MÉTRICA 1. Distancias. i. Distancia entre dos puntos. La distancia entre dos puntos es el módulo del segmento que determinan los puntos. Sean A (a1,a2,a3) y B (b1,b2,b3) dos puntos del espacio, la distancia entre ellos vendrá dada por la expresión: d(A − B) = AB =

(a 1 − b1 )2 + (a 2 − b 2 )2 + (a 3 − b 3 )2

Propiedades: i. d(A − B) ≥ 0 ii. Sí la d(A − B) = 0 entonces A = B iii. d(A − B) = d(B − A ) iv. d(A − B) + d(B − C ) ≥ d(A − C ) ii. Distancia de un punto a una recta.

 P(x 0 , y 0 , z 0 ) es el módulo del segmento La distancia del punto A (a1,a2,a3) a la recta r ≡  r d r = (d 1 , d 2 , d 3 ) MA , siendo M la proyección ortogonal de A sobre r

1.

Se puede calcular de dos formas diferentes Como aplicación del módulo del producto vectorial r r d r × PA = d r ⋅ PA ⋅ sen α

en la figura se puede observar que PA ⋅ sen α = d (A − r ) , sustituyendo en la ecuación del módulo

r r d r × PA = d r ⋅ d(A − r )

despejando

2.

r d r × PA d(A − r ) = r dr

Como distancia entre dos puntos. Se puede calcular como distancia entre dos puntos. d(A − r ) = d(A − M ) Siendo M la proyección ortogonal de A sobre r. d(A − r ) = d(A − M ) =

(m1 − a 1 )2 + (m 2 − a 2 )2 + (m 3 − a 3 )2

El punto M (proyección de P sobre r), se calcula como intersección de la recta r con el plano π, perpendicular a r y que contiene a P, como se explica en “Problemas recta plano”. x −1 y = = z−2 −1 2 De la ecuación de la recta se saca el punto y la recta.  P = (1, 0, 2 ) x −1 y r≡ = = z−2: 2 −1 d r = (2, − 1, 1)

Ejemplo Distancia de A (1,1,−2) a r ≡

A = (1,1,−2 )   : PA = (1 − 1, 1 − 0, − 2 − 2 ) = (0, 1, − 4) d r = (2, − 1, 1)

 −1 1 2 1 2 −1   = (3, 8, 2) d r × PA = (2, − 1, 1)× (0, 1, − 4) =  ,− ,   1 −4 0 −4 0 1 

d r × PA = 3 2 + 8 2 + 2 2 = 77 d r = 2 2 + (− 1)2 + 12 = 6 r d r × PA 77 = d(A − r ) = r 6 dr

iii. Distancia de un punto a un plano. Como se observa en el dibujo se pude calcular de dos formas distintas. 1. Como distancia de A a M, siendo M la proyección ortogonal de A sobre π. El punto M se calcula como se muestra en los problemas recta plano. 2. Como proyección de un segmento QA sobre el vector normal al plano (n ) , siendo Q un punto cualquiera del plano. De esta segunda forma se obtiene una expresión sencilla y útil para otras aplicaciones. Datos: Ecuación del plano π ≡ Ax + BY + Cz + D = 0, y coordenadas del punto A(a1, a2, a3). Sea Q(xo, yo, zo) un punto cualquiera de π, y por tanto Axo + Byo + Czo + D = 0. d(A − π) = proy n QA =

d(A − π) =

n o QA n

=

(A, B, C ) o (a 1 − x o , a 2 − y o , a 3 − z o ) (A, B, C)

A(a 1 − x o ) + B(a 2 − y o ) + C(a 3 − z o ) A 2 + B2 + C2

=

Aa 1 − Ax o + Ba 2 − By o + Ca 3 − Cz o A 2 + B2 + C2

D 444 64447 8 Aa 1 + Ba 2 + Ca 3 − Ax o − By o − Cz o

=

=

A 2 + B2 + C2

Aa 1 + Ba 2 + Ca 3 + D A 2 + B2 + C2

Ejemplo Distancia de A (−1,0,−2) al plano π ≡ 3x − y + 2z − 1 = 0 d(A − π) =

3 ⋅ (− 1) − 0 + 2 ⋅ (− 2) − 1 3 2 + (− 1)2 + 2 2

iv. Distancia entre dos rectas paralelas.

Se calcula como la distancia de un punto de una de las rectas a la otra recta.

