1. Estudia el dominio de las siguientes funciones: Solución. x−2 : Función Racional, el dominio son todos los números reales excepto los que a) f ( x ) = x2 −9 anulen el denominador. D[f (x )] = x ∈ R / x 2 − 9 ≠ 0 : x 2 − 9 = 0 : x 2 = 9 : x = ±3

{

}

 x−2  D 2  = R − {± 3} x −9

b) f ( x ) =

3

x −1

x2 anulen el denominador.

: Función Racional, el dominio son todos los números reales excepto los que

{

}

D[f (x )] = x ∈ R / x 2 ≠ 0 : x 2 = 0 : x = 0 3

x −1  D  2  = R − {0}  x  Nota. La raíz no impone condiciones al dominio por ser de índice impar.

1 ⋅ 4 − x 2 Función Racional con numerador irracional, el dominio lo imponen 2x + 3 dos condiciones, todos los números reales excepto los que anulen el denominador que además hagan mayor o igual que cero el radicando de la expresión irracional   2x + 3 ≠ 0  D[f (x )] = x ∈ R /   2  4 − x > 0 3  3 2 x + 3 = 0 : x = − : x ∈ R − −  2  2

c) f ( x ) =

x ∈ [−2, 2]

 1   3  3 D ⋅ 4 − x 2  = R − −  ∩ [− 2, 2] = [− 2, 2] − −   2x + 3   2  2

x 2 −1 : Función irracional. El dominio lo forman los números reales que hagan el x radicando mayor o igual que cero. x 2 −1   ≥ 0 D[f ( x )] = x ∈ R / x  

d) f ( x ) =

 x 2 −1   = [− 1, 0 ) ∪ [1, + ∞ ) D x    

1

e) f ( x ) =

7−x

: Función con denominador irracional, el dominio son todos los números reales 7+x que hagan el radicando mayor que cero, en este caso el cero no se admite. D[f ( x )] = {x ∈ R / 7 + x > 0} : 7 + x > 0 : x > −7  7−x  D  = (− 7, + ∞ )  7+x 

f) f ( x ) =

5

: Función con denominador irracional, el dominio son todos los números 9 x 2 − 16 reales que hagan el radicando mayor que cero. D[f ( x )] = x ∈ R / 9 x 2 − 16 > 0

{

}

   5 4 4   =  − ∞, −  ∪  , + ∞  D 3 3   9x 2 − 16   g) f ( x ) = − 12 + 7 x − x 2 : Función irracional. El dominio lo forman los números reales que hagan el radicando mayor o igual que cero. D[f ( x )] = x ∈ R / − x 2 + 7 x − 12 ≥ 0

{

}

D  − 12 + 7 x − x 2  = [3, 4]   9x 2 : Función irracional. El dominio lo forman los números reales que hagan el 25 radicando mayor o igual que cero.

h) f ( x ) = 4 −

f (x ) = 4 −

9x 2 100 − 9 x 2 1 = = 100 − 9x 2 25 25 5

 9x 2 D 4 − 25  

  10 10   = − ,    3 3 

2

i) f ( x ) = 4

x 2 + 5x + 4

: Función irracional. El dominio lo forman los números reales que hagan x 2 − 5x + 4 el radicando mayor o igual que cero.  x 2 + 5x + 4  D[f ( x )] = x ∈ R / 2 ≥ 0   x − 5x + 4  2 x = −4  x + 5x + 4 = 0 :     x = −1 : (x + 4) ⋅ (x + 1) ≥ 0 ≥ 0 :   x 2 − 5x + 4  x 2 − 5x + 4 = 0 :  x = 1  (x − 1) ⋅ (x − 4)  x = 4 

x 2 + 5x + 4

 x 2 + 5x + 4   = (− ∞, − 4] ∪ [− 1, 1) ∪ (4, + ∞ ) D4 2  x − 5x + 4   

j) f ( x ) =

3+ x

: Función Racional con expresiones irracionales, el dominio lo imponen dos 3− x condiciones, todos los números reales excepto los que anulen el denominador que además hagan mayor o igual que cero los radicándoos de las expresiones irracionales. x ≥ 0   x ≥ 0 : x ∈ [0,+∞ )  D[f ( x )] = x ∈ R / : 3 − x ≠ 0 3 − x ≠ 0 : x ≠ 9  3 + x  D  = [0, 9 ) ∪ (9, + ∞ ) = [0, + ∞ ) − {9}  3 − x 

k) f ( x ) =

3

Función con denominador irracional, el dominio son todos los números 1 − 2x 2 reales que hagan el radicando mayor que cero. D[f ( x )] = x ∈ R / 1 − 2 x 2 > 0

