Predicciones de indicadores socioecon´ omicos Yannira Ch´ avez £ , Patricia Cortez £,§,†

§

y Lilia Quituisaca

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Direcci´ on de Estudios Anal´ıticos Estad´ısticos, An´ alisis Estad´ıstico Estructural y Causal £ § ‡

[email protected], [email protected], [email protected].

Resumen

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La presente investigaci´ on muestra un an´ alisis basado en modelos univariados de series de tiempo para predecir algunos indicadores socio-econ´ omicos del pa´ıs. Se han utilizado modelos Autorregresivos Integrados de Medias M´ oviles (ARIMA) debido a la sencillez del mecanismo de identificaci´ on, estimaci´ on y predicci´ on que los caracteriza. Para tal efecto se recurri´ o a las bases de datos de la Encuesta de Empleo, Desempleo y Subempleo (ENEMDU), que constituye el principal insumo para el c´ alculo de los indicadores analizados; ´esta cuenta con una periodicidad trimestral y cobertura nacional urbana. Adicionalmente, otra fuente de informaci´ on es la serie hist´ orica de ´Indices de Precios al Consumidor.

Abstract

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Palabras clave: serie de tiempo, ARIMA, predicci´ on.

Keywords: time series, ARIMA, forecasting. JEL Codes: C22, C53.

Introducci´ on

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1.

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This research shows a univariate analysis based on time series to predict socioeconomic indicators of the country. Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) models have been used because of the simplicity of the mechanism for identification, estimation and prediction which characterizes them. To this end was used databases from the Encuesta de Empleo, Desempleo y Subempleo (ENEMDU), which is the main input for the calculation of the indicators analyzed, it has a quarterly urban and national coverage. Additionally, another source information is the historical series Consumer Price Index.

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Este trabajo muestra un an´ alisis de los indicadores macroecon´omicos y sociales basados en tres ´mbitos. El primero de ellos trata acerca del ´Indice de Precios al Consumidor, del cual se deriva la a inflaci´ on. El segundo se refiere al mercado laboral, el cual se describe a partir del comportamiento de la tasa de desempleo, subempleo urbano y Poblaci´on Econ´omicamente Activa. En un tercer ´ambito se analiza la pobreza y desigualdad en base al porcentaje de pobreza por ingreso y coeficiente de Gini, respectivamente. Se utiliza an´alisis univariado de series de tiempo de cada uno de los indicadores a partir de lo cual se plantean proyecciones. Predecir algunos indicadores socioecon´omicos es relevante, debido a que facilita la evaluaci´ on macroecon´ omica, la toma de decisiones y su estrecho v´ınculo con el desarrollo del pa´ıs. En este sentido, los indicadores publicados por el Instituto Nacional de Estad´ıstica y Censos (INEC) permiten medir la evoluci´ on de la actividad econ´omica. Del mismo modo, la disponibilidad de proyecciones es fundamental para cualquier proceso de pol´ıticas p´ ublicas, como una herramienta para la planificaci´ on socioecon´ omica. El documento se estructura de la siguiente forma: la secci´on 2 muestra el marco te´orico que exhibe los principales modelos de predicci´on de series de tiempo, la secci´on 3 muestra los datos utilizados y los modelos seleccionados para cada caso, la secci´on 4 presenta los resultados obtenidos y, finalmente, la secci´ on 5 enumera las principales conclusiones.

1

2.

Marco Te´ orico

2.1.

Series de tiempo

Una serie tiempo es una secuencia de observaciones, medidas en determinados momentos del tiempo, ordenados cronol´ ogicamente y, espaciados entre s´ı de manera uniforme, de modo que los datos usualmente son dependientes entre s´ı. El principal objetivo de una serie de tiempo Xt , donde t = 1, 2, · · · , n, es su an´ alisis para realizar predicciones. El an´ alisis cl´ asico de las series temporales se basa en la suposici´on de que los valores que toma la variable Xt es la consecuencia de por lo menos unos de los siguientes cuatro componentes: 1. Tendencia secular. Es la conducta a largo plazo de la variable durante un periodo de longitud prolongada. 2. Variaci´ on estacional. Son patrones que tienden a ocurrir de nuevo, regularmente, cada periodo por la misma ´epoca.

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3. Variaci´ on c´ıclica. Son variaciones por encima y por debajo de la tendencia a largo plazo, durante un periodo prolongado de tiempo.

As´ı, se puede denotar la serie de tiempo como

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4. Variaci´ on aleatoria. Se produce por sucesos inusuales, que producen movimientos sin un patr´ on apreciable.

Xt = Tt + Et + Ct + It ,

(1)

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donde Tt es la dentencia, Et es la componente estacional, Ct es la componente c´ıclica e It es la componente aleatoria. Con frecuencia es u ´til descomponer una serie de tiempo desglosando cada uno de sus cuatro componentes para poder examinarlos individualmente. La tendencia hist´orica puede reflejar patrones pasados de comportamiento, permitiendo discernir los movimientos a largo plazo. Adicionalmete, las series temporales pueden clasificarse en:

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Estacionarias. Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Esto se refleja gr´aficamente en que los valores de la serie tienden a oscilar alrededor de una media constante y la variabilidad con respecto a esa media tambi´en permanece constante en el tiempo.

2.2.

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No estacionarias. Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los cambios en la media determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante.

Procesos estoc´ asticos

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Intuitivamente, un proceso estoc´astico se describe como una secuencia de datos que evolucionan en el tiempo. Las series temporales se definen como un caso particular de los procesos estoc´asticos. Proceso estoc´ astico estacionario. Un proceso estoc´astico se dice que es estacionario si su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza entre dos periodos depende solamente de la distancia entre estos dos periodos de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza. En otras palabras, la media, la varianza y la autocovarianza (en diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento en el cual se midan; es decir, son invariantes respecto al tiempo. Ruido blanco. Es un caso simple de los procesos estoc´asticos, donde los valores son independientes e id´enticamente distribuidos a lo largo del tiempo con media cero y varianza constante, se denota por εt . Camino aleatorio. Es un proceso estoc´astico Xt , donde la primera diferencia de ´este es un ruido blanco, esto es ∇Xt = εt . 2

2.3.

