Modelo Matricial para el Cálculo de Pórticos de Inercia Variable y Estudio del Pandeo por Flexión para Elementos de Sección Variable

Tesis presentada para optar al Titulo de Ingeniero Civil en Obras Civiles

Profesor Patrocinante Sr. Julio Lopetegui Torres Ingeniero Civil, Dr. en Ingenieria Profesor Patrocinante Sr. Alejandro Niño Solis Ingeniero Civil, M. Sc. de la Ingenieria Profesor Informante Sr. Adolfo Castro Bustamante Ingeniero Civil, M. Sc de la Ingenieria

Luis Franklin Antonio Stuardo Alarcón Valdivia – Chile 2010

Y así, después de esperar tanto, un día como cualquier otro decidí triunfar... Decidí no esperar a las oportunidades, sino yo mismo buscarlas Decidí ver cada problema como la oportunidad de encontrar una solución Decidí ver cada noche como un misterio a resolver Decidí ver cada día como una nueva oportunidad de ser feliz. Aquel día descubrí que mi único rival no eran más que mis propias debilidades, y que en éstas está la única y la mejor forma de superarnos. Descubrí que no era yo el mejor, y que quizás nunca lo fuí. Me dejó de importar quién ganara o perdiera. Ahora me importa simplemente saberme mejor que ayer. Aprendí que lo difícil no es no llegar a la cima, sino jamás dejar de subir. Aprendí que el mejor triunfo que puedo tener es tener el derecho de llamar a alguien amigo. Descubrí que el amor es más que un simple estado de enamoramiento, "el amor es una filosofía de vida". Aquel día dejé de ser un reflejo de mis escasos triunfos pasados y empecé a ser mi propia tenue luz de este presente. Aprendí que de nada sirve ser luz si no vas a iluminar el camino de los demás. Aquel día decidí cambiar tantas cosas. Aquel día aprendí que los sueños son solamente para hacerse realidad. Desde aquel día yo ya no duermo para descansar... ahora simplemente duermo para soñar. Walt Disney

Si piensas que estas vencido, lo estas. Si piensas que no te atreves, así es. Si te gusta ganar, pero piensas que no puedes, es casi seguro: no ganarás. Si piensas que perderás, estas perdido, pues el mundo nos enseña que el éxito empieza en la voluntad del hombre... Todo esta en el estado de ánimo. Si piensas que eres superior, lo eres. Has tenido que pensar alto para ascender. Has tenido que estar seguro de ti mismo antes de ganar ningún premio. Las batallas de la vida no siempre favorecen al hombre mas fuerte o al mas rápido, pero tarde o temprano el hombre que gana ¡es el hombre que PIENSA QUE PUEDE! Napoleón Hill

Padres, he aquí un objetivo cumplido, un sueño hecho realidad, una meta alcanzada…no ha sido fácil… pero siempre he sentido su apoyo y preocupación, Hermanos, unidos hemos superado grandes peligros y dificultadas, y aquí estamos, juntos nuevamente, Amor, gracias por aparecer en mi vida, por darle sentido a muchas cosas alentándome a ser cada vez mejor, Familia, esto es para ustedes con el afán de seguir soñando, con la ambición de seguir creyendo que con esfuerzo todo se consigue y que los sueños están para nunca dejar de soñar… Franklin Stuardo

Índice General

Índice General

i

Índice de Tablas

iii

Índice de Figuras

vi

Resumen

. ix

Summary

. ix

CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN

1

1.1

Antecedentes Generales

1

1.2

Revisión Bibliográfica

3

1.3

Objetivos y Alcances

5

1.3.1 Objetivo General

5

1.3.2 Objetivos Específicos

5

Metodología y Materiales Empelados

6

1.4.1 Metodología

6

1.4.2 Materiales

7

1.4

CAPÍTULO II LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINÚA

8

2.1.

Antecedentes Generales

8

2.2.

Consideraciones e Hipótesis a Utilizar

14

2.3.

Columna de Inercia Variable Biarticulada

16

2.4.

Columna de Inercia Variable Empotrada – Libre

22

2.4.1 Caso A: Empotrada – Libre

22

2.4.2 Caso B: Libre – Empotrada

31

2.5.

Columna de Inercia Variable Biempotrada

38

2.6.

Columna de Inercia Variable Biempotrada con Posibilidades de Desplazamiento Lateral Relativo entre sus Extremos

2.7.

45

Columna de Inercia Variable Empotrada en un Extremo y Articulada en el otro

52

2.7.1 Caso A: Empotrada – Articulada

52

2.7.2 Caso B: Articulada – Empotrada

60

i

Índice General

CAPÍTULO III MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO PRISMÁTICO

66

3.1.

Antecedentes Generales

66

3.2.

Matriz de Rigidez para Elementos No Prismáticos

66

3.3.

Transformación de Rigideces al Cambiar de Sistema

3.4.

de Coordenadas

70

Resolución de las integrales de flexibilidad

74

CAPÍTULO IV CONCLUSIONES

76

Bibliografía

78

Anexo A

Cálculo de la Carga de Pandeo para un elemento de sección constante con el Programa SAP2000

Anexo B

Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento No Prismático con el Programa Sap2000

Anexo C

80 96

Ejemplo de Aplicación del Análisis Matricial de un Marco Compuesto por Elementos de Sección Variable (Resuelto en el Programa MathCad)

Anexo D

106

Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación 118

ii

Índice de Tablas

INDICE DE TABLAS Capítulo II:

La Barra de sección Variable Continua. Página

Tabla 2.1:

Valores del factor m de Ec.2.23 para
 2

13

Tabla 2.2:

Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de

13

sección constate (Valores Teóricos y Recomendados). Tabla 2.3:

Parámetro m para la barra biarticulada no prismática.

18

Tabla 2.4:

Coeficiente de esbeltez,  , para la barra biarticulada no

21

prismática. Tabla 2.5:

Coeficientes δ para la barra biarticulada no prismática

26

Tabla 2.6:

Parámetro m para la barra empotrada - libre no prismática.

28

Tabla 2.7:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra empotrada libre

30

no prismática. Tabla 2.8:

para la barra Libre Empotrada no

33

Parámetro m para la barra libre – empotrada no

35

Coeficientes  prismática.

Tabla 2.9:

prismática. Tabla 2.10:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra libre - empotrada

37

no prismática. Tabla 2.11:

Parámetro m para la barra biempotrada no prismática

42

Tabla 2.12:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra biempotrada no

44

prismática Tabla 2.13:

Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con

48

desplazamiento lateral relativo entre sus extremos. Tabla 2.14:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra Biempotrada no

51

prismática con desplazamiento lateral relativo entre sus extremos Tabla 2.15:

Coeficientes  para la barra no prismática empotrada en

55

un extremo y articulada en el otro Tabla 2.16:

Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un

56

extremo y articulada en el otro.

iii

Índice de Tablas

Página Tabla 2.17:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra no prismática

59

empotrada en un extremo y articulada en el otro. Tabla 2.18:

Parámetro m para la barra no prismática articulada en un

63

extremo y empotrada en el otro. Tabla 2.19:

Coeficiente de esbeltez, , para la barra no prismática

65

articulada en un extremo y empotrada en el otro.

Anexo A:

Cálculo de la Carga de Pandeo con el Programa SAP2000 Página

Tabla A.1:

Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un

95

elemento sección constante

Anexo B:

Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000 Página

Tabla B.1:

Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un

105

elemento sección variable (no prismático) Tabla B.2:

Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento

105

con variación de inercia lineal y otro con

variación parabólica

Anexo D:

Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación. Página

Tabla C.1:

Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,

118

Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada

y Empotrada – Articulada,

respectivamente.

iv

Índice de Tablas

Página Tabla C.2:

Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,

119

Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre, respectivamente. Tabla C 3:

Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,

120

Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática

Libre

–

Empotrado

y

Biarticulado,

respectivamente Tabla C.4:

Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica,

121

Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática

Biempotrada

con

Desplazamiento

Lateral

Relativo.

v

Índice de Figuras

INDICE DE FIGURAS

CAPITULO II La Barra de sección Variable continua. Página Figura 2.1:

Barra de sección variable modeladas con
 2.

9

Figura 2.2:

Esquema de la barra usada por Timoshenko.

10

Figura 2.3:

Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable.

15

Figura 2.4:

Columna

de

inercia

Variable

Biarticulada

en

sus

16

Deformada de la Columna de inercia Variable Biarticulada

20

extremos. Figura 2.5:

en sus extremos. Figura 2.6:

Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y

22

libre en el otro. Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el

25

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 1. Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el

25

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 5 Figura 2.7c:

Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el

26

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 8 Figura 2.8:

Deformadas

de

la

Columna

de

inercia

Variable

29

empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos laterales. Figura 2.9:

Columna de inercia Variable libre en un extremo y

31

empotrada en el otro. Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el

33

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 9 vi

Índice de Figuras Página Figura 2.11: Deformadas

de

la

Columna

de

inercia

Variable

36

empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus

38

extremos Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada

43

en sus extremos. Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus

45

extremos con posibilidades de desplazamiento relativo entre sus nudos. Figura 2.15: Deformada

de

la

Biempotrada con

Columna

de

inercia

Variable

49

desplazamiento relativo entre sus

extremos Figura 2.16: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y

52

articulada en el otro. Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el

55

Método Newton-Rhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 25. Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada

58

en un extremo y articulada en el otro. Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y

60

empotrada en el otro. Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada

64

en un extremo y empotrada en el otro.

vii

Índice de Figuras CAPITULO III Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático. Página Figura 3.1:

Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

67

Figura 3.3:

Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

67

Figura 3.2:

Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección

68

T; (b) Sección Rectangular; (c)

Sección Circular;

(d) Sección Cuadrada Figura 3.4:

Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

74

Figura 3.6:

Resolución en MathCad de la integral definida en

75

ecuación 3.2

viii

Resumen Este estudio es desarrollado para contribuir al análisis de los elementos de sección variable, generalizando el método matricial para este tipo de elementos, definiendo y resolviendo claramente cada una de las integrales de flexibilidad, con las cuales se obtienen los coeficientes de rigidez y así definir la matriz característica para un elemento no prismático. Además se muestra la resolución de un pórtico compuesto por elementos de sección constante y sección variable, resolviendo el problema en una hoja de cálculo en el programa MathCad. También se estudia el pandeo por flexión para un elemento aislado de sección variables con variadas condiciones de sustentación (Biempotrada, Biarticulada, Empotrado – Libre con y sin desplazamiento Lateral, Articulado – Empotrado) de donde se deducen: la ecuación para la deformada, la carga crítica de pandeo, la longitud de pandeo y el coeficiente de esbeltez para cada uno de los casos analizados. Las formulaciones desarrolladas se comparan con los resultados que se obtienen al modelar los elementos en el programa SAP2000, para lo cual se entrega un práctico manual de este programa para análisis y calculo de estructuras, que explica la forma y parámetros necesarios para modelar elementos de sección variable, y cómo conseguir que el programa determine la carga critica de pandeo para un elemento cualquiera.

Summary This study was developed to help analyze the elements of the variable section, generalizing the matrix method for these elements, clearly defining and solving each of the integrals of flexibility, which yields the stiffness coefficients and define the feature matrix for a non-prismatic element. It also shows the resolution of a frame composed of elements of constant section and section variable, solving the problem in a MathCard¨s spreadsheet program. We also studied the flexural buckling for a single element of the variable section with various conditions of support (fixed-ended, bi-articulated, Built - Free movement with or without Lateral, Articulated - Built) from which it is deducted: the equation for the deformed, the critical buckling load, the buckling length and the slenderness coefficient for each of the cases analyzed. The developed formulations are compared with the results obtained by SAP2000 modeling program. A practical manual of this program is included for the analysis and calculation of structures, which explains the form and parameters necessary to model elements of the variable section, and how to get the program to determine the critical buckling load for any element. ix

Capítulo I: Introducción

CAPITULO I

INTRODUCCION

1.1.

ANTECEDENTES GENERALES Los métodos clásicos de análisis estructural que se desarrollaron a fines del siglo

XIX, tienen las cualidades de la generalidad, simplicidad lógica y elegancia matemática. Desgraciadamente, conducían a menudo a cálculos muy laboriosos cuando se aplicaban en casos prácticos, y en aquella época, esto era un gran defecto. Por esta razón sucesivas generaciones de ingenieros se dedicaron a tratar de reducir el conjunto de cálculo. Muchas técnicas ingeniosas de gran valor práctico fueron apareciendo (Método de Cross), pero la mayoría de las mismas eran aplicables solo a determinados tipos de estructuras. La aparición del computador a comienzos del siglo XX, hizo posible la resolución de los enormes sistemas de ecuaciones lineales que planteaban los primeros métodos de análisis. En donde el análisis matricial saco amplia ventaja debido a los siguientes hechos: primero, proporciona un medio matemático muy cómodo para expresar la teoría; segundo, la solución que expresa la teoría puede obtenerse fácilmente mediante una secuencia de operadores matriciales, secuencias que el computador pudo resolver fácilmente. En el mundo de la ingeniería, cada vez causan más atracción los elementos de sección variable, ya que permiten una mejor optimización de la estructura y un consecuente ahorro de material, sobre todo en pórticos donde las luces a salvar son muy elevadas. Estos cambios de geometría que se producen en una estructura o elemento estructural suelen traducirse en una disminución de su capacidad para soportar cargas, de manera que el colapso se produce para cargas inferiores a las teóricamente necesarias, fenómeno conocido como inestabilidad del equilibrio elástico (pandeo por flexión). Para enfrentar el diseño de los elementos de sección variable, los ingenieros recurren a métodos aproximados basados en considerar al elemento de inercia variable como un número finito de elementos de inercia constante que pueden proporcionar soluciones adecuadamente exactas, ya que el cálculo por ordenador ha hecho posible dividir la pieza de una manera eficiente; pero no aportan soluciones generales que permitan definir la forma general del comportamiento estructural. De esta manera,

1

Capítulo I: Introducción

parámetros fundamentales como la esbeltez no encuentran, si se recurre a una discretización, una definición adecuada en nuestra opinión, ya que vendrá siempre referida a elementos parciales y no al elemento global. Al

momento

del

calcular

y

diseñar

estructuras,

es

frecuente

el

sobredimensionamiento de los elementos de sección variable, para tener la seguridad de que el pandeo no será un problema. Esta es una práctica que va en contra de la filosofía de la barra de inercia variable, ya que son elementos fabricados para optimizar. A esto se suma que la información disponible en la bibliografía sobre elementos de sección variable referente a su matriz de rigidez y, más aún, al pandeo por flexión es bastante escasa y tal vez se deba a la enorme proliferación de aplicaciones informáticas que realizan el cálculo de estos elementos con métodos aproximados, lo que ha dado lugar al abandono de este tema por parte de los investigadores. Por tanto se abordará el problema haciendo un análisis cualitativo completo de la barra de inercia variable, obteniendo sus diferentes rigideces, abarcando el fenómeno del pandeo por flexión, para así poder abordar modelos de cálculos válidos y fiables. Para esto, se seguirá la vía analítica para la resolución de las condiciones de equilibrio, ecuaciones de la curva elástica, cargas de pandeo y otros parámetros de interés, ya que es la única manera de conocer cómo se comporta la barra de inercia variable en un sistema estructural global, teniendo presente que el abandono de la simplicidad y potencia de los modelos numéricos, será una tarea difícil de llevar. Para dar un uso práctico al estudio, se comparará la metodología propuesta con los resultados obtenidos usando las herramientas para el cálculo de estructuras que están implementadas en el Programa SAP2000, tanto para obtener la carga critica como para calculo de elementos de sección variable.

2

Capítulo I: Introducción

1.2.

REVISION BIBLIOGRAFICA Para el estudio del pandeo en barras de inercia variable, Timoshenko et al (1961)

estudio por el método de bifurcación, elementos con variación de inercia según la ley:  


 
 

(Ec. 1.1)



Particularizada para n=2 y n=4, empotrados en su base, y libres en su extremo superior, sometidos a un esfuerzo de compresión axial constate a lo largo de toda su longitud La ecuación diferencial de la elástica de esta pieza es:  






 

   0

(Ec. 1.2)

Cuya solucion es 





    sin  ln   cos  ln



(Ec. 1.3

Con !"



   # $ %

(Ec. 1.4)

Aplicando las condiciones de contorno y los principios propios de la teoría de bifurcación del equilibrio, se obtiene la ecuación: ()

tan  ln 



 2  0

(Ec. 1.5)

Donde conociendo los valores de +  -, puede deducirse el menor valor de  que satisface la ecuación 1.5. Así el valor de la carga critica puede calculares por medio de la ecuación 1.4 al ser conocidos +, ,
  . Para el mismo caso, y aplicando los mismos principios V. Cudos y F. Quinteros (1988) afirman que la carga critica de un voladizo con inercia variable según la ley cuadrática, es igual a la de otro de inercia constante de valor:


/0  1
(Ec. 1.6)

Donde:

14

3  (4, 5 6

1 $ 8 , 19: 8 



()

(Ec. 1.7)

Siendo  la solución de la ecuación 1.5 para +  - conocidos.

3

Capítulo I: Introducción

Estos autores consideran que la aplicación de la ley de inercia propuesta por Timoshenko se puede hacer extensiva al caso de perfiles en Doble T de ala constante y alma de canto variable linealmente, si se desprecia la aportación del alma en la definición del momento de inercia. Balli y Mazzolani (1983) proponen el siguiente valor para el coeficiente c de la ecuación 1.6, en piezas biarticuladas:

1  0,08  0,92=

(Ec. 1.8)

Dentro del mismo contexto, pero con un enfoque ligeramente diferente Galambos (1987) considera que el cálculo de vigas ahusadas biarticuladas puede reducirse al cálculo de vigas de inercia constante igual a la inercia mínima de la viga
/0 
 y longitud

-/0  > -,

)

)

)

19: >  1 $ 0,375   0,08  1 $ 0,0775 







(Ec. 1.9)

Por otra parte, Belluzi (1967) propone emplear el método energético para abordar el problema de la barra de inercia variable, de tal maneta que la carga de pandeo se ajusta a una expresión del tipo:

B/C



H D EI F G   HJK EI LK 

(Ec. 1.10)

O bien:

BMC



H

D EI NF GG   H EI F G  

(Ec. 1.11)

Dependiendo de si se usa el momento externo o interno en el cálculo del trabajo de deformación, se usa una u otra expresión. La dificultad del método energético radica en la estimación de una ley de la deformada =, que se ajuste bien al problema. No obstante, basta con que la ecuación cumpla con las condiciones de contorno de la barra para obtener una buena aproximación de la carga de pandeo. Además, siempre se puede seguir afinar en la ecuación de la deformada por iteraciones sucesivas.