=

−8 14

=

8 14

=

4 14 7

=

v. Distancia entre dos rectas que se cruzan y no se cortan. La mínima distancia entre dos rectas que se cruzan y no se corta se puede hallar de varias formas. i. ii. iii.

Como distancia de un punto a un plano. Como distancia entre dos puntos (P, Q). Como aplicación del producto mixto de tres vectores.

i. La distancia entre las rectas r y s se puede calcular como la distancia de un punto de una de las rectas al plano que es paralelo a esa recta y que contiene a la otra, como muestra la figura adjunta. d(r − s ) = d(B − π) x − a1 y − a 2 z − a 3 = = u1 u2 u3 x − b1 y − b 2 z − b 3 s≡ = = v1 v2 v3 r≡

El plano π se obtiene con el punto y el vector de dirección de la recta que contiene, y con el vector de dirección de la recta paralela.  x − a1 y − a 2 z − a 3  A = (a 1 , a 2 , a 3 ) r ⊂ π ⇒  π: u2 u3 = 0 d r = (u 1 , u 2 , u 3 ) π ≡ u 1 s ( ) d v , v , v π ⇒ = v v v3 s 1 2 3 1 2  Desarrollando el determinante y ordenando se obtiene la ecuación general del plano π. Ax + By + Cz + D = 0 d(r − s ) = d(B − π ) =

A ⋅ b1 + B ⋅ b 2 + C ⋅ b 3 + D A 2 + B2 + C2

ii. Calculando los puntos P y Q, puntos de corte de r y s con su perpendicular común. x − a1 y − a 2 z − a 3 = = r≡ u1 u2 u3 x − b1 y − b 2 z − b 3 = = s≡ v1 v2 v3 Se busca un punto P perteneciente a r y otro punto Q perteneciente a s tal que el vector PQ sea perpendicular a r y a s, y por lo tanto el producto escalar de PQ por los vectores de dirección de r y de s debe ser nulo. PQ o d r = 0  PQ o d s = 0

El punto P ∈ r, y por lo tanto sus coordenadas deben cumplir las ecuaciones paramétricas de r, el punto Q ∈ s y sus coordenadas deben cumplir las ecuaciones paramétricas de s.  x = a 1 + u 1λ  P ∈ r ≡  y = a 2 + u 2 λ ⇒ P = (a 1 + u 1λ, a 2 + u 2 λ, a 3 + u 3 λ ) z = a + u λ 3 3   x = b 1 + v 1µ  Q ∈ s ≡  y = b 2 + v 2 µ ⇒ B = (b1 + v1µ, b 2 + v 2 µ, b 3 + v 3 µ ) z = b + v µ 3 3 

Expresados P y Q en función de las paramétricas de r y s, se calcula el vector PQ PQ = q − p = (b1 − a 1 + v1µ − u 1λ, b 2 − a 2 + v 2 µ − u 2 λ, b 3 − a 3 + v 3 µ − u 3 λ )

Sustituyendo en la expresión del producto escalar (b1 − a 1 + v1µ − u 1λ, b 2 − a 2 + v 2 µ − u 2 λ, b 3 − a 3 + v 3 µ − u 3 λ ) o (u 1 , u 2 , u 3 ) = 0  (b1 − a 1 + v1µ − u 1λ, b 2 − a 2 + v 2 µ − u 2 λ, b 3 − a 3 + v 3 µ − u 3 λ ) o (v1 , v 2 , v 3 ) = 0 Operando y ordenando se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (λ,µ).  mµ + nλ = p  m ' µ + n ' λ = p ' Resolviendo el sistema se obtienen los valores de λ y µ, que permiten calcular el vector PQ , y de él su módulo que es la mínima distancia entre las rectas. iii. Como aplicación del producto mixto de tres vectores. Teniendo en cuenta que el volumen de un paralelepípedo es (Área de la base)×(Altura), la altura es la mínima distancia entre la recta por lo que despejando y teniendo en cuenta las aplicaciones del producto mixto y del módulo del producto vectorial: r r Volumen paralelepípedo AB o d r × d s = d(r − s ) = h = r r Área de la base d r × ds

(

)

Demostración: Por interpretación geométrica, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre el. Como se observa en el dibujo, la mínima distancia entre las rectas es la proyección de cualquier segmento formado por dos puntos (uno de cada recta), sobre la dirección normal a las dos rectas, representada por el vector n . AB o n d(r − s ) = proy n AB = n

