MECANICA DE MATERIALES 1 EXPERIMENTACÍON, MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO Octubre de 2011

Institución editora Facultad de ingeniería – Universidad Tecnológica de Bolívar

Los conceptos y opiniones de los artículos contenido en esta publicación son responsabilidad de sus autores; En ningún momento comprometen las orientaciones y políticas de la facultad de Ingeniería de la Universidad Tecnológica de Bolívar.

Contacto: Prof. Jairo F. Useche, Ph.D Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatronica Universidad tecnológica de Bolívar Parque Industrial Vélez – Pombo, km.1 Tel/fax: +575 6535337/6619240 [email protected]

MECANICA DE MATERIALES 1 EXPERIMENTACÍON, MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO

Dirección Universitaria Patricia del Pilar Martinez Barrios Rectora Paola Amar Sepúlveda Vicerrectora Académica Viviana Londoño Moreno Vicerrectora Administrativa Javier Campillo Jimenez Director Oficina de Investigaciones y Transferencia Tecnológica

Facultad de Ingeniería Jose Luis Villa Decano Facultad de Ingeniería Raul Padrón Carvajal Secretario Académico Justo Ramos Madrid Director departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatronica

MECANICA DE MATERIALES 1 EXPERIMENTACÍON, MODELADO NUMERICO Y TEÓRICO

Cuerpo Editorial Jairo Useche Vivero Editor General

Edgardo Arrieta Ortiz Javier Campillo Sharicar Mendez Villamizar Erick Guerrero Jose Luis Villa Justo Ramos Madrid

Comité Editorial Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar

Prof. Jairo Useche, Ph. D Prof. Jairo Tovar, Ph.D Prof. Edgardo Arrieta, M.Sc. Prof. E.L. Albuquerque, Ph.D. Prof. Renato Pavanello, Ph.D. Prof. Paulo Sollero, Ph.D. Prof. Alejandro Marañón, Ph.D. Prof. Jose Rafael Toro, M. Sc.

Comité Científico Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar Universidad Tecnológica de Bolívar

Diagramación y Diseño Sharicar Méndez Villamizar Erick Guerrero

CONTENIDO

TENDENCIAS MODERNAS EN MECÁNICA COMPUTACIONAL. Mario J. Juha, Ph.D Universidad Autónoma del Caribe………………………………

9

DESARROLLO Y PROCESAMIENTO DE MATERIALES APLICACIONES BIOMÉDICAS E INDUSTRIALES. Jorge Bris, Ph.D. Grupo de Investigación en Materiales, Procesos y Diseño –GIMYP universidad del Norte……………………………………………………………………………… 42 MULTISCALE ANALYSIS APPLIED TO RUBBER COMPOUNDS. A LITERATURE. Survey Paulo Shyer, Universidad de Ca piñas……………………………………………..

71

CALIBRACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE MATERIALES COMPUESTOS LAMINADOS PARA EL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE EMBARCACIONES USANDO EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. Germán A. Méndez – Cotecmar……………………………………………………………………….. 78 SIMULACIÓN NUMÉRICA DE ENSAYOS DINÁMICOS EN EL DISPOSITIVO DE BARRA HOPKINSON. C. Hernandez Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia………………………………………………………………………………………………………… 86 MODELO ANALÍTICO PARA EL ANÁLISIS DE IMPACTO A ALTAS VELOCIDADES DE CILINDROS MULTI-MATERIALES. Mario Fernando. Buchely Grupo de Integridad Estructural GIE. Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Colombia……………………………………………….. 94 EVALUACIÓN DE ALGUNOS MODELOS CONSTITUTIVOS PARA EL COMPORTAMIENTO DE UN ADHESIVO A BASE POLIURETANO. J. C. Prieto Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Colombia. ……………………………………………………………………………………………………………………….. 103 THE BOUNDARY ELEMENT METHOD APPLIED TO THE ANALYSIS OF UNILATERAL CONTACT PROBLEMS WITH FRICTION. E.L. Albuquerque Deapartment of Mechanical Engineering, Faculty of Technology University of Brasilia………………………………………………………………………………………………………. 111