4

Capítulo I: Introducción

1.3.

OBJETIVOS Y ALCANCES

1.3.1. OBJETIVO GENERAL Calcular pórticos compuestos por elementos de Inercia Variable y estudiar el Pandeo por Flexión en elementos de sección variable. 1.3.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS a. Generalizar el método matricial para la barra de sección variable, obteniendo cada una de sus rigideces (Rigidez Axial, al Desplazamiento y al Giro). b. Obtener la matriz de rigidez necesaria para analizar un pórtico conformado por elementos de sección variable. c. Estudiar el pandeo por flexión en las barras de inercia variable con base en los trabajos realizados por Timoshenko. d. Análisis sistemático del fenómeno de pandeo por flexión en la barra aislada de inercia variable mediante el uso de la vía analítica. Observando cómo se comporta bajo diferentes condiciones de sustentación. e. Resolución de algunos problemas prácticos para verificar la metodología propuesta frente a resultados de otros métodos recogidos en la bibliografía. f. Uso del Programa Sap2000 para modelar elementos tipo frame de sección variable y obtener la carga de pandeo g. Aportar al estudio de los problemas de inestabilidad en pórticos de elementos de sección variable. Concepto existente en casi todas las normas de cálculo y diseño a nivel mundial.

5

Capítulo I: Introducción

1.4.

METODOLOGIA Y MATERIALES EMPLEADOS

1.4.1. METODOLOGIA Para cumplir con los objetivos y fines del presente trabajo de titulación, es necesario emplear un conjunto de métodos físicos y matemáticos, así como una gran cantidad de medios instrumentales, que permitan dar sustento a las conclusiones obtenidas. Para lograr completar el análisis matricial de los pórticos de inercia variable y el pandeo por flexión en los elementos de sección variable, el presente trabajo se divide en 3 grandes partes: La primera parte se encarga de estudiar el pandeo por flexión en la barra ideal de inercia variable rescatando los trabajos realizados por Timoshenko. La segunda parte tiene por objeto la obtención de la matriz de rigidez para un elemento viga-columna de inercia variable y su aplicación en el cálculo y análisis de un pórtico conformado por elementos de inercia variable. Y la última parte, consta de 2 anexos que prácticamente forman un básico tutorial del programa SAP2000 v14 que pretende orientar sobre la modelación de elementos y sistemas estructurales, de sección constante y/o sección variable, así como las metodologías y procedimientos que se deben usar en el programa para determinar la carga de pandeo de estos elementos. Dado que la literatura es bastante deficiente respecto a la sección variable, ha sido difícil contar con ejemplos y ejercicios que permitan validar las formulaciones planteadas en este trabajo de titulación, por lo cual se ha escogido el programa SAP2000 v14 para la comprobación de los problemas a resolver aplicando las formulaciones desarrolladas en los siguientes capítulos. Así el Anexo 1 se centra en explicar cómo calcular la carga de pandeo en un elemento de sección constante y el resultado obtenido se comprueba con las fórmulas para el pandeo de Euler de un elemento de sección constante, ampliamente usadas y estudiadas en la literatura actual. Y el Anexo 2, emplea el procedimiento expuesto en el Anexo 1 pero aplicado al cálculo de la carga de pandeo para un elemento no prismático modelado en el programa SAP2000, así se puede dar sustento a los objetivos planteados en este trabajo de titulación. Se pretende que el presente trabajo sea una herramienta útil en el conocimiento y estudio de los elementos de sección variable y una muestra de los beneficios que se obtienen al complementar los métodos tradicionales de análisis estructural con los avances computacionales existentes en la actualidad.

6

Capítulo I: Introducción

1.4.2. MATERIALES A continuación se describen los medios instrumentales y métodos no propios empleados en la elaboración de este trabajo de titulación, necesarios para dar solución a los objetivos planteados: a. Computador Personal HP EliteBook 8530w: -

Procesador Inter® Core™ 2 Duo, CPU

-

CPU T9400 @ 2.53GHz

-

2 GB en memoria RAM

b. Impresora Multifuncional Epson c. Conexión a Internet d. Programas Informáticos: -

Microsoft Word: Editor de texto

-

Microsoft Excel: Editor hojas de calculo

-

MathCad 14: Programa algebraico con prestaciones de cálculo numérico y simbólico, herramientas de programación y trabajo de matrices.

-

AutoCad MAP 2010: Programa de diseño asistido por ordenador para dibujos en 2D y 3D.

7

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

CAPITULO II

LA BARRA DE SECCION VARIABLE CONTINUA

2.1.

ANTECEDENTES GENERALES A continuación se revisará la teoría propuesta por Timoshenko & Gere en su libro

Theory of Elastic Stability, formulación que servirá de base para el desarrollo del presente capítulo. Timoshenko et al. (1961) plantea que para estudiar el pandeo en una barra de inercia variable con eje centroidal idealmente recto, lo primero es definir una geometría, para lo que propuso la siguiente Ley General de Variación de Inercia: 

Donde:


 
  

(Ec. 2.1)

: Longitud de la barra

I : Momento de inercia menor de la barra

a: Longitud ficticia que resulta de prolongar las aristas de la barra hasta su concurrencia (Fig. 2.1)

n: corresponde al tipo de variación a usar, pudiendo obtenerse una variación lineal, parabólica, cubica, etc., según sea el valor a indicar.

Cuando n  1 se obtiene el caso de una columna con la forma de una placa de

espesor constante t y ancho variable (Fig. 2.1). El exponente n  2, representa bastante

bien la mayoría de las secciones empeladas en la construcción, en especial las secciones rectangulares, secciones en I o doble T y columnas de celosía (por ejemplo una columna formada por 4 ángulos conectados por diagonales)

8

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Figura 2.1: Barras de sección variable modeladas con   2

En la Fig. 2.1 también se definen el puntos inicial  y final    de la barra, y

es posible asociar a cada extremo los parámetros de Momento de Inercia de la sección respecto aje centroidal    , Área de la sección transversal     y Canto

de la sección (   ). En base a estos parámetros se puede establecer el llamado coeficiente de ahusamiento de la barra, denominado con la letra griega

(Timoshenko et al. 1961)







γ.

(Ec. 2.2)

Según lo planteado anteriormente es posible obtener una relación directa entre los momentos de inercia para los extremos de la barra: Momento de inercia nudo inicial:

Momento de inercia nudo final:

 


 
  
 

 


   
 




 1   


!  

(Ec. 2.3)





(Ec. 2.4)

Luego de reescribir la ecuación anterior, se obtiene la relación buscada: "#$% "#



"# &'( "#

 1  

(Ec. 2.5)

9

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Una vez definida la geometría de la barra Timoshenko et al. (1961) basado en el método estático estudió una barra Empotrada - Libre sometida a una carga axial P en ambos extremos (Fig. 2.2).

Figura. 2.2: Esquema de la barra usada por Timoshenko

La carga critica según la teoría de bifurcación del equilibro considerando pequeñas deformación resulta de la resolución de la siguiente ecuación diferencial:   *(+

)
  

* (

 ,- . ,∆ 0

(Ec. 2.6)

Y al aplicar las condiciones de contorno es posible conseguir una solución no trivial. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde al tipo de ecuación de Euler y se transforma en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes al realizar el siguiente cambio de variable: 



 12

(Ec. 2.7)

10

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

De donde se obtiene que

  y por lo tanto:

*2

&

*

*+ *2



*+ *2

*2 *



& *+

 *2

33 1 31 3 33- 3 1 1 3  - 1 3 4 6  4 6  4 6  . 3  3  35  3 35 35 3    35    35

(Ec. 2.8)

Reescribiendo la ecuación 2.8 resulta 

3  - 3  - 3 . 3  35  35

(Ec. 2.9)

Y sustituyendo la ecuación 2.9 en la ecuación 2.6 queda:

. (

*(+ *2

*+ *2



7( 8"#

-.

∆( 8"#

-" . -´  :   - . :   ∆ 0,

0

(Ec. 2.10)

! :  

, )


(Ec. 2.11)

Esta ecuación de coeficientes constantes tiene la siguiente solución general: -5  √1 2 = sin @5  A cos @5  ∆

(Ec. 2.12)

donde A y B son constantes de integración y

, 1 1 :  1  D @D .  D: .  4 6 . )
 4 4  4

(Ec. 2.13)

Desasiendo el cambio de variable, la ecuación 2.12 queda    -  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  ∆   

(Ec. 2.14)

y las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  ∆ ; -    0 ; -´    0

Usando la primera condición, se tiene que:

   -  ∆ F G= sin @ ln  A cos @ ln I  ∆ ,   

! ln

 0 

-  0  L= sin0  A cos0M , NO3! sin0  0 - cos0  1 P A0

(Ec. 2.15)

(Ec. 2.16)

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición considerando el valor

ya obtenido para la constante A  0 :

-    0  F

 

G= sin @ ln

 

I  ∆ , NO3!    

(Ec. 2.17)

11

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA -    0  Q1  L= sin@ ln1  M  ∆ P =.

(Ec. 2.18)

∆

Q1  Lsin@ ln1  M

(Ec. 2.19)

Así la ecuación de la deformada queda:

 ∆  -  .F R sin @ ln S  ∆  Q1  Lsin@ ln1  M 

(Ec. 2.20)

-´ 

 ∆  .∆ @ cos @ ln  . 2 sin @ ln 

(Ec. 2.21)

-" 

 ∆ sin @ ln  4@   1

(Ec. 2.22)

Y sus derivadas son:

 sin@ ln1   Q1  F

4 sin@ ln1

 

T

    Q1   

Finalmente aplicando la última condición es posible obtener los parámetros que definen a la carga de pandeo crítica: -´    0 

 ∆   . 2 sin @ ln  , !       sin@ ln1   Q1  F 

.∆ @ cos @ ln

-´    0  ∆ @ cos@ ln1   .  sin@ ln1   ∆

P tanL@ ln1  M  .2@

(Ec. 2.23)

Esta relación es una ecuación trigonométrica de difícil solución, en donde

conociendo los parámetros  -  (o su grado de ahusamiento, ) es posible obtener el coeficiente @ que satisface ésta ecuación. Luego se podrá calcular el valor para la carga

de pandeo al trabajar con la siguiente expresión en función de los parámetros @ - ,

obtenida a partir de la ecuación 2.23, asi:

1 1 . V @   )
 4 4

,

@D

P ,WX 

1   @   4 )
 



Y)
 

  ,WX  )


1 ! Y    4@   6 4

(Ec. 2.24)

(Ec. 2.25)

Para subsanar esta dificultad Timoshenko et al. (1961) propone resolver la ecuación en forma numérica, valores entregados en Tabla 2.1 que demuestran la

12

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

convergencia de la ecuación 2.25 hacia la carga de pandeo de Euler para una barra Empotrada - Libre de inercia constante a medida que la inercia del punto inicial (inercia mínima) se aproxima a la inercia del punto final (inercia máxima), es decir, la barra se transforma en un elemento de inercia constante:  / m

"#

"#

%$Z1

Tabla 2.1: Valores del factor m de Ec.2.23 para n=2 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,250 1,350 1,593 1,763 1,904 2,023 2,128 2,223 2,311 2,392 \] /^

Se aprecia claramente cuando las inercias de los extremos se igualan, el valor del coeficiente m es el valor de la carga critica de Euler para vigas de inercia constante de una barra Empotrada - Libre ampliamente descrita en la bibliografía. Este hecho nos permite afirmar que la formulación expresada en la ecuación 2.25 representa un enfoque más general del valor de la carga critica que el descrito para vigas de inercia constante y nos determina un modo de trabajo en el todo análogo a los descritos por los métodos clásicos para las vigas de inercia constate, las cuales solo representan un caso particular de la formulación aquí descrita. _  )
 ,WX  4 

(Ec. 2.26)

Basados en esta demostración y en los trabajos realizados por Timoshenko et al. (1961), se desarrollarán en los siguientes apartados los 5 casos del pandeo de Euler para una columna de inercia constante tratados ampliamente en la literatura (ver tabla 2.2), pero teniendo en cuenta que la inercia es variable, obteniendo la ecuación diferencial para el equilibrio de momentos en cada caso, y trabajando las expresiones de la misma forma que se hizo anteriormente se conseguirá la carga de pandeo, longitud de pandeo y ecuación de la deformada para casa situación. Tabla 2.2: Coeficientes de longitud de Pandeo para una columna de sección constante (Valores Teóricos y Recomendados)

Fuente Libro diseño de estructuras en acero, ICHA

13

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.2.

CONSIDERACIONES E HIPOTESIS A UTILIZAR

La barra a estudiar tendrá las siguientes características (Fig 2.3):
Longitud de la barra: 


Longitud de convergencia de aristas: 


Canto mínimo: `


Canto máximo `


Área mínima: =


Área máxima: =


Momento de inercia mínimo:



Momento de inercia máximo:

Coeficiente de ahusamiento:



 

(Ec. 2.27)


Peso propio del elemento despreciable
Inercia variable según la ley de Timoshenko:  
 
  

(Ec. 2.28)

De donde se obtienen las siguientes relaciones: -

Relación entre las inercias extremas (
 -
 :
 
 1   V   D

-


 .1


(Ec. 2.29)

Relación entre los cantos extremos para una barra de sección rectangular (` - ` :

  a` T a` T  
 
  V    12 12  P

` 

(

 b `  

(Ec. 2.30)

14

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.3: Esquema de la Columna Tipo de inercia Variable

15

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.3.

COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIARTICULADA Figura 2.4: Columna de inercia Variable Biarticulada en sus extremos.

Análisis Estático

Momento externo: cde  , · -

(Ec. 2.31)

 

Momento interno: cg e  .)
 · -"  .)
  · -"

(Ec. 2.32)

Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio para la

barra:

  )
  -"  ,-  0 

Haciendo el cambio de variable





(Ec. 2.33)

 1 2 y operando de la misma forma descrita en

el punto 2.1 resulta la siguiente ecuación diferencial: -"5  :   -5  0,

! :  

, )


(Ec. 2.34)

16

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo: h 

! @  F .

-  F G= sin @ ln  A cos @ ln I 











'

& i

(Ec. 2.35)

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  0 ; -    0 ;

-´  0 ;

De la primera condición, se tiene:

-´    0

(Ec. 2.36)

    -  0  F G= sin @ ln  A cos @ ln I , jkl 3! ln  0    

-  0  = sin0  A cos0 , NO3! sin0  0 - cos0  1 P A0

(Ec. 2.37)

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido

para la constante A  0 : -    0  F

 

G= sin @ ln

 

I , NO3!   

-    0  Q1  L= sin@ ln1  M



(Ec. 2.38) (Ec. 2.39)

Por lo que la constante A tiene infinitas soluciones.

Carga de Pandeo

Recordando que según la teoría de bifurcación del equilibrio para ,  ,WX

la viga puede permanecer recta o bien curvarse, la obtención de la carga critica para la pieza objeto de estudio es igual a:

0  sin@ ln1   , 33! mN1  n 0 - = o 0

Cuya solución general es:

@ ln1    _ ,

!   1,2,3 ….

(Ec. 2.40)

(Ec. 2.41)

El menor valor de @ compatible con la configuración deformada se obtiene sin

más que hacer   1 en la ecuación anterior, lo cual conduce a: @

_ ln1  

(Ec. 2.42)

Sustituyendo @ por el valor indicado en la ecuación 2.24 y operando

adecuadamente se deduce que el valor para la carga crítica de la barra es:

17

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA  :  1 _ ,WX 4 6 . s t , 3!31 :    4 ln1   )


(Ec. 2.43)

,WX  1 _ .  )
   4 ln 1  

,WX    R

4_   ln 1   )
 S  4 ln 1   

(Ec. 2.44)

Este resultado permite reescribir la ecuación 2.44 de la siguiente manera: )
 ,WX  Y  

4_   ln 1   ! Y   R S 4 ln 1   

(Ec. 2.45)

Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (). Tomando límite de m para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene: 4_   ln 1    S   _ lim R 'Vv 4 ln 1  

(Ec. 2.46)

lim Y  _ 

'Vv

Así, la carga de pandeo queda: ,WX  _ 

)
 

(Ec. 2.47)

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biarticulada

con inercia constante
 .

Tabla 2.3: Parámetro m para la barra biarticulada no prismática γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47

De las ecuaciones 2.37 y 2.42 se deduce que cuando la carga axial compresora

es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión:  _  -  =F sin 4 ln 6  ln1   

(Ec. 2.48)

18

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Y sus derivadas son:

-´  -" 

  _ ln _ ln    =F w 2_ !O x y  ln1   Ol x yz ln1   ln1   2  ln1  

 _ ln  = Ol x y  ln1    4_   ln1    4   ln 1   F

(Ec. 2.49)

(Ec. 2.50)

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra (Timoshenko et al. 1961) En la Figura 2.5 se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad, en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

-

La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja

y azul que corresponde a los valores para =  1 - =  2 respectivamente)

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza en el eje X.

-

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

19

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.5: Deformada de la Columna de inercia Variable Biarticulada en sus extremos.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:

-"  0 

 _ ln  = Ol x y  ln 1    4_   ln1    4   ln 1   F

(Ec. 2.51)

Como δ o 0,  o 0 y  o 0 la solución para la ecuación anterior es: Ol }

Cuya solución es:

 _ ln 

ln1  

 _ ln 

ln1  

 _ ,

~0

!   0,1,2, ….

(Ec. 2.52)

(Ec. 2.53)

20

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

ln

ln

   ln1   

 

 ln 41  6 1klYl3!      

 41  6  

(Ec. 2.54)

Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos

encontrar  tal que    -      l   0:

l   1: Así:





 1 V v  

(Ec. 2.55)

   1  V &      

(Ec. 2.56)

h  ∆   .      .   

(Ec. 2.57)

Por lo tanto la longitud de pandeo es igual a la longitud real de la barra, L, al igual que en el caso de la barra de inercia constante, con lo que el coeficiente de esbeltez es   1. Esto nos permite afirmar que la longitud de pandeo de una columna

biarticulada no prismática es siempre igual a su propia longitud, independientemente de su grado de ahusamiento. Tabla 2.4: Coeficiente de esbeltez,  , para la barra biarticulada no prismática

γ 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

β 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

21

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.4.