{

 3 D  1 − 2x 2

}

 − 2 2  , =  2    2

 x ⋅ (x + 1)  l) f ( x ) = Ln 3  : Función logarítmica. El dominio lo forman los números reales que  x −1  hagan el argumento mayor que cero.   x ⋅ (x + 1) D[f ( x )] = x ∈ R / > 0   (x − 1) ⋅ x 2 + x + 1 

(

)

x=0   > 0 : x + 1 = 0 : x = −1 (x − 1) ⋅ x 2 + x + 1  x −1 = 0 : x = 1  x ⋅ (x + 1)

(

)

  x ⋅ (x + 1)  D Ln 3  = (− 1, 0 ) ∪ (1, + ∞ )   x − 1 

3

m) f ( x ) = Ln

x+4 x −3 x+4   D[f ( x )] = x ∈ R / > 0 x −3  

 x + 4 = 0 : x = −4 x+4 > 0: x −3  x −3 = 0: x = 3  x + 4 D Ln  = (− ∞, − 4) ∪ (3, + ∞ )  x −3 2

n) f ( x ) = e1− x La función exponencial no impone restricciones al dominio, si el exponente es un número real, existe su exponencial, por lo tanto: D[ Función exponencial ]D[ Exponente]

[

]

2  D e1− x  = D 1 − x 2 = R  

o) f ( x ) = e

1

x

 1  1 D e x  = D   = {x ∈ R / x ≠ 0} = R − {0} x   o) f ( x ) = e

x

D e 

x

[ ]

 = D x = {x ∈ R / x ≥ 0} = [0, + ∞ ) 

2. Sean las funciones:

f (x ) =

1 2 x +1 ; g(x ) = ; h (x ) = 3x − 1 6x + 2 x −1

calcular: a) f(x) + g(x) − h(x)

b)

f (x) − h(x) g(x )

c) f(x) · g(x)

d)

g( x ) ⋅ h ( x ) f (x)

Solución. a) f(x) + g(x) − h(x) = =

=

=

1 2 x +1 1 2 x +1 + − = + − = 3x − 1 6x + 2 x − 1 3x − 1 2 ⋅ (3x + 1) x − 1

1 1 x + 1 1 ⋅ (3x + 1) ⋅ (x − 1) + 1 ⋅ (3x − 1) ⋅ (x − 1) − (x + 1) ⋅ (3x − 1) ⋅ (3x + 1) + − = = (3x − 1)⋅ (3x + 1)⋅ (x − 1) 3x − 1 3x + 1 x − 1

(

3x 2 − 2 x − 1 + 3x 2 − 4 x + 1 − (x + 1) ⋅ 9x 2 − 12

(9x

b)

2

)

− 12 ⋅ (x − 1)

) = 6x

2

(

) = − 9x

− 6x − 9x 3 + 9x 2 − x − 1 9x 3 − 9x 2 − x + 1

3

− 3x 2 − 5x11

9x 3 − 9x 2 − x + 1

1 2 1 ⋅ (3x + 1) − 1 ⋅ (3x − 1) 3x + 1 − 3x + 1 1 1 − − f (x ) − h (x ) 3x − 1 2(3x + 1) 3x − 1 3x + 1 (3x − 1)⋅ (3x + 1) = 9x 2 − 12 = = = = x +1 x +1 x +1 x +1 g(x ) x −1 x −1 x −1 x −1

4

2

2 ⋅ (x − 1) 2x − 2 = = 9x − 1 = 2 3 x +1 9 x − 1 ⋅ (x + 1) 9x + 9 x 2 − x − 1 x −1 2

(

)

1 2 1 2 1 1 1 ⋅ = ⋅ = = = 2 2 2 3x − 1 6x + 2 3x − 1 2 ⋅ (3x + 1) (3x − 1) ⋅ (3x − 1) 9 x − 1 9x − 1

c)

f (x ) · g (x ) = =

d)

2 x +1 1 x +1 ⋅ ⋅ g(x ) ⋅ h (x ) 2(3x + 1) x − 1 3x + 1 x − 1 (3x − 1) ⋅ (x + 1) 3x 2 + 2 x − 1 = = = = 1 1 (3x + 1) ⋅ (x − 1) 3x 2 − 2x − 1 f (x ) 3x − 1 3x − 1

3. Calcular la inversa, [f −1(x)] de las siguientes funciones: 1 a) f ( x ) = b) f(x) = 4 − x2 2x + 6 c) f ( x ) =

x 2 +1

2x + 1 2−x 5x − 3 f) f ( x ) = 2−x x −1 h) f (x ) = Ln x−2

d) f ( x ) =

2

x −1

e) f(x) = x3 + 5 g) f (x ) = e1− x

2

Solución. Pasos a seguir para calcular la inversa de una función: 1. sustituye x por y e y por x 2. Se despeja y en función de x 3. Se sustituye y por f −1(x) a) f(x) = 4 − x2 1 2y + 6

1.