Autocorrelaci´ on

En ocasiones los valores que toma una variable no son independientes entre s´ı, sino que un valor determinado depende de los valores anteriores, existen dos formas de medir esta dependencia de las variables. Funci´ on de Autocorrelaci´ on (ACF). Mide la correlaci´on entre dos variables separadas por k periodos. cov(Xj , Xj−k ) . (2) ρj = corr(Xj , Xj−k ) = p V (Xj )V (Xj−k ) Funci´ on de Autocorrelaci´ on Parcial (PACF). Mide la correlaci´on entre dos variables separadas por k periodos cuando no se considera la dependencia creada por los retardos intermedios existentes entre ambas. bj , Xj−k − X bj−k ) cov(Xj − X . (3) πj = q bj )V (Xj−k − X bj−k ) V (Xj − X

k=1

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Prueba de Ljung-Box. Permite probar en forma conjunta de que todos los coeficientes de autocorrelaci´ on son simult´ aneamente iguales a cero, esto es que son independientes, est´a definida como  m  X ρ2k , (4) LB = n(n + 2) n−k donde, m es la longitud del rezago; y sirve para contrastar la hip´otesis nula de que las autocorrelaciones son independientes.

Procesos lineales estacionarios

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2.4.

Proceso Autoregresivos AR(p). Se basan en la idea de que el valor actual de la serie, Xt , puede explicarse en funci´ on de p valores pasados Xt−1 , Xt−2 , · · · , Xt−p , donde p determina el n´ umero de rezagos necesarios para pronosticar un valor actual. El modelo autoregresivo de orden p est´a dado por: Xt = φ0 + φ1 Xt−1 + φ2 Xt−2 + · · · + φp Xt−p + εt .

(5)

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Proceso de Medias M´ oviles MA(q). Estos modelos suponen linealidad, el valor actual de la serie, Xt , est´ a influenciado por los valores de una fuente externa. El modelo de promedio m´ oviles de orden q est´a dado por: (6)

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Xt = θ0 − θ1 εt−1 − θ2 εεt−2 − · · · − θq εt−q − εt .

Proceso Autoregresivo de Medias M´ oviles ARMA(p,q). Es muy probable que una serie de tiempo, Xt , tenga caracter´ısticas de AR y de M A a la vez. As´ı, Xt sigue un proceso ARM A(p, q), en este proceso habr´ a p t´erminos autoregresivos y q t´erminos de media m´ovil.

Procesos Lineales no Estacionarios

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2.5.

Proceso Autoregresivo Integrado de Medias M´ oviles ARIMA(p,d,q). Los modelos de series de tiempo analizados hasta ahora se basan en el supuesto de estacionariedad, es decir, la media y la varianza son constantes en el tiempo y la covarianza es invariante en el tiempo. Pero se sabe que muchas series de tiempo no son estacionarias, porque pueden ir cambiando de nivel en el tiempo o sencillamente la varianza no es constante en el tiempo, a este tipo de proceso se les considera procesos integrados. Por consiguiente, se debe diferenciar una serie de tiempo d veces para hacerla estacionaria y luego aplicar a esta serie diferenciada un modelo ARM A(p, q), se dice que la serie original es ARIM A(p, d, q), es decir, una serie de tiempo autoregresiva integrada de media m´ ovil. Donde p denota el n´ umero de t´erminos autoregresivos, d el n´ umero de veces que la serie debe ser diferenciada para hacerla estacionaria y q el n´ umero de t´erminos de la media m´ ovil invertible. 3

La construcci´ on de los modelos ARIM A(p, d, q) se lleva de manera iterativa mediante un proceso de cuatro etapas: Identificaci´ on. Utilizando los datos ordenados cronol´ogicamente se intentara sugerir un modelo ARIM A(p, d, q) que merezca la pena ser investigado, para determinar los valores p, d y q que sean apropiados para reproducir la serie de tiempo. En esta etapa es posible identificar m´ as de un modelo candidato que pueda describir la serie. Estimaci´ on. Considerando el modelo apropiado para la serie de tiempo se realiza una inferencia sobre los par´ ametros. Validaci´ on. Se realiza un contraste de diagn´ostico para validar si el modelo seleccionado se ajusta a los datos, si no es as´ı, escoger el pr´oximo modelo candidato y repetir los pasos anteriores. Predicci´ on. Una vez seleccionado el mejor modelo candidato ARIM A(p, d, q) se pueden hacer pron´ osticos en t´erminos probabil´ısticos de los valores futuros.

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Proceso Estacional Autoregresivo Integrado de Medias M´ oviles ARIMA(p,d,q)(P,D,Q). Cuando una serie de tiempo en estudio tiene intervalos de observaci´on menores a un a˜ no, entonces es frecuente que estas tengan variaciones ´o patrones sistem´aticos cada cierto periodo, estas varia´ ciones sistem´ aticas pueden ser semestrales, mensuales, diarias, etc. Estas deben ser captadas en los llamados Factores Estacionales, dentro de la estructura del modelo a construirse. Las series de tiempo estacionales pueden ser de dos tipos:

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Aditivas Multiplicativas

Y, al mismo tiempo, cada una de estas series puede ser estacionaria o no estacionaria. Usualmente se presentan con mayor frecuencia los modelos multiplicativos, de esta manera se combinan t´erminos ordinarios del proceso ARM A y t´erminos estacionales, as´ı como diferencias regulares y diferencias estacionales para transformar en series estacionarias. Este tipo de procesos tienen las siguientes caracter´ısticas:

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Contiene una componente ARIM A(p, d, q) que modela la dependencia regular, que es la dependencia asociada a observaciones consecutivas.

2.6.

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Contiene una componente ARIM A(P, D, Q) que modela la dependencia estacional, que est´ a asociada a observaciones separadas por s periodos.