Siendo n la dirección normal a las dos rectas, se puede calcular por el producto vectorial de los vectores de dirección de ambas. n = d r × ds Sustituyendo en la distancia: AB o d r × d s Producto mixto d(r − s ) = proy n AB = = Módulo del producto vectorial d r × ds

(

)

AB = (b1 − a 1 , b 2 − a 2 , b 3 − a 3 ) b1 − a 1   AB o d r × d s =  d r = (u 1 , u 2 , u 3 )  = u1   d s = (v1 , v 2 , v 3 ) v1  

(

)

b2 − a 2

b3 − a 3

u2

u3

v2

v3

n = d r × d s = (u 1 , u 2 , u 3 )× (v1 , v 2 , v 3 ) = (n 1 , n 2 , n 3 ) ⇒ n = n 12 + n 22 + n 32 b1 − a 1 d(r − s ) =

b3 − a 3

u1

b2 − a 2 u2

v1

v2

v3

n 12 + n 22 + n 32 l

u3

NOTA: “Si en el problema solo se pide la distancia entre las rectas, recomiendo el tercer método, es el más rápido y sencillo. Si además de la distancia se pide la perpendicular común, el segundo método es el más rápido, ya que conocidos los puntos de corte con la perpendicular podemos calcular su ecuación.” y x = y = z −1 y s : x −1 = = z +1 2 −1 Por aplicación de los productos entre vectores: AB o d r × d s d(r − s ) = proy n AB = d r × ds

Ejemplo: Distancia entre las rectas r :

(

)

Para aplicar esta expresión necesitamos obtener de cada recta una determinación lineal (Punto y vector). r≡

(

 A = (0, 0, 1) x = y = z −1:  2 d r = (2, 1, 1)

AB o d r × d s

)

s ≡ x −1 =

 B = (1, 0, − 1) y = z +1:  −1 d s = (1, − 1, 1)

AB = b − a = (1, 0, − 2 ) 1 0 −2   d r = (2, 1, 1) 1 =8 =  = (1, 0, − 2 ) o ((2, 1, 1)× (1, − 1, 1)) = 2 1   ( ) d 1 , 1 , 1 1 − 1 1 = − s  

 1 1 2 1 2 1   = (2, − 1, − 3) d r × d s = (2, 1, 1)× (1, − 1, 1) =  ,− , 1 1 1 − 1   −1 1 d r × d s = (2, − 1, − 3) = 2 2 + (− 1)2 + (− 3)2 = 14

Sustituyendo en la expresión de la distancia: AB o d r × d s 8 4 14 d(r − s ) = = = 7 14 d r × ds

(

)

NOTA: “Si el producto mixto fuese nulo, indicaría que las rectas son coplanarias, por lo tanto, solo tendría sentido calcular la distancia en el caso de que fueran paralelas, en los otros dos casos (secantes o coincidentes) la distancia sería cero.” vi. Distancia entre dos planos paralelos. Solo tiene sentido hablar de distancia entre planos paralelos, en los demás casos, la distancia es cero. π1 ≡ Ax + By + Cz + D1 = 0 π 2 ≡ Ax + By + Cz + D 2 = 0

Si dos planos son paralelos tienen iguales ó proporcionales sus vectores normales. Para calcular la distancia entre ellos es necesario que sus vectores normales sean iguales. En el caso de que sean proporcionales buscaremos ecuaciones equivalentes que tengan iguales coeficientes A, B y C. d(π1 − π 2 ) =

D1 − D 2

A 2 + B2 + C2 Ejemplo: Distancia entre los plano π1 ≡ 2x − y + z − 1 = 0 y π2 ≡ 4x − 2y + 2z − 6 = 0. Dividiendo por 2 la ecuación de π2, se obtiene una ecuación equivalente con igual vector normal. − 1 − (− 3) π1 ≡ 2 x − y + z − 1 = 0  2 6 = =  : d(π1 − π 2 ) = π 2 ≡ 2 x − y + z − 3 = 0 3 6 2 2 + (− 1)2 + 12

Aplicaciones de las distancias: Lugares geométricos. Se define como lugar geométrico a un conjunto de puntos del espacio que tienen una propiedad métrica común. Plano mediatriz. Definición. Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos puntos. Es el plano perpendicular al segmento que contiene a su punto medio. Sean A(a1, a2, a3) y B(b1, b2, b3) dos puntos cualesquiera del espacio y P(x, y, z), un punto genérico que equidista de ambos. Las coordenadas del punto P debén cumplir: d(A − P ) = d(B − P ) Aplicando la definición de distancia.