Se sustituye x por y e y por x: x =

2.

Se despeja y en función de x: 2 y − 6 =

1 : x 1 − 6x Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) = 2

3.

b)

f (x ) =

2y =

1 1 − 6x : −6 = x x

1 − 6x 2

x 2 +1 x 2 −1

1.

Se sustituye x por y e y por x: x =

2.

Se despeja y en función de x: x =

y2 +1 y 2 −1 y 2 +1 2

y −1

(

)

: x ⋅ y 2 − 1 = y 2 + 1 : xy 2 − x = y 2 + 1

xy 2 − y 2 = x + 1 : y 2 ⋅ (x − 1) = x + 1 : y 2 =

3.

y=

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) =

x +1 x −1

5

x +1 : y= x −1

x +1 x −1

c)

f (x ) =

2x + 1 2−x

1.

Se sustituye x por y e y por x: x =

2y + 1 2−y

2.

Se despeja y en función de x: x =

2y + 1 2y + 1 : x2 = : x 2 ⋅ (2 − y ) = 2 y + 1 2− y 2− y

(

)

2x 2 − yx 2 = 2 y + 1 : 2x 2 − 1 = 2 y + yx 2 : 2x 2 − 1 = y ⋅ 2 + x 2 : y =

x2 + 2

1.

d) f(x) = x3 + 5 Se sustituye x por y e y por x: x = y3 + 5

2.

Se despeja y en función de x: y = 3 x − 5

3.

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) = 3 x − 5 e)

f (x ) =

x2 + 2

2x 2 − 1

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) =

3.

2x 2 − 1

5x − 3 2−x

1.

Se sustituye x por y e y por x: x =

5y − 3 2− y

2.

Se despeja y en función de x: x =

5y − 3 : x ⋅ (2 − y ) = 5 y − 3 : 2 x − xy = 5 y − 3 2− y

2 x + 3 = 5 y + xy : y ⋅ (5 + x ) = 2x + 3 : y =

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) =

3.

f)

f (x ) = e1− x

2x + 3 5+ x

2x + 3 5+ x

2

2

1.

Se sustituye x por y e y por x: x = e1− y

2.

Se despeja y en función de x: x = e1− y : Ln x = Ln e1− y : Ln x = 1 − y 2 : y 2 = 1 − Ln x

2

2

y = 1 − Ln x −1

Se sustituye y por f (x): f

3. g)

f (x ) = Ln

−1

(x ) =

1 − Ln x

x −1 x−2 y −1 y−2

1.

Se sustituye x por y e y por x: x = Ln

2.

Ln y −1 y −1 Se despeja y en función de x: x = Ln : e x = e y−2 : e x = : e x (y − 2 ) = y − 1 y−2 y−2

y −1

(

)

ye x − 2e x = y − 1 : ye x − y = 2e x − 1 : y e x − 1 = 2e x − 1 : y =

3.

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) =

2e x − 1 e x −1

6

2e x − 1 e x −1

4. Sean las funciones: g(x ) =

f(x) = 3x−2

1 x

h (x ) =

2x + 3 x −1

Calcular: a) f o g b) g o f c) f o (h o g ) Solución.

f (x ) = 3x − 2 (f o g )(x ) = f (g(x )) =  g(x ) = 1  = 3g(x ) − 2 = 3 ⋅ 1 − 2 = 3 − 2x x x  

a)

x 



1   (g o f )(x ) = g(f (x )) =  g(x ) = x  = 1 = 1 f (x ) = 3x − 2 f (x ) 3x − 2 (f o (h o g ))(x ) = f (h (g(x ))) : Se empieza calculando h (g(x )) .

b) c)

1 2 + 3x 2x + 3   h (x ) = x − 1  2g(x ) + 3 2 x + 3 3x + 2 h (g(x )) =  = = = x = 1  g(x ) − 1 − 1 1 x 1− x   g(x ) = −1 x   x x

Calculado h(g(x)), se calcula f(h(g(x))).  f (x ) = 3x − 2  9 x + 6 − 2 ⋅ (1 − x ) 11x + 4 3x + 2   3x + 2  = 3h (g(x )) − 2 = 3 −2 = = f (h (g(x ))) =  ( ( )) 1− x 1− x 1− x h g x = 1 − x  5. Sean las funciones: f(x) = sen x Calcular: a) f o g

g (x ) = x 2 b) g o f

c) g o (f o g )

Solución.

(f o g )(x ) = f (g(x )) = f (x ) = sen2 x  = sen (g(x )) = sen (x 2 )  g(x ) = x  2   (g o f )(x ) = g(f (x )) =  g(x ) = x  = (f (x ))2 = (sen x )2 = sen 2 x f (x ) = sen x  2   2 (g o (f o g ))(x ) = g(f (g(x ))) =  g(x ) = x 2  = (f (g(x )))2 = (sen x 2 ) = sen 2 x 2 f (g(x )) = sen x  

a) b) c)



6. Comprobar que se cumple: (f o g )−1 = g −1 o f −1 siendo: f (x) =

3x + 2 ; g(x) = 2x+4 x+3

Solución. Se calcula cada término de la igualdad por separado.