ANÁLISIS DE PARÁMETROS EXPERIMENTALES PARA MODELADO DE DIÁMETROS MÁXIMOS EN PIEZAS CILÍNDRICAS DE AMORFOS ESTRUCTURALES BASE FE. M. Pagnola IESIING, Facultad de Ingeniería e Informática, UCASAL, Salta, Argentina……………………………………………………………………………………………………….. 124

EVALUACIÓN DEL MÉTODO SPH FRENTE A UNA CARGA EXPLOSIVA. V. S. Robinson Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia………………………………………………………………………………………………… 134 RECUBRIMIENTOS DEPOSITADOS CON LA TÉCNICA DE PROYECCIÓN TÉRMICA PARA LA RECUPERACIÓN DE PIEZAS NAVALES. J. A. Morales Cotecmar…………………………………………………………………………… 142 ANÁLISIS DINÁMICO DE PLACAS LAMINADAS ESPESAS UTILIZANDO UNA FORMULACIÓN – BEM. H. Alvarez Faculty of Mechanical Engineering University of Brasilia – UnB………….. 148

MODELACIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE IMPACTO EN FUERZA AXIAL Y FLEXIÓN MEDIANTE EL SOFTWARE LIBRE IMPACT USANDO ELASTICIDAD Y ELASTOPLASTICIDAD. Wilson Rodriguez Calderón Facultad de Ingeniería, Programa de Ingeniería Civil Universidad de La Salle…………………………………………………………………………………………………………. 154 DEGRADACIÓN DE LAS PROPIEDADES MECÁNICAS DE COMPUESTOS LAMINADOS FABRICADOS CON FIBRA DE VIDRIO POR INMERSIÓN SALINA. Mary Arias Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia………………………………………………………………………………………………………….. 163 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR CELDAS PARA ANÁLISIS DE LAMINADOS GRUESOS UTILIZANDO – BEM. Christian Harnish Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia……………………………………………………………………………………………… 170 CREEP EN ACEROS HP MODIFICADOS. G. González Universidad Tecnológica Nacional; Bahía Arge ti a………………………………………………………………………………………………………

Blanca, 179

UNA APROXIMACIÓN PRELIMINAR AL COMPORTAMIENTO DEL MIEMBRO INFERIOR FRENTE A CARGAS IMPULSIVAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS. J. calle Estudiante, Universidad de Los Andes, Bogotá Colombia……………………….. 187 MÉTODO DE ENJAMBRE DE PARTÍCULAS Y EVOLUCIÓN DIFERENCIAL PARA LA OPTIMIZACIÓN DE PANELES ESTRUCTURALES.

Guillermo E. Giraldo Grupo De Investigación En Materiales Y Estructuras GIMAT, Universidad Tecnológica De Bolívar……………………………………………………………………………………… 192

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Anderson B. Gama1, Renan R. M. Ozelo2, René Q. Rodríguez3, Paulo Sollero4 Faculty of Mechanical Engineering University of Campinas 200 Rua Mendeleyev Campinas, São Paulo, Brazil, 13083-860 CP 6122 [email protected]

Argemiro L. A. Costa5 Pirelli Pneus S.A. 871 Avenida Giovanni Battista Pirelli Santo André, São Paulo, Brazil, 09111-340

Abstract The computing power has increased substantially in recent years. Thus, the complexity of numerical analysis could also be increased and the multiscale analyses proved to be a promising study area. The application of multiscale analyses in rubber compounds has a particular interest due to their complex microstructure. This paper reviews multiscale analysis approaches that are currently available for rubber compounds, especially for fillers like carbon black. A discussion of the potential of these approaches is made and examples of how these analyses have been applied are presented. Keywords:Multiscale, rubber, carbon black.

Resumen El poder computacional ha sido incrementado substancialmente en los últimos años. Adicionalmente, la complejidad del análisis numérico puede también ser incrementado y los enfoques de multiescala están demostrando ser una área prometedora. La aplicación de análisis multiescala en componentes de caucho muestran un interés particular debido a su compleja microestructura. Este trabajo hace una revisión de análisis multiescala que están disponibles para compuestos de caucho, especialmente para los rellenos, como el negro de carbón. Una discusión del potencial de estos enfoques fue hecha y ejemplos de como estos enfoques son aplicados son también presentados. Palabras claves: Multiescala, caucho, negro de carbón

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

1.

