Movimiento ondulatorio 1. Introducción Se llama onda a la propagación de energía sin transporte neto de la materia. En cualquier caso se cumple que: - Una perturbación inicial se propaga sin transporte neto de materia. - Existe un desfase entre el instante de la perturbación inicial y el instante en que la perturbación alcanza los puntos del medio. - La mayoría de las ondas necesitan un medio material para propagarse. Tipos de ondas: - Mecánicas. Si la perturbación inicial es de tipo mecánica y necesitan de un medio material elástico para propagarse (ondas sonoras, cuerdas de guitarra...). Además si la energía mecánica que se propaga es originada por un movimiento armónico simple, las ondas reciben el nombre de ondas armónicas. - Electromagnéticas: se propaga energía electromagnética mediante campos oscilatorios eléctricos y magnéticos y no necesitan de un medio material para propagarse (rayos x, luz, microondas, ondas de radio...) 2. Ondas mecánicas Las ondas mecánicas pueden clasificarse según la dirección de la propagación de la onda y el número de dimensiones en que se propaga la energía. - Según la dirección de propagación Se denomina onda transversal a aquella en la que la dirección de propagación es perpendicular a la dirección de vibración de las partículas. Se caracterizan por la presencia de zonas elevadas llamadas crestas y zonas deprimidas llamadas valles.

Se denomina onda longitudinal a aquella en la que la dirección de propagación y de vibración de las partículas del medio son paralelas. - Según el número de dimensiones en que se propaga la energía Ondas unidimensionales. La energía se propaga en una dimensión. Por ejemplo la onda que se propaga en una cuerda. 1

Ondas bidimensionales. La energía se propaga en un plano. Por ejemplo las ondas que se propagan por la superficie del agua. Ondas tridimensionales. La energía se propaga en 3 dimensiones. Por ejemplo el sonido. 3. Magnitudes características de las ondas Son las producidas por una perturbación inicial en un medio elástico por un m.a.s. Tienen las siguientes magnitudes: - Amplitud: elongación máxima elongación de las partículas del medio. - Longitud de onda (λ ) : distancia mínima entre dos puntos del medio que se encuentran en la misma fase o estado de vibración.

- Periodo ( T ). Es el tiempo que tarda la cuerda en recorrer la longitud de onda. Puesto que la velocidad de propagación además es constante para una onda armónica se tiene que:

λ = vT - Frecuencia ( f ). Es el número de ondas que pasa por un punto en 1 s. Se mide en Hz.

f =

1 T

- Número de onda ( k ). Es el número de longitudes de ondas comprendidas en una distancia 2π . Se mide en m −1 .

k=

2π 2π 2π f ω = = = λ v/ f v v

4. Ecuación de las ondas armónicas unidimensionales En primer lugar atenderemos a la definición de onda armónica como aquella producida en un medio elástico por un m.a.s. El estado de vibración de una partícula cualquier del medio (que también se moverá con m.a.s) depende de la posición x de dicha partícula y del tiempo. Además supondremos que la onda se propaga en el sentido positivo del eje x.

2

y = f (x,t) = ψ (x,t) Sea y(t) = Asen(ω t + ϕ ) la ecuación del m.a.s que origina la onda. Un punto p situado a una distancia x del punto dónde se origina el m.a.s recibirá la x perturbación con un retraso de t ' = siendo v la velocidad de propagación (que v recordemos que es constante). Por tanto, la perturbación del punto P en el instante t es la correspondiente al origen del m.a.s en el tiempo t − t ' , es decir:

y(x,t) = Asen(ω (t − t ') + ϕ 0 ) = Asen(ω t − ω t '+ ϕ 0 ) = Asen(ω t − ω Asen(ω t − kx + ϕ 0 ) = Asen(2π ft −