•

Primer miembro de la igualdad: Calculo de (f o g )(x )

•

Calculo de (f o g )−1 (x )

(f o g )(x ) = f (g(x )) = 3g(x ) + 2 = 3 ⋅ (2x + 4) + 2 = 6x + 14 g(x ) + 3 2x + 4 + 3 2x + 7

7

1.

Se sustituye x por y e y por x: x =

6 y + 14 2y + 7

2.

Se despeja y en función de x: x =

6 y + 14 : x (2 y + 7 ) = 6 y + 14 : 2 xy + 7 x = 6 y + 14 2y + 7

2xy − 6 y = 14 − 7 x : y(2 x − 6) = 14 − 7 x : y =

Se sustituye y por (f o g )−1 : (f o g )−1 (x ) = f −1 (g(x )) =

3.

14 − 7 x 2x − 6

14 − 7 x 2x − 6

2º miembro de la igualdad: f −1 (x )

• 1.

Se sustituye x por y e y (f(x)) por x: x =

2.

Se despeja y en función de x: x =

3y + 2 y+3

3y + 2 y+3

: x (y + 3) = 3y + 2 : xy + 3x = 3y + 2

xy − 3y = 2 − 3x : y(x − 3) = 2 − 3x : y =

Se sustituye y por f −1(x): f −1 (x ) =

3.

2 − 3x x −3

g −1 (x )

• 1.

Se sustituye x por y e y (g(x)) por x: x = 2y + 4

2.

Se despeja y en función de x: : x = 2y + 4 : y = Se sustituye y por g −1(x): g −1 (x ) =

3. •

(g

2 − 3x x −3

−1

x−4 2

x−4 2

g −1 o f −1 of

−1

)(x ) = g (f −1

−1

2 − 3x −4 f −1 (x ) − 4 2 − 3x − 4(x − 3) 2 − 3x − 4 x + 12 14 − 7 x = x −3 = = = (x ) = 2 2 2(x − 3) 2x − 6 2x − 6

)

Se demuestra que (f o g )−1 = g −1 o f −1

8

7. Si f ( x ) =

1 + 3x x −1 , g(x ) = , hallar: x +3 1− x

a) f o g b) g o f c) f-−1 y g−1 Solución. a) a) (f o g )(x ) = f (g(x )) : Se sustituye la variable x de la función f por la función g.

1 + 3x − 1 ⋅ (1 − x ) 1 + 3x −1 g(x ) − 1 1 + 3x − 1 + x 4x 1− x = 1− x = f (g(x )) = = = =x 1 + 3x + 3 ⋅ (1 − x ) 1 + 3x + 3 − 3x g(x ) + 3 1 + 3x 4 +3 1− x 1− x

b) b) (g o f )(x ) = g(f (x )) : Se sustituye la variable x de la función g por la función f.

x − 1 1 ⋅ (x + 3) + 3 ⋅ (x − 1) 1 + 3f (x ) x + 3 + 3x − 3 4x x+3 = x+3 = g(f (x )) = = = =x x −1 1 ⋅ (x + 3) − (x − 1) 1 − f (x ) x + 3 − x +1 4 1− x+3 x+3 1+ 3

d) Si la composición de dos funciones es la función identidad (I(x) = x), las funciones son inversas

((

)

(

)

)

entre si, y además la composición es conmutativa f o f −1 (x ) = f −1 o f (x ) = x . Teniendo en cuenta esto: 1 + 3x f −1 ( x ) = 1− x x −1 −1 g (x) = x +3

8. Dadas las funciones : f (x ) = x 2 − 4

g(x ) =

x 2

x −1

a) Calcular sus dominios b) Estudiar sus simetrías c) Calcular las funciones (g o f )(x ) , (h o f )(x ) d) Calcular las funciones f −1 (x ) , h −1 (x ) Solución. a) Dominios: D  x 2 − 4  = x ∈ R / x 2 − 4 ≥ 0  

{

}

D  x 2 − 4  = (− ∞, − 2] ∪ [2, + ∞ )  

{

}

 x  2 2 2 D  = x ∈ R / x − 1 ≠ 0 : x − 1 ≠ 0 : x ≠ 1 : x ≠ ±1  x 2 − 1  x  D  = R − {± 1}  x 2 − 1

[

]

D x 2 + x = R Por ser polinómica

9

h (x ) = x 2 + x

b) Simetría: De forma rigurosa hay que estudiar como se transforma la función cuando se cambia x por −x, pudiendo darse tres casos diferentes: • f (−x) = f (x). Función par. Simétrica respecto de OY • f (−x) = −f (x). Función impar. Simétrica respecto de (0, 0). • Ninguno de los anteriores. No tiene simetría.