Protocolo para la identificaci´ on de los modelos ARIMA y ARIMA estacional

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Identificaci´ on. Representar gr´aficamente la serie, adem´as de su funci´on de autocorrelaci´ on simple (ACF) y funci´ on de autocorrelaci´on parcial (PACF). La gr´afica de la serie nos indica si la serie es estacionaria o no. Seg´ un los motivos por los que la serie no es estacionaria, se tendr´ a que aplicar, los siguientes procedimientos hasta hacerla estacionaria. Si tiene tendencia: Tomaremos diferencias regulares hasta que desaparezca. Normalmente el orden de la diferencia es 1, y raramente ser´a mayor a 3. Si la serie tiene estacionalidad: Tomaremos diferencias estacionales hasta que desaparezca el patr´ on estacional. En la pr´actica es muy raro tener que aplicar m´as de una diferencia estacional. Si es heteroced´ astica, es decir, no tiene varianza constante, habr´a que transformar la serie. Con tomar el logaritmo en muchos casos es suficiente, aunque existen algunas transformaciones m´ as sofisticadas, como las de Box-Cox. 4

Una vez que el gr´ afico de la nueva serie (transformaci´on de la original) indica que es estacionaria, podemos intentar deducir la estructura de la serie (¡no la de la serie original!) observando su ACF y PACF. Estimaci´ on y verificaci´ on. Observando las dos gr´aficas del ACF y PACF de la serie transformada se puede percibir una idea del modelo que describe la serie, o al menos de cu´ales son los primeros candidatos que se deben probar. Para comprobar anal´ıticamente (no visualmente) un modelo, frecuentemente, se ajusta varios modelos candidatos ARIM A(p, d, q) y se escoge como un buen modelo aquel que tenga los residuales semejantes al de un ruido blanco, adem´as que tenga los valores del Criterio de Informaci´on de Akaike (AIC) y Criterio de Informaci´on Bayesiana (BIC) menores con relaci´ on al resto de los modelos candidatos. Predicci´ on. Una de las razones de la popularidad del proceso de construcci´on de modelos ARIM A es su ´exito en la predicci´on. Los modelos ARIM A son buenos para realizar predicciones a corto plazo.

3.1.

Modelaci´ on ´Indice de Precios al Consumidor (IPC)

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3.

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Para conocer la serie en forma global y resumida, es necesario realizar la gr´afica de los datos originales, por lo que en la figura 1, se presenta la serie original del ´Indice de Precios al Consumidor (IPC) de forma mensual, los datos utilizados se pueden ver en el Anexo A, desde enero del a˜ no 1969 hasta noviembre del a˜ no 2012.

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Figura 1: Datos de la serie del ´Indice de Precios al Consumidor mensuales.Elaboraci´on propia. En la figura 1 se puede observar que la serie del IPC no presenta claramente cada cierto per´ıodo valores que mas elavados que otros, adem´as se observa una ligera tendencia. Para poder confirmar lo observada a trav´es de esta figura se realiza la figura 2 en la que se presenta las autocorrelaciones y las autocorrelaciones parciales.

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r pe pa Figura 2: FAC y FACP estimadas del IPC mensuales. Elaboraci´on propia.

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En la figura 2, no se observa valores alrededor de 12 y 24 sean grandes, por lo que no se requiere una diferenciaci´ on estacional de orden 12; es decir, D = 1. Pero si sugiere una diferenciaci´ on no estacional de orden 1, pues los primeros valores de la funci´on son significativamente grandes, por lo cual gr´ aficamente sugiere realizar una diferenciaci´on no estacional de la serie (d=0). En las figuras 3 y 4 se presenta, la serie diferenciada no estacionalmente y las autocorrelaciones respectivamente, realizando previamente la transformaci´on logar´ıtmica de los datos, para evitar problemas con la varianza de los datos.

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Figura 3: Serie del IPC mensual, con una diferencia no estacional del logaritmo . Elaboraci´ on propia.

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En la figura 3 se observa claramente que cambia la serie en relaci´on a la figura 1, ya que desaparecen la tendencia que presentaba.

Figura 4: FAC y FACP estimadas del IPC mensual con una diferencia no estacional del logaritmo. Elaboraci´ on propia.

Observando las autocorrelaciones y las autocorrelaciones parciales en la figura 4 se observa que ya no se presenta un decrecimiento acelerado por lo que no se presume necesite otra diferenciaci´ on 7

no estacional. Resulta necesario asegurar de que todas las variables usadas sean estacionarias por diferenciaci´ on o bien, removiendo la tendencia, y a continuaci´on usar los procesos estacionarios resultantes para estimar la ecuaci´ on de inter´es. Las pruebas de ra´ız unitaria verifican si la variable es estacionaria en diferencia comparada con si es estacionaria, y en consecuencia puede contribuir a evitar problemas de subestimaci´ on o sobreestimaci´on en las predicciones. Prueba de Dickey-Fuller 

H0 : τ = 0 H1 : τ < 0

Area de rechazo: w=τ |−2, 87| (al 5 % de confianza), de esta manera la prueba sugiere no realizar una diferenciaci´on no estacional, adem´as se observa que la significancia de las variables son significativas estad´ısticamente al 95 % de confianza. Es decir, la decisi´ on es de rechazar la hip´ otesis nula (H0 ) que la serie es no estacionaria, determinando de este modo que

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no se debe realizar una diferenciaci´on no estacional extra en la serie, d=0, confirmando lo que se obtuvo de manera gr´ afica.

3.2.