INTRODUCTION

A long-standing goal of physical, chemical and engineering sciences has been developing efficient theoretical tools for understanding and predicting the physical properties of polymer materials from the knowledge of a few input parameters (Olson, 1997). Nevertheless, the development of such tools is notably demanding, since generally one needs to cope with a multitude of components and interactions, which influence their structure and dynamics at the various scales (Baeurle, 2009). He considered four scales for his review: Quantum level, atomistic level, mesoscopic level and continuum level: Quantum level: At the quantum level, a polymer system is described in terms of nuclear and electronic degrees of freedom, Solving the Schrödinger equation is posible to determine the many-particle wavefunction which is related to their behavior. Various initial quantum-chemical techniques (Jensen, 1999) exist for solving this equation in the wavefunction representation, which are known as wavefunction approaches. These techniques in principle are not necessary empirical knowledge about the various effective interactions involved in the system, but generally necessitate a high amount of computational power. Atomistic level : The next higher level of description, that in the following we will refer to as the atomistic level, can be reached by discarding the electronic degrees of freedom and substituting their interactions by effective coarse–grained interactions among the nuclei, expressed via classical potentials. In this picture the motions of the atoms are treated classically, and their trajectory is propagated deterministically or stochastically through state space, spanned by the respective particle degrees of freedom. (Allen and Tildesley, 1996), (Frenkel and Smit, 1996),(Binder and Heermann, 2002). Mesoscopic level : The standard strategy for addressing the inherent difficulties, associated with fully atomistic particle-based simulations of polymer systems, is to coarse–grain the polymer model so that groups of atoms are lumped into larger entities, referred to as united atoms or superatoms (Müller-Plathe, 2003), (Faller, 2004).The resulting effective particles may correspond e.g. to monomer residues within a polymer chain surrounded by solvent molecules, which interact by new effective interaction potentials that must be re-parameterized. Unfortunately, within the particle description it is very difficult to develop a systematic and consistent coarse–graining procedure for the large variety of polymer materials of interest. However, many procedures are found in literature for the treatment in this level of analysis (Baschnagel et al., 2000), (Fredrickson, 2006), (Terzis and Stroeks, 2002). Continuum level : On the continuum level of description, one assumes the existence of a fully or partially continuous material structure in a polymer material, and in case of a composite one ordinarily does not explicitly include the chemical interactions between the constituent phases (Valavala and Odegard, 2005). Methods of this kind can be classified as either of analytical or numerical type. Continuum equations generally can be solved by numerical continuum-based modeling methods using either finite element or finite-difference techniques. Researches center of attention in rubber compounds with a mulstiscale approach is the study of

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

2

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

fillers and the changes in micromechanics and macromechanics that the filler causes on the compound. Normally, for rubbers compounds applied on tires industry, there are two predominant fillers: carbon black and silica, where the carbon black is the most applied and traditional filler used in industry and increase abrasion resistance, elastic modulus and strength of elastomeric composites. (Donnet, 2003) (Voet, 1980). However, despite decades of such experimental and numerical studies, (Göritz et al., 1999) (Leblanc, 2002), the actual mechanisms by which carbon black modifies macroscale mechanical performance remain unresolved. We will discuss below some advances in study of carbon black. 2.

MULTISCALE MODELING – RUBBER COMPOUNDS.

In search to obtain a model to rubber compounds filled with carbon black, in Bergstrom & Boyce (1998) the carbon black particles are not described, but the aggregates are modeled as squares or dodecahedra in an elastomeric volume, to derive the large deformation behavior from finite element computations. In Naito et al. (2007) the union of carbon black spherical-shaped particles defines the aggregates. In Laiarinandrasana et al. (2009), placing a spherical carbon black particle at the centre of a tetrakaidecaedron cell to compute the visco-elastic behavior of a centre cubic symmetry composite from periodical finite element computations obtains an ideal microstructure. A multiscale model of microstructure of rubber with carbon black fillers is proposed by Jean et al. (2011), as can be seen in Fig. 1. This model uses a combination of three basic Boolean models as in the case of carbon black in a polymeric matrix (Savary et al., 1999; Moreaud & Jeulin, 2005; Jean et al., 2007). It is used a model of carbon black proposed by Donnet (2003), which considers a surface that allows the agglomeration of these particles. These particles and agglomeration are considered as inclusions in material, and the distribution of these inclusions allows the formulation of the model (Zheng and Du, 2001).

