La presencia de la fricción fue ignorada por muchos años en la historia de la humanidad y generó ideas equivocadas respecto al movimiento. Incluso Aristóteles tenía ideas equivocadas al respecto, estas ideas permanecieron muchos años en el pensamiento humano. En la actualidad aún persisten algunas ideas equivocadas, si quieres saber más sobre ellas consulta la siguiente publicación: ¿Usted también es Aristotélico? Todo lo anterior nos da una idea del comportamiento de la relación entre una fuerza (F) aplicada a una masa (m) y la aceleración (a) que es provocada a la masa. Y como ya hemos visto anteriormente, cuando es posible, conviene expresar en lenguaje matemático el comportamiento de los fenómenos físicos, porque la expresión matemática, junto con las gráficas, nos brindan una manera rápida y clara de visualizar el comportamiento del fenómeno e incluso de su predicción. La expresión que resume estos hechos es más conocida como LA SEGUNDA LEY DE NEWTON: F = (m) (a) Aunque la expresión anterior no es exactamente la que encontró Newton, ésta es equivalente y también indica el comportamiento de un movimiento acelerado. En ésta expresión puedes apreciar la belleza y utilidad de las Matemáticas y de la Física, ya que es increíble ver cómo con tan pequeña expresión se puede describir el movimiento de muchos de los objetos en ¡TODO EL UNIVERSO! Nuestras amigas las gráficas Como viste en las dos unidades anteriores, los movimientos se pueden representar mediante una gráfica; sin embargo, en el caso del MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme) solamente vimos la gráfica distancia vs. tiempo, porque es interesante observar cómo cambia la distancia (o posición del objeto) en el transcurso del tiempo, en tanto que la velocidad permanece constante (no cambia). Pero ahora en el MUA (movimiento uniformemente acelerado) vemos que además de haber cambios en la distancia recorrida por el objeto, también en la velocidad del objeto hay cambios en el transcurso del tiempo. De modo que ahora tendremos dos gráficas: (d vs t) y (v vs t). Por ahora no nos interesa representar a la aceleración ni la fuerza aplicada en nuestras gráficas.

Recordemos el caso de un automóvil que es conducido en línea recta, y este ejemplo nos servirá para analizar la siguiente situación: en un día domingo la familia de Vicky decide ir de paseo en su auto y se dirigen por la autopista a la ciudad de Pachuca. Después de pagar su cuota, el auto con la familia de Vicky inicia su movimiento manteniendo una aceleración constante de 4 m/s2, esto quiere decir que cada segundo de tiempo que transcurra, la velocidad del auto se incrementará en 4m/s. Y, si como en este caso, el movimiento se inicia desde 0 m/s (inicialmente estaba detenido), entonces después de transcurrir un segundo de tiempo, el auto tendrá una velocidad de 4 m/s; después de transcurrir el siguiente segundo, la velocidad del auto será de 8 m/s, y así sucesivamente mientras mantenga la aceleración constante de 4 m/s2 . Todo esto es más fácil observarlo en la siguiente tabla:

Comentario [w1]: Bravo, S. ¿Usted también es Aristotélico?. 1993. Caps. IV y V del No. 4 de los cuadernos del Instituto de Geofísica. Ciudad de México, México: UNAM.

Tiempo (s) 0 1 2 3

Velocidad (m/s) 0 4 8 12

¿A qué velocidad irá el auto de la familia de Vicky después de 5 segundos si mantiene la aceleración constante de 4 m/s2 desde el inicio de su movimiento?

Como puedes observar, ahora es la velocidad la que se incrementa uniformemente conforme el tiempo transcurre, por lo que al realizar una gráfica velocidad vs tiempo, tendremos una línea recta. Gráfica velocidad vs tiempo Si colocamos los puntos coordenados de la tabla anterior en un plano y los unimos con un trazo, obtenemos una línea como se presenta en la siguiente gráfica: Ayudándote de la gráfica anterior, trata de responder a la siguiente pregunta: ¿A qué velocidad irá el auto de la familia de Vicky después de los 1.5 segundos de haber iniciado su movimiento?

Seguramente ya notaste que se trata de una línea recta que pasa por el origen y con pendiente positiva. Si recuerdas, esta gráfica se parece a la que obtuvimos en la gráfica d vs. t en el MRU. Lo anterior se debe a que, se trata de un incremento continuo en el tiempo. Más adelante, podrás emplear las ecuaciones para resolver con mayor precisión preguntas como las anteriores. Como seguramente recordarás, en el MRU la inclinación (la pendiente) de la línea recta tiene que ver con la velocidad del objeto en movimiento, es decir, LA PENDIENTE DE LA RECTA EN LA GRÁFICA d vs. t DEL MRU INDICA QUÉ TAN RÁPIDO CAMBIA LA POSICIÓN DEL MÓVIL. Algo similar sucede ahora en el MUA donde la inclinación (la pendiente) de la línea recta tiene que ver con la aceleración del objeto en movimiento, es decir, LA PENDIENTE DE LA RECTA EN LA GRÁFICA v vs. t DEL MUA INDICA QUÉ TAN RÁPIDO CAMBIA LA VELOCIDAD DEL MÓVIL; entre mayor sea el cambio de velocidad en cada segundo, entonces mayor será la pendiente (inclinación) de la recta. Por ejemplo: en el caso anterior, si la velocidad es de 6 m/s entonces la gráfica v vs t se verá así:

La línea punteada representa al movimiento con velocidad 6 m/s. Pero ahora nos preguntamos cómo será la gráfica d vs. t para el MUA. Para averiguarlo veamos una gráfica más interesante. Una gráfica más interesante Ahora verás la gráfica d vs. t del movimiento del automóvil de la familia de Vicky (MUA). Esta gráfica es un poco diferente a las que hemos visto anteriormente, ya que la distancia no varía uniformemente en cada segundo que transcurre. En el MUA lo que varía uniformemente es la velocidad, en tanto que la distancia va adquiriendo cambios de diferente magnitud en cada segundo que pasa. Por ejemplo, en el caso del auto de la familia de Vicky, la tabla de datos tomados acerca de la distancia recorrida en cada segundo es como la que se muestra a continuación: Tiempo (s) 0 1 2 3 4

Distancia (m) 0 2 8 18 32

Si colocamos los puntos sobre un plano cartesiano y los unimos con un trazo, obtenemos una línea curva. Dibújala y luego compara: Más adelante podrás conocer la ecuación de esta importante curva llamada parábola. Mientras tanto debes observar que pasa por el origen y si tomas un tramo de esta curva suficientemente pequeño como para considerarlo como una pequeña recta, entonces verás que la “pendiente de la recta” es positiva. Por otra parte, visualmente puedes determinar de manera aproximada la distancia recorrida al tiempo 1.5 s; en este caso se observa que ha recorrido aproximadamente 5 m (de manera más exacta ha recorrido 4.5 m), pero es claro que, nuevamente la precisión es mayor cuando se usan las ecuaciones. Esta curva se observa distinta si cambiamos la aceleración del movimiento. Por ejemplo si la aceleración del auto fuera de 6 m/s2 entonces la tabla de datos sería la siguiente: Tiempo (s)

Distancia (m)

0 1 2 3 4

0 3 12 27 48

y veríamos una curva más “cerrada” como la que se observa punteada en la siguiente gráfica: Esto es, en la gráfica d vs. t de un MUA la “abertura” de la curva representa la aceleración del móvil, el signo de la pendiente de la tangente representa el signo de la aceleración en ese punto. Te invitamos a ejercitarte Conozcamos más casos de objetos acelerándose, por ejemplo, un balón de fútbol rodando sobre el pasto. Cuando el balón roza con el pasto, aparece una fuerza de fricción entre las dos superficies en contacto que hace detener al balón, esto es, la fuerza de fricción provoca un cambio en la velocidad del balón (va deteniéndose hasta que su velocidad es cero). Lo

anterior también se considera una aceleración, de hecho es una aceleración negativa y es comúnmente llamada frenado o desaceleración, la cual se caracteriza porque la velocidad va siendo cada vez menor conforme transcurre el tiempo. Vamos a ver la tabla de datos que se obtuvieron al medir la distancia y tiempo en el rodamiento de un balón. Observa que el balón tenía una velocidad de 14 m/s cuando se inició el conteo del tiempo en un reloj: Tiempo (s) 0 1 2 3

Velocidad (m/s) 14 11 8 5

Te recordamos que todas las respuestas de las preguntas abiertas son numéricas. U3.1 Objetos acelerándose (2) En la gráfica del movimiento del balón sobre el pasto podemos apreciar que al tiempo t = 0s la velocidad es positiva y después va disminuyendo de manera continua conforme pasa el tiempo hasta llegar a ser igual a cero (cuando el balón se detiene). Quiero ver la distancia recorrida por el balón Siguiendo con el caso del balón en este ejemplo te proporcionaremos los valores de la distancia recorrida en cada segundo por el mismo (más adelante tú mismo podrás determinar los valores). Recuerda que la distancia se empieza a medir a partir del punto donde se encuentra el balón al momento en que el reloj marca 0 s.

Tiempo (s) 0 1 2 3 4

Distancia (m) 0 12.5 22 28.5 ¿?