Columna de inercia variable Empotrada - Libre

2.4.1. Caso A: Empotrada – Libre Figura 2.6: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y libre en el otro.

Análisis estático Momento externo: cde  , · - . , · ∆

(Ec. 2.58)

 

Momento interno: cg e  .)
  · -"

(Ec. 2.59)

Igualando ambos momentos llegamos a la siguiente ecuación de equilibrio:  

)
  -"  ,- . , · ∆ 0 Haciendo el cambio de variable





(Ec. 2.60)

 1 2 y operando de la misma forma descrita en

el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial: -"5 . -´5  :   - . :   ∆ 0,

! :  

, )


(Ec. 2.61)

22

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Ecuación diferencial con una solución general del tipo: h 

! @  F .

-  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  ∆ 











'

& i

(Ec. 2.62)

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  0 ; -    ∆ ;

-´  0

De la primera condición, se tiene:

-  0  F G= sin @ ln   A cos @ ln  I  ∆,

jkl 3! ln

 0 







(Ec. 2.64)

-  0  1L= sin0  A cos0M  ∆, NO3! sin0  0 - cos0  1 -  0  A  ∆

P A  .∆

(Ec. 2.65)

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor obtenido

para la constante A  .∆ :

La primera derivada de la ecuación 2.62 es: -´ 

  = sin @ ln   A cos @ ln   2F

Luego

-´  0  -´  0 

# #

   =@ cos @ ln  . A@ sin @ ln  F } ~  

# #

‚ ƒ„…† ‡… ˆ ‰Šƒ† ‡… F

# #

F ‹  

# #

# #

‚† ‰Šƒ† ‡… Œˆ† ƒ„…† ‡… 

= sin0  A cos0 =@ cos0 . A@ sin0 ‹  NO3! ln1  0 2 

-´  0 



A =@  NO3! sin0  0 - cos0  1 2 

P =

∆

†

NO3! A  .∆

(Ec. 2.66)

(Ec. 2.67)

(Ec. 2.68)

(Ec. 2.69)

De las ecuaciones 2.65 y 2.69 se deduce que cuando la carga axial compresora

es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de expresión: -  F G† sin @ ln  . ∆ cos @ ln  I  ∆ 

∆





(Ec. 2.70)

23

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Y sus derivadas:  ∆ sin @ ln 4@   1  -´   4@F  -"  .

(Ec. 2.71)

  ∆4@   1 Gsin @ ln  . 2@ cos @ ln  I T    8 @ 

(Ec. 2.72)



Carga de pandeo Aplicando la segunda condición de contorno -    ∆ F

 

G† sin @ ln ∆

 

. ∆ cos @ ln

 

I  ∆

(Ec. 2.73)

∆  sin@ ln1   . ∆ cos@ ln1    0 jkl 3!    2@ sin@ ln1    2@ cos@ ln1  

tanL@ ln1  M  2@

(Ec. 2.74) (Ec. 2.75)

Esta ecuación trigonométrica es de difícil solución, por lo cual se usará el método grado de ahusamiento que se han abarcado,   { L0,3M

de Newton-Rhapson programado en MathCad para buscar las soluciones de cada

Con el método programado, resulta sencillo modificar el punto de partida para la

iteración según los valores que va encontrando el método. A continuación se muestra

este proceso para el grado de ahusamiento   0.2 (ver imagen 2.7a al 2.7c). Se

observa que con un punto de partida igual a 1, el método entrega valores cero o muy cercano al cero (ver imagen 2.7b), para un valor 5, hay más valores de respuesta pero no se parecía convergencia de la solución (ver imagen 2.7b), finalmente para un valor de partida igual a 8 (ver imagen 2.7c), se obtiene una solución convergente hacia el valor 8.284916066889.

24

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.7a: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método NewtonRhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 1

Figura 2.7b: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método NewtonRhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 5

25

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.7c: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.75 por el Método NewtonRhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 8

Al resolver la ecuación 2.75 para cada grado de ahusamiento de la viga empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento comprendidos entre 0 y 3.

γ 0.2

Tabla 2.5: Coeficientes @ para la barra biarticulada no prismática 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ 8.28 4.37 3.04 2.36 1.94 1.65 1.44 1.28 1.15 1.04 0.94 0.86 0.79 0.73 0.67

Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,

ecuación que tendrá la siguiente forma: @

_ =   A ln1  

(Ec. 2.76)

Remplazando el punto (0.2, 8.285) en la ecuación 2.76 se obtiene la constante B en función de A:

8.285  ‡…&' 0.2=  A ‘

A  0.4808179 . 0.2=

(Ec. 2.77) (Ec. 2.78)

26

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Remplazando el punto (4, 0.466) en la ecuación 2.76 y usando la constante B, se obtiene la constante A: 0.466 

_ 3=  0.4808179 . 0.2= ln1  

(Ec. 2.79)

=  .0.063707

(Ec. 2.80)

A  0.4808179 . 0.2.0.063707  0.493559

(Ec. 2.81)

Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la ecuación 2.78:

Asi la ecuación 2.76 queda:

@

_ .0.063707  0.493559 ln1  

(Ec. 2.82)

Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @  1.94,

valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson

Y despejando ::

@  D4

:  1 _ 6 .  0.493559 . 0.063707  4 ln1  

1  _ 0.493559 . 0.063707  : D   ln 1   4

Anteriormente se demostró que: : 

(Ec. 2.83)

(Ec. 2.84)

, )


Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:

Es decir: ,WX  Y

)
 

_ 1 )
 ,WX  •  R  0.493559 . 0.063707  S–  ln 1   4  ! Y    R

_ 1 0.493559 . 0.063707  S  4 ln 1  

(Ec. 2.85)

(Ec. 2.86)

Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (). Tomando límite de m para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene: lim Y  0.2436 _  Z

'Vv

_ 4

(Ec. 2.87)

27

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

La carga de pandeo queda:

_  )
 ,WX  4 

(Ec. 2.88)

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Empotrada-

Libre con inercia constante
 .

Tabla 2.6: Parámetro m para la barra Empotrada - Libre no prismática γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 2.47 2.76 3.10 3.42 3.74 4.05 4.34 4.62 4.88 5.14 5.39 5.62 5.85 6.06 6.27 6.48

Longitud de pandeo Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.8), en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

La grafica es de tipo senoidal

La constante ∆ desplaza el eje de las ordenas y amplifica la grafica en el sentido

vertical (observar las graficas roja y azul que corresponde a los valores para

-

∆ 1 - ∆ 2 respectivamente)

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M y

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

28

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.8: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos laterales.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que:

-"  0  .

— #

— #

∆i† ( &Gƒ„…† ‡… Œ† ‰Šƒ† ‡… I b — ˜( † ( #

Como  o 0 -  o 0 se tiene:

(Ec. 2.89)

sin @ ln  . 2@ cos @ ln   0 

 tan @ ln  2@ 



(Ec. 2.90) (Ec. 2.91)

29

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Resolviendo para :

  1

s

™ …š› † ‘ t †

 s™ …  1 

š› † ‘

†

t

(Ec. 2.92)

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de  entre

 -   1 en el entorno del intervalo  { L,   M siendo en este caso   .1 -   0 l   .1:

l   0:

Así,

h  ∆  v . Œ&  ' 1 

s

Œ&  1 

'

 s™ … v  1 

œžš› (Ÿ t Ÿ

.'1 

P h  ' G1 . 1 

  Ÿ



s

s

œžš› (Ÿš  t Ÿ

š› †

†

(Ec. 2.93)

t

(Ec. 2.94)

œžš› (Ÿš  t Ÿ

I1

(Ec. 2.95)

œžš› (Ÿ 6 Ÿ

4

(Ec. 2.96)

Se observa que la longitud de pandeo si depende del coeficiente de ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez () también sea variable y

dependiente de , es decir:

h  +  , - @

™ … Œ‘ 1 4  ! +  s1 . 1 † t 1 

š› †

†

6

(Ec. 2.97)

_ 0.493559 . 0.063707  ln1  

Tomando límite de + para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de

inercia constante, se obtiene:

lim +  2

'Vv

(Ec. 2.98)

Que es justamente le valor de  para una barra Empotrada-Libre de inercias

constante, cuya longitud de pandeo es h  2

γ

Tabla 2.7: Coeficiente de esbeltez, , para la barra empotrada libre no prismática 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 8.28 4.37 3.04 2.37 1.95 1.66 1.45 1.29 1.16 1.05 0.95 0.87 0.80 0.74 0.69 β 2.00 1.89 1.79 1.70 1.63 1.58 1.53 1.49 1.45 1.42 1.39 1.37 1.35 1.33 1.32 1.30

30

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.4.2. Caso B: Libre – Empotrada Figura 2.9: Columna de inercia Variable libre en un extremo y empotrada en el otro.

Análisis estático Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertida y también sus condiciones de borde. La Ecuación diferencial tiene una solución general del tipo: -  F G= sin @ ln   A cos @ ln  I  ∆ 





h 

! @  F ' . i &

(Ec. 2.99)

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  ∆ ; -    0 ;

De la primera condición, se obtiene:

-´    0

-  ∆ F G= sin @ ln   A cos @ ln  I  ∆ , NO3! ln   0 



-  ∆ 1L= sin0  A cos0M  ∆,





! sin0  0 - cos0  1

(Ec. 2.100)

(Ec. 2.101) (Ec. 2.102)

31

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA -  ∆ A  ∆

P A0

(Ec. 2.103)

Para obtener la constante A, se usa la segunda condición y el valor ya obtenido

para la constante A  0 : -    0  F

 

G= sin @ ln

 

I  ∆ , NO3!  

-    0  Q1  L= sin@ ln1  M  ∆ P =.





(Ec. 2.104)

(Ec. 2.105) ∆

Q1  Lsin@ ln1  M

(Ec. 2.106)

De las ecuaciones 2.103 y 2.106 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

-  .

  F sin @ ln  ∆  Q1  Lsin@ ln1  M  ∆

(Ec. 2.107)

Y sus derivadas son:

 ∆ sin @ ln   ∆@ cos @ ln   2 -´  .   sin@ ln1   Q1  F -" 

 ∆ sin @ ln  4@   1

T 

 sin@ ln1   Q1   ‹ 

(Ec. 2.108)

(Ec. 2.109)

Aplicando la tercera condición de contorno:  ∆ sin @ ln   ∆@ cos @ ln   2 -´    0  .   sin@ ln1   Q1  F 

∆ sin@ ln1    2 -´    0  . !     sin@ ln1   Q1  Q1   ∆@ cos@ ln1   

(Ec. 2.110)

(Ec. 2.111)

32

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

0  @ cos@ ln1   

sin@ ln1   2

(Ec. 2.112)

tanL@ ln1  M  .2@

(Ec. 2.113)

Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica

aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.75 del caso

anterior, se consigue:

Figura 2.10: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.113 por el Método NewtonRhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 9

Al resolver la ecuación 2.113 para cada grado de ahusamiento de la viga libre empotrada, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento comprendidos entre de 0 a 3.

γ 0.2

Tabla 2.8: Coeficiente @ para la barra libre empotrada no prismática

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38

33

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @, _ =   A ln1  

ecuación que tendrá la siguiente forma: @

(Ec.2.114)

Remplazando el punto (0.2, 8.922) en la ecuación 2.144 se obtiene la constante B en función de A: 8.922 

_ 0.2=  A ln1  

A  0.517844 . 0.2=

(Ec. 2.115)

(Ec. 2.116)

Remplazando el punto (3, 1.3832) en la ecuación 2.114 y usando la constante B, se obtiene la constante A: 1.3832 

_ 3=  0.517844 . 0.2= ln1  

(Ec. 2.117)

=  0.0330121

(Ec. 2.118)

A  0.517844 . 0.20.0330121  0.5112416

(Ec. 2.119)

Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la ecuación 2.116:

Asi la ecuación 2.114 queda: @

_ 0.0330121   0.5112416 ln1  

(Ec. 2.120)

Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @  2.5,

valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson

Y despejando ::

:  1 _ @  D4 6 .  0.0330121   0.5112416  4 ln1  

(Ec. 2.121)

 _ 1  D : 0.0330121   0.5112416  ln1   4

(Ec. 2.122)

Se sabe que: : 

, )


34

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es: _ 1 )
 ,WX  • R  0.0330121   0.5112416  S–  4  ln 1   

(Ec. 2.123)

Es decir:

)
 ,WX  Y  

_ 1 ! Y   R  0.0330121   0.5112416  S 4 ln 1   

(Ec. 2.124)

Tomando límite de m para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de

inercia constante, se obtiene:

lim'Vv Y  0.261367973_  Z

Así, la carga de pandeo queda:

,WX 

‘( i

(Ec. 2.125)

_  )
 4 

(Ec. 2.126)

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Libre –

Empotrada con inercia constante
 .

Tabla 2.9: Parámetro m para la barra Libre – Empotrada no prismática γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 2.47 3.19 3.88 4.63 5.44 6.33 7.30 8.33 9.44 10.63 11.90 13.25 14.67 16.19 17.78 19.46

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.11), en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

La grafica es del tipo senoidal, similar al caso anterior (empotrada libre) pero desfasada un longitud L respecto a la anterior.

35

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

-

-

La constante A amplifica a la grafica en el sentido vertical (observar las graficas roja

y azul que corresponde a los valores para =  1 - =  2 respectivamente)

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M y

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

Figura 2.11: Deformadas de la Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y libre en el otro, con diferentes desplazamientos.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que: -"  0 

 ∆ sin @ ln  4@   1

  sin@ ln1   Q1   ‹  T

(Ec. 2.127)

36

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Como  o 0 -  o 0 se tiene que: Resolviendo para :

@ ln   1

G

  _ 

‘ I †

(Ec. 2.128)

 G ‘I  1 † 

(Ec. 2.129)

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de  entre

 -   1 en el entorno del intervalo  { L,   M siendo en este caso   0 -   1 l   0:

l   1:

Así,

h  ∆  v . &  1 

'

  Ÿ



v    

'

&  ' 1 Ÿ 

.  s1 ' ' 



 

  Ÿ



(Ec. 2.130) (Ec. 2.131)

. 1t

(Ec. 2.132)

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez () también sea variable y

dependiente de , es decir:

! @ 

h  +  ,

! + 

G1 ' &

  Ÿ



. 1I

(Ec. 2.133)

_ 0.0330121   0.5112416 ln1  

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:} lim +  2

(Ec. 2.134)

'Vv

Que es justamente le valor de  para una barra Libre - Empotrada de inercias

constante, cuya longitud de pandeo es h  2

γ

Tabla 2.10: Coeficiente de esbeltez, , para la barra Libre - Empotrada no prismática 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 8.92 4.90 3.55 2.87 2.47 2.19 2.00 1.85 1.74 1.65 1.58 1.52 1.46 1.42 1.38 β 2.00 2.11 2.25 2.37 2.48 2.57 2.65 2.72 2.78 2.82 2.85 2.88 2.89 2.90 2.90 2.90

37

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.5.

COLUMAN DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA

Figura 2.12: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos

Análisis estático

Momento externo: cde  , · - . c . ¡ . 

(Ec. 2.135)

 

Momento interno: cg e  .)
  · -"

(Ec. 2.136)

Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:

 

)
  -"  , · - . c . ¡ .   0

Haciendo el cambio de variable

(Ec. 2.137)

  12 

Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se obtiene la siguiente ecuación: -"5  :   -5 .

c :   ¡:   .  .   0 , ,

! :  

, )


(Ec. 2.138)

38

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Ecuación diferencial con una solución general del tipo:    c ¡ -  F G= sin @ ln  A cos @ ln I    .     , ,

(Ec. 2.139)

:  1 ! @  D4 6 . 4 

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  0 ; -    ∆ ;

-´  0 ;

-´    0

De la primera condición, se tiene que:

-  0  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  





Aplicando ln  0 se tiene:  

-  0  L= sin0  A cos0M 

-  0  A 





c ,



¢# , 7

¢# 7



£

7

 . 

! sin0  0 - cos0  1

P A.

De la tercera condición y considerando A  .

¢# 7

¢# 7

(Ec. 2.140)

(Ec. 2.141)

(Ec. 2.142)

(Ec. 2.143)

se tiene:

La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:

-´ 

     =, sin @ ln . c cos @ ln  2c @ sin @ ln  2¡F  2=,@ cos @ ln     

Luego -´  0 

 2,F 

(Ec. 2.144)

     =, sin @ ln . c cos @ ln  2c @ sin @ ln  2¡F  2=,@ cos @ ln     

=jkl 3! ln1  0 se tiene:

-´  0 

2,F

 

=, sin0 . c cos0  2c @ sin0  2¡  2=,@ cos0 2,

-´  0 

(Ec. 2.145)

(Ec. 2.146)

.c  2¡  2=,@ jkl 3! sin0  0 - cos0  1 2, P =

c . 2¡ 2,@

(Ec. 2.147)

39

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

De las ecuaciones 2.143 y 2.147 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

-  F G  

¢# Œ£ 7†

sin @ ln  . 