Fig 1. (a) Final multiscale model of microstructure and (b) an example of carbon black aggregate in the simulated microstructure. (Jean et al., 2011)

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

3

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Further approach to model the influence of fillers on the matrix is the study of the boundary surfaces separating different phases (for instance, on the boundary between the high-elastic matrix and the surface of solid particles of the filler). In this boundary the polymer molecules interact with a surface of the filler in a special way. Owing to such interaction, a layer of the polymer with particular properties (interphase layer) occurs. This interphase layer is of complicated structure, and its mechanical properties differ significantly from the properties of the polymer matrix (Yanovsky, 2005). The dominant theory of this reinforcement posits a strong interaction at the particle–polymer interface, which then has effects on the mechanical behavior of the composites system. The concept of ‘‘bound rubber’’ at the particle–elastomer interface has been put forth to describe such a strong interaction (Qu et al. 2011). This bound rubber is a film that is stabilized around the particles via van der Waals interactions, and is thus resistant to dissolution in solvent, as proposed initially by Stickney and Falb (1964) Experimental efforts have been focused on indirect evidence of an interphase in the uncrosslinked state. For example, nuclear magnetic resonance (NMR) spectroscopy has suggested the existence of this interphase, in that chain mobility near the carbon black–rubber interfaces was less than that of the polymer matrix. Litvinov and Steeman (1999) measured T2 relaxation spectra of ethylene propylene diene monomer rubber (EPDM) and bound rubber– coated carbon black fillers to imply significantly different EPDM rubber chain mobility. Berriot et al. (2003) also demonstrated that topological constraints exist at a particle surface via NMR. Another indirect confirmation of this interphase is enabled by the unique property of bound rubber to reversibly form as a function of temperature, i.e., bound rubber content decreases at high temperature, as showed by Wolff et al. (1993) and Kida et al. (1996). Robisson (2010) and Robisson and Chartier(2010) have also shown that macroscale elastic moduli of hydrogenated nitrile butadiene rubber (HNBR)–carbon black composites decreased with increasing temperature (for a given vol% carbon black), suggesting thermal depletion of the vol% of bound rubber interphase. Thanks to advances in microscopy tools e.g. SPM; AFM; TFM, visual evidences of bound rubber were obtained recently. Qu et al (2011) in their study developed a method to visualize and to characterize the properties of bound rubber, by the AFM, like in Fig. 2.

Fig 2. AFM (a) height and (b) phase lag images of HNBR–5 vol% CB at room temperature (RT). (c) Image analysis of height image at RT. (d) Height and (e) phase images of the same particles acquired at 180 oC. (f) Analysis of the phase images showed that the particle diameters decreased approximately 11 nm as the temperature increased from RT to 180 oC. Scale bars = 200 nm. (Qu et al. 2011)

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

4

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

With this approach, it was proposed by Qu et al. (2011) a finite element technique to evaluate the rubber compound properties as a function of the temperature. 3.

CONCLUSIONS

The multiscale modeling is a promising and useful tool used recently to describe how the microstructure influences the macromechanics properties of material. An example of this approach is the study of mechanical properties of rubber compounds, that presents a high heterogeneous on his composition, especially because rubber compounds are frequently reinforced with fillers, manly carbon black. Using a multiscale approach, recent works showed models to simulate the behavior of mechanical properties of material taking in considerations different levels, like interactions between carbon black and rubber matrix and dispersion and agglomeration of carbon black particles. These models became possible due to the advances in microscopy, which developed tools able to gives a visual way to confirm the geometric disposition and dispersion of the particles of carbon black in the rubber matrix. The previous example shows that the multiscale approach is an excellent method to develop analytic models of rubber compounds. A suggestion of new research in this area, is the possibility to aggregate the two approaches of carbon black in rubber compounds: the geometric dispersion and the chemical reactions. Another focus of study is to join silica and carbon black in the same model. The development of a model that accounts the effect of silica and carbon black will became a great tool for industry and means a great reduction of time and cost in the design of new materials in rubber industry.