Observa que aunque la distancia recorrida cada vez va siendo mayor, en cada segundo que transcurre, el aumento en la distancia entre un segundo y otro va siendo menor. Por ejemplo, en el primer segundo (entre 0 y 1) el balón se desplazó 12.5 m, en el siguiente segundo el balón se desplazó solamente 9.5 m y en el tercer segundo la distancia recorrida solamente fue de 6.5m. Lo anterior se debe, como seguramente ya lo adivinaste, a que el balón está disminuyendo su velocidad, o sea que se está frenando (aceleración negativa). 1. Te invitamos a que descubras cuál es el valor del dato que falta (marcado con ¿?) en la tabla de datos. Escríbelo en el siguiente recuadro:

Ahora queremos que observes las siguientes gráficas d vs. t y las relaciones con la tabla anterior para que respondas esta sencilla pregunta: 2. ¿Cuál representa mejor al movimiento del balón sobre el pasto?

Como en casos anteriores, es fácil ver que el método gráfico carece de la precisión que podemos obtener con el uso de las ecuaciones, de manera que te invitamos a conocer nuevas ecuaciones. Evaluación de salto Contesta las siguientes preguntas, escogiendo la opción correcta.

Cuando necesitamos cambiar de velocidad Como vimos en los ejemplos anteriores sobre movimiento uniformemente acelerado, la velocidad NO es constante, por lo que se presentan cambios en ella dando paso a la aceleración. Este es un movimiento un poco más complejo que el estudiado en las dos primeras unidades (el MRU), pero es más frecuente pues cotidianamente, ya sea en algún vehículo o en tu propio

caminar, frenas o aceleras. En el movimiento uniformemente acelerado (MUA), como ya te mencionamos, consideramos que los cambios en la velocidad se producen de manera uniforme, es decir, por cada unidad de tiempo se produce el mismo aumento (o disminución) en la velocidad, por lo que la aceleración es constante. Vinculadas a este tipo de movimiento trabajamos con dos fórmulas básicas de la Física que nos proporcionan la distancia y la velocidad en función del tiempo. Éstas son:

Sus gráficas son una parábola, en el caso de la distancia, y una recta, para la velocidad. En la primera unidad de este curso estudiamos las funciones lineales y revisamos las características de su variación ¿recuerdas? En ésta, analizaremos la función cuadrática (cuya forma canónica es y= ax2 +bx + c) y sus características. Para iniciar el análisis de este tipo de funciones empezaremos por las más sencillas, cuando b y c son ambos cero, por lo que sólo aparece el término cuadrático reduciéndose de esta manera a la forma y= ax2. Regresemos con Vicky y su familia cuando abandonaron la caseta de cobro sobre la carretera a Pachuca y empezaron a acelerar uniformemente. Recordando el viaje a Pachuca Veamos los datos que teníamos sobre el paseo a Pachuca de la familia de Vicky. Habíamos comentado que al abandonar la caseta de cobro (momento en que se inicia el conteo del tiempo) empezaron a circular con una aceleración constante de 4 m/s2, y que la distancia estaba dada por la función d = 2t2 . Los datos correspondientes se dan en la siguiente tabla. Observa que los valores de d se ajustan a la fórmula dada por la segunda Ley de Newton aplicada a esta situación. Tómate unos momentos para corroborarlo. Tiempo (s) 0 1 2 3 4

Distancia (m) 0 2 8 18 32

¿Recuerdas cuál era su gráfica? La razón de que tengamos una curva en vez de una recta, como era el caso del MRU, radica precisamente en que la velocidad NO es constante. La gráfica que obtenemos para esta función cuadrática es un segmento de la rama de una parábola, ya que no estamos considerando valores negativos para el tiempo. Si tomáramos en cuenta los valores negativos, ¿cómo quedaría la gráfica?, ¿ya te la imaginaste? Más adelante revisaremos las características de este tipo de gráficas que se trabajaron sucintamente en el curso propedéutico de Matemáticas. Recordemos la variación lineal ¿Recuerdas la manera en que podíamos saber si existía variación lineal entre dos

variables a partir de una tabla que relacionaba algunos de sus valores? Lo trabajamos en la primera unidad junto a la familia de Vicky, ya sea con el gasto de agua de la regadera, con el crecimiento de la cabellera de Vicky, con los pagos de la computadora que compró su esposo, o con diversos problemas sobre movimiento rectilíneo uniforme.

El procedimiento que seguíamos para saber si podíamos utilizar las funciones lineales consistía en calcular para varias parejas de valores (x, y) de la tabla numérica y ver si el resultado siempre era el mismo. Cuando así sucedía podíamos asegurar que se trataba de una variación lineal vinculada a una función de la forma y = ax + b. Sabíamos además que ese valor que se repetía para recta corta al eje y).

era precisamente a, la pendiente de la recta, y que b era la ordenada al origen (el valor donde la

Si se trataba de un problema de movimiento rectilíneo uniforme, que ésta es el CAMBIO de la distancia respecto al tiempo.

nos daba precisamente la rapidez del movimiento, ya

Veamos gráficamente el significado de Δx y Δy cuando tenemos una función lineal. Esto nos ayudará posteriormente a entender mejor qué sucede con la variación cuadrática. ¡Visualizando gráficamente Δx y Δy! A continuación te presentamos cuatro gráficas A, B, C y D vinculadas a una función lineal y=ax. A través de ellas, podrás visualizar tanto el significado gráfico de Δx y de Δy, como el hecho de que cuando tomamos valores iguales de Δx en una función lineal, los valores de Δy también son iguales entre sí.

¿Cómo se comportarán los cambios de y en la función cuadrática si los valores de Δx los seguimos tomando iguales? ¿Qué piensas al respecto? ¡Analicemos Δy en las cuadráticas! El cambio de y en las funciones cuadráticas Las funciones, como te hemos mencionado, nos permiten modelar situaciones y fenómenos en los que hay dos variables involucradas, una de las cuales (llamémosla y) depende de la otra (digamos x). Con frecuencia surge la siguiente pregunta, ¿cómo se comportan los cambios en y, cuando consideramos cambios de igual magnitud en x? Por ejemplo, es conveniente saber cómo irá cambiando una población cada determinado periodo de tiempo, o en el caso que nos ocupa del movimiento uniformemente acelerado, la pregunta sería ¿qué tanto y qué tan rápido varía la distancia recorrida cada cierto lapso de tiempo? Por ello queremos estudiar las características de la variación de las funciones, en este caso de las cuadráticas. Antes de trabajar con los valores numéricos de una tabla, veamos primero gráficamente qué sucede con los valores de Δy cuando en una función cuadrática tomamos valores iguales de Δx. Observa la siguiente gráfica de la figura A:

Aunque estamos tomando valores iguales de Δx, es decir los mismos cambios de x, claramente se percibe que los cambios respectivos en y NO son iguales entre sí. ¿Cómo será el próximo cambio de y si mantenemos Δx igual a los anteriores? ¿Cómo van cambiando los valores de Δy? El cambio del cambio Seguramente observaste que aunque los valores de Δx sean iguales, los valores de Δy NO lo son, por lo que surge la pregunta: ¿cómo cambian los valores de Δy? Es decir, ¿cómo cambian los cambios de y? Toma un momento para asegurarte de que entiendes esta pregunta perfectamente. De lo contrario, reflexiona hasta que llegues a una comprensión profunda del concepto “cambio del cambio”. En la siguiente gráfica, a valores diferentes de x, les estamos asociando el segmento con longitud Δy que le correspondía en la gráfica anterior. Como estos segmentos van cambiando de tamaño, podemos ver cuál es la diferencia de uno a otro. A este valor Δ(Δy) lo representaremos por Δ2y y a veces se le llama “la segunda diferencia” de y. Observa la siguiente gráfica:

En ella se visualiza cómo el cambio del cambio de y resulta ahora del mismo tamaño. Es decir, en una función cuadrática, cuando tomamos valores iguales para Δx, los valores de Δy son diferentes, pero los de Δ2y son iguales. Características de la variación cuadrática Ahora que ya vimos la representación gráfica de Δx, Δy y Δ2y de las funciones de segundo grado, pasemos a analizar el comportamiento de la variación cuadrática cuando tenemos una tabla de valores de x y y. En otras palabras, exploremos si existe un procedimiento similar al de las funciones lineales para poder detectar cuándo dos variables tienen variación cuadrática a partir de un conjunto de datos en una tabla de valores.

Cuando teníamos parejas de datos en la variación lineal recurríamos a calcular varios valores de (que nos permite hacer una comparación de la variación que sufre y dependiendo de los cambios que tomemos en x) y veíamos que era una constante. Eso equivale a decir, como ya observamos gráficamente, que cuando tomamos valores iguales de Δx, obtenemos valores idénticos de Δy. ¿Qué sucederá en las cuadráticas? ¿Qué se te ocurre que podemos hacer para investigarlo? Piensa un momento. Probablemente pensaste que podemos tomar valores para una función cuadrática sencilla y analizar como se comporta Δy para valores iguales de Δx. ¡Hagámoslo para la función de segundo grado más sencilla (y = x2)! Si tomamos valores consecutivos de x y calculamos los de y mediante la función, tenemos la siguiente tabla:

Los valores de Δy son diferentes, como seguramente lo suponías, porque NO es una función lineal. Sin embargo, parece haber “algo especial” en la forma en que varían. Observa los resultados, ¿encuentras alguna regularidad en la secuencia 1, 3, 5, 7, 9? ¿Cuáles son los tres siguientes valores de Δy?