Tasa de desempleo

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Tasa de desempleo 7,38 % 7,06 % 6,07 % 6,86 % 6,39 % 7,06 % 7,31 % 8,60 % 8,34 % 9,06 % 7,93 % 9,09 % 7,71 % 7,44 % 6,11 % 7,04 % 6,36 % 5,52 % 5,07 % 4,88 % 5,19 % 4,60 %

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Fecha junio 2007 septiembre 2007 diciembre 2007 marzo 2008 junio 2008 septiembre 2008 diciembre 2008 marzo 2009 junio 2009 septiembre 2009 diciembre 2009 marzo 2010 junio 2010 septiembre 2010 diciembre 2010 marzo 2011 junio 2011 septiembre 2011 diciembre 2011 marzo 2012 junio 2012 septiembre 2012

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La tasa de desempleo, en Ecuador, se calcula con periodicidad trimestral y cobertura nacional urbana; mientras que la periodicidad semestral tiene cobertura nacional urbano-rural. La fuente de informaci´ on la constituye la ENEMDU. La metodolog´ıa actual de c´alculo de la tasa de desempleo se encuentra vigente desde junio de 2007. Dados estos antecedentes, se opt´o por modelar la tasa de desempleo de periodicidad trimestral, ya que se cuenta con un n´ umero apropiado de observaciones. En primer lugar, se presentan los datos y su representaci´ on gr´ afica, con el objeto de identificar si la serie es o no estacionaria (ver Cuadro 2 y Figura 13).

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Cuadro 2: Tasa de desempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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Figura 5: Tasa de desempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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A simple vista, se observa que la serie no presenta estacionalidad. Por otra lado, la estacionariedad tambi´en puede detectarse a trav´es de las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´ on parcial. El correlograma constituye un instrumento de an´alisis para este objetivo (ver Figura bla bla). Se observa que todos los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos, es decir, distintos de cero. Puesto que los coeficientes de la ACF no decaen r´apidamente, se tiene una evidencia de que la serie no tiene estacionariedad, en particular, la serie presenta tendencia lineal. Por tal motivo, se procedi´ o a atenuar la estacionariedad tomando la primera diferencia de la serie original, es decir, la serie es integrada de primer orden. Con esta transformaci´on se supera la falta de estacionariedad en la serie.

Figura 6: Correlograma de la Tasa de desempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Adicionalmente, al aplicar el test de Dickey-Fuller a los datos, se observa que es estacionaria con cero rezagos e integrada de orden uno. Por ende, el modelo a aplicarse en la serie es un ARIMA(0,1,0).

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3.3.

Tasa de subempleo

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Figura 7: Test de Dickey-Fuller de la Tasa de desempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´ on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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Al igual que la tasa de desempleo, la tasa de subempleo, se calcula con periodicidad trimestral y cobertura nacional urbana; mientras que la periodicidad semestral tiene cobertura nacional urbano-rural. Para la obtenci´ on de los datos, se ha hecho uso de la ENEMDU a partir de junio de 2007.

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Por tal motivo, se opt´ o por modelar la tasa de subempleo de periodicidad trimestral, ya que cuenta con mayor n´ umero de observaciones. En primer lugar, se presentan los datos y su representaci´ on gr´ afica, con el objeto de identificar si la serie es o no estacionaria (ver Cuadro 3 y Figura 8).

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Tasa de subempleo 53,73 % 51,88 % 50,23 % 52,27 % 50,13 % 51,43 % 48,78 % 51,90 % 51,61 % 51,66 % 50,48 % 51,34 % 50,42 % 49,60 % 47,13 % 49,97 % 46,74 % 45,71 % 44,22 % 43,90 % 42,96 % 42,28 %

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Fecha junio 2007 septiembre 2007 diciembre 2007 marzo 2008 junio 2008 septiembre 2008 diciembre 2008 marzo 2009 junio 2009 septiembre 2009 diciembre 2009 marzo 2010 junio 2010 septiembre 2010 diciembre 2010 marzo 2011 junio 2011 septiembre 2011 diciembre 2011 marzo 2012 junio 2012 septiembre 2012

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Cuadro 3: Tasa de subempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Figura 8: Tasa de subempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Se observa que la serie no presenta estacionalidad. Por otra lado, la estacionariedad se detecta a trav´es de las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´on parcial. El correlograma constituye un instrumento de an´ alisis para este objetivo (ver Cuadro bla bla y Figura bla bla). Se observa que todos los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos, es decir, distintos de cero.

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Puesto que los coeficientes de la ACF no decaen r´apidamente, se tiene una evidencia de que la serie no tiene estacionariedad, en particular, la serie presenta tendencia lineal. Por tal motivo, se procedi´ o a atenuar la estacionariedad tomando la primera diferencia de la serie original, es decir, la serie es integrada de primer orden. Con esta transformaci´on se supera parcialmente la falta de estacionariedad en la serie. Por tal motivo se aplica una autorregresi´on de orden uno.

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Figura 9: Correlograma de la Tasa de subempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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Adicionalmente, al aplicar el test de Dickey-Fuller a los datos, se observa que es estacionaria con un rezago e integrada de orden uno. Por ende, el modelo a aplicarse en la serie es un ARIMA(1,1,0).

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r pe pa

Figura 10: Test de Dickey-Fuller de la Tasa de subempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´ on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

3.4.

Poblaci´ on Econ´ omicamente Activa (PEA)

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La Poblaci´ on Econ´ omicamente Activa se calcula con periodicidad trimestral y cobertura nacional urbana; mientras que la periodicidad semestral tiene cobertura nacional urbano-rural. Para la obtenci´ on de los datos, se ha hecho uso de la ENEMDU a partir de junio de 2007. Puesto que se cuenta con m´ as datos en la cobertura nacional urbana, se opt´o por modelar la PEA de periodicidad trimestral. En primer lugar, se presentan los datos y su representaci´ on gr´ afica, con el objeto de identificar si la serie es o no estacionaria (ver Cuadro 4 y Figura 11).