- f (− x ) = - g(− x ) =

(− x )2 − 4 = −x

(− x )

2

−1

=

x 2 − 4 = f (x ) : Simétrica PAR −x 2

x −1

=−

x 2

x −1

= −g(x ) : Simetría impar

 ≠ h (x ) - h (− x ) = (− x )2 + (− x ) = x 2 − x ≠  ⇒ No tiene simetria ≠ −h (x ) Existe otra forma menos rigurosa que es un poco más sencilla. Se seleccionan dos valores ±a pertenecientes al dominio de la función y se calcula el valor de la función en ellos. • f (−a) = f (a). Función par. Simétrica respecto de OY • f (−a) = −f (a). Función impar. Simétrica respecto de (0, 0). • Ninguno de los anteriores. No tiene simetría.   f (− 3) = (− 3)2 − 4 = 5  - ± 3 ∈ D[f (x )] :   : f (− 3) = f (3) . Simétrica PAR  f (3) = 3 2 − 4 = 5  −2 − 2  = g(- 2) = 2 (− 2) − 1 3  : g(- 2) = −g(2) . Simetría impar - ± 2 ∈ D[g(x )] :   g(2) = 2 = 2   2 2 − 1 3  h (− 1) = (− 1)2 + (− 1) = 0  h (1) - ± 1 ∈ D[h (x )] :  . No tiene simetría  : h (− 1) ≠  2   h (1) = 1 + 1 = 2 − h (1)

c)

(g o f )(x ) = g(f (x )) =

f (x )

(f (x ))2 − 1

=

x2 − 4 2

 x 2 − 4  −1    

=

x2 −4 x2 −5

2

(h o f )(x ) = h (f (x )) = (f (x ))2 + f (x ) = 

x 2 − 4  + x 2 − 4 = x 2 − 4 + x 2 − 4  

d)

f −1 (x ) : Se intercambian y con x y se despeja y. y = x 2 − 4 : x = y2 − 4 : x 2 = y2 − 4 : y2 = x 2 + 4 : y = x 2 + 4 f −1 (x ) = x 2 + 4 h −1 (x ) No tiene inversa.

9. Dadas las funciones f (x ) = 9 − x 2

g(x ) =

Calcular: a) Sus dominios b) Simetrías c) Las funciones [g o f ](x ) , [h o f ](x ) d) Sus funciones inversas cuando existan Solución. a) - D  9 − x 2  = x ∈ R / 9 − x 2 ≥ 0  

{

}

10

x2 x 2 +1

h (x ) = − x 2 + 4

D  9 − x 2  = [− 3, 3]  

{

}

 x2  2 2 2 - D  = x ∈ R / x + 1 ≠ 0 : x + 1 = 0 : x = −1 : x ∉ R 2  x + 1   x2  D =R 2  x + 1 

[

]

- D − x 2 + 4 = R . Por ser polinómica. b) - f (− x ) = 9 − (− x )2 = 9 − x 2 = f (x ) . Par. Simétrica respecto OX

(− x )2 = x 2 = g(x ) . Par. Simétrica respecto OX (− x )2 + 1 x 2 + 1 h (− x ) = −(− x )2 + 4 = − x 2 + 4 . Par. Simétrica respecto OX

- g(− x ) = -

c) - [g o f ](x ) = g(f (x )) =

(f (x )) = (f (x ))2 + 1  2

 9− x2     

2

2

2   9 − x  +1   2

=

9− x2 10 − x 2

(

)

- [h o f ](x ) = h (f (x )) = −(f (x ))2 + 4 = − 9 − x 2  + 4 = − 9 − x 2 + 4 = x 2 − 5   d) - f −1 (x ) : x = 9 − y 2 : x 2 = 9 − y 2 : y 2 = 9 − x 2 : y = 9 − x 2 : f −1 (x ) = 9 − x 2

- g −1 (x ) : x =

y2 2

y +1

(

)

: x ⋅ y 2 + 1 = y 2 : xy 2 + x = y 2 : x = y 2 − xy 2 : y 2 (1 − x ) = x y2 =

x x x : y= : g −1 (x ) = 1− x 1− x 1− x

- h −1 (x ) : x = − y 2 + 4 : y 2 = 4 − x : y = 4 − x : h −1 (x ) = 4 − x 10. Calcular el dominio, las simetrías y la composición en los dos sentidos de las funciones: x f (x ) = 2 g(x ) = x 2 + 2 x 3x − 3 Solución. Dominio:  x   x  2 2 - D  = x ∈ R / 3x − 3 ≠ 0 : 3x − 3 = 0 : x = ±1 : D  2  = R − {± 1} 2  3x − 3   3x − 3 