Encontrar una regularidad en la forma en que varían los valores de Δy parece ser una buena pista, ¿no crees? Tómate unos momentos para reflexionar cómo podemos utilizar lo que hemos encontrado para describir lo que caracteriza a la variación de las funciones cuadráticas. Una pista para las cuadráticas ¿Qué te parece si agregamos una columna más a la tabla para calcular ahora cómo van cambiando los valores que obtuvimos de Δy? Es decir, vamos a calcular el cambio de los valores: 1, 3, 5, 7, 9. Para sistematizar la regularidad que encontramos con vías de aplicar ese proceso en otros casos, comparemos la forma en que varía Δy en relación al cambio de x. En la tercera columna eliminamos las operaciones y sólo escribimos los resultados que habíamos obtenido. En la cuarta, realizamos las operaciones completas. Como en esta última columna estamos calculando el cambio del cambio de y usaremos el símbolo convenido: Δ2y. x 0 1 2 3 4 5

y 0 1 4 9 16 25

Δy

Δ 2y

1 3 5 7 9

3–1 = 2 5–3 = 2 7–5 = 2 9–7 = 2

Las segundas diferencias son iguales. Este resultado coincide con lo que habíamos visto gráficamente respecto al cambio del cambio (Δ2y) de una función cuadrática. ¡Vamos a un nuevo desafío! Tomemos ahora la función cuadrática y=2x2 + 1. Hemos visto que los valores de Δx deben ser iguales, pero NO tienen que ser igual a uno. Así que veamos qué sucede cuando los valores de x son números pares. ¿Seguirá cumpliéndose que las segundas diferencias (el cambio del cambio) de y son iguales?, ¿Tú que piensas? Construyamos la tabla y hagamos las operaciones. ¿Tendrás razón en lo que supones?

x 0 2 4 6 8 10

y=2x2+1 1 9 33 73 129 201

Δy --9–1=8 33–9=24 73–33=40 129–73=56 ¿?

Δ 2y ----24–8 = 16 40–24 = 16 56–40 = 16 ¿?

Encuentra los últimos valores de la tabla correspondiente a Δy y Δ2y respectivamente, y escríbelos en ese orden en los siguientes espacios:

¡Yo puedo solo! Aunque solamente hemos corroborado en dos ejemplos que en la variación cuadrática los valores ∆2y (el cambio del cambio) son iguales cuando tomamos el mismo valor para ∆x, los matemáticos han demostrado que esto es cierto para toda función de segundo grado. Así, podemos considerarlo como una característica de su variación y utilizarlo para saber si los datos de una tabla de valores de x y y corresponden a una función cuadrática. Con lo que hemos visto, explora si los datos de la siguiente tabla corresponden a una función cuadrática. Coloca solamente el resultado de la operación en los espacios de la tercera y cuarta columnas, y de acuerdo a lo que obtengas contesta en el espacio bajo la tabla “si” o “no” consideras que existe variación cuadrática.

Si lo reflexionamos con cuidado, ¿verdad que es fácil? ¿Podremos utilizar esto para saber si un conjunto de datos corresponden a un movimiento uniformemente acelerado? ¿Los datos serán de un MUA? Regresemos con la familia de Vicky. Supongamos que al salir de la caseta de cobro de la carretera a Pachuca, se tomó el registro de la distancia en metros que recorrían cada segundo. Los datos aparecen en la siguiente tabla. ¿Empezó a transitar Agustín con movimiento uniformemente acelerado? Si es así, ¿cuál es la aceleración?

¿Es un MUA? Como el cambio del cambio es constante, seguramente tu respuesta fue que SÍ hay variación cuadrática ¡Por lo tanto es un MUA! Ya que este tipo de movimiento, como recordarás, se modela con una función cuadrática de la forma: , donde a es la aceleración, y v0 y d0 son respectivamente, la velocidad y la distancia inicial. En este caso, ambas son cero, pues el coche de Agustín estaba parado antes de abandonar la caseta de cobro. ¿Tienes alguna idea de cuál es la aceleración? Veamos, en un MUA sabemos que la velocidad (el cambio de la distancia por unidad de tiempo) NO es constante, pero va cambiando uniformemente; es decir, se presenta el mismo cambio en la velocidad por unidad de tiempo, por lo que la aceleración es constante.

Así que la constante 6 parece ser la aceleración. Pero, si restas?

, ¿por qué la encontramos así si solamente calculamos

Descifrando el misterio de la aceleración Para entender por qué la aceleración es precisamente la constante que obtenemos en la cuarta columna de la tabla anterior, revisemos de nuevo los conceptos de velocidad y aceleración.

De los datos, ¿cómo obtengo la función? Tenemos los datos de la siguiente tabla. Exploremos primero si se trata de un movimiento uniformemente acelerado, y si es el caso, construyamos la función que lo describe. Como los datos para el tiempo son consecutivos (0, 1, 2, 3, etc.) sabemos que ∆t=1, por lo que podemos ahorrarnos todas las divisiones. Observa que dentro de los datos de la tabla nos informan que la velocidad y la aceleración inicial (cuando t=0) son ambas cero.

Calcula los últimos valores de la tabla correspondientes a la tercera y cuarta columna y escríbelos, en ese orden, a continuación:

Ahora, como siempre obtuvimos 5 en la cuarta columna, quiere decir que la aceleración a = 5 es constante y por ello, efectivamente se trata de un MUA. Las funciones asociadas a este movimiento son: Para la aceleración: a = 5 m/s2 Para la velocidad: v = 5t m/s (La fórmula es v = at cuando la velocidad inicial es cero).

Para la distancia 0).

(Recuerda que la fórmula

se reduce a

cuando d0 = v0 =

Toma un pequeño receso. Cierra un momento los ojos. Relájate. Cuando estés listo oprime: Gráficas y radiografías Cuando un médico desea obtener información de un paciente recurre a estudios de laboratorio (datos numéricos) y a radiografías. Cuando un matemático desea estudiar una función utiliza varios recursos, entre ellos, la tabla de valores numéricos y la gráfica. Así como los doctores aprenden a obtener información al ver una radiografía, necesitamos hacer lo propio con las gráficas. En el propedéutico de Matemáticas se revisaron algunos aspectos de las gráficas de las funciones cuadráticas. A continuación te presentamos los efectos que tienen en la gráfica de una función cuadrática y = ax2 + bx + c los parámetros a, b y c.

La relación entre parámetros y gráficas Utilizar las relaciones que se presentan entre el valor de los parámetros a, b y c de una función cuadrática y = ax2 + bx + c y la configuración de la gráfica correspondiente, nos permite obtener información de la gráfica o de la ecuación. Es decir, si tienes la ecuación de la parábola puedes construir, incluso mentalmente, un bosquejo de la gráfica, o bien, a partir de la parábola puedes conocer muchos aspectos de la función asociada.

Veamos un primer ejemplo. Considera las siguientes cuatro funciones: a) y = x2 c) y = -x2 + 10

b) y = x2 - 3 d) y = x2 + 4

¿Qué tienen en común?, ¿Cuál es la diferencia entre ellas?, ¿Cómo se reflejan estas diferencias en las gráficas? Intenta recordar lo que acabamos de ver sobre la relación entre parámetros y gráficas. Si lo requieres, revísalo de nuevo. Cierra los ojos y visualiza un bosquejo de las cuatro gráficas en un solo sistema de coordenadas. ¿Ya lo tienes?

Ahora observa las parábolas. ¿Cuál es el eje de simetría y el vértice de cada una de ellas? Recuerda que el vértice es un punto muy importante ya que en él se obtiene el valor óptimo de y de todos los posibles que puede tomar y en situaciones de MUA, como verás en la siguiente sección del programa, representa el punto donde la velocidad es cero. Revisemos lo que hallamos Revisemos cada uno de los puntos anteriores. Veamos similitudes y diferencias buscando detectar dentro de la fórmula el parámetro vinculado a cada característica de la gráfica. El signo de x2 es el que determina el tipo de concavidad de la parábola. Recuerda que si es positivo, la curva se abrirá hacia arriba; si es negativo, hacia abajo. Todas son de la forma y = x2 + c, en las que NO aparece el término bx (porque b=0). Esto provoca que al sustituir, tanto x como – x en la función, el valor de y sea el mismo. Por esa razón el eje de simetría de las cuatro gráficas es el eje y, ya que x y – x son simétricos respecto al origen. Seguramente identificaste que el vértice de todas ellas está sobre el eje y. Pongamos las coordenadas al lado de la función correspondiente. Función A) y=x2 - 3 B) y=x2 C) y= -x2+10 D) y=x2+4

Vértice V(0, –3) V(0, 0) V(0, 10) V(0, 4)

¿Ya encontraste cuál es la relación? Piensa por un momento. Analiza la tabla y observa la gráfica. El punto donde se intercepta la gráfica con el eje y cuando éste es el eje de simetría de las parábolas, es la ordenada del vértice, y corresponde al valor del parámetro c.