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PEA 4574821 4585044 4293138 4487454 4513775 4552734 4383512 4554517 4582177 4445659 4431196 4601165 4450300 4509076 4342647 4456993 4407498 4418150 4453985 4637828 4601299 4514323

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Fecha junio 2007 septiembre 2007 diciembre 2007 marzo 2008 junio 2008 septiembre 2008 diciembre 2008 marzo 2009 junio 2009 septiembre 2009 diciembre 2009 marzo 2010 junio 2010 septiembre 2010 diciembre 2010 marzo 2011 junio 2011 septiembre 2011 diciembre 2011 marzo 2012 junio 2012 septiembre 2012

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Cuadro 4: PEA nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Figura 11: PEA nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Se observa que la serie no presenta estacionalidad. Por otra lado, la estacionariedad se detecta a trav´es de las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´on parcial. El correlograma constituye un instrumento de an´ alisis para este objetivo (ver Cuadro bla bla y Figura bla bla). Se observa que todos los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos, es decir, distintos de cero. Este an´ alisis permite observar que la serie por s´ı sola es estacionaria, es decir, no necesita ninguna 15

transformaci´ on.

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Figura 12: Correlograma de la PEA nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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Al aplicar el test de Dickey-Fuller a los datos se comprueba lo dicho. Sin embargo, con el objeto de suavizar los picos que muestra la serie se opt´o por aplicar una media m´ovil de orden 2. Por ende, el modelo a aplicarse en la serie es un ARIMA(0,0,2).

Figura 13: Test de Dickey-Fuller de la PEA nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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3.5.

Tasa de pobreza por ingreso

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jun-07 sep-07 dic-07 mar-08 jun-08 sep-08 dic-08 mar-09 jun-09 sep-09 dic-09 mar-10 jun-10 sep-10 dic-10 mar-11 jun-11 sep-11 dic-11 mar-12 jun-12 sep-12

Tasa de pobreza por ingreso urbano nacional ( %) 22,42 21,99 24,33 25,16 23,29 22,01 22,62 23,56 21,82 25,54 25,00 22,60 22,91 22,71 22,45 21,46 19,27 18,18 17,36 16,03 15,29 16,30

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Trimestre

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La tasa de pobreza por ingreso, en Ecuador, se calcula con periodicidad trimestral a nivel nacional urbana; mientras que la periodicidad es semestral a nivel nacional rural. La fuente de informaci´ on la constituye la ENEMDU. La metodolog´ıa actual de c´alculo de la tasa de pobreza por ingreso est´ a vigente desde junio de 2007. Para el c´ alculo de la proyercci´on se utiliza la tasa de pobreza por ingreso nacional urbana de periodicidad trimestral. Al realizar la representaci´on gr´afica (Figura 16) de la serie de datos (Cuadro 6), se identifica que la serie no es estacionaria.

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Cuadro 5: Tasa de pobreza por ingreso nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

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Para detectar la estacionalidad de la serie aplicamos las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´ on parcial.

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Figura 14: FAC y FACP estimadas de la tasa de pobreza nacional urbana. Fuente: Elaboraci´ on propia.

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Los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos (figura 17). Se presenta un decrecimiento no acelerado de los coeficientes de la ACF por lo que se presume necesite una diferencia de primer orden para superar la falta de estacionalidad de la serie. Adicionalmente se procede a realizar la prueba de ra´ıces unitarias (Dickey-Fuller) para verificar si la variable es estacionaria.

Figura 15: Prueba Dickey-Fuller 2. Fuente: Elaboraci´on propia.

Al realizar la primera diferencia con cero rezagos (Figura 19) se puede observar que | − 4, 41| > | − 2, 68| (al 1 % de confianza), | − 1, 95| (al 5 % de confianza) y | − 1, 61| (al 10 % de confianza), adem´ as se observa que la significancia de las variables son significativas estad´ısticamente al 95 %

18

de confianza. Por lo tanto queda deteterminando la primera diferencia no estacional (d=1). De acuerdo a los resultados de las pruebas realizadas se aplica ARIMA(0,1,0).

3.6.

Tasa de pobreza por ingreso

ki

pe

ng

jun-07 sep-07 dic-07 mar-08 jun-08 sep-08 dic-08 mar-09 jun-09 sep-09 dic-09 mar-10 jun-10 sep-10 dic-10 mar-11 jun-11 sep-11 dic-11 mar-12 jun-12 sep-12

Tasa de pobreza por ingreso urbano nacional ( %) 22,42 21,99 24,33 25,16 23,29 22,01 22,62 23,56 21,82 25,54 25,00 22,60 22,91 22,71 22,45 21,46 19,27 18,18 17,36 16,03 15,29 16,30

pa

Trimestre

r

La tasa de pobreza por ingreso, en Ecuador, se calcula con periodicidad trimestral a nivel nacional urbana; mientras que la periodicidad es semestral a nivel nacional rural. La fuente de informaci´ on la constituye la ENEMDU. La metodolog´ıa actual de c´alculo de la tasa de pobreza por ingreso est´ a vigente desde junio de 2007. Para el c´ alculo de la proyercci´on se utiliza la tasa de pobreza por ingreso nacional urbana de periodicidad trimestral. Al realizar la representaci´on gr´afica (Figura 16) de la serie de datos (Cuadro 6), se identifica que la serie no es estacionaria.

Wo r

Cuadro 6: Tasa de pobreza por ingreso nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

19

r

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Figura 16: Tasa de pobreza por ingreso nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

ki

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pa

Para detectar la estacionalidad de la serie aplicamos las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´ on parcial.

Wo r

Figura 17: FAC y FACP estimadas de la tasa de pobreza nacional urbana. Fuente: Elaboraci´ on propia.

Los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos (figura 17). Se presenta un decrecimiento no acelerado de los coeficientes de la ACF por lo que se presume necesite una diferencia de primer orden para superar la falta de estacionalidad de la serie (resultados en figura 18).

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Figura 18: FAC y FACP estimadas de la tasa de pobreza nacional urbana con una diferencia de primer orden. Fuente: Elaboraci´ on propia.

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ki

ng

pa

pe

Adicionalmente se procede a realizar la prueba de ra´ıces unitarias (Dickey-Fuller) para verificar si la variable es estacionaria.

Figura 19: Prueba Dickey-Fuller 2. Fuente: Elaboraci´on propia.