4.

REFERENCES

Allen, M. and Tildesley, D., 1996, Computer Simulation of Liquids. Oxford Science Publications. Baeurle, S., 2009, Multiscale modeling of polymer materials using field-theoric methodologies: a survey about recent developments. J. Math. Chem., 46:363-426. Baschnagel, J., Binder, K., Doruker, P., Gusev, A., Hahn, O., Kremer, K., Mattice, W., MüullerPlathe, F., Murat, M., Paul, W., Santos, S., Suter, U., Tries, V., and Abe, A., 2000, Bridging the gap between atomistic and coarse-grained models of polymers Status and perspectives. Advances in Polymer Science, 152:41-156. Bergstrom, J. & Boyce, M., 1998, Constitutive modelling of the large strain time-dependent behavior of elastomers.J. Mech. Phys. Solids 46, 931–954. Berriot, J., Matin, F., Montes, H., Monnerie, L., and Sotta, P., 2003, Reinforcement of model filled elastomers: characterization of the cross-linking density at the fillerelastomer interface by H NMR measurements. Polymer, 44:1437-1447.

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

5

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Binder, K. and Heermann, D., 2002, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics: An Introduction. Springer, Berlin. Donnet, J., 2003, Nano and microcomposites of polymers elastomers and their reinforcement. Composites Science and Technology, 63:1085-1088. Faller, R., 2004, Automatic coarse graining of polymers. Polymer, 45:3869-3876. Fredrickson, G., 2006, The Equilibrium Theory of Inhomogeneous Polymers. Oxford University. Frenkel, D. and Smit, B., 1996, Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications. Academic Press, Orlando, Florida, USA. Göritz, D., Raab, J., and Maier, P., 1999, Surface structure of carbon black and reinforcement. Rubber Chemestry Technology, 72:929-945. Jean,A., Jeulin, D., Cantournet, S., Forest, S.&N’Guyen, F., 2007, Rubber with carbon black fillers: parameters identification of a multiscale nanostructure model. In Boukamel, A., Laiarinandrasana, L., S., M. & Verron, E., editors, Constitutive Models for Rubber V. Proceedings of 5th European Conference on ConsitutiveModels for Rubber, ECCMR 2007, Paris, France, 4–7 September 2007, pp. 141–146, Taylor and Francis, London. Jean, A., J, D., Forest, S., Cantournet, S., N’Guyen, F., 2011, A multiscale microstructure model of carbon black distribution in rubber, Journal of Microscopy, 241(3), 243–260 Jensen, F., 1999, Introduction to Computational Chemistry, Wiley, Chichester Kida, N., Ito, M., Yatsuyanagi, F., and Kaido, M., 1996, Studies on the structure and formation mechanism of carbon gel in the carbon black filled polyisoprene rubber composite. Journal of Applied Polymer Science, 61:1345-1350. Leblanc, J., 2002, Rubberfiller interactions and rheological properties in filled compounds. Progress in Polymer Science, 27:627-687. Litvinov, V. M. and Steeman, P., 1999, EPDM: Carbon black interactions and the reinforcement mechanisms, as studied by low-resolution H NMR. Macromolecules, 32:84768490. Moreaud,M. & Jeulin, D., 2005, Multi-Scale Simulation of Random Spheres Aggregates: Application to Nanocomposites, pp. 341–348, Zakopane, Poland. ECS 9. Müller-Plathe, F., 2003, Scale-hopping in computer simulations of polymers. Soft Mater, 1:131.