¢# 7

cos @ ln  I  

¢# 7

 7  .  £

(Ec. 2.148)

Y sus derivabas:

-´ 

   c . 2¡  4c @   sin @ ln  4¡@F . 4=,@ cos @ ln     4,@F 

   4@   1 G2c @ cos @ ln . c sin @ ln  2¡ sin @ ln I    -"  T

  8, @ 

(Ec. 2.149)

(Ec. 2.150)

Carga de pandeo -    0  D

   c . 2¡  c  c ¡ s4 6 sin 4@ ln 6. cos 4@ ln 6t      .   2,@  ,  , ,

-    0  D

1   c . 2¡ c c ¡ s4 6 sin@ ln1   . cos@ ln1  t     2,@ , , ,

(Ec. 2.151)

¤O3!    , O1 ¥l11: 

(Ec. 2.152)

Aplicando la cuarta condición de contorno, se obtiene: -´    0



(Ec. 2.153)

     c sin @ ln . 2¡ sin @ ln  4c @  sin @ ln  4¡@F . 4=,@ cos @ ln     

¤O3!    se tiene: 

 4,@ F 

(Ec. 2.154) c sin@ ln1   . 2¡ sin@ ln1    4c @ sin@ ln1    4¡@Q1   . 4=,@ cos@ ln ln1    0



Así se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas, c y ¡ tenemos

las siguientes condiciones para que el sistema tenga solución no trivial: sin ‹

@ ln1   0 2

(Ec. 2.155)

40

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

4@  . 1 @ ln1   @ ln1   R S cos ‹  .   2 sin ‹   0 (Ec. 2.156) 4@ 2 2 La primera entrega la carga de pandeo simétrica y la segunda la carga de pandeo antisimétrica. Es sabido que la carga de pandeo simétrica es menor que la antisimétrica. Por lo cual se determinará la carga de pandeo simétrica para dar solución a este problema. sin ‹

@ ln1   0 2

@ ln1    _ 2

!   1,2,3 …

La carga de pandeo se obtiene para   1 @

2_ ln1  

Igualando a la expresión conocida para @ :

Y despejando ::

2_ :  1 @  D4 6 .   4 ln1   L16_   ln 1  M  :D 4 ln 1  

Sabemos que : 

(Ec. 2.157)

(Ec. 2.158)

(Ec. 2.159)

(Ec. 2.160)

(Ec. 2.161)

, )


Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es:

Es decir:

L16_   ln 1  M  )
 ,WX  • –  4 ln 1   

)
 ,WX  Y  

16_   ln 1   ! Y   R S 4 ln 1   

(Ec. 2.162)

(Ec. 2.163)

Calculando el límite de m cuando  tiende a cero (barra de inercia constante)

lim Y  4_ 

'Vv

(Ec. 2.164)

41

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

La carga de pandeo queda:

4_  )
 ,WX  

(Ec. 2.165)

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra Biempotrada

con inercia constante
 .

Tabla 2.11: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 39.4 47.5 55.8 64.4 73.2 82.4 91.8 101.4 111.3 121.4 131.8 142.4 153.2 164.3 175.6 187.1

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.13), en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

La grafica es del tipo sinusoidal

-

La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la grafica en el sentido vertical

-

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente

£

7

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

42

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.13: Deformada de la Barra de inercia Variable Biempotrada en sus extremos.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que: -"  0 

4@ 

    1 G2c @ cos @ ln  . c sin @ ln   2¡ sin @ ln  I

Como  o 0 -  o 0 resulta:

(Ec. 2.166)

T    8, @ 



2c @ cos @ ln  . c sin @ ln   2¡ sin @ ln   0 



2@c  tan @ ln   c . 2¡



(Ec. 2.167) (Ec. 2.168)

43

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Resolviendo para :   1

†¢# 6 ‘ ™ …š› 4 ¢# Œ£ ¦ § †

  1 

†¢# 6 ‘ ™ …š› 4 ¢# Œ£ ¦ § †

(Ec. 2.169)

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de  entre

 -   1 en el entorno del intervalo  { L,   M siendo para este caso   .1 -   0:

v  ' 1

l   0: V



l   1: V &  ' 1 

Así,

 h  ∆  & . v  1 

¦

¨

¨

œžš› 4

œžš› 4

™ …š› 4

(Ÿ©# 6 ©# š(ª# « Ÿ

(Ec. 2.170)

(Ÿ©# 6$  ©# š(ª# « Ÿ

†¢# 6‘ ¢# Œ£ § †

P h  s1 ' 

   Ÿ

(Ec. 2.171)

 . 1 

. 1t 1

¨

¦

™ …š›4

†¢# 6 ¢# Œ£ § †

(Ÿ©# œžš›4 6 ©# š(ª# « Ÿ

(Ec. 2.172)

(Ec. 2.173)

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez () también sea variable y

dependiente de , es decir: h  +  ,

! + 

G1 Ÿ . 1I 1 ' &

 

¨

œžš› 4

(Ÿ©# 6 ©# š(ª# « Ÿ

- @  ‡…&' ‘

(Ec. 2.174)

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene:

lim'Vv + 

& 

(Ec. 2.175)

Que es justamente le valor de  para una barra Biempotrada de inercia

constante, cuya longitud de pandeo es h  /2

Tabla 2.12: Coeficiente de esbeltez, , para la barra Biempotrada no prismática 1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 34.5 18.7 13.4 10.7 9.1

8.0

7.2

6.6

6.1

5.7

5.4

5.1

4.9

4.7

4.5

γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

β 0.50 0.48 0.46 0.44 0.43 0.41 0.40 0.39 0.38 0.37 0.37 0.36 0.35 0.35 0.34 0.33

44

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.6.

COLUMNA DE INERCIA VARIABLE BIEMPOTRADA CON POSIBILIDADES

DE DESPLAZAMIENTO LATERAL RALATIVO ENTRE SUS EXTREMOS

Figura 2.14: Columna de inercia Variable Biempotrada en sus extremos con posibilidades de desplazamiento relativo entre sus nudos.

Análisis estático

Momento externo: cde  , · - . c  

Momento interno: cg e  .)
  · -"

(Ec. 2.176) (Ec. 2.177)

Igualando ambos momentos se consigue la siguiente ecuación de equilibrio:   )
  -"  , · - . c  0 

Haciendo el cambio de variable

(Ec. 2.178)

  12 

Y operando de igual forma que en el caso de una barra biarticulada, se tiene la siguiente ecuación

45

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

  -"  :   - .

c :    0, ,

! :  

Ecuación diferencial con una solución general del tipo: -  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  











h 

! @  F .

¢# 7

'

, )


& i

(Ec. 2.179)

(Ec. 2.180)

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  0 ; -    ∆ ;

-´  0 ;

De la primera condición, tenemos:

-´    0

(Ec. 2.181)

  c   -  0  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  , NO3! ln  0    , 

(Ec. 2.182)

-  0  A 

(Ec. 2.184)

-  0  L= sin0  A cos0M  ¢# 7

¢# 7

,

! sin0  0 - cos0  1

P A.

c ,

(Ec. 2.183)

(Ec. 2.185)

La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:

    =, sin @ ln . c cos @ ln  2c @ sin @ ln  2=,@ cos @ ln     -´   (Ec. 2.186) 2,F De la tercera condición y considerando A  .

-´  0 

¢# 7

se tiene que:

    =, sin @ ln  . c cos @ ln   2c @ sin @ ln   2=,@ cos @ ln   2,F

jkl 3! ln1  0 -´  0 

=, sin0 . c cos0  2c @ sin0  2=,@ cos0 2,

-´  0 

Œ¢# ‚7† 7

jkl 3! sin0  0 - cos0  1 P =

c 2,@

(Ec. 2.187)

(Ec. 2.188) (Ec. 2.189) (Ec. 2.190)

De las ecuaciones 2.185 y 2.190 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

 c  c  c -  F s sin @ ln . cos @ ln t   2,@  ,  ,

(Ec. 2.191)

46

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Y sus derivabas: -´  -" 

 c sin @ ln  4@   1  4,@F

(Ec. 2.192)

  c 4@   1 Gsin @ ln  . 2@ cos @ ln  I  8, @  

T 

(Ec. 2.193)

Carga de pandeo Aplicando la segunda condición de contorno -    0  ¤O3!  





 4@   1   4,@ F 

c sin @ ln

se tiene: -    0 

Cuya solución es

c sin@ ln1   4@   1 4,@Q1  

sin@ ln1    0

@ ln1    _

La carga de pandeo se obtiene para   1 @

!   1,2,3 …

_ ln1  

Igualando a la expresión conocida para @ :

Y despejando ::

:  1 _ @  D4 6 .   4 ln1  

:D

L4_   ln 1  M  4 ln 1  

(Ec. 2.194)

(Ec. 2.195)

(Ec. 2.196) (Ec. 2.197)

(Ec. 2.198)

(Ec. 2.199)

(Ec. 2.200)

47

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Sabemos que

: 

, )


Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es: ,WX  •

Es decir:

)
 ,WX  Y  

L4_   ln 1  M  )
 –  4 ln 1   

(Ec. 2.201)

4_   ln 1   ! Y   R S 4 ln 1   

(Ec. 2.202)

lim Y  _ 

(Ec. 2.203)

_  )
 ,WX  

(Ec. 2.204)

Calculando el límite de m cuando  tiende a cero (barra de inercia constante) 'Vv

La carga de pandeo queda:

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra biempotrada

con desplazamiento relativo entre sus extremos de inercia constante
 .

Tabla 2.13: Parámetro m para la barra Biempotrada no prismática con desplazamiento relativo entre sus extremos γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 9.87 11.89 13.99 16.17 18.44 20.79 23.22 25.73 28.31 30.97 33.71 36.52 39.40 42.35 45.38 48.47

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.12) , en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

La grafica es del tipo sinusoidal

-

La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la grafica en el sentido vertical.

48

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

-

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

La curva oscila sobre un eje horizontal con origen

¢# 7

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

Figura 2.15: Deformada de la Columna de inercia Variable Biempotrada con desplazamiento relativo entre sus extremos

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que -"  0 

  c 4@   1 Gsin @ ln  . 2@ cos @ ln  I T    8, @ 

(Ec. 2.205)



49

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Como  o 0 -  o 0 tenemos:

sin @ ln . 2@ cos @ ln  0 



tan @ ln  2@

Resolviendo para :

  1

s

™ …š› † ‘ t †





 s™ …  1 





(Ec. 2.206) (Ec. 2.207)

š› † ‘

†

t

(Ec. 2.208)

La distancia entre los puntos de inflexión será igual al incremente de  entre

 -   1 en el entorno del intervalo  { L,   M . En este caso tenemos dos puntos

de inflexión, Œ&    .1 - &    1 fuera del intervalo real de la barra y un

punto de inflexión v    0 perteneciente al intervalo real. Esto hace que existan dos posibles longitudes de pandeo para la barra.

h&  ∆&  v . Œ&  1 

P h&  •1 

'

P h

'

œžš›(Ÿ t Ÿ

.1

s

œžš› (Ÿš  t Ÿ

s

h  ∆  & . v  1

 s™ …  •1 

š› †‘

†

t

.1



s

'

œžš› (Ÿ t Ÿ

s

. 1

–

œžš›(Ÿ$  s t Ÿ

™ …š› † t † –,



'

. 1 

'

œžš›(Ÿš  t Ÿ

s

(Ec. 2.209) (Ec. 2.210)

œžš› (Ÿ s t Ÿ

(Ec. 2.211)

Ol13! h n h&  

(Ec. 2.212)

Es posible suponer que la barra está compuesta por dos barras ficticias tipo

empotrada-libre, cuyos extremos son respectivamente    -     , y el extremo libre es el punto de inflexión real, v , para ambas barras. Así se obtiene una longitud de

pandeo para cada barra ficticia, que al ser sumadas, darían la longitud de pandeo de la barra real, por lo anterior es posible usar la media ponderada de las dos longitudes de pandeo obtenidas anteriormente, para obtener la longitud de pandeo para la barra real. h  h 

h  '( •1 

 s™ … •1 

s

h& v .   h& L   . v M 

  h& v .   h& G   . v I

œžš› (Ÿ t Ÿ

š› †‘

†

t

.1

.1

s

s



œžš› (Ÿš  t Ÿ

– •1

™ …š› † t † – •1

s

œžš› (Ÿ t Ÿ

  . 1

s

(Ec. 2.213)

. 1– 

(Ec. 2.214)

™ …š› † t † –

50

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de ahusamiento y al igual que el coeficiente de esbeltez () h  + 

™ … †Œ‘ ™ … † 1 s™ … †t s t s t † † † ! +   •1 .1 – •1 . 1–  š› ™ …š› † ™ …š› † 1 s™ … †‘t s t s t † † † .1 – •1   . 1 –   •1  _ - @ ln1   š›

š›

š›

(Ec. 2.215)

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene: lim +  1

'Vv

(Ec. 2.216)

Que es justamente le valor de  para una barra con desplazamiento relativo

entre sus extremos de inercias constante, cuya longitud de pandeo es h  

Tabla 2.14: Coeficiente de esbeltez, , para la barra Biempotrada no prismática con desplazamiento lateral relativo entre sus extremos 0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 17.2 9.3

6.7

5.3

4.5

4.0

3.6

3.3

3.1

2.9

2.7

2.6

2.5

2.4

2.3

γ

0.0

0.2

β 1.00 1.01 1.03 1.05 1.09 1.12 1.15 1.19 1.22 1.25 1.29 1.32 1.35 1.38 1.42 1.45

51

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.7.

COLUMNA DE INERCIA VARIABLE EMPOTRADA EN UN EXTREMO Y

ARTICULADA EN EL OTRO 2.7.1. Caso A: Empotrada – Articulada

Figura 2.16: Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y articulada en el otro.

Análisis estático

Momento externo: cde  , · - . c  ¡ . 

(Ec. 2.217)

 

Momento interno: cg e  .)
  · -"

Además

¡



¢ 

(Ec. 2.218) (Ec. 2.219)

Igualando ambos momentos se obtiene la siguiente ecuación de equilibrio:  

)
  -"  , · - . c  ¡ .   0 Haciendo el cambio de variable





(Ec. 2.220)

 1 2 y operando de la misma forma descrita en

el capitulo anterior resulta la siguiente ecuación diferencial:

-" . -´  :   - .

¢h ( ( 7



¢h ( ( 7

 .   0 ! :  

7

8"#

(Ec. 2.221)

52

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Ecuación diferencial que tiene una solución general del tipo: -  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  











¢ 7

.

¢

7

 . 

(Ec. 2.222)

:  1 ! @  D4 6 .  4

Las condiciones de contorno para el problema planteado son: -  0 ; -    0 ;

-´  0 ;

De la primera condición, se tiene:

-´    0

-  0  F G= sin @ ln   A cos @ ln  I 

jkl 3! ln   0: 





-  0  = sin0  A cos0  -  0  A 

¢ 7



¢ 7

.

¢

7

(Ec. 2.223)  . 

(Ec. 2.224)

c , NO3! sin0  0 - cos0  1 , P A.

c ,

(Ec. 2.225)

Para obtener la constante A, se usará la tercera condición y el valor ya obtenido c

para la constante A  . , :

La primera derivada (con ayuda de MathCad) es:

     =, sin @ ln . 2cF . c !O @ ln  2c@ sin @ ln  2=,@ !O @ ln     

(Ec. 2.226)

-´ 

2,F

Luego

     =, sin @ ln . 2cF . c !O @ ln  2c@ sin @ ln  2=,@ !O @ ln     

(Ec. 2.227)

-´  0 

2,F

Aplicando ln   0 se obtine: 

-´  0 

 

 

=, sin0 . 2c . c !O0  2c@ sin0  2=,@ !O0 2,

(Ec. 2.228)

Usando sin0  0 - cos0  1, O1 ¥l11

-´  0  .2c . c  2=,@ P =

2c  c 2,@

(Ec. 2.229) (Ec. 2.230)

53

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

De las ecuaciones 2.225 y 2.230 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

 2c  c   c c c  .  -  F R4 6 sin @ ln . cos @ ln S  .  2,@   , , ,

Y sus derivadas son:

-´ 

-" 

   4c@   c  2c sin @ ln  4c@ !O @ ln . 4c@F     4,@F

   c4@   1 G sin @ ln   2 sin @ ln  . 2@ !O @ ln  I  8, @ 

T 

(Ec. 2.231)

(Ec. 2.232)

(Ec. 2.233)

(Ec. 2.234)

Carga de pandeo Aplicando la segunda condición de contorno -    0  D .

 c  c    2c  c s4 6 sin 4@ ln 6 . cos 4@ ln 6t  2,@  ,  , 

c    .  ,

Usando la siguiente expresión   : 

2c  c c -    Q1   s4 6 sin@ ln1   . cos@ ln1  t 2,@ ,

(Ec. 2.235)

Como δ o 0, c o 0, , o 0,  o 0,  o 0 y  o 0 la solución de la ecuación

anterior es:

2c  c c 4 6 sin@ ln1   . cos@ ln1    0 2,@ ,

Reemplazando    

c 2@ , tan@ ln1     2c  c   2 2,@ tan@ ln1   

2@ 2

(Ec. 2.236)

(Ec. 2.236)

(Ec. 2.237)

54

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Expresión similar al caso A y para la cual se ha obtenido una expresión analítica

aproximada para despejar @ operando de forma similar a la ecuación 2.74 del caso

anterior, se consigue:

Figura 2.17: Búsqueda de la solución de la ecuación 2.237 por el Método NewtonRhapson para un grado de ahusamiento igual a 0.2 y aproximación inicial 25

Al resolver la ecuación 2.237 para cada grado de ahusamiento de la viga empotrada libre, se obtiene la siguiente tabla para los grados de ahusamiento comprendidos entre de 0 a 3 Tabla 2.15: Coeficientes @ para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro γ

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22

Con estos resultados es posible obtener una ecuación aproximada para @,

ecuación que tendrá la siguiente forma: @

_ =   A ln1  

(Ec.2.238)

55

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Remplazando el punto (0.2, 24.642139) en la ecuación 2.238 se obtiene la constante B en función de A: 24.642139 

_ 0.2=  A ln1  

A  1.430092 . 0.2=

(Ec. 2.239) (Ec. 2.240)

Remplazando el punto (3, 3.21639) en la ecuación 2.238 y usando la constante B, se obtiene la constante A: 3.21639 

_ 3=  1.430092 . 0.2= ln1  

(Ec. 2.241)

=  .0.00391579

(Ec. 2.242)

A  1.430092 . 0.2.0.00391579  1.4308755

(Ec. 2.243)

Luego la constante B se obtiene al reemplazar la el valor de la constante A en la ecuación 2.238:

Asi la ecuación 2.238 queda: @

_ .0.00391579   1.4308755 ln1  

(Ec. 2.244)

Se observa que al evaluar para grado de ahusamiento 1, se obtiene @  6.5,

valor semejante al obtenido usando Newton-Rhapson h 

@  F .  '

Y despejando ::

Se sabe que:

& i

‘

‡…&'

.0.00391579   1.4308755

 _ 1  D : .0.00391579   1.4308755  ln 1   4 : 

(Ec. 2.245)

(Ec. 2.246)

, )


Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es: ,WX  •  R Es decir:

_ 1 )
  .0.00391579   1.4308755  S– ln 1   4 

,WX  Y

(Ec. 2.247)

8"# (

_ 1 (Ec. 2.248) ! Y    R  .0.00391579   1.4308755  S ln 1   4 

56

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (). Tomando límite de M para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene: lim Y  20,21

(Ec. 2.249)

)
 

(Ec. 2.250)

'Vv

La carga de pandeo queda:

,WX  20,21

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra empotrada en

un extremo y articulada en el otro con inercia constante
 .