Al realizar la primera diferencia con cero rezagos (Figura 19) se puede observar que | − 4, 41| > | − 2, 68| (al 1 % de confianza), | − 1, 95| (al 5 % de confianza) y | − 1, 60| (al 10 % de confianza), adem´ as se observa que la significancia de las variables son significativas estad´ısticamente al 95 % de confianza. Por lo tanto queda deteterminando la primera diferencia no estacional (d=1). De acuerdo a los resultados de las pruebas realizadas se aplica ARIMA(0,1,0).

21

3.7.

Coeficiente de Gini

pa

pe

Coeficiente de GINI 0,5230 0,5005 0,5222 0,4839 0,4972 0,5064 0,4828 0,4829 0,4895 0,5015 0,4823 0,4766 0,4976 0,4822 0,4866 0,4773 0,4736 0,4611 0,4413 0,4481 0,4471 0,4364

ng

Trimestre jun-07 sep-07 dic-07 mar-08 jun-08 sep-08 dic-08 mar-09 jun-09 sep-09 dic-09 mar-10 jun-10 sep-10 dic-10 mar-11 jun-11 sep-11 dic-11 mar-12 jun-12 sep-12

r

El coeficiente de Gini, en Ecuador, se calcula con periodicidad trimestral a nivel urbano. La fuente de informaci´ on la constituye la ENEMDU. La metodolog´ıa actual de c´alculo de la tasa de pobreza por ingreso est´ a vigente desde junio de 2007. Para el c´ alculo de la desigualdad econ´omica, la medici´on se asocia al ingreso (o al gasto) de las familias o personas a nacional urbano. Al realizar la representaci´on gr´afica (Figura 20) de la serie de datos (Cuadro 7), se identifica que la serie no es estacionaria.

Wo r

ki

Cuadro 7: Coeficiente de Gini. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

22

r pe

pa

Figura 20: ´Indice de Gini nacional urbano. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Wo r

ki

ng

Para detectar la estacionalidad de la serie aplicamos las funciones de autocorrelaci´on y autocorrelaci´ on parcial.

Figura 21: FAC y FACP estimadas del coeficiente de Gini nacional urbano. Fuente: Elaboraci´ on propia.

Los coeficientes estimados son estad´ısticamente significativos (figura 17). Se presenta un decrecimiento no acelerado de los coeficientes de la ACF por lo que se presume necesite una diferencia de primer orden para superar la falta de estacionalidad de la serie.

23

r pe

pa

Figura 22: Prueba Dickey-Fuller 2. Fuente: Elaboraci´on propia.

4.

ng

Al realizar la primera diferencia con cero rezagos (Figura 22), mediante la prueba de ra´ıces unitarias (Dickey-Fuller) se puede observar que | − 7, 36| > | − 2, 69| (al 1 % de confianza), | − 1, 95| (al 5 % de confianza) y | − 1, 60| (al 10 % de confianza), adem´as se observa que la significancia de las variables son significativas estad´ısticamente al 95 % de confianza. Por lo tanto queda deteterminando la primera diferencia no estacional (d=1). De acuerdo a los resultados de las pruebas realizadas se aplica ARIMA(0,1,0).

Resultados

´Indice de Precios al Consumidor (IPC)

ki

4.1.

Wo r

En la figura 4 de la serie diferenciada no estacionalmente (de orden 1), se observa que la autocorrelaci´ on estimada (FAC) tienen un comportamiento dando un patr´on en el que existe un mes m´ as alto y luego empieza el descenso, sugiriendo de esta manera se debe especificar un modelo autoregresivo. Al observar las autocorrelaciones parciales de orden 1,2 y 3 son significativamente diferentes de cero, por lo que se elige el coeficiente AR(3). Entonces con esta primera observaci´on se puede considerar como modelo inicial al siguiente:

SIP C(t) = c1 + c2 ∗ SIP C(t − 1) + c2 ∗ SIP C(t − 3)

donde,

SIPC: serie de ´Indice de Precios al Consumidor con una diferenciaci´on no estacional del logaritmo.

Los resultados que se obtienen del modelo 1 son:

24

r pe

Cuadro 8: Informaci´on estad´ıstica del Modelo 1. Elaboraci´on propia.

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ki

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pa

En el cuadro 8 se observa que los coeficiente obtenidos son significativos al 95 % por lo que este se toma como un modelo aceptable con los par´ametros incluidos. Es importante conocer como se encuentran los residuos del modelo, ya que depende de como est´en para saber si el modelo necesita ser modificado. En la figura 23, se muestra las autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales residuales.

25

r pe pa ng

Figura 23: FAC y FACP residuales estimadas del Modelo 1 para SIPC. Elaboraci´on propia. A partir de la figura 23, se observa que los residuos est´an correlacionados dos a dos, constatandose en los gr´ aficos y el estad´ıstico Q, con sus correspondientes p-valores, por lo que se hace necesario realizar una modificaci´ on del modelo.

Wo r

ki

La modificaci´ on planteada seria aumentar un coeficiente tanto en la parte de media m´ovil como en la autoregresiva de orden 12, pero la parte de media movil de orden 12 no fue significativa al 5 %.

26

r pe

pa

Cuadro 9: Informaci´on estad´ıstica del Modelo 2. Elaboraci´on propia.

Wo r

ki

ng

En el Cuadro 9 se tiene el modelo modificado de acuerdo a los residuos, siendo los coeficientes estimados estad´ısticamente significativos, existiendo la necesidad de evaluar nuevamente los residuos.

Figura 24: FAC y FACP residuales estimadas del Modelo 2 para SIPC. Elaboraci´on propia.

27

En la figura 24 se puede apreciar que los residuos han mejorado significativamente en relaci´ on a los obtenidos en la figura 24, por lo que el Modelo 2 obtenido se lo considera como un modelo final, para la serie de IPC.

pe

r

Se realiza las predicciones a trav´es del modelo que se obtiene, ya que este cumple con las verificaciones realizadas.