Describiendo la gráfica a partir de los parámetros de la función Para fijar conocimientos, describe algunas características de la gráfica de la siguiente función: y = 3x2 + 1. Revisa el valor y el signo de los parámetros a, b y c y con base en ello completa lo que se te pide para que la frase sea correcta:

Revisa tus respuestas, con ello ya sabemos mucho de la gráfica sin necesidad de estar haciendo cálculos para obtener varios puntos y luego unirlos para trazar la parábola. Mentalmente visualiza un bosquejo de la gráfica, a partir de lo que analizaste.

¿Coincide con la que habías visualizado en tu mente? si no es así, observa en dónde te equivocaste. Para reafirmar lo que hemos visto, cuando vayas al Chat con tus compañeros, uno de ustedes dicte características de parábolas dibujadas en papel y los otros tiene que escribir la ecuación correspondiente. Hagan una competencia para ver quien logra tener más aciertos. Cordeles y rectángulos Hasta este momento, como pudiste darte cuenta, hemos analizado la relación entre los parámetros y la gráfica con parábolas cuyo eje de simetría está sobre el eje y ya que en ellas es más sencillo localizar el vértice. Sin embargo, en la mayoría de los problemas de optimización que se modelan con una función cuadrática, el eje de simetría es paralelo al eje y, y por lo tanto, su vértice NO está sobre él. Para encontrarlo utilizaremos unas fórmulas (verás cómo se obtienen en la asignatura de Física y

su Matemática, cuando aprendas a resolver ecuaciones de segundo grado por medio de la “Fórmula General”. En este curso, sólo las utilizaremos). Por lo pronto, te proponemos el siguiente problema de optimización en el que requerimos obtener el vértice de la parábola que lo modela.

¿Será igual el área de los rectángulos que formas? Medita al respecto. Si quieres confirmar tu respuesta, es importante que hagas la parte “manual” de este problema para que visualices y te convenzas de lo que veremos en la siguiente pantalla. Si puedes medir el largo y el ancho de cada rectángulo te será más fácil todavía calcular su área y comparar lo que respondiste con los resultados que vas encontrando. ¿Qué pasa con el área de los rectángulos? Generalmente cuando nos enfrentamos por primera vez con este problema nos resulta difícil aceptar que las áreas de los rectángulos van cambiando ya que los construimos con el mismo cordel. Esperamos que al hacerlo manualmente te hayas convencido de este hecho. Ya que sabemos que el área de los rectángulos va cambiando, la pregunta sería: ¿Cuál de ellos es el que tiene mayor área? Esto es útil por ejemplo, cuando quieres construir un almacén dentro de un gran terreno y cuentas con una cantidad limitada de material para delimitarlo. ¿No te interesaría abarcar la mayor área posible? Para construir la función que proporciona el área de cada rectángulo en función de lo que midan sus lados, hagamos una tabla en la que relacionemos diferentes medidas con el área correspondiente. Usemos símbolos además, para los lados del rectángulo. Llamemos x a la altura y a la base de los rectángulos.

Seguramente si construiste los rectángulos y mediste los lados, te diste cuenta que si la altura ( x ) medía un centímetro, la base ( ) medía 18, puesto que el tercer lado de nuevo es la altura. Sistematicemos en una tabla lo que obtenemos para varios valores tanto de x como de y: Dimensiones del rectángulo x (altura) (base) 1 20–2=18 2 20–4=16 3 20–6=14 4 20–8=12 … … 8 20–16=4 … … =20–2x x

Área A=x• (1)(18)=18 (2)(16)=32 (3)(14)=42 (4)(16)=64 … (8)(4)=32 … (x)( 20–2x )

Si generalizamos lo que hemos hecho para los primeros ejemplos, vemos que podemos calcular el área de los rectángulos como: A = x • (20 - 2x) = -2x2 + 20x Como ya sabes, si una función cuadrática tiene el término en x (en este caso tenemos 20x), el eje de la parábola NO es el eje y. Por ello, su vértice tampoco está sobre él. Usando la fórmula para el vértice Para encontrar el vértice de una parábola cuya ecuación está escrita en la forma canónica y = ax2 + bx + c, utilizaremos las siguientes fórmulas que nos dan sus coordenadas:

Apliquémoslas en la función que proporciona el área (A = -2x2 + 20x) para conocer el vértice. En este caso los parámetros a, b, y c son: a = –2, b=20 y c = 0

Si sustituimos estos valores en la fórmula tenemos:

Ya encontramos el vértice pero, ¿qué nos dicen sus coordenadas dentro del contexto del problema? Veamos la gráfica correspondiente a la función A = -2x2 + 20 x que nos proporciona el área de los rectángulos, dependiendo del valor de x que representa la longitud de su altura.

Lo que podemos ver en ella es que la abscisa del vértice (x=5), nos proporciona la altura del rectángulo cuya área (A=50) es la mayor de todas. Puedes apreciar también que el eje de la parábola se encuentra 5 unidades a la derecha del eje y, por lo que la abscisa del vértice nos informa su posición. Esta es una ventaja adicional que nos reditúa encontrar el vértice y es de gran utilidad en la construcción de la gráfica cuando no la hemos trazado. Te preguntarás para qué es importante obtener el rectángulo de área máxima. Bueno, este rectángulo óptimo puede representar, entre otras muchas posibilidades, el marco de una ventana que proporcione la mayor iluminación, el perfil de una artesa de desagüe que permita el mayor desalojo, o el frente de una portería de fútbol que optimice las opciones de gol. Vamos a jugar “coladeritas” Alejandro y César, como muchos jóvenes mexicanos, reparten su tiempo entre la familia, la escuela, los amigos y el fútbol. Cada vez que les es posible van a un lote cerca de su casa y juegan “coladeritas”. En esta ocasión decidieron hacer unas “miniporterías” portátiles para dejar de discutir cuando era gol o no. Como el papá de César es plomero, les regaló dos tubos de PVC de 240 cm de longitud que le habían sobrado. Dado que requerían dos “miniporterías”, decidieron utilizar un tubo para cada una de ellas. Ya los conoces, así que antes de cortar los tubos decidieron hacer un croquis para el armazón, y echar mano de lo que sabían sobre problemas de optimización para utilizar de la mejor manera el material, garantizando que el área del frente de la “miniportería” fuera la máxima posible. El tubo de PVC lo utilizarán para las siguientes piezas: Parte delantera: el travesaño y los dos postes. Parte trasera: dos postes de la mitad de longitud de los del frente de la pequeña portería, y otra parte horizontal de la misma longitud que el travesaño.

Utilizarán un material plegable para los dos segmentos que unen la parte delantera con la trasera para hacer más prácticas la “miniporterías”, ya que así las pueden doblar cuando no las utilicen y ocupan menos espacio. Llama x a la altura de los postes y T a la del travesaño. El área del frente de la pequeña portería es A= x T. ¿Para qué valor de x tendrá un área máxima la parte delantera de la “miniportería”? ¿Cómo obtenemos la función cuadrática que permite atender la inquietud de César y Alejandro? La solución de César y Alejandro Antes que nada, estos chicos colocaron los símbolos que habían elegido ( x y T ) y los colocaron en su croquis para ver cómo iban a distribuir el material. En lugar de hacer una tabla, como la que construimos nosotros en el problema anterior,

Comentario [w2]: Coladeritas Juego informal y popular de fútbol entre niños y jóvenes mexicanos, en el que la pelota se maneja básicamente al nivel del suelo, ya que no debe sobrepasar la altura de la rodilla de los jugadores. Los goles por lo tanto no se aceptan con alturas elevadas.

escribieron la siguiente expresión que permite distribuir los 240 cm de PVC en las piezas en las que lo van a utilizar y que relaciona x con T.

Si necesitas dar algunos valores y organizarlos en una tabla, ¡hazlo!

De aquí despejaron T y obtuvieron: Como la función que proporciona el área de los rectángulos es A= x T tiene dos variables independientes (x y T ) y ellos saben trabajar con las que sólo tienen una, decidieron sustituir la expresión equivalente a T en la función, obteniendo:

¡Y ya tienen una función cuadrática! Sólo basta encontrar el vértice, ayúdalos a obtener sus coordenadas. Recuerda que calculamos las coordenadas del vértice con: ¿Cuáles son los valores de los parámetros a, b y c? Haz las operaciones pertinentes en tu cuaderno y coloca el resultado de las coordenadas del vértice en los espacios correspondientes. Ten cuidado con el manejo de los signos.