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

6

Gama, Ozelo, Rodríguez, Sollero and Costa., Multiscale analyses applied to rubber compounds: A literature survey

Naito, M., Muraoka, K., Azuma, K. & Tomita, Y., 2007, 3D modeling and simulation of micro to macroscopic deformation behavior of filled rubber. In Boukamel, A., Laiarinandrasana, L., S., M. & Verron, E., editors, Constitutive Models for Rubber V. Proceedings of 5th European Conference on ConsitutiveModels for Rubber,ECCMR2007, Paris, France, 4–7 September 2007, pp. 141–146, Taylor and Francis, London. Olson, G.B., 1997, Computational Design of Hierarchically Structured Materials, Science, 277, 1237-1242. Qu, M., Deng, F., Kalkhoran, S., Gouldstone, A., Robisson, A., and van Vliet, K., 2011, Nanoscale visualisation and multiscale mechanical implication of bound rubber interphase in rubber-carbon black nanocomposites. The Royal Society of Chemistry, 7:1066-1077. Robinsson, A., 2010a, A simple analogy between carbon black reinforced rubbers and random three-dimensional open-cell solids. Mechanics of Materials, 42:974-980. Robinsson, A. and Chartier, B., 2010b, Role of the interphase on reinforcement of a filled rubbers: Infuence of temperature, carbon black content and strain. Taylor & Francis Group, London. Savary,L., Jeulin, D.&Thorel,A., 1999, Morphologicalanalysisof carbonpolymer composite materials from thick section. Acta Stereol. 18, 297–303 Stickney, P. B. and Falb, R. D., 1964, Carbon black-rubber interactions and bound rubber. Rubber Chemestry Technology, 37:1299-1340. Terzis, A.F., T. D. and Stroeks, A., 2002, Entanglement network of the polypropylene/polyamide interface. 3. deformation to fracture. Macromolecules, 35:508-521. Valavala, P. and Odegard, G., 2005, Modeling techniques for determination of mechanical properties of polymer nanocomposites. Rev. Adv. Mater. Sci., 9:34-44. Voet, A., 1980, Reinforcement of elastomers by fillers: Review of period 1967-1976. Journal of Polymer Science: Macromolecular reviews, 15:327-373. Wang, M. J., 1998, Effect of polymer-filler and filler-filler interactions on dynamic properties of filled vulcanizates. Rubber Chemestry Technology, 71:520-589. Wolff, S., Wang, M. J., Tan, E. H., 1993, Filler-elastomer interactions. Part vii. Study on bound rubber. Rubber Chemestry Technology, 66:163-177. Yanovsky, Y. G., 2005, Multiscale modeling of polymer composite properties. International Journal for Multiscale Computational Engineering, 3:199-255. Zheng, Q. S. and Du, D. X., 2001, An explicit and universally applicable estimate for the effective properties of multiphase composites which accounts for inclusion distribution. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 49:2765-2788

Tercer Simposio Regional en Mecánica No-Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

7

Computation of displacements in anisotropic plates by the boundary element method A. Reisa , E. L. Albuquerquea J. F. Usecheb and H. Alvarezb a University

of Bras´ılia - UnB Faculty of Mechanical Engineering Bras´ılia, DF, Brazil [email protected] [email protected] b University

Technologic of Bol´ıvar Faculty of Mechanical Engineering Cartagena, Colombia [email protected] [email protected]

Keywords: Mindlin theory, thick plates, Radon transform, anisotropic plates.

Abstract. This paper presents a boundary element formulation for the computation of displacements at internal points of laminated composite thick plates. Fundamental solutions for anisotropic thick plates are obtained using Hrmander operator and Radon transform. So, they do not have a closed form and numerical integration is necessary to compute fundamental solutions in each field point. Integral equations for moments are developed and all derivatives of the fundamental solution are computed. A special integration technique is used in order to improve performance of the method. The obtained results are in good agreement with literature. Introduction. It is well known from literature that the use of the classical Kirchhoff plate model is inappropriate for composite plates. Unlike the Kirchhoff theory of thin plates, Reissner theory takes into account the transverse shear deformation, which is important in many practical applications. The sixth-order plate problem, was formulated in a boundary integral equation method form for the Reissner model by [11], who employed the H¨ormander method for the derivation of the fundamental solution. An integral formulation for the Mindlin model was developed by [2], whereas [13] presented a unified integral formulation for both models. After the original works of [11], many references have reported the application of boundary elements to bending analysis of thick plates, most of them using the Reissner model as, for example, [6], [5], [14], and [7]. As we can see, a large number of articles with the analysis of isotropic plates can be found in literature. However, only few works can be found with the analysis of orthotropic plates. [4] presented a boundary element method of moderately thick orthotropic plates. In [12] the previous formulation was extended to laminated composites. This work presents a boundary element formulation for anisotropic thick plates. It uses the fundamental solution proposed by [12] that takes into account the effects of shear deformation and was derived by means of H¨ormander operator and the Radon transform. Domain integrals which come from transversal applied loads are exactly transformed into boundary integrals by a radial integration technique. Some numerical examples concerning orthotropic plate bending problems are analyzed with the BEM.