(x − a 1 )2 + (y − a 2 )2 + (z − a 3 )2

=

(x − b1 )2 + (y − b 2 )2 + (z − b 3 )2

Simplificando las raíces, desarrollando los cuadrados y ordenando se obtiene la ecuación del plano mediatriz

(x − a 1 )2 + (y − a 2 )2 + (z − a 3 )2 = (x − b1 )2 + (y − b 2 )2 + (z − b 3 )2

x 2 − 2a 1 x + a 12 + y 2 − 2a 2 y + a 22 + z 2 − 2a 3 z + a 32 = x 2 − 2b1 x + b12 + y 2 − 2b 2 y + b 22 + z 2 − 2b 3 z + b 32

(1 2b1 − 2a 1 )x + (2b 2 − 2a 2 )y + (2b 3 − 2a 3 )z + (a 12 + a 22 + a 22 − b12 − b 22 − b 22 ) = 0 4243 14243 14243 1444442444443 A

B

D

C

Ax + By + Cz + D = 0

Otra forma de calcular el plano mediatriz es teniendo en cuenta que es plano perpendicular al segmento que pasa por su punto medio, por lo tanto, el vector AB es el normal al plano, y el punto M (punto medio de AB ) pertenece al plano. Cualquier punto genérico P(x, y, z) del plano formará con el punto M un vector perpendicular a AB , por lo que el producto escalar de estos vectores será nulo. AB o MP = 0 Ejemplo. Calcular el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, −1, 1) y B(4, 3, −5). Sea P(x, y, z) un punto genérico que equidista de A y B: d(A − P ) = d(B − P )

(x − 2)2 + (y − (− 1))2 + (z − 1)2 (x − 2)

=

(x − 4)2 + (y − 3)2 + (z − (− 5))2

Operando, simplificando y ordenando:

2

+ (y + 1)2 + (z − 1)2 = (x − 4)2 + (y − 3)2 + (z + 5)2

x 2 − 4x + 4 + y 2 + 2 y + 1 + z 2 − 2z + 1 = x 2 − 8x + 16 + y 2 − 6 y + 9 + z 2 + 10z + 25 4 x + 8y − 12z − 44 = 0 x + 2 y − 3z + 11 = 0

Otra forma de hacer el problema seria: n = AB = b − a = (4 − 2, 3 − (− 1), − 5 − 1) = (2, 4, − 6)  π:  a 1 + b1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 ,  M ∈ π : M = Punto medio AB =  2 , 2 2  

  2 + 4 − 1 + 3 1 + (− 5)   =  , ,  = (3, 1, − 2) 2 2    2

Sea P(x, y, z) un punto genérico de π, por lo tanto debe cumplir: MP o n = 0 (x − 3, y − 1, z − (− 2)) o (2, 4, − 6) = 0 Operando y ordenando se obtiene la ecuación del plano π. x + 2y − 3z − 11 = 0

Planos bisectores. Definición. Lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos planos. Son dos planos, perpendiculares entre si, que dividen los ángulos formados por los planos de los que equidistan en dos partes iguales. Sean π1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y π2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 dos planos cualesquiera y sea P(x, y, z) un punto genérico que equidista de ambos. Las coordenadas de P deben cumplir: d(P − π1 ) = d(P − π 2 ) A1 x + B1 y + C1 z + D1 A12 + B12 + C12

=

A 2 x + B2 y + C2z + D2 A 22 + B 22 + C 22

Los valores absolutos se cambian por un doble signo: A 1 x + B1 y + C1 z + D1 A x + B2 y + C2z + D2 =± 2 2 2 2 A 1 + B1 + C1 A 22 + B 22 + C 22 Operando y ordenando primero con un signo y luego con el otro se obtienen las ecuaciones de dos planos perpendiculares entre si y que cumplen la propiedad métrica propuesta. Ejemplo. Calcular el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de los planos: π1 ≡ x − z + 3 = 0 π2 ≡ 3x − 5y + 4z − 2 = 0 Sea P un punto genérico del lugar geométrico definido. Las coordenadas de P deben cumplir: d(P − π1 ) = d(P − π 2 ) x −z+3 12 + 0 2 + (− 1)2 x−z+3 2