Construyendo las “miniporterías” Así que el vértice de la función cuadrática A = -1.5x2 + 120x que proporciona el área de los rectángulos es V(40, 2400). Pero, ¿qué representan estos valores en el contexto del problema? Para entender qué hemos obtenido, recordemos que esta función asocia a la longitud del poste (x) el área A del rectángulo que será el frente de la portería. Por ello, la primera coordenada del vértice es precisamente la longitud de cualquiera de los postes delanteros (x=40 cm), y permite obtener el área máxima del frente de la portería, la cual es la segunda coordenada (A =2 400 cm2) del vértice. Por cierto, ¿cuánto debe medir el travesaño? Si recuerdas, César y Alejandro tenían la expresión T = 120 - 1.5x que relacionaba la longitud del travesaño con la de los postes delanteros. Para encontrar cuánto mide T, simplemente sustituimos x=40 cm en ella y obtenemos:

T = 120 - 1.5 (40) = 120 - 60 = 60 Con ello, las dimensiones del frente de la portería son: x=40cm y T=60 cm. Obviamente el ÁREA del rectángulo con esas dimensiones es: A=(40)(60)=2400 cm2, que efectivamente corresponde a la ordenada del vértice. Ahora, observa de nuevo la función A = - 1.5x2 + 120x. ¿Qué puedes decir de su gráfica? ¿Hacia dónde se abre la parábola? ¿Dónde está su eje de simetría? ¿Su abertura es más cerrada o más abierta en relación con la estándar? Traza en tu cuaderno un bosquejo de la gráfica de esta función.

Como puedes darte cuenta, las funciones cuadráticas son muy versátiles. Nos permiten resolver problemas diversos de optimización o situaciones en las que la segunda variación de la función respecto a la variable independiente es constante, entre las que están, las que se refieren al MUA. En todas ellas, el vértice juega un papel relevante. En la asignatura optativa de Cálculo, se estudian procedimientos generales para los problemas de optimización modelados con otro tipo de funciones. Procedimientos que al aplicarlos a las cuadráticas permiten hallar el vértice muy fácilmente. Introducción a caída libre La función cuadrática que dominas al haber terminado el tema anterior de este curso también es útil para describir y predecir el comportamiento del movimiento de los objetos que caen hacia la Tierra, sin importar si se encuentran cerca de la superficie terrestre o a algunos kilómetros sobre ella. La altura a la que se encuentre el objeto sobre la superficie terrestre influye en el valor de la aceleración de la gravedad (g), pues a mayor alejamiento de la Tierra, será menor su valor. El caso más conocido es cuando los objetos caen en las cercanías de la superficie terrestre y el valor de g se toma como 9.8 m/s2 (a nivel del mar). Para efectos del estudio de la caída libre tampoco se toma en cuenta la fricción del objeto con el aire. Por otra parte, es muy seguro que hayas visto videos de astronautas que parecen flotar dentro de una nave espacial y los objetos que mueven los astronautas prácticamente no tienen peso. Ello se logra cuando la nave con sus tripulantes se aleja algunos cientos de kilómetros de la Tierra. Al caso anterior se le llama microgravedad, ya que en realidad sí existe la g, pero con valor muy pequeño.

Queremos que tengas presente que de una u otra forma siempre puedes echar mano de las funciones cuadráticas para facilitar el entendimiento de este tipo de movimientos.

Comentario [w3]: Microgravedad Condiciones donde la gravedad prácticamente no se manifiesta debido a su valor tan pequeño. Comentario [w4]: “Una manera de simular la microgravedad en la Tierra es en el entrenamiento de futuros astronautas, a quienes sumergen en una enorme alberca llena de agua. En el interior, el peso aparente de los cuerpos sumergidos se acerca a cero.”

Cómo caen los cuerpos La caída de los cuerpos es una de las primeras manifestaciones de movimientos que tenemos en nuestra experiencia. ¿Recuerdas alguna vez que te caíste cuando eras niño? Sin embargo, también experimentamos a temprana edad con la caída de los objetos en general: la lluvia, nuestra pelota favorita o las hojas de los árboles son sólo algunos ejemplos de lo que consideramos caída libre. Como la mayoría de los movimientos de caída libre se dan en un espacio corto, no es fácil darnos cuenta que en la caída del objeto está presente la fricción con el aire que lo rodea. De esta manera, nos olvidamos de la fricción y no la tomamos en cuenta. Así, vamos a comenzar el análisis de la caída de cuerpos, considerando que caen distancias cortas y que la fricción con el aire no influye notablemente. Se dice que Galileo fue uno de los primeras personas que observó con atención el movimiento de los cuerpos al caer, y desde luego, se dio cuenta que los objetos, en general, aumentan su rapidez de caída conforme pasa el tiempo. Lo anterior quiere decir que entre más tiempo transcurra, más rápido van a ir en su descenso. ¿Crees poder lograr ver ese hecho a simple vista? Fue Galileo quien estableció las primeras reglas que siguen los objetos en descenso, y sólo después de un cuidadoso análisis experimental, pudo determinar que los objetos aumentan su rapidez, y por lo tanto su velocidad - aproximadamente 9.8 m/s en cada segundo- o escrito de otra forma, el cambio de la velocidad (llamada aceleración) del objeto es de:

De esta manera, si en determinado momento el objeto que cae tiene una rapidez de 20m/s hacia abajo (velocidad negativa), un segundo más tarde tendrá una rapidez de 29.8 m/s, y al siguiente segundo tendrá una rapidez de 39.6 m/s, y así sucesivamente. ¿Verdad que es muy sencillo? ¿Probamos con algunos cálculos sencillos? Prueba ahora tú. Contesta las siguientes preguntas y envía tus respuestas. U3.2 Comprueba la caída libre Seguramente el incremento constante en la rapidez, tendrá repercusión en la gráfica del movimiento. Gráfica del movimiento Como antes te mencionamos, el hecho que la rapidez cambie de manera constante se verá reflejado en la gráfica del movimiento, y si recuerdas, algo similar ocurría en el caso del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), donde lo que cambia de manera constante es la distancia recorrida. De este modo, si graficamos los puntos coordenados (rapidez vs. tiempo) que se tienen en la tabla que volvemos a presentarte:

Tiempo (s) Rapidez (m/s) 0 0 1 9.8 2 19.6 3 29.4 4 39.2 5 49 Obtenemos la siguiente gráfica:

Velocidad (m/s) 0 – 9.8 –19.6 – 29.4 – 39.2 – 49.0

Comentario [w5]: Caída libre Movimiento de cualquier objeto que se dirige hacia el centro de la Tierra por efecto solamente de la fuerza de atracción gravitacional.

Comentario [w6]: Recuerda que la rapidez no es lo mismo que la velocidad, puesto que la primera es una cantidad escalar y la segunda es una vectorial. Sin embargo, al aumentar la rapidez aumenta la velocidad porque la primera forma parte de la segunda.

Recuerda que en este caso, como en casos anteriores, no hemos considerado la fricción con el aire. Si fuera así entonces la rapidez se incrementaría cada vez menos en cada segundo. Es decir, que el balín se desaceleraría hasta llegar a que el incremento entre segundo y segundo sería cero. Esto significa que a partir de cierto momento se moverá con rapidez constante. A esta rapidez se le conoce como velocidad terminal. Aparentemente la fuerza de fricción estorba en la vida. Sin embargo, debemos estar concientes de la ventaja que esta fuerza representa, ya que si no existiera la fricción, entre otras dificultades, las gotas de agua provenientes de las nubes a 10 Km de altura llegarían al suelo con rapidez de 442 m/s, es decir a ¡1600 km/h!

Comentario [w7]: Velocidad fija que alcanzan los objetos en caída y que se presenta cuando se equilibran la fuerza de atracción gravitacional y la fuerza de fricción con el aire.

La distancia recorrida por el balín Debido a que se trata de un Movimiento Uniformemente Acelerado (MUA) y la distancia recorrida cada segundo es mayor, la curva de la gráfica d vs. t será una parábola, como lo vimos para el caso de la distancia recorrida por el automóvil de la familia de Vicky. La tabla de valores se puede obtener a partir de la siguiente fórmula:

, pero como Vo (velocidad inicial) es 0 m/s (simplemente se deja caer el balín), la fórmula se reduce a : siguiente tabla de datos:

Si consideramos a=10, al sustituir la variable t por algunos valores, obtenemos la

Tiempo (s) Distancia (m) 0 0 1 4.9 2 19.6 3 44.1 4 78.4 5 122.5 Por lo que la curva será como se muestra en la siguiente gráfica:

Comentario [w8]:

Puedes comprobar que la distancia que recorre en un segundo va incrementándose en cada segundo que transcurre. Y como te imaginarás, si tenemos un MUA con aceleración negativa (que esté frenándose), entonces las distancias que recorre el móvil en cada segundo van a ser menores y, la curva de la gráfica d vs t será también una parábola, pero con la concavidad hacia abajo. Los ejercicios que a continuación te presentaremos también representan movimientos con aceleración, así que te pedimos resolver los siguientes casos de caída libre.

Casos de caída libre Pensemos ahora en el famoso caso en que Sir Isaac Newton se encontraba bajo la sombra de un manzano, y en especial en el momento en que una manzana cae desde el árbol. Si consideramos que la aceleración de la gravedad es -9.8 m/s2 (9. 8 m/s2 hacia abajo) y que la manzana bajó en 0.5 segundos: Antes de iniciar el cuestionario, te damos una pista.

Comentario [w9]: Recuerda que la rapidez inicial de la manzana es 0 m/s.