Figura 25: Estad´ısticos de la serie proyectada a trav´es del modelo 2. Elaboraci´on propia.

pa

En la figura 25 se puede observar los estad´ısticos que se obtienen sobre las predicciones realizadas y a la vez los valores de la serie que se predice con en el intervalo de confianza respectivamente. Se puede apreciar que los valores que se obtienen de la predicci´on se encuentran dentro del margen del error que se puede tener en la misma. A continuaci´ on, se presenta los valores de la predicci´on para diciembre 2012 y el primer trimestre del 2013. Predicciones Estimaci´ on Puntual 142,745 143,738 144,665 146,120

ng

Per´ıodo Diciembre 2012 Enero 2013 Febrero 2013 Marzo 2013

Intervalo de Confianza 138,600 146,889 139,593 147,882 140,520 148,809 141,975 150,264

Wo r

ki

Con el modelo desarrollado se puede tener tres escenarios para las predicciones del ´Indice General de Precios (IPC), las cuales se las presenta en la siguiente figura.

Figura 26: Escenarios de predicciones. Elaboraci´on propia.

En la figura 26 podemos observar tres casos que se podr´ıan presentar en la predicci´on del IPC, lo que se refiere a variaci´ on mensual, variaci´on anual y variaci´on acumulada, son una derivaci´ on del ´ındice.

28

4.2.

Tasa de desempleo

pe

r

Como se mencion´ o anteriormente, el modelo a aplicarse es un ARIMA(0,1,0). Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 27. De manera agregada se comprueba que los residuos siguen una distribuci´ on normal, es decir, representan un ruido blanco (ver Figura 28).

Wo r

ki

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Figura 27: Tasa de desempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Figura 28: Gr´ afico Q-Q de los residuos para la Tasa de desempleo. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

4.3.

Tasa de subempleo

El modelo a aplicarse es un ARIMA(1,1,0). Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 29. De manera agregada se comprueba que los residuos siguen una distribuci´on normal, es decir, 29

r

representan un ruido blanco (ver Figura 30).

Wo r

ki

ng

pa

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Figura 29: Tasa de subempleo nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Figura 30: Gr´ afico Q-Q de los residuos para la Tasa de subempleo. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

4.4.

Poblaci´ on Econ´ omicamente Activa (PEA)

En la secci´ on anterior se determin´o que el modelo a aplicarse es un ARIMA(0,0,2). Los resultados obtenidos se muestran en la Figura 31. De manera agregada se comprueba que los residuos siguen una distribuci´ on normal, es decir, representan un ruido blanco (ver Figura 32).

30

ki

ng

pa

pe

r

Figura 31: PEA nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Figura 32: Gr´ afico Q-Q de los residuos para la PEA. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Tasa de pobreza por ingreso nacional urbana

Wo r

4.5.

Los datos resultantes de la proyecci´on (ver cuadro 10 y figura 33). El gr´afico de residuos sigue una distribuci´ on normal, lo que representa un ruido blanco, seg´ un la figura 34).

31

r

Proyecci´ on tasa de pobreza por ingreso nacional urbanal ( %) 22,13 21,70 24,04 24,87 23,00 21,72 22,33 23,27 21,53 25,25 24,71 22,31 22,62 22,42 22,16 21,17 18,98 17,89 17,07 15,74 15,00 16,01 15,72

pe

jun-07 sep-07 dic-07 mar-08 jun-08 sep-08 dic-08 mar-09 jun-09 sep-09 dic-09 mar-10 jun-10 sep-10 dic-10 mar-11 jun-11 sep-11 dic-11 mar-12 jun-12 sep-12 dic-12 mar-13

Tasa de pobreza por ingreso nacional urbana ( %) 22,42 21,99 24,33 25,16 23,29 22,01 22,62 23,56 21,82 25,54 25,00 22,60 22,91 22,71 22,45 21,46 19,27 18,18 17,36 16,03 15,29 16,30 -

pa

Trimestre

Wo r

ki

ng

Cuadro 10: Tasa de pobreza por ingreso urbano nacional. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2013.

Figura 33: Proyecci´ on de la tasa de pobreza nacional urbana. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2013.

32

pe

r

La tasa de pobreza para diciembre 2012 decrece (16,01 %) con respecto a septiembre 2012 (16,30 %) y para marzo 2013 decrece a 15,72 % con respecto al valor proyectado para diciembre 2012.

Figura 34: Gr´ afico Q-Q de los residuos para la tasa de pobreza por ingreso nacional urbana. Fuente: Elaboraci´ on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

Coeficiente de Gini

pa

4.6.

Wo r

ki

ng

Los datos resultantes de la proyecci´on (ver cuadro 11 y figura 35). El gr´afico de residuos sigue una distribuci´ on normal, lo que representa un ruido blanco, seg´ un la figura 36).

33

r

Proyecci´ on coeficiente de Gini 0,5189 0,4964 0,5181 0,4798 0,4931 0,5023 0,4787 0,4788 0,4854 0,4974 0,4782 0,4725 0,4935 0,4781 0,4825 0,4732 0,4695 0,457 0,4372 0,444 0,443 0,4323 0,4282

pe

Coeficiente GINI 0,523 0,5005 0,5222 0,4839 0,4972 0,5064 0,4828 0,4829 0,4895 0,5015 0,4823 0,4766 0,4976 0,4822 0,4866 0,4773 0,4736 0,4611 0,4413 0,4481 0,4471 0,4364 -

pa

Trimestre jun-07 sep-07 dic-07 mar-08 jun-08 sep-08 dic-08 mar-09 jun-09 sep-09 dic-09 mar-10 jun-10 sep-10 dic-10 mar-11 jun-11 sep-11 dic-11 mar-12 jun-12 sep-12 dic-12 mar-13

Wo r

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Cuadro 11: Coeficiente de Gini nacional urbano. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2013.

34

r pe

pa

Figura 35: Proyecci´ on del coeficiente de Gini nacional urbano. Fuente: Elaboraci´on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2013.