{

}

{

}

- D  x 2 + 2x  = x ∈ R / x 2 + 2x ≥ 0  

11

D  x 2 + 2 x  = (− ∞, − 2] ∪ [0, + ∞ )  

Simetría: - f (− x ) =

−x 3(− x ) − 3 2

=

−x 2

3x − 3

=−

x

= −f (x ) . Impar. Simétrica respecto del origen de

2

3x − 3

coordenadas.  ≠ g(x ) .No tiene simetría. ≠ −g(x )

- g(− x ) = (− x )2 + 2(− x ) = x 2 − 2x ≠  Composición: - (f o g )(x ) = f (g(x )) =

- (g o f )(x ) = g(f (x )) =

g(x )

=

3(g(x ))2 − 3

x 2 + 2x 3 x 2 + 2x  − 3  

(f (x ))2 + 2f (x ) =

=

(

2

)

−3

2

x 2 + 2x 3x 2 + 6x − 3

2

 x  x   + 2 = 2 2 3x − 3  3x − 3 

)=

x 2 + 2x ⋅ 3x 2 − 3

(3x

=

(3x

x2 2

)

−3

2

+

2x 3x 2 − 3

=

6x 3 + x 2 − 6x 3x 2 − 3

11. Sabiendo que el cambio actual del dólar está a 0,8 € y que el banco cobra de comisión el 0’5%, escribir las funciones que permitan pasar del valor actual de una moneda a otra. Solución. Si x es el número de dólares que queremos comprar, e y es el precio en euros que debemos pagar: 0,5   y = 0,8 ⋅ x ⋅ 1 +   100  y = 0,804 ⋅ x

Si ahora x es el número de euros que queremos comprar, e y es el precio en dólares que debemos pagar: 0,5   y = 1,25 ⋅ x ⋅ 1 +   100  y = 1,25625 ⋅ x Observar que en este caso no son funciones inversas una de la otra debido a la comisión que cobra el banco.

12

12. Expresar la función de coste de una carrera de taxi en función de los kilómetros recorridos, sabiendo que cada trescientos m. cuesta 50 céntimos y la bajada de bandera inicial 1’2 € Solución. Sea x los Km recorridos en una carrera de taxi, y P(x) el precio de la carrera. P(x) es una función lineal que costa de un término constante (bajada de bandera) y de un término variable en función de la distancia recorrida 1000 x ⋅ 0,5 300 5 P(x ) = 1,2 + x 3

P(x ) = 1,2 +

13. El nivel de contaminación de una ciudad a las 7’00 de la mañana es de 22 ppm y crece de forma lineal 15 ppm por cada hora. Sea “y” la contaminación en el instante t después de las 7’00 de la mañana. a) Hallar la ecuación que relaciona y con t. b) Hallar el nivel de contaminación a las 17’00. Solución. a. Sea C(t) el nivel de contaminación, y sea t la hora del día. C(t ) = 22 + 15 ⋅ (t − 7 ) b.

C(17 ) = 22 + 15 ⋅ (17 − 7 ) = 172 ppm.

14. Un comercial quiere comprar un coche; tiene muy claro el modelo pero no sabe si comprarlo de gasolina o de gasóleo. El primero vale 10 800 € y el segundo 12 000 €. El precio de la gasolina es de 0,1 €/Km. Y el de gasóleo, 0,08 €/Km. a) Dar la función que relaciona el coste (precio del coche más precio del combustible) con el número de kilómetros para cada coche. b) Representar estas funciones. Observar el punto de corte. ¿Qué significa? c) Si el comercial recorre 50 000 Km en el primer año, ¿qué coche le produce menos gastos? ¿Y si hace 100 000 Km? Solución. Sea G(x) el precio del coche de gasolina en función de los Km recorridos y D(x) el de gasoil. a.

G (x ) = 10800 + 0,1x

D(x ) = 12000 + 0,08x

b.

El punto de corte representan los kilómetros a los que el precio total deal automóvil es el mismo, sea de gasolina o de gasoil. c. Si el comercial 50000 Km el primer año, será más barato le coche de gasolina, como puede observarse en la gráfica. Si recorre 100000, será más barato el coche de gasoil.

13

15. Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las nueve de la noche, sin ningún cliente, y las cierra cuando se han marchado todos. Se supone que la función que representa el número de clientes, C, es función de las horas que lleva abierto, h: C(h) = 80h − 10h2. a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche. b) ¿Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70, entre que horas debemos hacerlo?. c) Si deseamos ir cuando haya menos de 150 personas y más de 70 y además, queremos que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, ¿entre qué horas debemos hacerlo? d) ¿A qué hora cierra?. Solución. El ejercicio se basa en interpretar una función polinómica de segundo grado. Lo más sencillo es representar la función, teniendo en cuenta que la función C(h) ≥ 0, ya que no puede haber un número negativo de clientes, y h ≥ 0 porque tampoco existen horas negativas.

a. b. c. d.