Tabla 2.16: Parámetro m para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro. γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 20.21 24.30 28.54 32.92 37.43 42.08 46.87 51.78 56.82 61.98 67.26 72.65 78.17 83.79 89.53 95.37

Longitud de pandeo

Recordando que la longitud de pandeo, h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.18), en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

grafica es del tipo sinusoidal

-

La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la grafica en el sentido vertical

-

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

£

La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente negativa - 7

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

57

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Figura 2.18: Deformada de la Columna de inercia Variable empotrada en un extremo y articulada en el otro.

Para obtener los puntos de inflexión se tiene que -"  0 

   c4@   1 G sin @ ln   2 sin @ ln  . 2@ !O @ ln  I T

  8, @ 

Como δ o 0 y  o 0 la solución de la ecuación anterior es:

 sin @ ln   2 sin @ ln  . 2@ !O @ ln   0 



 2@ 2@ tan @ ln    2     2



(Ec. 2.251)

(Ec. 2.252)

(Ec. 2.253)

58

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Resolviendo para :

  1

¦

@ 6 ‘ § @

™ …š› 4







1

¦

@ 6 ‘ § @

™ …š› 4

(Ec. 2.254)

Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, debemos

encontrar  tal que    -     k.

l   0 V v 

Así:

h  ∆  & . v   1 

¨





1

¦

@

l   1: V &   1 (@ $(6$  « @

œžš› 4

. 1 

¨



œžš› 4

@

h   1 . 1 1 

@ 6

™ …š› 4

  Ÿ

¨

¨

§

(Ec. 2.255)

(@ $(6$  « @

œžš› 4

(@ $(6

(Ec. 2.256)

«

œžš› 4

@

(Ec. 2.257) (@ $(6

«

(Ec. 2.258)

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de dependiente de , es decir:

ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez () también sea variable y

h    , 3!31    1 . 1 1 - @

&

  Ÿ

¨

œžš› 4

@

(@ $(6

«

(Ec. 2.259)

_ .0.00391579   1.4308755 ln1  

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene: lim  Vv 

 0,7

(Ec. 2.260)

Que es justamente le valor de  para una barra empotrada en un extremo y

articulada en el otro de inercias constante, cuya longitud de pandeo es h  0,7

Tabla 2.17: Coeficiente de esbeltez, , para la barra no prismática empotrada en un extremo y articulada en el otro. γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 24.64 13.35 9.55 7.63 6.47 5.68 5.12 4.68 4.34 4.07 3.84 3.65 3.49 3.34 3.22 β 0.70

0.72

0.73 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.79 0.80 0.81 0.81 0.82 0.82 0.83 0.83

59

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

2.7.2. Caso A: Articulada – Empotrada

Figura 2.19: Columna de inercia Variable articulada en un extremo y empotrada en el otro.

Análisis estático Este caso es similar al caso A, con la única diferencia que la barra esta invertido y también sus condiciones de contorno. Así la Ecuación diferencial tiene una solución general del tipo:

-  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  



:  1 ! @  D4 6 .  4









Las condiciones de contorno son: -  0 ; -    0 ;

-´  0 ;

¢ 7

.

¢

7

   .  

-´    0

(Ec. 2.261)

(Ec. 2.262)

60

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

De la primera condición, se tiene: -  0  F G= sin @ ln  A cos @ ln I  .    .     7 7 





¢

¢

Aplicando ln   0, se obtiene:

(Ec. 2.263)

-  0  = sin0  A cos0 , NO3! sin0  0 - cos0  1

-  0  A

P A0

(Ec. 2.264)

Para obtener la constante A, se usará la segunda condición y el valor ya obtenido

para la constante A  0 :

-    0  = sin 4@ ln

c c     .  .  6 √    . , , 

Usando la siguiente expresión   

(Ec. 2.265)



-    0  = sin@ ln1   Q1    P =.

c

, sin@ ln1   Q1  

c ,

(Ec. 2.266)

(Ec. 2.267)

De las ecuaciones 2.264 y 2.267 se deduce que cuando la carga axial

compresora es igual a ,WX la pieza puede adquirir una configuración deformada de

expresión:

-  ‹.

c

  c c    .   sin @ ln F  .   , , , sin@ ln1   Q1  

(Ec. 2.268)

Y sus derivadas son:  c sin @ ln  1    . . c@ !O @ ln c sin@ ln1   F  2  -´   , sin@ ln1   Q1  F  -" 

 c4@   1 sin @ ln 

4, sin@ ln1

T

    Q1   

(Ec. 2.269)

(Ec. 2.270)

61

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Carga de pandeo Aplicando la cuarta condición de contorno -´   

   . c@ cos @ ln   , sin@ ln1   Q1  F 

  1   c sin @ ln . c sin@ ln1   F  2

Usando la siguiente expresión   :

(Ec. 2.271)



c sin@ ln1   c sin@ ln1   Q1  1   . . c@ cos@ ln1   2 -´    , sin@ ln1   Q1  Q1  

(Ec. 2.272)

Como δ o 0, c o 0, , o 0,  o 0,  o 0 y  o 0 la solución de la ecuación anterior es:

G1   . I sin@ ln1   . @ cos@ ln1    0 

tan@ ln1   

Reemplazando    

@

 1   . 2

tan@ ln1   

2@ 2

(Ec. 2.273)

(Ec. 2.274)

(Ec. 2.275)

Ecuación trigonométrica idéntica a la del caso A (empotrada articulada). Esto permite afirmar que la carga de pandeo de una barra articulada-empotrada de inercia variable es igual a la carga de pandeo de una barra empotrada-articulada de inercia variable, es decir, la posición relativa de los extremos no influye en la resistencia a pandeo Continuando de igual forma que en caso A

@

_

ln1  

.0.00391579   1.4308755

(Ec. 2.276)

Igualando a la expresión conocida para @ : h 

@  F .  .0.00391579   1.4308755 ' i ‡…&'

Y despejando ::

&

‘

 _ 1 : D  .0.00391579   1.4308755   ln 1   4

(Ec. 2.277)

(Ec. 2.278)

62

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

Por lo tanto la carga de pandeo de la barra es: ,WX  •  R Es decir:

_ 1 )
 .0.00391579   1.4308755  S–   4  ln 1  

)
 ,WX  Y  

(Ec. 2.279)

_ 1 ! Y   R  .0.00391579   1.4308755  S 4 ln 1  

(Ec. 2.280)



Donde m es un parámetro adimensional que solo depende del grado de

ahusamiento de la barra (). Tomando límite de M para  tendiendo a cero, que representa el caso de viga de inercia constante, se obtiene: lim Y  20,21

'Vv

La carga de pandeo queda: ,WX  20,21

(Ec. 2.281)

)
 

(Ec. 2.282)

Que es la expresión de la carga de pandeo de Euler para la barra articulada en

un extremo y empotrada en el otro con inercia constante
 .

Tabla 2.18: Parámetro m para la barra no prismática articulada en un extremo y empotrada en el otro γ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

m 20.21 24.31 28.55 32.93 37.44 42.10 46.88 51.80 56.84 62.00 67.28 72.68 78.19 83.82 89.56 95.41

Longitud de pandeo Recordando que la longitud de pandeo,h , de una pieza ideal coincide con la

distancia entre dos puntos de inflexión consecutivos de la elástica es posible obtener dicho valor igualando a cero la segunda derivada de la ecuación que rige a la deformada de la barra. A continuación se muestra una grafica de la deformada generada con ayuda del Programa MathCad (ver figura 2.20), en donde se han supuesto valores para las constantes con el objeto de analizar el comportamiento de la grafica y así poder concluir lo siguiente: -

grafica es del tipo sinusoidal

-

La constante A y B que multiplican al seno y coseno respectivamente, amplifica a la grafica en el sentido vertical

63

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA

-

El logaritmo dentro del seno hace que la distancia entre los puntos de inflexión aumente a medida que se avanza por el eje x.

-

La curva oscila sobre un eje inclinado de pendiente positiva

£

7

Los puntos de inflexión pertenecientes al intervalo físico de la barra  { L,   M

se muestran en la grafica con un círculo lleno de color negro y magenta.

Figura 2.20: Deformada de la Columna de inercia Variable articulada en un extremo y empotrada en el otro

. Para obtener los puntos de inflexión se tiene que  c4@   1 sin @ ln  -"  0  4, sin@ ln1

T

    Q1   

(Ec. 2.283)

64

CAPITULO II: LA BARRA DE SECCIÓN VARIABLE CONTINUA Como δ o 0, c o 0, , o 0,  o 0,  o 0 y

anterior es:

o0

la solución de la ecuación

sin @ ln  0 



Resolviendo para :



(Ec. 2.284)

  ‘ 1 † 

(Ec. 2.285)

Para que los puntos de inflexión pertenezcan al intervalo citado, se debe

encontrar  tal que    -      l   0:

V v  ' 

(Ec. 2.286)

V &  ' 1 Ÿ

l   1:



 

(Ec. 2.287)

Así, h  ∆  & . v 

 ‘   ‘ 1 † .  G1 † . 1I   

(Ec. 2.288)

Se observa que la longitud de pandeo nuevamente depende del coeficiente de ahusamiento. Esto hace que el coeficiente de esbeltez () también sea variable y dependiente de @, es decir:

- @

h  '  , 3!31 ' 

G1 Ÿ . 1I ' &

 

(Ec. 2.289)

_ .0.00391579   1.4308755 ln1  

Si la barra tiende a ser de inercia constante, se obtiene: lim '  0,7

'Vv

(Ec. 2.290)

Que es justamente le valor de  para una barra articulada en un extremo y

empotrada en el otro de inercia constante, cuya longitud de pandeo es h  0,7.

Tabla 2.19: Coeficiente de esbeltez, , para la barra no prismática articulada en un extremo y empotrada en el otro. 0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

δ #### 24.6 13.3 9.6

7.6

6.5

5.7

5.1

4.7

4.3

4.1

3.8

3.7

3.5

3.3

3.2

γ

0.0

0.2

0.4

β 0.70 0.68 0.66 0.65 0.64 0.63 0.61 0.61 0.60 0.59 0.58 0.57 0.57 0.56 0.56 0.55

65

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

CAPITULO III

MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO NO PRISMATICO

3.1.

ANTECEDENTES GENERALES

Hace más de 35 años se desarrollaron varias ayudas de diseño, como las presentadas por Guldan (1956), y las más conocidas tablas publicadas por la Portlan Cement Association (PCA) donde se presentan contratantes de rigideces y momentos de empotramiento de elementos no prismáticos (“Handbook 1958) en dicha publicación se usan varias hipótesis que permiten simplificar el problema debido a las limitantes para hacer los cálculos extensivos en esa época. Una de las hipótesis más importantes fue considerar la variación de la rigidez de las cartelas (lineal o parabólica, según sea el caso de la geometría a estudiar) en función del momento de inercia principal en flexión, considerándolo independiente de la sección transversal, lo que se demostró que no es así (Tena-Colunga 1996)

3.2.

MATRIZ DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS NO PRISMÁTICOS Utilizando el método de las flexibilidades es sencillo dar definición a un elemento

tipo Viga-Columna de sección variable, ya que debido al gran desarrollo que han tenido las computadoras en los últimos años, es fácil resolver las integrales que definen la matriz de rigidez La matriz básica de flexibilidad para elementos bidimensionales de sección variable sin considerar la deformación por cortante, tiene la siguiente forma (TenaColunga 1996):

Donde:


   0 0

  





 

0   

0 



(Ec. 3.1)

(Ec. 3.2)

66

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

  

 

  

  



  



  

  

(Ec. 3.3)

  

(Ec. 3.4) (Ec. 3.5)

Estos coeficientes de flexibilidad deben ser obtenidos por integración numérica, por ejemplo aplicando la regla de Simpson. Figura 3.1: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

La matriz de rigidez se obtiene invirtiendo la matriz de flexibilidad, sin embargo resulta más sencillo invertir submatrices de flexibilidad dada la complejidad y desacoplamiento en los coeficientes de flexibilidad. La matriz de rigidez global en coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos como los mostrados en las figuras 3.2 se expresan como:


 
 
    
 
 

(Ec. 3.6)

Figura 3.2: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

67

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

Figura 3.3: Elementos de sección variable más comunes: (a) Sección T; (b) Sección Rectangular; (c) Sección Circular; (d) Sección Cuadrada

Fuente Publicacion Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements, Tena-Colunga 1996

Las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente manera (Tena-Colunga 1996): :


    0 0

!
    0 0


    0 0


  
 "

0

 

 

0 ! ! 0

 !

0

(Ec. 3.7)

0

 

0 ! 

(Ec. 3.8)

(Ec. 3.9)

(Ec. 3.10)

68

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

Donde:

 



#$$

(Ec. 3.11)

%&'    !  

 

 

 

 

 

 

#

()*

(Ec. 3.13)

#+ ,-# ()*

(Ec. 3.14)

#++ , -#+ ,.# ()*

/$$ ./ ./$ ,

/$$ ./$ ,

(Ec. 3.12)

 0  1

(Ec. 3.15)

(Ec. 3.16) (Ec. 3.17)

(Ec. 3.18)

El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:




 
  45 6 48 6  3 73  7
 
  45 6 48 6

5 45 6  95: < ;

Donde se tiene:

8 48 6  = 8: ? >

5 45 6  95: < ;

8 48 6  = 8: ? >

(Ec. 3.19)

(Ec. 3.20)

(Ec. 3.21)

69

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

3.3. TRANSFORMACIÓN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMA DE COORDENADAS

Una vez obtenidas las matrices de rigidez en coordenadas locales de cada elemento es necesario transformar esta rigideces a un sistema de coordenadas global, para luego poder obtener los esfuerzos y deformaciones de cada elemento a partir de las deformaciones globales de la estructura transformando nuevamente al sistema local de cada elemento. Por lo tanto es necesario de una matriz de transformación que permita permutar entre un sistema y otro. Comenzando con el estudio de la rotación de los ejes en el plano cartesiano, como ilustra la Fig. 3.4. El sistema coordenado original esta dado por el plano XY, y al experimentar este sistema una rotación @, con respecto al origen O, pasa a un nuevo

sistema coordenado X’Y’. Si las coordenadas que definen la posición del punto P en el sistema coordenado original XY (antes de la rotación) se denominan (x,y) y referidas en el nuevo sistema coordenado X’Y’ (después de la rotación) se denomina (x’,y’) y de la figura se define como r al segmento recto OP se tiene que a partir de las relaciones trigonométricas que:

A  BC   cos ; 0 G

H  CI   sin ; 0 G

(Ec. 3.22)

H′  C′I   sin G

(Ec. 3.24)

A′  BC′   cos G

(Ec. 3.23)

(Ec. 3.25)

Figura 3.4: Elemento Viga-Columna bidimensional no prismático

70

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

A partir de las relaciones trigonométricas se tiene que la ecuación también puede escribirse como (Anfosi, 1974)

A   cos; 0 G   cos; cosG !  sin; sinG

(Ec. 3.26)

Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.26 se tiene: A  A ′ cos; ! H′ sin;

(Ec. 3.27)

De manera análoga, a partir de la ecuación 3.23 se tiene:

H   sin; 0 G   sin; sinG !  cos; cosG

(Ec. 3.28)

Sustituyendo las ecuaciones 3.24 y 3.25 en la ecuación 3.28 se tiene: H  A ′ sin; 0 H′ cos;

(Ec. 3.29)

Por lo tanto la transformación de coordenadas de un punto P cualquiera en el

plano como consecuencia de rotar los ejes de referencia un ángulo ; dado, es posible expresarla a partir de las ecuaciones 3.26 y 3.29 que pueden reescribirse en forma matricial como:

A cos; !sin; A′ LH M   3 7 sin; cos; H′ O escribiendo de manera compacta

4C6 
N- 4C′6,

PQRP&
N-  

cos; !sin;  sin; cos;

(Ec. 3.30)

(Ec. 3.31)

Para el análisis estructuras es más necesario conocer la transformación inversa,

es decir, conociendo la posición del punto P con respecto al sistema rotado (x’,y’) poder referir ese punto al sistema global (x,y). Esto se logra multiplicando la ecuación 3.30 por la inversa de la matriz
N- :

4C′6 
N4C6

 d !b
S  Ta bX H
S-  T X  -Y !c c d a

(Ec. 3.32)

A partir de las propiedades para matrices de orden dos, se sabe que (Damy, 1986) (Ec. 3.33)

Por lo tanto la ecuación_ queda:
N 

cos;

1 cos; sin; cos; sin;     ! sin; cos; a 0 sin; ! sin; cos; a

(Ec. 3.34)

Con lo que se comprueba que la matriz de transformación en el plano es

ortogonal dado que su inversa es igual a su transpuesta
N- 
N"

A continuación se referirán las propiedades del elemento viga-columna

bidimensional con ejes coincidentes con el plano Y’Z’, según el sistema global de referencia XZ:

71

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

A partir del equilibrio se tiene que las fuerzas actuantes en el elemento según el

sistema local 48′6 o según el sistema global 486 tienen las siguientes relaciones:

48′6 
[486

486 
[" 48′6

(Ec. 3.35) (Ec. 3.36)

48′6 
′45′6

(Ec. 3.37)

45′6 
[456

(Ec. 3.38)

Y a partir de la ecuación de continuidad en coordenadas locales:

Además las relaciones entre las deformaciones en el elemento según el sistema

local 45′6 o el golbal 456 estan dadas por:

486 
["
′
[456 
456

\QR
 
["
′
[

Por lo tanto a partir de las ecuaciones 3.37 y 3.38 se llega a:

Donde:

(Ec. 3.39)


: Matriz de rigidez del elemento según el sistema global de referencia
′: Matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales


[: Matriz de transformación del sistema local al sistema global

De la figura 3.34 se observa que, al rotar el plano YZ al Y’Z’, el eje X permanece en la misma posición, por lo tanto, los giros y momentos que se aplican en ese plano no sufren transformación alguna. Entones a partir de la figura y de lo expuesto

8 ′ cos; sin; 0 8 = 8:′ ?  ! sin; cos; 0 = 8: ? >′ 0 0 1 >

anteriormente, se obtiene que:

Por lo que:

8 ′ cos; sin; 0 8 = 8:′ ?  ! sin; cos; 0 = 8: ? >′ 0 0 1 >

8 ′ 8 ′ cos; sin; 0 0 0 0 `8 c f `8 c i 0 0 0 h ^ :′ ^ ^ :′ ^ e!sin; cos; 0 >′ 0 0 0 1 0h  >′ e 0 8 0 0 cos; sin; 0h _ 8 ′ b _  ′ b e 0 0 0 !sin; cos; 0h ^ 8:′ ^ ^ 8:′ ^ e 0 d 0 0 0 1g ]>′ a ]>′ a 0 0

(Ec. 3.40)

(Ec. 3.41)

(Ec. 3.42)

72

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

Y es claro que la matriz de transformación
[ &j:

cos; sin; 0 0 0 0 f i !sin; cos; 0 0 0 0 e h 0 0 0 1 0h
[  e 0 0 0 cos; sin; 0h e 0 0 0 !sin; cos; 0h e 0 d 0 0 0 1g 0 0

(Ec. 3.43)

Escribiendo en forma compacta:
[  


N
0

0 0 0
0  PQRP&:
0  0 0 0
N 0 0 0

cos; sin; 0 H
N  ! sin; cos; 0 0 0 1

(Ec. 3.44)

La matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales puede escribirse de la siguiente forma:


′ 
′ 
′    
′ 
′ 

(Ec. 3.46)

Donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna de la

C l′mn o   0 0

figura 3.33 tiene la siguiente forma:

0 S p

0 % q

(Ec. 3.47)

Donde i y j son los subíndices correspondientes a los extremos y A, B, C, D y E son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de las submatrices y se han cambiado para fines prácticos. A partir de la ecuación 3.39 se puede decir que:


 
[" l′mn o
[

(Ec. 3.48)

Por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.44 y 3.46 en la ecuación se tiene que

cada submatriz del elemento expresada en coordenadas globales lmn o esta dada por:

C \Qj  ; 0 S jrR ; lmn o   C ! S\Qj;j&R; !p j&R;

C 0 S\Qj;j&R; C \Qj  ; 0 SjrR ; p \Qj;

!% j&R; % \Qj; q

(Ec. 3.49)

A modo de aplicación de las formulaciones aquí planteadas, en el anexo C del presente trabajo se resuelve en una hoja de cálculo MathCad un pórtico de sección variable.