U3.3 Práctica con Isaac Newton Ahora que conoces cómo se comporta el movimiento de los objetos en caída libre, va a parecerte muy fácil el análisis del tiro vertical. Sin embargo, primero debemos ponernos de acuerdo respecto a los signos del desplazamiento, velocidad y aceleración, por lo que te invitamos a hacer un alto en el camino. Un alto en el camino Hasta ahora hemos visto solamente movimientos sencillos que implican el desplazamiento de objetos en una sola dirección, y algunas veces con aceleración en el mismo sentido que el desplazamiento. Pero un tiro vertical (por ejemplo, lanzar hacia arriba una pelota) se puede ver como la unión de dos movimientos del tipo MUA, uno de subida y el otro de bajada. En el de subida, el objeto tiene rapidez inicial hacia arriba e irá disminuyendo la magnitud de su rapidez hasta hacerse cero. En el de bajada, el objeto tiene rapidez inicial 0 m/s e irá aumentando la magnitud de su rapidez (dirigida hacia abajo). En el momento en que regrese al punto de partida, el objeto tendrá rapidez igual en magnitud, pero en sentido contrario a la que tenía inicialmente. De todo lo anterior se hace necesaria una designación (totalmente convencional) del signo de las direcciones. De modo que, adoptaremos la tradicional relación de signos: positivo (+) al desplazamiento, velocidad y aceleración dirigidas hacia arriba o a la derecha, y negativo (-) al desplazamiento, velocidad y aceleración dirigidas hacia abajo o a la izquierda. Observa en la siguiente gráfica que lo conveniente de esta asignación es que coincide con los signos de los ejes coordenados en el plano cartesiano:

Comentario [w10]: Convencional Que se aprobó por un convenio o pacto y se establece en virtud de precedentes o de costumbre. Comentario [w11]:

Comentario [w12]:

Comentario [w13]:

De acuerdo a la convención de signos que acabamos de consentir, tendremos que en un tiro vertical: 1. El desplazamiento es positivo en la primera parte y negativo en la segunda. 2. La velocidad inicial del objeto es positiva pero va disminuyendo, en determinado momento será igual a cero y después llegará a un valor igual en magnitud pero de sentido (signo) contrario. 3. La aceleración de la gravedad (g=- 9.8 m/s2) siempre será negativa dado que siempre está dirigida hacia abajo. Ahora que aceptamos la convención, podemos ver el tiro vertical.

Tiro vertical Una vez visto el movimiento de un objeto en caída, la siguiente pregunta obligada es, ¿cómo es el movimiento de los objetos al subir? A continuación veremos su comportamiento, a partir del cual te darás cuenta que es, en muchos sentidos, muy parecido al descenso. Piensa en el siguiente hipotético: Un joven tiene un rifle de municiones que apunta verticalmente hacia arriba y después dispara una munición (pequeño balín). Al momento de salir disparado, el balín tiene una velocidad igual a 49 m/s (que equivale a 176 km/hr). Dado que el disparo es vertical hacia arriba, entonces el balín tendrá una trayectoria de subida y bajada por un solo camino, en determinado momento llegará a una altura máxima y después empezará a descender. Es precisamente en ese punto de máxima altura que el balín tendrá, por un instante, velocidad igual a 0 m/s. Después de alcanzar la máxima altura en su trayectoria, el balín desciende, comenzando con una velocidad igual a 0 m/s y posteriormente esta velocidad se incrementará, pero en sentido negativo (hacia abajo). Como estamos haciendo la suposición de que no hay fricción con el aire, entonces encontraremos que la velocidad con la que inició su movimiento será la misma en magnitud (pero de signo contrario) que la que tiene cuando regresa al punto de partida. Esto es, que el movimiento de bajada es una “imagen de espejo” del movimiento de subida. ¿Por qué crees que el ascenso y descenso se muestran como movimientos similares en sus características? Piensa en la respuesta y cuando estés listo compárala.

El balín disparado por el rifle Partiendo de nuestra suposición inicial, el balín es disparado verticalmente hacia arriba y tiene una velocidad inicial de 49 m/s. Dado que está siendo frenado a razón de 9.8 m/s2 por una fuerza dirigida hacia abajo, la velocidad irá reduciéndose en 9.8 m/s por cada segundo que transcurra, por lo que demorará 5 segundos en llegar a ser 0 m/s su velocidad (es decir, se detendrá), como se muestra en la siguiente tabla:

Dicho de otra manera, le llevará 5 segundos al balín llegar a lo más alto de su trayectoria. Pero como la fuerza de gravedad siempre actúa sobre el balín, éste seguirá acelerándose negativamente (es decir, hacia abajo), lo cual provocará que ahora el

Comentario [w14]: Hipotético Del latín hypóthesis, que significa suposición de algo posible o imposible para sacar de ello una consecuencia. Comentario [w15]: Municiones Pedazos de plomo de forma esférica con que se cargan las escopetas o rifles deportivos. Comentario [w16]: Recuerda que la conversión de m/s a km/hr puede obtenerse de la siguiente manera:

balín empiece su descenso y siga incrementando negativamente su velocidad, por lo que al tiempo t = 6 s, la velocidad del balín será –9.8 m/s, y al siguiente segundo será –19.6 m/s. Observa la tabla con algunos valores de la velocidad del balín en toda su trayectoria.

¿Quieres visualizar la trayectoria del balín? Recuerda que las trayectorias de subida y la de bajada pasan por los mismos puntos, sólo que en este dibujo se colocaron separadas para no confundirlas. También puedes observar que en determinado punto, la velocidad de subida es la misma en magnitud, pero de signo contrario que la velocidad de bajada. Por ejemplo, en el punto de partida, tiene velocidad 49 m/s y en el punto de llegada (que es el mismo del que partió el balín) tiene velocidad –49 m/s. Lo anterior también es válido para cualquier punto de la trayectoria, es decir, si en cierto punto la velocidad en la subida del balín es +35.7 m/s, entonces la velocidad del balín en la bajada será -35.7 m/s.

Vamos a verificarlo con las poderosas ecuaciones Como ya lo hemos dicho, una de las poderosas ecuaciones útiles para conocer el comportamiento del MUA es:

y en el caso del balín disparado por el rifle tendrá velocidad inicial Vo = 49 m/s y, por supuesto, la aceleración es a = g = –9.8 m/s2 de modo que para averiguar la velocidad final se despeja de la ecuación anterior y obtenemos que: Vf = at +V0 por lo que al tiempo t = 1 s, tendremos: Vf = (-9.8 m/s2)(1s) + 49 m/s = -9.8 m/s + 49 m/s = 39.2 m/s; y de manera similar podemos obtener la velocidad del balín para t = 9s: Vf = (-9.8 m/s2)(9s) + 49 m/s = -88.2 m/s + 49 m/s = -39.2 m/s Empleando este mismo procedimiento puedes comprobar los valores de la tabla para la velocidad del balín. Te invitamos a ejercitarte hallando la velocidad para otros puntos de la trayectoria. Contesta las preguntas y envía tus respuestas. U3.4 Calcula la velocidad del balín Seguramente ya estás convencido que la velocidad del balín en determinado punto de su ascenso es la misma en magnitud pero de signo contrario que la de su descenso. ¿Qué sucede con la posición del balín? Para encontrar la posición del balín podemos usar la ecuación general para analizar el MUA, esto es:

; Como en este caso nuestro experimento inicia en el momento de ser disparado el balín por el rifle, entonces la posición del balín en el tiempo t = 0s es precisamente d0= 0m. Por otra parte, la velocidad inicial del balín es v0 = 49 m/s y, su aceleración es a = -9.8 m/s2 ( es precisamente el valor de g). Por ello, al sustituir estos valores en la ecuación, obtenemos que:

; o lo que es lo mismo: d = 49t - 4.9t2.

Comentario [w17]: Por simplicidad, en esta sustitución vamos a omitir las unidades de medición.

d = 49t - 4.9t2. Con ella podemos llenar la siguiente tabla de valores de la posición del balín en los primeros 10 segundos. Tiempo (s) Posición del balín (m) 0 0-0= 0 1 49-4.9= 44.1 2 98-19.6= 78.4 3 147-44.1= 102.9 4 196-78.4= 117.6 5 245-122.5= 122.5 6 294-176.4= 117.6 7 343-240.6= 102.9 8 392-313.6= 78.4 9 441-396.9= 44.1 10 490-490= 0 U3.5 Utiliza la fórmula y resuelve De los dos resultados anteriores puedes observar que la posición del balín a los 2.5 s de haber iniciado su movimiento es igual a la posición al momento en que le faltan 2.5 s para terminar su recorrido. Máxima altura alcanzada De la tabla anterior puedes darte cuenta que la máxima altura que alcanza el balín es 122.5 m, y recuerda que este dato fue encontrado con la ayuda de la ecuación:

;

Comentario [w18]: Recuerda que las fórmulas del movimiento uniformemente acelerado son:

Podemos corroborar este resultado con otra de las ecuaciones del MUA: 2ad = vf2 - v02 al despejar la posición (o distancia), obtenemos:

Aquí podemos aprovechar el hecho de que en el punto de máxima altura alcanzada, el móvil tiene velocidad (vf) igual a cero, por lo que la ecuación queda como sigue:

Como ves coincide con el resultado anteriormente obtenido; de modo que podemos estar ciertos de nuestros resultados. 1. ¿Cuál sería la máxima altura alcanzada por el balín si su velocidad inicial fuera solamente de 24.5 m/s (es decir, la mitad de la del ejemplo anterior)?