2π x + ϕ 0 ) = Asen(ω t − kx) λ

x + ϕ0 ) = v

En el caso en que la onda se propagase en sentido negativo del eje x, la ecuación quedaría como:

y(x,t) = Asen(ω t + kx) Periodicidad de la función de ondas La función de onda y(x,t) es doblemente periódica: - Es periódica en distancia con periodo λ , es decir, el estado de vibración de la partícula x se repite en todos los puntos cuyas distancias a dicha partícula sean múltiplos de la longitud de onda. - Es periódica en el tiempo con periodo T. Es decir, la elongación de una partícula determinada x toma el mismo valor en los tiempos t,t + T ,t + 2T ... Además, los puntos que vibran con un número entero de periodos se dice que están en fase. Velocidad y aceleración de la onda Se llama velocidad transversal a la velocidad de vibración de las partículas del medio:

v=

dy = Aω cos(ω t − kx + ϕ 0 ) dt

siendo la velocidad máxima igual a:

vmax = Aω La aceleración de las partículas por tanto queda definida como:

a=

dv = −Aω 2 sen(ω t − kx + ϕ 0 ) = −ω 2 y dt 3

siendo la aceleración máxima:

amax = Aω 2 5. Energía de una onda Cuando una partícula del medio es alcanzada por una onda, está sometida a un m.a.s y tendrá energía mecánica, suma de la energía cinética y de la potencial. La forma más sencilla de calcular la Energía Mecánica del sistema será calcular la energía cinética máxima, es decir:

Em = Ec,max =

1 2 1 1 mvmax = mA 2ω 2 = mA 2 4π 2 f 2 = 2π 2 mA 2 f 2 2 2 2

Finalmente la potencia de la onda queda definida como:

P=

E 2π 2 mA 2 f 2 = t t

6. Intensidad de una onda - Se denomina frente de onda al lugar geométrico de los puntos que en un instante dado están en fase. - A la dirección de propagación de la onda se le denomina rayo y en los medios homogéneos es perpendicular al frente de onda. En función del frente de onda, las ondas se pueden clasificar como: - Planas, si el frente de onda es una superficie plana. - Circulares, si el frente de onda es una circunferencia. - Esféricas, si el frente de onda es una esfera. - Se denomina intensidad de una onda a la energía por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda medida en W / m2

I=

E P = t ⋅S S

En el caso de dos ondas esféricas con radios R1 y R2 la intensidad queda como:

E E = t ⋅ S1 t ⋅ 4π R12 E E I2 = = t ⋅ S2 t ⋅ 4π R22 I1 =

Por tanto: 4

I1 R22 = I 2 R12 Además como la intensidad es proporcional al cuadrado de la amplitud se tiene que:

I1 A12 A2 R2 A R = 2 → 12 = 22 → 1 = 2 I 2 A2 A1 R1 A2 R1 7. El sonido El sonido es una perturbación mecánica de un cuerpo que se propaga en forma de ondas en un medio material elástico. Las ondas de propagación de sonido se llaman ondas sonoras. El oído humano capta sonidos comprendidos entre 20 y 20.000 Hz. Los sonidos por debajo de 20 Hz se denominan infrasónicos y por encima de 20.000 Hz se llaman ultrasónicos. Las ondas sonoras son ondas longitudinales y se caracterizan por compresiones y dilataciones de las partículas del medio. Cualidades del sonido - Intensidad física u objetiva es la energía por unidad de tiempo que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda.

I=

E P = W / m2 t ⋅S S

- Intensidad fisiológica o subjetiva la definimos como la sensación de mayor o menor intensidad que percibe el oído humano. El intervalo de intensidad para el oído humano va desde I 0 = 10 −12 W / m 2 (intensidad umbral) hasta I max = 1W / m 2 llamada intensidad de dolor. - Para medir la intensidad se toma una escala logarítmica y se mide en decibelios (dB)

β = 10 log

I I0

8. Interferencia de ondas Cuando dos o más ondas concurren en un mismo punto la perturbación resultando es igual a la suma de las perturbaciones que produciría cada onda por separado. Interferencia de ondas coherentes Diremos que dos ondas armónicas son coherentes si están en fase o la diferencia de fase es constante. Para estudiar el fenómeno de interferencia de ondas supondremos dos ondas con la misma frecuencia y la misma longitud de onda o número de onda.