73

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

3.4.

RESOLUCION DE LAS INTEGRALES DE FLEXIBILIDAD

A continuación se resolverán las integrales que definen los coeficientes de flexibilidad para un elemento de sección variable rectangular con ayuda del programa MathCad, estas integrales pueden ser resueltas para otras formas geométricas, haciendo los cambios de sección correspondiente, que se traduce en buscar las funciones que rigen la inercia y el área de la sección. Anteriormente se indicó que la matriz básica de flexibilidad para elementos bidimensionales de sección variable sin considerar la deformación por cortante es:

Donde:


   0 0

  





0   

 

   

   



  



  



  

(Ec. 3.1)

(Ec. 3.2)

 

  

0 



(Ec. 3.3)

  

(Ec. 3.4)

(Ec. 3.5)

Para una sección rectangular similar a la descrita en la figura 3.3b, es posible definir la siguiente función para la variación de su canto (altura) a medida que se recorre por su eje longitudinal Figura 3.5: Elemento de sección rectangular bidimensional no prismático

74

Capítulo III: Matriz de Rigidez de un Elemento no Prismático

st 

s ! s 1 ! t 0 s 1

(Ec. 3.50)

Así, para obtener la función del área de la sección rectangular de inercia variable, basta con multiplicar la ecuación 3.50 por el ancho de la sección (b), obteniéndose: Ct  st u  

s ! s 1 ! t 0 s  u 1

(Ec. 3.51)

Finalmente al resolver en MathCad la ecuación 3.2, con E constante, se obtiene: Figura 3.6: resolución en MathCad de la integral definida en ecuación 3.2 ⌠   ⌡

L

1

dz asumir , h1 > h2 , L > 0 →

A ( z)

0

L⋅ ( ln( −h1) − ln( −h2) ) b ⋅ ( h1 − h2)

if 0 >

L⋅ h1 h1 − h2

∨ 0≥

L⋅ h1 h1 − h2

∨

L⋅ h1 h1 − h2

≥L

undefined otherwise

Reescribiendo la respuesta, queda:   v





Pt 1 s s  w x ln w x pCt pus s ! s s

(Ec. 3.52)

De igual forma es posible obtener la respuesta de las demás ecuaciones que definen los coeficientes de flexibilidad para la matriz de la ecuación 3.1, consiguiéndose:

  

 

  

  





  



  

  

,z

{$

 



$ z |} ~ ! } { {

612

pus1 61

pus1

{



3}

s1

s2 !s1

3}

s1

s2 !s1

2

{$

 -{$



~ €{ ! {$ ! 2‚R }{~ƒ„ {

$

2

{

{



$

~ 1 0 } 1~ ! 2‚R } 1~    s

s2

2

~ 1 ! } 1 ~  s

s2

s

s2

(Ec. 3.53)

(Ec. 3.54)

(Ec. 3.55)

Ecuaciones que corresponden exactamente a las entregadas por Tena-Colunga en su publicación “Stiffness Formulation for nonprismatic beam elements”, 1996

75

Capítulo IV: Conclusiones

CAPITULO IV

CONCLUSIONES

1. En el Capítulo III, se han formulado las integrales que expresan cada uno de los coeficientes de flexibilidad y posterior matriz de rigidez para un elemento no prismático (sección variable), y con ayuda de las herramientas de cálculo y computadores existentes en la actualidad, se muestra cómo es posible resolver estas integrales de manera simple y exacta. 2. Lo desarrollado en el Capítulo II, entrega un análisis sistemático para la obtención de la deformada para cada uno de los elemento de sección variable estudiados, ecuación de la cual es posible obtener la carga de pandeo por flexión, mostrando claramente cuál es la carga critica para el elemento, así como también su coeficiente de esbeltez y longitud de pandeo, parámetros de gran necesidad e importancia para los ingenieros a la hora de diseñar estructuras con este tipo de elementos. 3. Queda demostrado que para el estudio del pandeo en barras de sección variable se requiere del conocimiento de la ley que representa la variación de ciertos valores estáticos de su sección transversal recata a lo largo de su directriz. Entre los cuales destaca las funciones matemáticas para el momento de inercia ‫ܫ‬ሺ‫ݔ‬ሻ, el área de cada sección ‫ܣ‬ሺ‫ݔ‬ሻ y el grado de ahusamiento ߛ. 4. El análisis del pandeo para una barra aislada de inercia variable puede ser abordado en forma análoga a lo establecido en la teoría clásica para el caso de la barra de inercia constante. 5. Con el objetivo de buscar resultados en otras metodologías referidas a los elementos de sección variable que permitan validar las formulaciones de esta tesis, se ha optado por usar el programa SAP2000 para poder verificar algunos ejemplos a desarrollar con los planteamientos expuestos en el presente trabajo de titulación. Así del Anexo A y de sus resultados resumidos en Tabla A.1, puede concluirse que el software SAP2000 determina correctamente la carga de pandeo para un elemento cualquiera, y a medida que se aumenta la discretización del elemento (mesh) modelado, el resultado converge al valor real de la carga critica de pandeo que se puede obtener de la Ecuación de Euler, para el caso de un elemento de sección constate. Con esto se da por aprobado este procedimiento para obtener la carga de pandeo modelando una barra de sección constante en el programa SAP2000, y procediendo de forma similar, en el anexo B se obtendrá la carga de pandeo para un

76

Capítulo IV: Conclusiones

elementos de sección variable, situación que permitirá comprobar la metodología propuesta en el Capítulo II del presente trabajo de titulación (ver anexo B). 6. Según lo expuesto en Anexo B y resumido en Tabla B.1, los resultados obtenidos con la metodología propuesta en este trabajo de titulación, basada en las formulaciones de Timoshenko & Gere en su libro Theory of Elastic Stability, son aceptables pues a medida que se aumenta la discretización del elemento modelado en SAP2000, los resultados del programa convergen al valor de la metodología, al igual que ocurre con un elemento de sección constante. 7. En el Anexo C, se resuelve un ejercicio de un marco Biempotrado compuesto por una viga de sección variable y dos pilares de sección constante. Este ejercicio se desarrolla detalladamente en una hoja de cálculo del programa MathCad, donde es posible apreciar las ventajas de este programa y la simplicidad en los cálculo de la metodología propuesta en el Capítulo III del presente trabajo, para la determinación de los coeficientes de flexibilidad y rigidez, las matrices de rigidez de cada elemento, la matriz de rigidez global, la ecuación matricial que gobierna el problema, la obtención del vector desplazamientos para el marco en estudio, la determinación de los giros y desplazamientos en cada nudo, así como la obtención de las fuerzas y momentos en cada elemento. En los diagramas de esfuerzos de cada barra es posible corroborar el equilibrio que existe en cada nodo, lo cual es suficiente para establecer para que la resolución matricial del problema ha sido correcta.

77

Bibliografía

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Lambe, C.G; Tranter, C.J. 1964. Ecuaciones diferenciales: para ingenieros y científicos. Ed. UTEHA. México

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Lopez, M.1993. Análisis de segundo orden de pórticos a dos aguas con elementos de inercia variable. TPFC (ETSIAM, Córdoba)

12

Manual of steel construction. 1986, AISC. Chicago

13

Manual Software SAP2000 v14

78

Bibliografía

14

Manual Software MathCad 14

15

Rodriguez, N. 1976. Estructuras para grandes claros. Ed. SOP. UNAM. México

16

Tena – Colunga. 1996. Stiffness Formulation for Nonprismatic Beam Elements. Journal of structural Engineering. Vol 122

17

Timoshenko, S.P. y Gere, J.M. 1961. Theory of elastic stability. Ed. McGraw-Hill. New York

18

Wang, C.M.; Wang, C. Y.; Reddy, J.N. 2005. Exact solutions for buckling of structural member. Ed. CRC Press LLC. Florida

79

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

ANEXO A CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN ELEMENTO DE SECCION CONSTANTE CON EL PROGRAMA SAP2000

Para realizar este tutorial se desarrollará el siguiente problema: •

Columna de Acero (E = 2.100.000 kgf/cm^2)

•

Condición de sustentación: Empotrada -Libre

•

Longitud, L= 300 cm

•

Propiedades de la sección: W10x12, A = 22,84 cm2 y Ixx = 2240 cm^4

•

Análisis en 2D (plano X-Z)

1. GENERACIÓN DE LA PLANTILLA PARA TRABAJO 1.1.

Click en menú File
New Model (Ctrl+N)

1.2. Seleccionar unidades de medida para trabajar

1.3. Seleccionar alguna de las plantilla predeterminadas que ofrece el programa. Para modelar la columna del problema existen varias alternativas (Blank, Grid Only y 2d Template), esta vez se usará la plantilla grilla (Grid Only), pues es mas general y se ajusta de mejor forma al problema. 80

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

1.4 Configurar Grilla. La Grilla servirá de referencia para modelar la barra del problema, para esto se definen 2 líneas en la dirección Z distantes 300 cm (longitud del elemento a analizar), los demás valores pueden quedar tal cual vienen en el programa o como muestra la imagen. Se crea la red indicada y el programa ofrece dos ventanas, una del plano XY y otra de una vista en 3D, dejar sólo una ventana y hacer click en el botón del menú vista XZ para que la ventana muestre el plano XZ.

2. DEFINICION DEL MATERIAL A USAR Click en menú Define
Materials Con el botón agregar nuevo material (“Add New Material”) se ingresa a la ventana de propiedades de materiales en donde se indica un nombre para el material (ACERO para este caso) hay que revisar que el módulo de elasticidad sea el indicado en el problema (E=2.100.000 kgf/cm^2), de lo contrario hay que ingresarlo, verificando que las unidades sean las correctas.

81

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

3. DEFINICION DE LA SECCION A USAR Define
Section Properties
Frame Section

Agregar nueva sección Click en “Add New Property”

Luego sobre “I/W Wide Flange”

82

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

También es posible importar la sección desde la librería. Click en “Import New Property”

Seleccionar el tipo de sección a agregar Click

en

“I/W

Wide

Flange”

indicar el material para este elemento (“ACERO”, creado anteriormente, ver punto 2) y seleccionar el perfil W10x12 en la lista.

Al hacer click en el botón OK, se abre la ventana con las propiedades del perfil seleccionado anteriormente.

83

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

En el botón Propiedades de la sección (“Section Propertiers”) se pueden revisar las propiedades de este perfil, como son el área transversal, momentos de inercia, radio de giro, etc.

Y en el botón “Set Modifier” es posible modificar los factores que alteran las propiedades del perfil usadas para el análisis Por defecto todos tienen un valor unitario. En el problema

planteado

deformaciones

por

solo

se

flexión,

consideran

las

ignorando

las

deformaciones axiales y de corte. Para conseguir esto, es necesario modificar los factores del corte a cero e introducir un valor alto en el factor del área (se usará 100000).

Haciendo click en los botones ok hasta llegar

a

la

ventana

de

“Frame

Propertiers” se puede observar que se ha agregado el perfil W10x12.

84

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

4. MODELAMIENTO DE LA BARRA 4.1. Click en el botón Draw Frame/Cable Element

Seleccionar el perfil creado anteriormente para la barra Posicionar el puntero en el nudo inicial de la grilla, punto que será el extremo inicial de la barra, luego mover el puntero hasta el nudo superior, punto que será el extremo final de la barra.

85

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

Y al hacer click en este último punto, el programa genera el elemento barra entre los puntos seleccionados anteriormente

Luego al hacer click en el icono, “Set Select Mode”, el puntero cambia al modo selección

4.2. Condiciones de sustentación Seleccionar el nudo inferior (0, 0, 0)

En el menú Assign
Joint
Restraints

hacer click en el icono de empotramiento para dar la condición de columna empotrada libre que nos indica el problema

86

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

Luego al hacer click en botón OK, se observa que el programa muestra un icono en el punto seleccionado anteriormente, similar a un cajón que representa la condición de empotramiento.

5. VISUALIZACIÓN DE LA SECCIÓN INTRODUCIDA Es posible ver como es el elemento introducido, para esto hay que ir a “Set Display Option” (Ctrl+E) en el menú y seleccionar el cajo Extrude View Al hacer click en ok, el programa muestra una nueva vista del elemento

5.1. Vista 3D Para visualizar más claramente el elemento modelado, hacer click en el botón 3D del menú barra de herramientas rápida.

87

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

En esta vista es posible rotar libremente el punto de vista y obtener una mejor visualización (“Rotate 3D view”).

5.2. Realizar ZOOM Para esto hacer click en botón “Rubber

Band

Zoom

(F2)”

y

seleccionar la zona para aplicar el zoom.

Asi es posible ver claramente la sección del elemento W modelado.

88

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

6. DEFINCION DE CARGAS EXTERNAS 6.1.

Carga externa

En el menú Define
Load Patterns

Aparece la venta de cargas

Modificar el nombre de la carga a Pcr y colocar un cero en el coeficiente que multiplica

al

peso,

así

se

consigue

despreciar el peso propio del elemento. Luego al pinchar en “Modify Load Pattern” se actualiza lo realizado.

6.2.

Combinaciones o casos de carga

El menú Define
Load Cases entrega la ventana de las combinaciones de carga que está considerando el programa para el análisis, y al hacer click en agregar nueva carga (“Add New Load Case”)…

Se ingresa a la siguiente ventana, donde es necesario seleccionar Buckling (pandeo) en el tipo de caso (“Load Case Type”), para indica al programa que analice el pandeo en el elemento

89

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

A continuación es necesario agregar la carga Pcr a las cargas a considerar y modificar a dos modos el número de modos de pandeo a revisar. Luego de hacer click en OK, hay que eliminar las otras combinaciones que trae el programa por defecto dejando solo la combinación creada anteriormente.

6.3.

Introducción de la carga externa Para que el programa pueda hacer el análisis es necesario

introducir una carga unitaria, para esto, hay que seleccionar el nudo sobre el cual estará aplicada la carga (nudo superior para este caso).

Luego en Assign
Joint Loads
Forces se abre la ventana para las cargas (fuerzas) a aplicar sobre el nudo seleccionado

Introducir una carga unitaria vertical de gravedad, es decir el número -1 en la posición Z.

90

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

El programa muestra la carga introducida

7. CALCULO Y ANALISIS 7.1.

Análisis en el Plano Es necesario que el análisis se desarrolle solo

en el plano, para lo cual hay que modificar las opciones de análisis en el menú Analyse
Create Analysis Model

Al hacer click en “Plane Frame”, se le indica al programa que realice un análisis en el plano, situación que se expresa dejando activo solo los grados de libertad UX – UZ – RY

91

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

7.2.

Discretización del elemento (MESH) SAP2000 usa elementos finitos, estos se definen para una barra de nodo a nodo

en forma predeterminada, para verificar y modificar esto en caso de ser necesario, se debe seleccionar la barra e ir al menú Analyse
Frame
Automatic Frame Mesh. Aquí se observan las opciones predeterminadas que se no se modificara por el momento. .

7.3.

Ejecución del Análisis Ya se ha indicado todo lo necesario, solo faltando hacer el análisis.

Ir a Menú Analyze
Run Analysis (F5) Aparece la siguiente ventana en donde hay que hacer click en el botón correr hora (“Run Now”)

El programa realiza el análisis y muestra un resumen si se marco la opción Alwoys Show (mostrar siempre) en la ventana anterior. 7.4.

