Juárez, Jerónimo; Pereyra, Leonardo Matemática Aplicada

Trabajo de Investigación-Período Complementario Banda o Cinta de Möbius (Moebius) La banda o cinta de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde.

Fue

co-descubierta

los matemáticos alemanes August

en Ferdinand

forma

independiente

Möbius y

Johann

por

Benedict

Listing en 1858.

Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta a uno de ellos:

Propiedades de la cinta • Tiene sólo una cara:

Para comprobarlo se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda

Juárez, Jerónimo; Pereyra, Leonardo la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

• Tiene sólo un borde:

Para darnos cuenta de esto se sigue el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes".

• Esta superficie no es orientable:

Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

• Otras propiedades:

Juárez, Jerónimo; Pereyra, Leonardo Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas; y si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo por el centro de su ancho, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas. Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta sino a cualquier otra distancia fija del borde, entonces se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una idéntica a la original pero más angosta y la otra con el doble de longitud y una vuelta completa.

La cinta de Moebius y las hormigas Pareciera que la cinta de Moebius o Möbius construida en el siglo XIX se diseñó con la intención de desorientar a las hormigas. Cuando se instalan una unas hormigas en la cinta y caminan a lo largo de ella, en una vuelta las hormigas pasan por la otra cara de la cinta sin darse cuenta,

intentan

buscar

donde salieron y no encuentran el punto en su primera vuelta, pues regresarán a su posición original pero de cabeza; a pesar de de la sencillez de la cinta, ésta tiene una sola cara. En 1858, August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, dos matemáticos alemanes desarrollaron al mismo tiempo este serio problema para las hormigas. Estas, acostumbradas a llevarse todo a su hormiguero no pudieron con este invento matemático, no podían bajarse de ella para poder arrastrarla. Se dice que una hormiga que se desliza sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. Así que, además, de ser un fundamento muy importante de la topología, rama de la matemática que tiene como objeto el estudio de las propiedades de las figuras geométricas que persisten incluso cuando las figuras son sometidas a deformaciones tan

drásticas que hacen que todas las

Juárez, Jerónimo; Pereyra, Leonardo propiedades métricas y proyectivas se pierdan, es un buen juego para engañar a estos laboriosos insectos, las hormigas.

Aplicaciones de la Cinta de Moebius En algunos aeropuertos ya hay bandas de Moebius para las cintas que transportan los equipajes o la carga. El aprovechamiento es doble, al igual que el rendimiento, y el desgaste se reduce a la mitad. Otra aplicación: en los casetes de audio, la cinta está enrollada como una cinta de Moebius. En ellos se puede grabar de los dos “lados” y es obvio el aprovechamiento mayor de su capacidad. En ciertas impresoras a tinta o en las viejas máquinas de escribir, la cinta de adentro está enrollada formando una banda de Moebius. En el arte; M.C.Escher (1898-1972) usó en muchas de sus litografías la cinta de Moebius. Por último, Elizabeth Zimmerman diseñó unas bufandas aprovechando cintas de Moebius e hizo una fortuna con sus tejidos.