Algunas veces es necesario buscar (entre las cuatro que te presentamos) la ecuación adecuada, ya que contamos con determinados datos que se ajustan a una u otra ecuación. Comentario [w19]: En este ejemplo es mejor hablar de la posición y no de la distancia recorrida, porque el balín pasa por la misma trayectoria de bajada que la de subida, lo que lleva a confusión porque para un solo punto de la trayectoria se tiene dos distancias recorridas (ver siguiente figura):

Una división sencilla te hará ver que la máxima altura alcanzada cuando la velocidad es de 24.5 m/s es la cuarta parte de 122.5, que es la máxima altura que alcanzó cuando su velocidad era 49 m/s, ¿por qué crees que sucede así? Reflexiona al respecto y después corrobora tu respuesta.

Plano inclinado El plano inclinado (comúnmente conocido como rampa) consiste en una superficie recta que forma un ángulo con respecto a la horizontal y que desde hace mucho tiempo el hombre ha usado como una máquina simple de la que se ayuda para elevar cosas con mayor facilidad que si las alzara verticalmente. Sin embargo, esta máquina fue usada por Galileo Galilei con otros fines. Como ya te habrás percatado, los cuerpos caen muy rápido para que nuestros sentidos detallen la trayectoria con precisión. Actualmente contamos con tecnología capaz de registrar con mucho detalle el desarrollo del movimiento en la caída de los cuerpos. Por ejemplo, contamos con cámaras fotográficas de gran rapidez con las que se obtienen impresiones nítidas de los objetos en caída. También hay cámaras de video que nos permiten seguir en “cámara lenta” o bien “cuadro a cuadro” su comportamiento, además de que se cuenta con relojes muy precisos con los cuales podemos ser capaces de registrar tiempos de milésimas de segundo. Pero en la época de Galileo (siglo XVII) ni siquiera se contaba con un reloj mecánico, de modo que este gran científico tuvo que ingeniárselas para poder analizar la caída de los cuerpos. ¿Cómo empleó Galileo su ingenio? Antes de ver cómo fue que Galileo resolvió el problema te proponemos que pienses por un momento en ¿cómo medía el hombre el tiempo antes de que se inventaran los relojes mecánicos? Recuerda una de las formas que ya te mencionamos en este curso y reflexiona sobre otras posibilidades. Cuando tengas un listado mental de esas formas de medir el tiempo. Seguramente recordaste que el tiempo se medía, ya con muchos años de anterioridad, utilizando diversos instrumentos que presentan un ciclo más o menos constante. Por ejemplo, debes acordarte que mencionamos que una de las primeras formas de medir el tiempo fue ayudándose del pulso de una persona, otra manera fue usando relojes de arena y otro método fue contando el número de gotas de agua que caían (a espacios de tiempo regulares) después de pasar por un filtro de piedras y/o arena (estos relojes se llaman clepsidras). Sin embargo estos tipos de relojes no son adecuados ya que no son muy precisos y la caída de un cuerpo sigue siendo muy rápida para ellos.

Comentario [w20]: Máquina simple Artefacto sencillo que sirve para aprovechar una fuerza. La polea, el plano inclinado y la cuña son ejemplos de máquinas simples. Comentario [w21]: Galileo Galilei: (1564-1642) Físico y astrónomo italiano. Enunció las leyes de la gravedad de los cuerpos y construyó el primer telescopio en 1609.

Con ello en mente Galileo pensó que la manera de disminuir la rapidez del movimiento sería “haciendo caer” al objeto a través de un plano inclinado. Con esto “atenuaría” la caída del objeto al modificar su trayectoria originalmente vertical a una trayectoria inclinada. Es obvio que la manera de razonar de Galileo estuvo basada en el método científico, por lo que, a diferencia de los romanos de la época clásica, Galileo realizó experimentos e hizo deducciones sobre lo que observó. Se le ocurrió realizar experimentos con los cuales pudiera determinar si era o no cierta la suposición de que la fricción es la causa de que el objeto en movimiento se detenga. ¡Vamos a ver algunos experimentos de Galileo! Se sabe que en la época de Galileo ya había grandes artesanos en la madera y que Galileo utilizó esferas de madera muy bien pulidas, que hizo rodar sobre superficies lisas, también construidas de madera, como se observa en la siguiente figura.

Observó que, entre mejor pulidas estén las superficies en contacto (lo que significa que hay menos fricción), mayor tiempo perdura el objeto en movimiento. Después modificó la trayectoria de la esfera, haciendo elevar un extremo (b) de la superficie, se dio cuenta que la esfera se detenía en un punto al mismo nivel que del que fue soltada, lo anterior sin importar cuán larga es la superficie (b) o el ángulo (c) al cual se inclina la superficie, claro que siempre menor que 90°.

Galileo llegó a importantes conclusiones Galileo entonces razonó de la siguiente manera: “si alargo demasiado la superficie (b) manteniéndola siempre horizontal y cuidando de que esté muy bien pulida, la esfera nunca se detendrá pues nunca alcanzará a altura de la cual fue lanzada inicialmente”.

Evidentemente, la esfera se llega a detener en algún momento porque siempre existe la fricción con la superficie y con el aire del ambiente (por más que se puedan minimizar ambas fricciones). Sin embargo, esta inferencia de Galileo sigue siendo

Comentario [w22]: Método científico Modo ordenado de proceder en la investigación de un fenómeno. Generalmente consiste en una serie de pasos: observación, establecimiento de hipótesis, experimentación, análisis de resultados y conclusiones.

extraordinaria porque le ayudó a imaginarse el comportamiento de los objetos en movimiento en un mundo sin fricción. De acuerdo a lo anterior debe suceder que: “un objeto en movimiento permanecerá en esa condición siempre y cuando no haya fuerza alguna sobre él que modifique dicho estado”, lo cual llevó muchos años para simularse experimentalmente. Con estas conclusiones, Galileo echó por tierra viejas y equivocadas ideas aristotélicas sobre el movimiento y dio paso a una nueva manera de ver al mundo. De hecho, Newton retomó esta última idea para concebir su ya famosa primera ley del movimiento que algunos también conocen con el nombre de ley de la inercia. Pero volviendo al tema de esta sección, veamos cómo fue que Galileo aprovechó las características del plano inclinado para lograr hacer un estudio de la caída de los cuerpos. Características del plano inclinado Ya mencionamos que el plano inclinado es una superficie recta que forma un ángulo con respecto a la horizontal. Pues es precisamente este ángulo el que pudo variar Galileo con el fin lograr observar con mayor detalle la caída de un cuerpo. Aunque el fenómeno físico de que una esfera ruede cuesta abajo sobre un plano inclinado no implica una caída libre, sí se puede considerar como su representación en tanto que se trata de un objeto que está siendo permanentemente acelerado hacia el centro de la Tierra, por lo que aumenta su velocidad de manera uniforme.

Comentario [w23]: Isaac Newton: (1642-1727) Matemático, físico y astrónomo inglés. Descubrió la ley de la gravitación universal, la descomposición de la luz y el cálculo diferencial. Comentario [w24]: Ley de la inercia Es la primera Ley de Newton que indica que: “Todo objeto continúa en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por una fuerza que actúe sobre él”.

Observa el esquema:

Nos damos cuenta que en la construcción de un plano inclinado podemos decidir el valor del ángulo α en un intervalo abierto (0°,90°). El intervalo es abierto ya que si elegimos el caso extremo donde α = 0°, entonces ya no tenemos plano inclinado, sino que se trata de un superficie lisa continua, y la esfera que colocamos sobre ella no tendrá ninguna aceleración debido a la fuerza de gravedad. En cambio si se elige el otro caso extremo donde α = 90°, entonces tampoco tendremos un plano inclinado sino más bien se trata de una caída libre de la esfera y volvemos al problema: resulta un movimiento de caída demasiado rápido para que podamos percibirlo directamente con nuestros sentidos. En esta cápsula podrás ver la explicación del experimento de Galileo Galilei.

Cómo se modifica el tiempo de caída Para comprender fácilmente algunos fenómenos físicos, algunas veces es conveniente analizar los casos extremos. Como te darás cuenta, en el caso extremo en que α = 90°, la caída será libre y el tiempo de caída está dado por:

que resulta de despejar (t) a partir de la fórmula:

Comentario [w25]:

Comentario [w26]:

ya que para este caso V0= 0 m/s para el otro caso extremo, en que α = 0°, es evidente que el “tiempo de caída” se vuelve infinito ya que ¡nunca cae! Conociendo los tiempos de caída para los casos extremos, sabemos que el tiempo de caída para cualquier ángulo en un intervalo abierto (0°,90°) tendrá un valor dentro del intervalo (∞, exacto de tiempo de caída (tα)?

), pero para determinado ángulo α ¿cuál es el valor

Es claro que el tiempo de caída de un cuerpo que se desliza sin fricción sobre un plano inclinado depende del ángulo al cual se encuentre el plano, de manera que:

Para tener una idea de cómo depende el tiempo de caída con el ángulo del plano inclinado te proponemos ver el siguiente ejemplo: Una canica sobre un plano inclinado 1. Supongamos que tenemos una canica a una altura de 4.9 m y la soltamos en caída libre. ¿Cuál es el tiempo de caída de la canica?