Resultados

92

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

Como el análisis realizado busca la carga de pandeo, en la esquina superior izquierda aparece un valor que el programa denomina “Factor” que es un factor de amplificación para la carga externa en el primer modo de pandeo del elemento, en nuestro caso, se ha introducido una carga externa unitaria por lo cual el factor que entrega el programa es directamente la carga critica del pandeo de Euler para el primer modo de pandeo del elemento empotrado libre que se ha modelado. Es posible visualizar más claramente las cargas de pandeo para todos los modos indicados. Ir a Menú Display
Show Tables buscar la siguiente ruta

Así se consigue una tabla que muestra los factores de pandeo (Buckling Factor) para cada modo, como ya se mención,

acertadamente

la

carga

externa introducida fue unitaria, así los valores que se observan en la tabla corresponden a los valores de la carga de pandeo de esta columna para cada uno de sus modos analizados, y el menor de ellos es el valor de la carga critica de pandeo buscada. La carga de pandeo obtenida del programa SAP2000 es: 129.893,78 kgf

93

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

8. COMPROBACION DE LOS RESULTADOS Se sabe que la carga crítica de Euler para una barra Empotrada - Libre se obtiene de la siguiente ecuación:
 

   4 

Para la columna del problema se tiene que: •

E= 2.100.000 kgf/cm2

•

L= 300 cm

•

A= 22,84 cm2

•

I= 2239,325 cm4

Reemplazando en la ecuación anterior, se obtiene


 

que:

kgf  2239,325cm cm  128.923,97 "#$ 4300

  2.100.000

Es fácil apreciar que existe una pequeña diferencia entre el resultado entregado por SAP2000 y el resultado obtenido teóricamente mediante la ecuación de Euler, esta diferencia se debe a la discretización que hace el programa SAP2000. Para corroborar lo anterior, se mostrará como forzar al programa que divida al objeto en más elementos (una mayor discretización) antes de ejecutar el análisis nuevamente. Para continuar con el problema se correrá el análisis nuevamente para una discretización de 2 y 4 partes respectivamente.

94

ANEXO A: Cálculo de la Carga de Pandeo para un Elemento de Sección Constante con el Programa SAP2000

9. MODIFICACION DE LA DISCRETIZACION DEL ELEMENTO Esto se consigue indicando un número mínimo de segmentos en la ventana Frame Automatic Mesh, (revisar punto 7.2 de este anexo). Al Introducir el valor 2 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar el análisis se obtiene un factor de 128,989.99 kgf

Al Introducir el valor de 4 en la casilla Minimun Number of Segments, y ejecutar el análisis se obtiene el factor de 128,923.97kgf

Los resultados anteriores se resumen en la siguiente tabla comparativa Tabla A.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento sección constante

Modelo A 1 elemento por objeto

B 2 elemento por objeto

C 4 elemento por objeto

Sap2000 (kgf) Euler (kgf) Diferencia (%) 129,893.7798

128,923.97

0.75

128,989.9987

128,923.97

0.05

128,928.1958

128,923.97

0.00

95

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

ANEXO B CALCULO DE LA CARGA DE PANDEO PARA UN ELEMENTO NO PRISMATICO CON EL PROGRAMA SAP2000

A

continuación

se

describirá

como obtener la carga de pandeo para una

barra

de

sección

variable

Empotrada - Libre usando las formulas entregadas en el Capítulo 1 del presente trabajo de titulación, y se comprobará con los resultados que entrega el programa

SAP2000

al

modelar

un

elemento de sección variable con las siguientes características y propiedades.

Para realizar esta demostración se desarrollará el siguiente problema: •

Columna de Acero (E=2.100.000 kgf/cm^2)

•

Condición de sustentación: Empotrada - Libre

•

Longitud, L=400 cm, a=100cm

•

Propiedades de la sección: Rectangular,
  20

•

Análisis en el plano (plano X-Z), planteando como hipótesis que la columna esta arriostrada en su eje débil por lo cual solo pandea en el plano de análisis. p

1. USANDO LA METODOLOGIA PROPUESTA 1.1.

Calculo dimensiones del elemento Recordando que el análisis a realizar se basa en una relación de inercia

especifica propuesta por Timoshenko, una vez indicada la forma del elemento y las dimensiones del la sección en el nodo inicial, a, se deben obtener las dimensiones para el nodo final, a+L. De la Ley de variación de inercia, se obtiene una relación entre los cantos inicial y final de la barra.

96

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000



 
  
  

         
 
 

12 12

Así para el nudo final se tiene:

    400  100  500




500   20    58,48 100

Se sabe que la Inercia para una sección rectangular respecto a su eje centroidal es: 


 12

Así, para el punto inicial a y para el punto final a+L, se tienen las siguientes inercias: 20 20    13.333,33! 12  

20 58,48  333.333,33! 12

Comprobación: Para el elemento del problema se tiene un grado de ahusamiento de: "

 400  4

100

Usando la 2.4 se obtiene:    1  "  13.333,33! 1  4  333.333,33!

 #$

En pagina 27, se deduce que la carga de pandeo para una barra de inercia variable con condiciones de sustentación empotrada-libre, se rige por la ecuación 2.86: %&'  

( 

)*   "  +

, 1 0.493559 0 0.063707"  3  ln 1  " 4

Calculando con ayuda de MathCad el valor m para el valor de "  4, se tiene que: , 1 " +  0.493559 0 0.063707"  3  7,474 ln 1  " 4 

Así, la carga de pandeo para la barra del problema usando la metodología propuesta en presente trabajo de titulación es: 97

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

kgf 2.100.000   13.333,33!  ( cm %&'     7,474  1,308,036.77 9:; 400  2. CALCULANDO CON SAP2000

2.1.

Modelamiento de la sección variable Para modelar una barra se sección variable se procede de igual manera que para

una barra de sección constante (anexo A) salvo que al momento de indicar sección de la barra (revisar punto 3, Anexo A) se debe proceder de la siguiente:

2.1.1. Creación de las secciones que forman el elemento En un primer paso se deben crear las secciones extremas de la barra de sección variable

Como

el

problema

plantea

secciones

rectangulares, se puede usar la plantilla de sección rectangular que entrega el menú para secciones de hormigón y modificar sus propiedades según se necesita para problema a analizar. Al hacer click sobre el botón sección rectangular, muestra la siguiente ventana:

Se selecciona el material a usar, que será el material denominado ACERO (ver pag 81 Anexo A)

98

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Se cambian los factores de modificación para las propiedades

Y se verifica que las propiedades de la sección son las obtenidas anteriormente, por ejemplo el momento de inercia mayor es exactamente el momento de inercia 

Como la segunda sección es similar a la sección ya creada, se puede agregar una sección con las mismas propiedades de alguna de las secciones ya creadas, en este caso seleccionar la sección 20/20 y hacer click sobre el botón add copy property.

Se introducen

los nuevos valores de la

sección (nombre y dimensiones)

99

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Se verifican que los coeficientes de modificación para las propiedades sean los correspondientes al problema Se verifican las propiedades de la sección y se aprecia que existe una pequeña diferencia en el momento de inercia en SAP2000 respecto al momento de inercia  , esto se debe a los decimales omitidos en el canto final cuyo valor con 10 decimales es:  ?@, A@BC?ADEACFG

2.1.2 Creación de la sección variable El paso siguiente es la creación de la sección variable y para esto se debe hacer un click en Add New Property.

Seleccionar Other en Frame Section Property Type: Y hacer click sobre Nonprismatic

Aparece la venta de creación de sección variable en donde hay que definir las secciones iniciales y finales del elemento a modelar.

100

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Indicar la sección inicial (20/20), la sección final (58.48/20), como la variación de sección, la que se desarrollará durante toda la longitud del elemento, por lo que se usa el valor 1 (100%) dado que el programa permite modelar una barra con mayor cantidad de secciones, y por último se indica una variación de inercia parabólica ya que se requiere un moldeamiento lo mas similar al problema para poder comparar la metodología propuesta. Se hace click en agregar (“Add”) y se carga la configuración creada.

Nota:

al final del anexo se muestra la diferencia que existe al escoger una variación lineal o una variación

parabólica

Luego de clickear los botones Ok hasta llegar a la ventana de trabajo, hay que seleccionar la barra y proceder a asignar la sección variable creada recientemente

Seleccionar la sección creada 20/20_58/20 y hacer click en ok

101

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Aparece la sección sobre la barra

Es posible ver la sección de una forma más real, siguiendo el procedimiento planteado en Punto 5 del Anexo A

Y la vista en 3D queda de la siguiente forma:

102

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

2.2.

ANALISIS Y RESULTADO Luego de proceder con la introducción de cargas y puntos restantes indicados en

Anexo A, se debe ejecutar el análisis de la barra. Considerando la discretización estándar que trae el programa sap2000 (1 solo elemento por objeto), se obtienen los siguientes resultados

103

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Para una discretización de 2 elementos, se obtiene: 1,292,110.58 kgf

Para una discretización 6 elementos, se obtiene: 1,308,551.88 kgf

La siguiente tabla muestra la comparación de los resultados obtenidos en SAP2000 para diferentes discretizaciones del objeto (barra) respecto al resultado que entrega la metodología propuesta.

104

ANEXO B: Calculo de la Carga de Pandeo para un Elemento no Prismático con el Programa Sap2000

Tabla B.1: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un Elemento sección variable (no prismatico) Modelo

Sap2000 (kgf)

Metodología (kgf)

Diferencia (%)

A

1,227,991.71

1,308,036.77

6.09

1,292,110.58

1,308,036.77

1.22

1,308,551.88

1,307,658.75

-0.04

1 elemento por objeto

B 2 elemento por objeto

C 6 elemento por objeto

2.3.

VARIACION LINEAL O VARIACION PARABOLICA. A continuación se muestran los diferentes resultados que entrega el programa

SAP2000 al modelar un elemento no prismático con una variación de inercia parabólica o con una variación de inercial lineal. Tabla B.2: Tabla comparativa de los resultados obtenidos para un elemento con variación de inercia lineal y otro con variación parabólica Modelo A

Sap2000 (kgf)

Sap2000 (kgf)

variación parabólica de

variación lineal de la

la inercia

inercia

1,227,991.7140

1,866,426.51

34.21

1,292,110.5800

1,970,681.49

34.43

1,308,551.8880

2,006,618.30

34.79

Diferencia (%)

1 elemento por objeto

B 2 elementos por objeto

C 6 elementos por objeto

Se observa que la diferencia es considerable para este caso de elemento rectangular Libre - Empotrado (sobre 30%), es decir, al estudiar un elemento no prismático con variación de inercia lineal como un elemento no prismático con variación de inercia parabólica (ley de inercia planteada por Timoshenko), se obtiene una carga critica de pandeo un 30% menor a la carga critica real del elemento en estudio, por lo tanto la metodología propuesta aborda un diseño por el lado de la seguridad para los elementos con variación de inercia lineal, que son los elementos de mayor fabricación y de mayor uso en la construcción debido a su simplicidad y método de fabricación.

105

EJEMPLO DE APLICACION DEL ANALISIS MATRICIAL DE UN MARCO COMPUESTO POR ELEMENTOS DE SECCION VARIABLE (RESUELTO EN EL PROGRAMA MATHCAD)

Obtener los desplazamientos y giros en los nodos, las reacciones en los apoyos, así como los elementos mecánicos y sus diagramas de momento M del marco simple sujeto al sistema de cargas que se indica en la siguiente figura. Todos los elementos son tipo Viga-Columna bidimensionales, cuyas propiedades se indican a continuación.

modulo elasticidad

E := 2100

ton cm

2

elemento 1

ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE seccion

h 1 := 60 b 1 := 30

longitud

L1 := 300

Area de la Sección

A1 := h 1 ⋅ b 1 = 1800

Momento de Inercia Mayor de la seccion Ix1 :=

b1⋅ h1 12

3

= 540000

106

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL Ix := Ix1 = 5.4 × 10 L := L1 = 300

renombre variables

A := A1 = 1.8 × 10 raz :=

E⋅ A

raax :=

L

rabx :=

4

3

6 ⋅ E⋅ Ix L

2

= 504

4

= 7.56 × 10

rbax := rabx = 7.56 × 10 r11x :=

3

= 1.26 × 10

12E⋅ Ix L

5

4 ⋅ E⋅ Ix L

4

7

= 1.512 × 10 7

r22x := r11x = 1.512 × 10 r12x :=

2 ⋅ E⋅ Ix L

= 7.56 × 10

r21x := r12x = 7.56 × 10

6

6

SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES

⎛ raz ⎜ k´11 := ⎜ 0 ⎜0 ⎝

0

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k´21 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

⎛⎜ k 11 k12 ⎞⎟ ⎜⎝ k 21 k22 ⎟⎠

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k´12 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

⎞ ⎟ raax rabx ⎟ ⎟ rabx r11x ⎠ 0

K=

T

0 ⎞ ⎛ raz 0 ⎜ ⎟ k´22 := ⎜ 0 raax −rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ bax r22x ⎠ ⎝

⎛ 1.26 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 k´11 = 7.56 × 10 ⎟ 0 504 ⎜ ⎜ 4 7⎟ 0 7.56 × 10 1.512 × 10 ⎠ ⎝

⎛ −1.26 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ 4⎟ k´12 = ⎜ 7.56 × 10 ⎟ 0 −504 ⎜ ⎜ 4 6⎟ 0 −7.56 × 10 7.56 × 10 ⎠ ⎝

⎛ −1.26 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 k´21 = −7.56 × 10 ⎟ 0 −504 ⎜ ⎜ 4 6 ⎟ 0 7.56 × 10 7.56 × 10 ⎠ ⎝

⎛ 1.26 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ 4⎟ k´22 = ⎜ −7.56 × 10 ⎟ 0 504 ⎜ ⎜ 4 7⎟ 0 −7.56 × 10 1.512 × 10 ⎠ ⎝

(

(

)

(

))

k elem1 := stack augment k´11 , k´12 , augment k´21 , k´22

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

107

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

⎛ 12600 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem1 = ⎜ ⎜ −12600 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

⎞ 504 75600 0 −504 75600 ⎟ ⎟ 75600 15120000 0 −75600 7560000 ⎟ ⎟ 0 0 12600 0 0 ⎟ −504 −75600 0 504 −75600 ⎟ 75600 7560000 0 −75600 15120000 ⎠ 0

0

−12600

0

0

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

⎛ cos( α1 ) sin( α1) 0 ⎞ ⎜ ⎟ T := ⎜ −sin( α1 ) cos( α1 ) 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 1⎠ ⎝ 0

Matriz cambio coordenadas

0 −75600 ⎞ ⎛ 504 ⎜ ⎟ k111 := T ⋅ k´11⋅ T = 0 12600 0 ⎜ ⎟ ⎝ −75600 0 15120000 ⎠

−0 −75600 ⎞ ⎛ −504 ⎜ ⎟ k112 := T ⋅ k´12⋅ T = −0 −12600 0 ⎜ ⎟ ⎝ 75600 −0 7560000 ⎠

T

T

−0 75600 ⎞ ⎛ −504 ⎜ k121 := T ⋅ k´21⋅ T = −0 −12600 −0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 7560000 ⎠ ⎝ −75600

0 75600 ⎞ ⎛ 504 ⎜ ⎟ k122 := T ⋅ k´22⋅ T = 0 12600 −0 ⎜ ⎟ ⎝ 75600 −0 15120000 ⎠

T

(

(

)

(

α1 := 90°

T

K1 := stack augment k111 , k112 , augment k121 , k122

))

0 −75600 −504 −0 −75600 ⎞ ⎛ 504 ⎜ 0 ⎟ 12600 0 −0 −12600 0 ⎜ ⎟ −75600 0 15120000 75600 −0 7560000 ⎟ ⎜ K1 = ⎜ −504 −0 75600 504 0 75600 ⎟ ⎜ −0 −12600 ⎟ −0 0 12600 −0 ⎜ ⎟ 0 7560000 75600 −0 15120000 ⎠ ⎝ −75600 elemento 1

elemento 2

ELEMENTOS SECCION RECTANGULAR CONSTANTE seccion

h 2 := 50 b 2 := 40

longitud L2 := 300 Area de la Sección A2 := h 2 ⋅ b 2 = 2000 Momento de Inercia Mayor de la seccion Ix2 :=

b2⋅ h2 12

3

= 416666.67

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

108

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

CALCULO MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL renombre variables Ix := Ix2 = 416666.67 L := L2 = 300 A := A2 = 2000

raz :=

E⋅ A

raax :=

L

12E⋅ Ix L

rabx :=

= 1.4 × 10

3

6 ⋅ E⋅ Ix L

2

4

= 388.889

= 5.833 × 10

4

4

rbax := rabx = 5.833 × 10 r11x :=

4 ⋅ E⋅ Ix L

7

= 1.167 × 10 7

r22x := r11x = 1.167 × 10 r12x :=

2 ⋅ E⋅ Ix L

6

= 5.833 × 10 6

r21x := r12x = 5.833 × 10

SUBMATRICES DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES

⎛ raz ⎜ k´11 := ⎜ 0 ⎜0 ⎝

0

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k´21 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

⎛⎜ k 11 k12 ⎟⎞ ⎜⎝ k 21 k22 ⎟⎠

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k´12 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

⎞ ⎟ raax rabx ⎟ ⎟ rabx r11x ⎠ 0

K=

T

0 ⎞ ⎛ raz 0 ⎜ ⎟ k´22 := ⎜ 0 raax −rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ bax r22x ⎠ ⎝

⎞ ⎛ 1.4 × 104 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ k´11 = 5.833 × 10 ⎟ 388.889 ⎜ 0 ⎜ 4 7⎟ 5.833 × 10 1.167 × 10 ⎠ ⎝ 0

⎞ ⎛ −1.4 × 104 0 0 ⎜ ⎟ 4⎟ k´12 = ⎜ 5.833 × 10 ⎟ 0 −388.889 ⎜ ⎜ 4 6⎟ 0 −5.833 × 10 5.833 × 10 ⎠ ⎝

⎛ −1.4 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4 k´21 = 0 −388.889 −5.833 × 10 ⎟ ⎜ ⎜ 4 6 ⎟ 0 5.833 × 10 5.833 × 10 ⎠ ⎝

⎛ 1.4 × 104 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ 4⎟ k´22 = ⎜ −5.833 × 10 ⎟ 388.889 ⎜ 0 ⎜ 4 7 ⎟ −5.833 × 10 1.167 × 10 ⎠ ⎝ 0

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

109

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

(

(

)

(

))

k elem2 := stack augment k´11 , k´12 , augment k´21 , k´22

⎛ 14000 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem2 = ⎜ ⎜ −14000 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

⎞ ⎟ ⎟ 58333.333333 11666666.666667 0 −58333.333333 5833333.333333 ⎟ ⎟ 0 0 14000 0 0 ⎟ −388.888889 −58333.333333 0 388.888889 −58333.333333 ⎟ 58333.333333 5833333.333333 0 −58333.333333 11666666.666667 ⎠ 0