Observando la gráfica se puede responder a todas las cuestiones El número máximo de clientes es de 160 personas Entre la 1ª y 3ª hora (22,00 y 01,00) ó entre la 5ª y 7ª hora (02,00 y 05,00) Entre la 5ª y 7ª hora (02,00 y 05,00) A la 8ª hora (06,00)

16. La población de una granja avícola pasa de 1000 a 1300 individuos en un mes. Suponiendo que sigue una ley exponencial, calcular: a. La ley que expresa la población en función del tiempo. b. ¿Cuál será la población al cabo de un año? c. ¿Cuándo habrá 66.541 individuos? Solución.

Ley exponencial: P(t ) = K ⋅ a t , donde P(t) representa la población en función del tiempo y t a. representa el tiempo en meses. La unidad de tiempo es arbitraria, lo tomo en meses porque el enunciado habla de meses, se podría haber hecho en cualquier otra unidad de tiempo, días, años,… etc. Del enunciado del problema se deduce que para t = 0, la población de aves es de 1000 individuos, y para t = 1, 1300. P(0 ) = K ⋅ a 0 = 1000 ; K = 1000 P(1) = K ⋅ a 1 = 1300

Sustituyendo en la 2ª igualdad el valor de K obtenido en la 1ª, se obtiene el valor de a. 1300 13 1000a = 1300 ; a = = 1000 10

14

 13  La ley exponencial es: P(t ) = 1000 ⋅    10 

t

b. Una vez conocida la expresión de la función, piden calcular el valor que toma la población para t = 12 meses (1 año).

 13  P(12) = 1000 ⋅    10 

12

= 23298 individuos

c. En el tercer apartado se pide calcular el valor de t conocido el número de individuos que forman la población. to

to

t

66541  66541   13  o : Ln  = Ln  1000  1000   10   66541  Ln   66541   13   1000  t o ⋅ Ln  = Ln = 16 meses  : to =  13   1000   10  Ln   10 

 13  P(t o ) = 1000 ⋅    10 

 13  = 66541 :    10 

=

17. Un lago está repoblado con una nueva especie de peces. Actualmente se estima una población de 136.000 ejemplares, y tres años antes, 17.000 peces. Suponiendo un crecimiento exponencial, calcular: a) La función que expresa el número de peces en función del tiempo. b) ¿Cuándo habrá 1.000.000 de ejemplares? c) ¿Cuantos años hace que se introdujeron los 132 primeros ejemplares? Solución. Ley exponencial: P(t ) = K ⋅ a t a. Para calcular la constante pre-exponencial (K) y la base de a exponencial (a) se dan los siguientes datos: - t = 0: P(0) = 132 - t = t − 3: P(t − 3) = 17000 - t = t: P(t) = 136000

El primer dato (población inicial), permite calcular la constante pre-exponencial: P(0 ) = K ⋅ a 0 = 132 : K = 132 Conocido el valor de K, se sustituye en los otros dos datos: P(t − 3) = 17000 = 132 ⋅ a t −3 P(t ) = 136000 = 132 ⋅ 2 t Dividiendo ambas expresiones se calcula la base de la exponencial. P(t ) 136000 132 ⋅ a t = = P(t − 3) 17000 132 ⋅ a t −3 8 = a t − (t − 3 ) : a 3 = 8 ⇒ a = 2

La población de peces del lago sigue la ley exponencial: P(t ) = 132 ⋅ 2 t b. Se pide calcular el tiempo necesario para que la población de peces del lago llega a un millon de ejemplares. 10 6 10 6 10 6 P(t o ) = 10 6 = 132 ⋅ 2 t o : 2 t o = : Ln 2 t o = Ln : t o ⋅ Ln 2 = Ln 132 132 132

( )

10 6 132 = 12,89 años = 12 años 10 meses 19 días to = Ln 2 Ln

15

c. Para calcular los años que han pasado desde el comienzo de la repoblación, se aplica la ley exponencial al dato actual (136000 peces). 136000 136000 136000 P(t ) = 136000 = 132 ⋅ 2 t : 2 t = : Ln 2 t = Ln : t ⋅ Ln 2 = Ln 132 132 132 136000 Ln 132 ≈ 16 años t= Ln 2

( )

18. A las nueve de la mañana surge un rumor en la ciudad, el número de personas que se han enterado al cabo de un cierto tiempo, viene expresado por, R(t) = e2·t + 1.000 donde t, representa el número de horas que han pasado desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que se han enterado entre las 10 y las doce de la mañana. Cuanto tiempo tardará en enterarse toda la ciudad si su población es de 4.756.327 habitantes. Solución. La primera cuestión propuesta se resuelve restando al número de personas que se han enterado hasta las 12 de la mañana, el número de personas que se habían enterado hasta la 10 de la mañana.