Wo r

ki

ng

El coeficiente de Gini para diciembre 2012 y marzo 2013 decrece a 0,4323 y 0,4282 respectivamente, en comparaci´ on a septiembre 2012.

Figura 36: Gr´ afico Q-Q de los residuos del coeficiente de Gini nacional urbano. Fuente: Elaboraci´ on propia a partir de la ENEMDU de periodicidad trimestral 2007-2012.

5.

Conclusiones

Los valores pronosticados est´an sujetos a los errores ocasionados por la modelaci´on aplicada, pues, se trata de un an´ alisis basado en la percepci´on del analista aplicando el ensayo-error. Adicionalmente, todos los modelos se consideran no estacionales, debido a la falta de obser35

vaciones que permitan identificarla, por tanto los pron´osticos tambi´en se ver´an afectados por esta omisi´ on. Esto para el caso de: tasa de desempleo, tasa de subempleo, PEA, pobreza por ingreso y coeficiente de Gini. Pese a los impedimentos ocasionados por la reducida cantidad de datos, los modelos cumplen con las verificaciones de significancia de los par´ametros y los errores son un ruido blanco. Los pron´ osticos indican una reducci´on en la tasa de desempleo, alcanzando un 4,46 % para marzo de 2013. Del mismo modo, la tasa de desempleo desciende para marzo de 2013 a un 41,30 %. Finalmente, la Poblaci´on Econ´omicamente Activa se establecer´a en 4471724 para marzo de 2013. Por otro lado, se predice que para diciembre de 2012 se tendr´a un porcentaje de 16,01 % de pobreza por ingreso, el cual se reduce a 15,72 % para marzo de 2013. En cuanto al coeficiente de Gini, se estima que se reducir´a a 0,4282 para marzo de 2013.

r

Finalmente, el IPC crecer´ a de forma pausada entre diciembre de 2012 y marzo de 2013 con valores de 142,745 a 146,120 respectivamente.

Datos IPC Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Sept.

Octubre

Noviembre

Diciembre

1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,09 0,12 0,18 0,24 0,28 0,36 0,48 0,91 1,38 2,08 3,10 4,91 6,34 8,04 9,82 12,82 16,37 23,29 41,48 74,12 86,37 95,08 98,77 100,57 103,96 106,75 111,22 120,52 125,87 129,87 136,74

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,10 0,12 0,18 0,24 0,29 0,37 0,50 0,96 1,45 2,16 3,20 4,99 6,59 8,14 10,07 13,27 17,12 23,92 45,64 76,27 87,29 95,81 99,24 100,84 104,69 106,82 112,27 121,09 126,30 130,59 137,80

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,13 0,19 0,24 0,30 0,39 0,53 1,05 1,51 2,25 3,29 5,14 6,77 8,30 10,36 13,46 17,59 27,14 49,09 77,95 88,27 96,35 99,58 101,10 105,38 106,92 113,93 122,41 126,51 131,03 139,05

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,13 0,19 0,25 0,30 0,39 0,56 1,08 1,58 2,32 3,47 5,33 6,97 8,52 10,66 13,74 18,35 28,65 54,11 79,29 89,59 97,28 100,41 101,95 105,45 106,91 115,66 123,21 127,16 132,10 139,26

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,14 0,20 0,25 0,31 0,40 0,59 1,09 1,62 2,42 3,60 5,57 7,07 8,68 10,63 13,95 18,68 28,90 56,89 79,42 90,03 97,46 100,27 102,13 105,30 106,95 116,88 123,20 127,18 132,56 138,99

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,15 0,20 0,26 0,31 0,41 0,61 1,13 1,66 2,48 3,73 5,67 7,17 8,79 10,79 14,14 19,22 29,41 59,91 79,80 90,37 97,25 100,28 102,20 105,06 107,36 117,76 123,10 127,17 132,61 139,24

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,16 0,20 0,26 0,31 0,41 0,64 1,14 1,72 2,52 3,83 5,74 7,22 8,84 10,97 14,43 19,37 30,31 61,33 79,99 90,31 97,29 99,83 102,04 105,09 107,81 118,45 123,01 127,20 132,85 139,60

0,02 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04 0,04 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,17 0,20 0,26 0,32 0,42 0,68 1,17 1,74 2,59 3,94 5,76 7,33 8,94 11,19 14,63 19,62 30,47 62,17 80,34 90,71 97,35 99,93 101,89 105,32 107,89 118,70 122,65 127,33 133,49 140,00

0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,11 0,17 0,21 0,27 0,33 0,42 0,73 1,23 1,80 2,71 4,36 5,91 7,46 9,16 11,46 14,97 20,62 31,01 64,45 81,98 91,23 98,12 100,19 102,62 105,92 108,65 119,48 123,41 127,66 134,55 141,58

0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,05 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,11 0,18 0,21 0,27 0,34 0,43 0,77 1,26 1,87 2,79 4,63 6,09 7,55 9,28 11,63 15,24 21,95 32,30 66,19 82,95 91,82 98,12 100,26 102,98 106,29 108,80 119,52 123,71 127,99 135,02 141,70

0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,09 0,11 0,18 0,22 0,27 0,35 0,45 0,82 1,30 1,95 2,86 4,68 6,19 7,71 9,42 11,89 15,45 22,40 34,36 67,62 84,27 92,46 98,45 100,40 103,16 106,47 109,34 119,33 124,12 128,33 135,43 141,89

0,02 0,03 0,03 0,03 0,03 0,04 0,05 0,05 0,06 0,07 0,07 0,08 0,09 0,12 0,18 0,22 0,28 0,35 0,47 0,86 1,33 1,99 2,97 4,76 6,23 7,81 9,59 12,05 15,74 22,57 36,28 69,29 84,84 92,77 98,41 100,32 103,46 106,43 109,97 119,68 124,84 128,99 135,97

Wo r

pa

Enero

ng

MESES ˜ ANOS

ki

A.

pe

ANEXO

36