0

−14000

0

0

388.888889

58333.333333

0

−388.888889

58333.333333

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES

⎛ cos( α1 ) sin( α1) 0 ⎞ ⎜ ⎟ T := ⎜ −sin( α1 ) cos( α1 ) 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 1⎠ ⎝ 0

Matriz cambio coordenadas

α1 := 90°

0 −58333.333 ⎞ ⎛ 388.889 ⎜ ⎟ k211 := T ⋅ k´11⋅ T = 0 14000 0 ⎜ ⎟ ⎝ −58333.333 0 11666666.667 ⎠ T

−0 −58333.333 ⎞ ⎛ −388.889 ⎜ ⎟ k212 := T ⋅ k´12⋅ T = −0 −14000 0 ⎜ ⎟ ⎝ 58333.333 −0 5833333.333 ⎠ T

−0 58333.333 ⎞ ⎛ −388.889 ⎜ ⎟ k221 := T ⋅ k´21⋅ T = −0 −14000 −0 ⎜ ⎟ 0 5833333.333 ⎠ ⎝ −58333.333 T

0 58333.333 ⎞ ⎛ 388.889 ⎜ ⎟ k222 := T ⋅ k´22⋅ T = 0 14000 −0 ⎜ ⎟ ⎝ 58333.333 −0 11666666.667 ⎠ T

(

(

)

(

K2 := stack augment k211 , k212 , augment k221 , k222

))

0 −58333.333333 −388.888889 −0 −58333.333333 ⎞ ⎛ 388.888889 ⎜ ⎟ 0 14000 0 −0 −14000 0 ⎜ ⎟ −58333.333333 0 11666666.666667 58333.333333 −0 5833333.333333 ⎟ ⎜ K2 = ⎜ −388.888889 −0 58333.333333 388.888889 0 58333.333333 ⎟ ⎜ ⎟ −0 −14000 −0 0 14000 −0 ⎜ ⎟ 0 5833333.333333 58333.333333 −0 11666666.666667 ⎠ ⎝ −58333.333333

elemento 2

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

110

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

elemento 3

ELEMENTOS SECCION RECTANGULA VARIABLE h1 := 80

seccion

h2 := 30 b := 30 L31 := 300

longitud

L32 := 200

L33 := 300

Lt := L31 + L32 + L33 = 800

TRAMO a-b: Seccion Varible de 80cm a 30cm Lab := L31 = 300 el peralte del alma varia de la siguiente forma h1 − h2

h ab( z) :=

Lab

(

)

⋅ Lab − z + h2

asi el area axial varia segun: Aab( z) := b ⋅ h ab( z) flotante , 4 → −5.0⋅ z + 2400.0 El momento de inercia Iab( z) :=

b ⋅ h ab( z)

3

flotante , 4 → −2.5⋅ ( 0.1667⋅ z − 80.0)

12

3

TRAMO b-c: Seccion Constante de 30cm Lbc := L32 = 200 3

Abc := h 2 ⋅ b = 1.5 × 10

Ibc :=

b⋅ h2 12

3

= 3.125 × 10

5

TRAMO c-d: Seccion Variable de 30cm a 80cm Lcd := L33 = 300 el peralte del tramo varia h cd( z) :=

h2 − h1 Lcd

(

)

⋅ z − Lab − Lbc + h1

asi el area axial varia segun: Acd( z) := b ⋅ h cd( z) flotante , 4 → −5.0⋅ z + 4900.0 El momento de inercia

Icd( z) :=

b ⋅ h cd( z) 12

3

flotante , 4 → −2.5⋅ ( 0.1667⋅ z − 163.3 )

3

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

111

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

Determinacion de los coeficientes de flexibilidad L L +L L +L +L ⌠ ab ⌠ ab bc 1 ⌠ ab bc cd 1 1 := ⎮ dz + ⎮ dz + ⎮ dz flotante , 5 → 0.00025032 f 1, 1 E⋅ Aab( z) E⋅ Abc E⋅ Acd( z) ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡L ⌡L + L 0 ab

ab

bc

L L +L L +L +L ⌠ ab ⌠ ab bc 1 ⌠ ab bc cd 1 1 := ⎮ dz + ⎮ dz + ⎮ dz flotante , 5 → 0.0000013987 f 6, 6 E⋅ Iab( z) E⋅ Ibc E⋅ Icd( z) ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡L ⌡L + L 0 ab

ab

bc

L L +L L +L +L ⌠ ab ⌠ ab bc ⌠ ab bc cd 2 2 2 ⎮ ⎮ ⎮ z z z := ⎮ dz + ⎮ dz + ⎮ dz flotante , 5 → 0.36438 f 2, 2 E⋅ Iab( z) E⋅ Ibc E⋅ Icd( z) ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ ⌡L ⌡L + L 0 ab

ab

bc

L L +L L +L +L ⌠ ab ⌠ ab bc z ⌠ ab bc cd z z := ⎮ dz + ⎮ dz + ⎮ dz flotante , 5 → 0.00063461 f 2, 6 E ⋅ I ( z ) E ⋅ I E ⋅ I ⎮ ⎮ ⎮ ab bc cd( z) ⌡ ⌡L ⌡L + L 0 ab

ab

bc

Determinacion de los coeficientes de rigidez L := Lt = 800 1 3 raz := = 3.995 × 10 f 1, 1

Detx := f

⋅f

2, 2 6, 6

( 2 , 6)

− f

2

−7

= 1.069 × 10

f 2, 2 6 r11x := = 3.408 × 10 Detx f r12x :=

raax := rabx := rbax :=

2, 2

Detx f

r22x :=

⋅L − f

2, 6

2

⋅ L − 2⋅ f

6, 6

6

= 1.34 × 10 ⋅L + f

2, 6

2, 2

Detx r11x + r22x + 2 ⋅ r12x 2

L r11x + r12x L r22x + r12x L

= 2.284 × 10

6

= 13.081

= 5.935 × 10

3

3

= 4.53 × 10

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

112

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

submatrices de rigidez en coordenadas locales

⎛ raz ⎜ k 11 := ⎜ 0 ⎜0 ⎝

0

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k 21 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

T

0 ⎞ ⎛ raz 0 ⎜ ⎟ k 22 := ⎜ 0 raax −rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ bax r22x ⎠ ⎝

⎛ 3.995 × 103 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 k 11 = 5.935 × 10 ⎟ 0 13.081 ⎜ ⎜ 3 6⎟ 0 5.935 × 10 3.408 × 10 ⎠ ⎝

⎛ −3.995 × 103 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ 3⎟ k 12 = ⎜ 4.53 × 10 ⎟ 0 −13.081 ⎜ ⎜ 3 6⎟ 0 −5.935 × 10 1.34 × 10 ⎠ ⎝

⎛ −3.995 × 103 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 k 21 = 0 −13.081 −5.935 × 10 ⎟ k 22 = ⎜ ⎜ 3 6 ⎟ 1.34 × 10 ⎠ 0 4.53 × 10 ⎝

(

⎛⎜ k 11 k12 ⎞⎟ ⎜⎝ k 21 k22 ⎟⎠

0 ⎞ ⎛ −raz 0 ⎜ ⎟ k 12 := ⎜ 0 −raax rbax ⎟ ⎜ 0 −r ⎟ abx r12x ⎠ ⎝

⎞ ⎟ raax rabx ⎟ ⎟ rabx r11x ⎠ 0

K=

(

)

(

⎛ 3.995 × 103 ⎞ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ −4.53 × 10 ⎟ 0 13.081 ⎜ ⎜ 3 6⎟ 0 −4.53 × 10 2.284 × 10 ⎠ ⎝

))

k elem3 := stack augment k 11 , k 12 , augment k 21 , k 22

⎛ 3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem3 = ⎜ ⎜ −3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

−3994.886545

⎞ ⎟ 13.080709 5934.902983 0 −13.080709 4529.664297 ⎟ 5934.902983 3407699.136291 0 −5934.902983 1340223.249969 ⎟ ⎟ 0 0 3994.886545 0 0 ⎟ −13.080709 −5934.902983 0 13.080709 −4529.664297 ⎟ 4529.664297 1340223.249969 0 −4529.664297 2283508.187899 ⎠ 0

0

0

0

submatrices de rigidez en coordeanas globales

cambio coordenadas

⎛ cos( α3 ) sin( α3) 0 ⎞ ⎜ ⎟ T := ⎜ −sin( α3 ) cos( α3 ) 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 1⎠ ⎝ 0

α3 := 0°

0 0 ⎛ 3994.887 ⎞ ⎜ k311 := T ⋅ k 11⋅ T = 0 13.081 5934.903 ⎟ ⎜ ⎟ 5934.903 3407699.136 ⎠ ⎝ 0 T

0 0 ⎛ −3994.887 ⎞ ⎜ k312 := T ⋅ k 12⋅ T = 0 −13.081 4529.664 ⎟ ⎜ ⎟ 0 −5934.903 1340223.25 ⎠ ⎝ T

0 0 ⎛ −3994.887 ⎞ ⎜ k321 := T ⋅ k 21⋅ T = 0 −13.081 −5934.903 ⎟ ⎜ ⎟ 0 4529.664 1340223.25 ⎠ ⎝ T

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

113

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

0 0 ⎛ 3994.887 ⎞ ⎜ k322 := T ⋅ k 22⋅ T = 0 13.081 −4529.664 ⎟ ⎜ ⎟ −4529.664 2283508.188 ⎠ ⎝ 0 T

(

(

)

(

K3 := stack augment k311 , k312 , augment k321 , k322

⎛ 3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 K3 = ⎜ ⎜ −3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

))

⎞ ⎟ 13.080709 5934.902983 0 −13.080709 4529.664297 ⎟ 5934.902983 3407699.136291 0 −5934.902983 1340223.249969 ⎟ ⎟ 0 0 3994.886545 0 0 ⎟ −13.080709 −5934.902983 0 13.080709 −4529.664297 ⎟ 4529.664297 1340223.249969 0 −4529.664297 2283508.187899 ⎠ 0

−3994.886545

0

0

0

elemento 3

Ensamble de la matriz de rigidez Global Usando la regla del ensamble, se obtendrá la matriz de rigidez global a partir de las submatrices globales de rigidez de los elementos que aporten a los nudos 1 y 2:

(

(

)

(

KGral := stack augment k122 + k311 , k312 , augment k321 , k222 + k322

⎛ 4498.89 ⎜ 0 ⎜ 75600 KGral = ⎜ ⎜ −3994.89 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

))

⎞ ⎟ ⎟ 5934.9 18527699.14 0 −5934.9 1340223.25 ⎟ 0 0 4383.78 0 58333.33 ⎟ ⎟ −13.08 −5934.9 0 14013.08 −4529.66 ⎟ 4529.66 1340223.25 58333.33 −4529.66 13950174.85 ⎠ 0

75600

−3994.89

0

0

12613.08

5934.9

0

−13.08

4529.66

Las fuerzas externas para cada nudo son:

⎛ 15 ⎞ F1 :=

⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

⎛ 15 ⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 0 F := stack( F1 , F2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 15 ⎟ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

⎛ 15 ⎞ F2 :=

⎜0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

con lo cual, es posible resolver el sistema, obteniendo el siguiente vector de desplazamientos global:

⎛ 0.07823 ⎞ ⎜ 0.00025 ⎟ ⎜ ⎟ −0.0003 ⎟ ⎜ X := lsolve( KGral , F) = ⎜ 0.07872 ⎟ ⎜ −0.00022 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0003 ⎠

cm cm cm/rad cm cm cm/rad

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

114

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

a continuacion se generan los vetores de desplazamientos globales para cada nodo: 0.078 ⎛ ⎞ ⎜ −4 ⎟ Δ1 := submatrix( X , 1 , 3 , 1 , 1 ) = ⎜ 2.478 × 10 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ −2.976 × 10 ⎠

⎛0⎞ Δa := ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠

0.079 ⎛ ⎞ ⎜ −4 ⎟ Δ2 := submatrix( X , 4 , 6 , 1 , 1 ) = ⎜ −2.23 × 10 ⎟ ⎜ − 4⎟ ⎝ −3.007 × 10 ⎠

⎛0⎞ Δb := ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎛ cos( α) sin( α) ⎜ −sin( α) cos( α) ⎜ 0 0 T( α) := ⎜ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 ⎜ 0 ⎝ 0

la matriz de cambio de coordenadas es:

0⎞

0

0

0

0

0

0

0⎟

1

0

0

0⎟

0 cos( α)

⎟

sin( α) 0 ⎟

⎟ ⎟ 1⎠

0 −sin( α) cos( α) 0 0

0

0

Cálculo de deformacines en coordenalas locales y de elementos Mecánicos ELEMENTO 1 (nodo inicial: a____nodo final: 1)

⎛ 0 ⎞ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ U1 := stack( Δa , Δ1 ) = ⎜ 0.0782 ⎟ ⎜ 0.0002 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0003 ⎠ ⎛ 12600 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem1 = ⎜ ⎜ −12600 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

⎞ ⎛ 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ u 1 := T( α1 ) ⋅ U1 = ⎜ 0.00025 ⎟ ⎜ −0.07823 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0003 ⎠ −12600

⎞ 504 75600 0 −504 75600 ⎟ ⎟ 75600 15120000 0 −75600 7560000 ⎟ ⎟ 0 0 12600 0 0 ⎟ −504 −75600 0 504 −75600 ⎟ 75600 7560000 0 −75600 15120000 ⎠ 0

0

⎛ −3.1224 ⎞ ⎜ 16.9297 ⎟ ⎜ ⎟ 3664.4725 ⎟ ⎜ Felem1 := k elem1⋅ u 1 = ⎜ 3.1224 ⎟ ⎜ −16.9297 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1414.4452 ⎠

0

0

Ton Ton Ton-cm Ton Ton Ton-cm

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

115

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

ELEMENTO 2 (nodo inial: b___nodo final: 2) 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ U2 := stack( Δb , Δ2 ) = ⎜ 0.078717 ⎟ ⎜ −0.000223 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.000301 ⎠

⎛ 14000 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem2 = ⎜ ⎜ −14000 ⎜ 0 ⎜ ⎝ 0

0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ u 2 := T( α1 ) ⋅ U2 = ⎜ −0.000223 ⎟ ⎜ −0.078717 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.000301 ⎠

⎞ ⎟ 388.888889 58333.333333 0 −388.888889 58333.333333 ⎟ 58333.333333 11666666.666667 0 −58333.333333 5833333.333333 ⎟ ⎟ 0 0 14000 0 0 ⎟ −388.888889 −58333.333333 0 388.888889 −58333.333333 ⎟ 58333.333333 5833333.333333 0 −58333.333333 11666666.666667 ⎠ 0

−14000

0

⎛ 3.1224 ⎞ ⎜ 13.0703 ⎟ ⎜ ⎟ 2837.6392 ⎟ ⎜ Felem2 := k elem2⋅ u 2 = ⎜ −3.1224 ⎟ ⎜ −13.0703 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1083.4431 ⎠

0

0

Ton Ton Ton-cm Ton Ton Ton-cm

ELEMENTO 3 (nodo inicial: 1___nodo final: 2)

⎛ 0.07823 ⎞ ⎜ 0.00025 ⎟ ⎜ ⎟ −0.0003 ⎟ ⎜ U3 := stack( Δ1 , Δ2 ) = ⎜ 0.07872 ⎟ ⎜ −0.00022 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0003 ⎠ ⎛ 3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 k elem3 = ⎜ ⎜ −3994.886545 ⎜ 0 ⎜ 0 ⎝

⎛ 0.07823 ⎞ ⎜ 0.00025 ⎟ ⎜ ⎟ −0.0003 ⎟ ⎜ u 3 := T( α3 ) ⋅ U3 = ⎜ 0.07872 ⎟ ⎜ −0.00022 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0.0003 ⎠

⎞ ⎟ ⎟ 5934.902983 3407699.136291 0 −5934.902983 1340223.249969 ⎟ ⎟ 0 0 3994.886545 0 0 ⎟ −13.080709 −5934.902983 0 13.080709 −4529.664297 ⎟ 4529.664297 1340223.249969 0 −4529.664297 2283508.187899 ⎠ 0

0

−3994.886545

0

0

13.080709

5934.902983

0

−13.080709

4529.664297

⎛ −1.9297 ⎞ ⎜ −3.1224 ⎟ ⎜ ⎟ −1414.4452 ⎟ ⎜ Felem3 := k elem3⋅ u 3 = ⎜ 1.9297 ⎟ ⎜ 3.1224 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −1083.4431 ⎠

Ton Ton Ton-cm Ton Ton Ton-cm

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

116

Ejemplo de aplicación analisis matricial de un marco compuesto por elementos de seccion variable

Diagrama de cuerpo libre con las fuerzas y momentos en las barras:

Diagramas de momentos flectores (Ton-cm)

Modelo Matricial para el cálculo de Pórticos de Inercia Variable y estudio del Pandeo por Flexión para elementos de sección variable, Autor: Franklin Stuardo A.

117

ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

Tabla C.1: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada y Empotrada – Articulada, respectivamente.

BIEMPOTRADA

EMPOTRADA - ARTICULADA

ESQUEMA

CARGA CRITICA DEFORMADA COEFICIENTE DELTA LONGITUD DE PANDEO

118

ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

Tabla C.2: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Articulada – Empotrada y Empotrada – Libre, respectivamente.

ARTICULADA - EMPOTRADA

EMPOTRADO – LIBRE

ESQUEMA

CARGA CRITICA DEFORMADA COEFICIENTE DELTA LONGITUD DE PANDEO

119

ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

Tabla C.3: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Libre – Empotrado y Biarticulado, respectivamente.

LIBRE - EMPOTRADO

BIARTICULADO

ESQUEMA

CARGA CRITICA

DEFORMADA COEFICIENTE DELTA LONGITUD DE PANDEO 120

ANEXO C: Resumen formulación de los Parámetros que definen: Carga Crítica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática con diferentes condiciones de sustentación.

Tabla C.4: Formulación de los parámetros que definen: Carga Critica, Deformada y Longitud de Pandeo para una Barra no Prismática Biempotrada con Desplazamiento Lateral Relativo.

BIEMPOTRADO CON DESPLAZAMIENTO LATERAL

ESQUEMA

CARGA CRITICA DEFORMADA COEFICIENTE DELTA LONGITUD DE PANDEO 121