Si el rumor empieza a las 9 de la mañana, las 10 de la mañana equivale a t = 1, y las doce de la mañana corresponde a t = 3. Nº de individuas enterados entre las 10 y las 12 = N(10, 12) = R(3) − R(1)

(

)

n (10,12 ) = e 2⋅3 + 1000 − e 2⋅1 + 1000 = 396 personas

En la segunda cuestión se trata de saber cuanto tiempo debe pasar para que la función R(t) alcance el valor de 4.756.327. R (t ) = 4756327 = e 2 t + 1000

e 2 t = 4756327 − 1000 : e 2 t = 4755327 : 2t = Ln 4755327 Ln 4755327 t= = 7,7 h 2

19. El número de personas afectadas por una enfermedad contagiosa viene dado por la formula 1.000 C( t ) = 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅t Donde t indica el tiempo en días. a) ¿Cuántas personas estarán contagiadas pasados 1, 2, 5, 10, 100 y 1000 días? b) Tiende a estabilizarse el número de personas contagiadas, y en caso afirmativo, a que valor tiende. Solución. a. Se pide calcular el valor que toma la función para t = 1, t = 2 y t = 7 1.000 C(1) = = 8,1 1 + 999 ⋅ e− 2'1⋅1 1.000 C(2) = = 62,6 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅2 1.000 C(5) = = 973,2 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅7 1.000 C(10 ) = = 999,999 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅10 1.000 C(100 ) = = 1000 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅100 1.000 C(1000 ) = = 1000 1 + 999 ⋅ e − 2'1⋅1000

16

b. Este tipo de funciones se denominan de crecimiento sostenido, tendiendo a estabilizarse al valor del numerador, en este caso a 1000 contagiados N f (x ) = 1 + K ⋅ e −α x

Si intentamos despejar de ecuación, nos aparece un logaritmo de un número negativo, que no existe. 20. Debido a la presión ambiental, la población de conejos se ajusta a una ley del siguiente tipo 20.000 P(t ) = 1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t a) ¿Cuántos conejos habrá al cabo de 10 años? b) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 30.000 individuos? c) ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que su número sea de 10.000 individuos? Solución. 20.000 P(10 ) = ≈ 5020 a. 1 + 199 ⋅ e−0'42⋅10 b. Se trata de una función de crecimiento sostenido, el máximo valor que llega a tomar es 20000, por lo tanto nunca llega a alcanzar el valor de 30000. Si intentamos despejar, aparece el logaritmo de un número negativo, que no existe. 20.000 2 1 : 1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t = : 199 ⋅ e −0'42⋅t = − 30000 = −0'42⋅t 3 3 1 + 199 ⋅ e

e −0'42⋅t = −

c.

1  1  : Ln e −0'42⋅t = Ln − ∉R 599  599 

Se pide calcular el valor de t para que la función (P(t)) valga 10000. 20.000 P(t ) = = 10000 1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t 20.000 = 1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t : 2 = 1 + 199 ⋅ e −0'42⋅t : 199 ⋅ e −0'42⋅t = 1 10000 1 Ln 1 1 1 199 = 12,6 años : Ln e −0'42⋅t = Ln : − 0,42 t = Ln : t= e −0'42⋅t = − 0,42 199 199 199

21. Expresar en función de la longitud de la base el área de un rectángulo inscrito en el mismo de radio R. Solución. El área de cualquier rectángulo es base × altura. Aplicado al rectángulo de la figura: A = x⋅y Si el rectángulo está inscrito en una circunferencia de radio R, sus dimensiones (x, y) están relacionados por el teorema de Pitágoras. x 2 + y 2 = (2R )2 Esta expresión permite expresar una variable en función de la otra.

y = 4R 2 − x 2 Sustituyendo en el área del rectángulo es obtiene una función que permite calcular el área de cualquier rectángulo inscrito en una circunferencia de radio R en función de la longitud de la base. A = x ⋅ 4R 2 − x 2

17

22. Expresar el volumen de un cubo en función del perímetro del mismo. Solución. a = Longitud de la arista. P = Perímetro V = Volumen 3 P 1 3 V = a 3  P : a : V = = = P    12 P = 12a   12  12 3

23. Expresar en función de la longitud de la base el volumen de una caja con tapa de base cuadrada, sabiendo que el área total vale 100 cm2. Solución.

Conocida la superficie total del cubo se establece una relación entre x e y que permite expresar y en función de x 2 100 − 2x 2 1 V = x2y  2 100 − 2 x : y : V x : V = 50x − x 3 = = ⋅  2 4x 2 4x 100 = 2x + 4 xy

(

18

)