5

Por ejemplo, sean y1 , y2 dos ondas que van a interferir de ecuaciones:

y1 = Asen(ω t − kx1 ); y2 = Asen(ω t − kx2 ); La interferencia por tanto queda como: y1 + y2 = Asen(ω t − kx1 ) + Asen(ω t − kx2 ) = A(sen(ω t − kx1 ) + sen(ω t − kx2 ) = ⎛ ⎛ ω t − kx1 + ω t − kx2 ⎞ ⎛ ω t − kx1 − (ω t − kx2 ) ⎞ ⎛ kx − kx1 ⎞ ⎛ x + x2 ⎞ ⎞ = 2Asen ⎜ cos ⎜ = 2A cos ⎜ 2 sen ⎜ ω t − k ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 2 2

Por tanto la onda resultante tiene la misma frecuencia y la misma longitud de onda que las ondas que interfieren. La amplitud resultante queda como:

⎛ kx − kx1 ⎞ A' = 2A cos ⎜ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 La interferencia será totalmente constructiva cuando la amplitud resultante sea máxima, es decir, cuando:

x − x1 2π x2 − x1 ⎛ kx − kx1 ⎞ cos ⎜ 2 = ±1 → k 2 = nπ → = nπ → x2 − x1 = nλ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 λ 2 Es decir, la interferencia será totalmente constructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un número entero de longitudes de onda. Este resultado también puede expresarse de la siguiente forma: La diferencia de fase entre las dos ondas iniciales es:

Δϕ = (ω t − kx1 ) − (ω t − kx2 ) = k ( x2 − x1 ) Y por tanto la amplitud de la nueva onda se puede expresar como:

⎛ Δϕ ⎞ A' = 2A cos ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ Y por tanto la amplitud será máxima cuando:

Δϕ = nπ → Δϕ = 2nπ 2 Así que la interferencia será totalmente constructiva también si la diferencia de fase es un número par de π . La interferencia de dos ondas es totalmente destructiva cuando la amplitud resultante es nula, es decir: 6

k(x2 − x1 ) π λ ⎛ kx − kx1 ⎞ cos ⎜ 2 =0→ = (2n + 1) → x2 − x1 = (2n + 1) ; ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 o lo que es lo mismo Δϕ π ⎛ Δϕ ⎞ cos ⎜ =0→ = (2n + 1) → Δϕ = (2n + 1)π ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 2 Es decir, la interferencia será totalmente destructiva cuando la diferencia de caminos recorrida es un número impar de semilongitudes de onda o cuando la diferencia de fase es un número impar de π . Interferencia de ondas estacionarias Es la interferencia de ondas idénticas que se propagan en sentidos contrarios, es decir:

y1 = Asen (ω t − kx ); y2 = Asen(ω t + kx); Y por tanto: ⎛ ω t − kx + ω t + kx ⎞ ⎛ ω t − kx − ω t − kx ⎞ y(x,t) = y1 + y2 = Asen (ω t − kx ) + Asen (ω t + kx ) = 2Asen ⎜ ⋅ cos ⎜ ⎟ ⎟⎠ = ⎝ ⎠ ⎝ 2 2 ⎛ −2kx ⎞ 2A cos ⎜ sen (ω t ) = 2A cos ( kx ) sen (ω t ) = 2A' sen (ω t ) ⎝ 2 ⎟⎠

La amplitud queda como:

A' = 2A cos(kx) Atendiendo al resultado podemos ver como el resultado de la interferencia de dos ondas estacionarias NO es una onda, porque la elongación no depende de x y t a la vez. La amplitud será máxima (vientres) cuando:

cos ( kx ) = ±1 → kx = nπ →

2π λ λ x = nπ → x = n = 2n λ 2 4

La amplitud por tanto será máxima cuando la distancia al foco emisor sea un número par de cuartos de longitud de onda. La amplitud será mínima (nodos) cuando:

cos ( kx ) = 0 → kx = (2n + 1)