Ya vimos que este tiempo es el mínimo (pues se trata de una caída libre). Ahora, te presentamos la siguiente tabla con los valores del tiempo de caída de la canica a diversos ángulos de inclinación del plano: Ángulo de inclinación (grados)

Tiempo (s)

90 75 60 45 30 15 10 5 4 3 2 1 0

1.000 1.035 1.155 1.414 2.000 3.864 5.759 11.474 14.336 19.107 28.654 57.299 ∞

¿Qué pasa cuando el ángulo se hace más pequeño? Reflexiona un poco. Observaste que conforme el ángulo entre el plano y la horizontal se va haciendo cada vez menor, el tiempo va aumentando y como ya lo vimos para los casos extremos, si α = 90° estamos ante una caída libre (demora un segundo) y si α = 0°, estamos en el caso en que la canica está sobre una superficie horizontal y nunca cae (t α= ∞). De esta forma (con una caída retardada) fue como Galileo pudo analizar con detalle la caída de los cuerpos y se dio cuenta que el objeto recorre en un segundo más distancia de la que había recorrido el segundo anterior debido a que adquiere más velocidad conforme transcurre el tiempo (a lo cual llamó aceleración). Este caso es un ejemplo del MUA y será más interesante cuando se analice con funciones cuadráticas y sus gráficas correspondientes. De nuevo con el balón de fútbol Con lo que ya conoces del movimiento uniformemente acelerado y de las funciones cuadráticas, retomemos el ejemplo del balón de fútbol que efectúa un recorrido sobre el césped, por lo que se genera una fuerza de fricción entre ambas superficies que provoca una disminución en la velocidad inicial de 14 m/s que llevaba el balón cuando comenzó el conteo del reloj. Recuperemos la tabla de valores que relaciona el tiempo y la distancia que recorre el esférico, con la pretensión de obtener la función que modela este movimiento. Tiempo (s) 0 1 2 3 4

Distancia (m) 0 12.5 22 28.5 32

¿Qué tenemos que hacer para saber si se trata de un MRU o de un MUA?, ¿cómo podemos encontrar la función que lo representa? Llena la columna que proporciona el cambio de la distancia en relación con el tiempo ( ). Como en este caso los valores de t son consecutivos, tenemos que ∆t = 1 y puedes omitir las divisiones calculando solamente ∆d = df -di

Como la velocidad NO es constante, significa que en este movimiento está presente la aceleración. Si se trata de un MUA, la aceleración debe ser constante. ¿Es así? ¿Cuánto vale?

Vamos por el modelo matemático Al calcular los cambios de la velocidad, y “dividirlos” entre ∆t = 1 obtienes la aceleración por unidad de tiempo. Como el resultado es siempre a =–3, podemos utilizar las fórmulas para el MUA, como lo hicimos en un ejemplo anteriormente cuando analizamos la variación cuadrática.

Recuerda que para la distancia tenemos: Aquí, a representa la aceleración (constante) del objeto en movimiento, V0 la velocidad inicial (cuando t=0, es decir la que lleva cuando se inicia el conteo del reloj) mientras que d0 representa la distancia inicial (cuando t=0). De los datos que nos proporcionaron sabemos que al iniciarse el conteo del reloj, el balón se desplazaba con una velocidad V0 = 14 m/s y de la tabla vemos que para t=0 la distancia recorrida también es cero, por lo que, d0 = 0. Sustituyendo los valores que tenemos, el modelo matemático que describe el movimiento del esférico es: ¿Qué puedes decir de la gráfica de ésta función cuadrática? Recuerda los elementos en los que nos apoyábamos para construir un bosquejo de la gráfica a partir de los parámetros. Es muy importante que te tomes unos momentos para hacerlo, ya que sólo así tendrás un aprendizaje verdadero y requerirás de estos conocimientos en diversos temas y asignaturas. Si consideramos sólo matemáticamente la función d = -1.5t2 + 14t, olvidándonos a que situación representa, su gráfica sería la siguiente. ¿Coincide con tu bosquejo?

Sin embargo, sabemos que el balón se detuvo debido a la fuerza de fricción al entrar en contacto con el pasto; y en la gráfica se aprecia que recorre una cierta distancia y luego regresa al punto de partida, como sucede con el tiro vertical que ya trabajamos. Si el balón se detiene, la distancia YA no debe cambiar, es decir, ni aumenta ni disminuye; es constante. En una gráfica el hecho que la variable dependiente sea constante se refleja por medio de una recta paralela al eje x. Así es que A PARTIR de un punto de la parábola, correspondiente al instante en que el balón se detiene, requerimos que la gráfica de esta situación sea una recta horizontal. ¿Cuál debe ser ese momento especial? Mejorando el modelo matemático Para encontrar el momento en que el balón se detiene tenemos varios caminos. Uno de ellos es recurrir a la función que nos da la velocidad, ya que cuando la velocidad es cero, el movimiento se detiene. También podemos localizar el vértice de la parábola, ya que como se vio en tiro vertical, es en el vértice donde la velocidad vale cero. ¿Qué camino prefieres? Veamos en cada caso cuáles son las fórmulas y el procedimiento que requerimos utilizar.

La fórmula para la velocidad en un MUA es: v = at + v0. Donde a es la aceleración, en este caso a = -3 m/s2 y v0 es la velocidad inicial, en este caso v0 = 14 m/s. Así, nuestro modelo para la velocidad es: v = -3t +14. ¿Para qué valor de t, la velocidad es cero? Hay que resolver la ecuación 0 = -3t + 14.

Así tenemos que . (Recuerda que cuando un decimal se repite indefinidamente, expresamos este hecho con un tilde sobre la cifra repetida).

Las coordenadas del vértice de un parábola las encontramos con: En estas fórmulas a, b y c son los parámetros de la función cuadrática respectiva. En nuestro caso, como d = -1.5t2 + 14t, tenemos que a= –1.5, b=14 y c=0. Para hallar el vértice sólo hay que sustituir esos valores en las fórmulas. Al hacerlo tenemos:

Interpretando resultados Veamos lo que nos informan los resultados que encontramos: En el primer camino que seguimos para encontrar el instante en que el balón se detiene, esto sucede cuando ya que en ese momento la velocidad es cero. Mientras que al obtener las coordenadas del vértice encontramos que éste es:

Como la función nos

relaciona el tiempo con la distancia, las coordenadas del vértice nos dicen que en el momento recorrida por el balón es de

, la distancia

metros.

Nota que en ambos caminos, el valor de t es el mismo. Con ello, ya sabemos que el balón estuvo en movimiento durante segundos, momento en el que había recorrido metros. A partir de ahí, como la distancia es constante la gráfica debe ser una recta paralela al eje x, como habíamos comentado. Haz una imagen mental de cómo quedará la gráfica que representa el movimiento del balón. ¿Ya lo tienes?

,

La parte de la parábola que aparece en azul, NO corresponde al movimiento del balón que estamos modelando. Por ello, debe ser sustituida por la recta paralela al eje x, la cual nos indica que si el reloj sigue registrando lo que sucede con el esférico, éste permanece a

metros del lugar del que partió a una velocidad inicial de 14 m/s.

Analicemos la aceleración negativa ¿Qué significa que la aceleración sea negativa? Ya hemos comentado que la aceleración es el CAMBIO de la velocidad respecto al tiempo, por lo que si ésta es negativa implica que la velocidad VA DISMINUYENDO. Por ello, la distancia que recorre el balón en cada intervalo de tiempo, ∆t, debe ser cada vez menor, como pudimos apreciar en la tercera columna de la tabla que trabajamos inicialmente. Recuperémosla: Tiempo t en segundos 0 1 2 3 4

Distancia d en metros 0 12.5 22 28.5 32

∆d 12.5 9.5 6.5 3.5

¿Cómo se refleja este hecho en la gráfica? Es decir ¿cómo vemos que los cambios de la distancia son cada vez menores? Recurramos a localizar en ella los cambios en la distancia (∆d). Obtengamos conclusiones Ya sabíamos que en un MUA, cuando la aceleración es negativa, su gráfica es una parábola que se abre hacia abajo. Ahora veremos en la gráfica que modela el movimiento del balón, cómo se aprecia que al ir frenando, la distancia que se recorre en cada intervalo de tiempo de un segundo (∆t = 1 ) va siendo cada vez menor, hasta el instante detiene y permanece a

en el que el balón se

metros del lugar del que partió.

Observa en la gráfica los segmentos en color verde y línea continua que corresponden a la distancia recorrida en cada segundo (∆d).

Te habíamos comentado anteriormente, que las tablas, las gráficas y las expresiones algebraicas son distintos tipos de modelos. Cada uno nos permite representar la información de distinta manera, pero deben de coincidir en ella. Sin lugar a duda, se tiene mayor riqueza cuando podemos combinar tablas, gráficas y fórmulas al modelar una situación o fenómeno determinado. Esto es lo que hemos hecho en el ejemplo del balón en el que la Física y la Matemática se dan la mano para representar y explicar un hecho tan cotidiano como una pelota que rueda por el césped de un parque. Esperamos que te haya gustado.