=±

=±

3x − 5 y + 4z − 2 3 2 + (− 5)2 + 4 2

3x − 5 y + 4z − 2

50

50

2

50 (x − z + 3) = ±(3x − 5y + 4z − 2) 2 5(x − z + 3) = +(3x − 5 y + 4z − 2 )

5(x − z + 3) = ±(3x − 5 y + 4z − 2)

(x − z + 3) = ±(3x − 5y + 4z − 2)

5(x − z + 3) = ±(3x − 5 y + 4z − 2 ) Ordenando Ordenando

σ1 ≡ 2x + 5y − 9z + 17 = 0 σ 2 ≡ 8x − 5y − x − 13 = 0

Los planos descritos en la figura son perpendiculares al plano de la pantalla

2. Ángulos. Se calculan como aplicación del producto escalar (ángulo entre vectores).

( )

r r r r rr a o b = a ⋅ b ⋅ cos a b

Despejando:

r r rr aob cos a b = r r a⋅b

( )

Si los vectores están definidos en una base canónica, el coseno del ángulo formado en función de las coordenadas de los vectores es: r r a 1 ⋅b1 +a 2 ⋅b 2 +a 3 ⋅b 3 rr aob cos a b = r r = a⋅b a 12 + a 22 + a 32 ⋅ b12 + b 22 + b 32

( )

Nota: ”El valor absoluto es debido a que se define el ángulo formado por dos rectas como el menor de los ángulos que forman las rectas” Ángulo entre dos rectas. El ángulo formado por dos rectas, independientemente de la posición relativo que tengan, es el ángulo formado por sus vectores de dirección. Sean las rectas r y s, de las que se conoce una determinación lineal (vector y punto): d = (u 1 , u 2 , u 3 ) d = (v1 , v 2 , v 3 ) r: r s: s  A = (a 1 , a 2 , a 3 )  B = (b1 , b 2 , b 3 ) i.

(

)

cos(r − s ) = cos d r d s =

Ejemplo: Ángulo formado por r :

d r o ds d r ⋅ ds

u 1 ⋅v1 + u 2 ⋅v 2 + u 3 ⋅v 3 u 12 + u 22 + u 32 ⋅ v12 + v 22 + v 32

y z−2 z +1 x −1 = y s:x = =y= −1 −1 3 2

(

)

cos(r − s ) = cos d r d s =

=

=

d r o ds dr ⋅ ds

(2, 1, − 1) o (1, − 1, 3) (2, 1, − 1) ⋅ (1, − 1, 3)

=

2 ⋅1 + 1 ⋅ (− 1) + (− 1) ⋅ 3 2 2 + 12 + (− 1) ⋅ 12 + (− 1) + 3 2 2

(r − s ) = ar cos

2

2 66

=

=

2 6 ⋅ 11

= 75'75º = 75º 44 ′55′′

Ángulo entre dos planos. El ángulo formado entre dos planos es el ángulo formado por los vectores característicos de ambos planos. Sean los planos π ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y σ ≡ A2x + B2y + C2z + D2 = 0: nπ o nσ A1 ⋅A 2 + B1 ⋅B 2 + C1 ⋅C 2 cos(π − σ ) = cos(n π n σ ) = = nπ ⋅ nσ A12 + B12 + C12 ⋅ A 22 + B 22 + C 22 ii.

Ángulo entre recta y plano. El ángulo formado entre una recta y un plano es complementario al ángulo formado entre el vector de dirección de la recta y el vector característico del plano. iii.

Teniendo en cuenta las razones trigonométricas de ángulos complementarios, el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, por lo tanto: sen α = cos(90 − α )

(

)

sen (π − r ) = cos n π d r =

n π o dr nπ ⋅ dr

d = (u 1 , u 2 , u 3 ) Sea π ≡ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 y r :  r  A = (a 1 , a 2 , a 3 )

(

)

sen (π − r ) = cos n π d r =

(A, B, C) o (u 1 , u 2 , u 3 ) (A, B, C) ⋅ u 1 , u 2 , u 3

=

A ⋅ u1 + B ⋅ u 2 + C ⋅ u 3 A 2 + B 2 + C 2 ⋅ u 12 + u 22 + u 32