π 2π π λ → x = (2n + 1) → x = (2n + 1) 2 λ 2 4

Es decir la amplitud será mínima cuando la distancia al foco emisor sea un número impar de cuartos de longitud de onda. 7

La distancia entre dos vientres consecutivos será:

dv = 2n

λ λ λ − (2n − 2) = 4 4 2

La distancia entre dos nodos consecutivos será:

dv = (2n + 1)

λ λ λ − (2n − 1) = 4 4 2

Y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivos será:

dvn = 2n

λ λ λ − (2n − 1) = 4 4 4

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Formulario Velocidad de propagación

λ = vp ⋅ T Ecuación de una onda armónica

y(x,t) = Asen(ω t ± kx + ϕ 0 ) Cuando la onda se propaga en sentido positivo del eje x la fórmula lleva el signo - y cuando se propaga en sentido negativo se usa el signo +. A = amplitud (m) ω = 2π f = pulsación (rad / s)

2π = número de onda ( m −1 ) λ ϕ 0 = fase inicial k=

T=

1 = periodo (s) f

λ = longitud de onda, que es la distancia mínima entre dos puntos que están en fase ( tienen el mismo estado de vibración ). Si dos puntos están en fase d =2π n = nλ Si dos puntos están en oposición de fase d = (2n + 1)π = (2n + 1)

λ 2

Energía de una onda mecánica

1 2 mv 2 1 E p = ky 2 2 Ec =

Em = 2π 2 mA 2 f 2 =

1 mω 2 A 2 2

Potencia de una onda

I=

P E = S S ⋅t

En el caso de ondas esféricas se tiene que I =

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P y además: 4π R 2

I1 R22 = I 2 R12 A1 R2 = A2 R1 Diferencia de fase entre dos puntos

Δϕ = (ω t − kx1 + ϕ 0 ) − (ω t − kx2 + ϕ 0 ) = k(x2 − x1 ) Medida de la intensidad sonora Se establece una escala logarítmica y el nivel se mide en decibelios (dB)

β = 10 log

I I0

β = nivel de intensidad sonora (dB) I = Intensidad del sonido ( W / m 2 ) I 0 = intensidad umbral por debajo de la cual los sonidos no se oyen. Para el oído humano

I 0 = 10 −12 W / m 2 Interferencia de ondas coherentes Dos ondas armónicas son coherentes si están en fase o la diferencia de fase es constante.

⎧ y1 = Asen(ω t − kx1 ) ⎫ x1 + x2 ⎞ ⎛ ⎛ x − x1 ⎞ con A'=2Acos ⎜ k 2 ⎨ ⎬ = A' sen ⎜⎝ ω t − k ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ ⎩ y2 = Asen(ω t − kx2 ) ⎭ La interferencia será totalmente constructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un número entero de longitudes de onda o la diferencia de fase sea un número par de π.

⎧ x2 − x1 = nλ ⎨ ⎩ Δϕ = 2nπ La interferencia será totalmente destructiva cuando la diferencia de caminos recorrida sea un número impar de semilongitudes de onda o cuando la diferencia de fase sea un número impar de π .

λ ⎧ ⎪ x2 − x1 = (2n + 1) 2 ⎨ ⎪⎩ Δϕ = (2n + 1)π Interferencia de ondas estacionarias 10

Es la interferencia de ondas idénticas que se propagan en sentidos contrarios:

⎧ y1 = Asen (ω t − kx ) ⎫ ⎨ ⎬ = A' sen (ω t ) con A'=2Acos(kx) ⎩ y2 = Asen(ω t + kx) ⎭ Nótese que el resultado de la interferencia no es una onda puesto que la elongación no depende de x y para ser onda debe depende de x y t. La amplitud será máxima (vientres) cuando: x = 2n

λ 4

λ 4 λ La distancia entre dos vientres consecutivos es: dv = 2 λ La distancia entre dos nodos consecutivos es: dn = 2 La amplitud será mínima (nodos) cuando x = (2n + 1)

La distancia entre un nodo y un vientre consecutivo es: dvn =

11

λ 4