1

EQUATIONS OF EQUILIBRIUM

Consider a plate constructed of a finite number of homogeneous, uniform-thickness layers of an orthotropic material. Relations between the generalized displacement and strains are:

κ1 = ∂ ψx ∂y

κ6 =

∂ ψx ∂x ,

+

∂ ψy ∂x ,

κ2 = ε4 =

∂ω ∂y

∂ ψy ∂y ,

+ ψy , (1)

ε5 =

∂ω ∂x

+ ψx ,

in which ω is the displacement along the z-direction, and ψx and ψy are the rotation of the plates along the x and y co-ordinate axes, respectively. The relations between the stress resultants and strains are: Mi = Di j κ j , (k) 2 hk−1 Qi j z dz

i, j = 1, 2, 6,

R hk

i, j = 1, 2, 6,

Q1 = A45 ε4 + A55 ε5 ,

Q2 = A44 ε4 + A45 ε5 ,

Di j = ∑Nk=1

Ai j = ∑Nk=1

(k) hk−1 Qi j Ki K j dz,

R hk

(2)

i, j = 4, 5,

in which hk is the vertical distance from the midplane, z = 0, to the upper surface of the kth lamina. K4 and K5 are the shear correction factors. Qkij are the plane stress reduced stiffness coefficients of the kth lamina. The equilibrium equations of the plates are:

∂ M1 ∂ M6 + − Q1 + mx = 0, ∂x ∂y ∂ M6 ∂ M2 + − Q2 + my = 0, ∂x ∂y ∂ Q1 ∂ Q2 + + q = 0, ∂x ∂y

(3)

Substituting Eq.(1) and Eq.(2) into Eq.(3), we obtain the following differential equations using the generalised displacement as basic unknowns: Li jU j + qi = 0, i, j = 1, 2, 3 where U j indicate ψx , ψy and ω , qi represent the generalized loads, i.e.qi indicate mx , my and q, respectively, Li j are the differential operators.

(4)

2

FUNDAMENTAL SOLUTIONS

The fundamental solutions of the symmetric laminated anisotropic thick plate taking into account the transverse shear deformation are a set of particular solutions of the differential Eq. (4) under a unit concentrated load, i.e., the solutions satisfy the following inhomogeneous differential equations: Li∗jUk∗j (ζ , x) = −δ (ζ , x)δki ,

(5)

in which δ (ζ , x) denotes the Dirac delta function, ζ represents the source point, x is a field point, and Uk∗j represents the generalized displacement in the jth direction of the field point x of an infinite plane when a unit point load is applied in the kth direction of the source point ζ , (see [12]). Using the plane wave decomposition method, [3], we can transform Eq. (5) into a set of ordinary differential equations, δ (ζ , x) and Uk∗j (ζ , x) may be expanded into a plane wave:

δ (ζ , x) = −

1 4π 2

Z 2π 0

| ω1 (x − ζ ) + ω2 (y − η ) |−2 d θ ,

Uk∗j (ζ , x) =

Z 2π 0

U˜ k∗j (ρ )d θ ,

(6)

(7)

where (ω1 , ω2 ) are the co-ordinates of a point on the unit circle, i.e., ω1 = cos(θ ), ω2 = sin(θ ), (x, y) and (ζ , η ) are the co-ordinates of the field point and the source point, respectively. Substituting Eq.(6) and Eq.(7) into Eq.(5), and considering the differential relationship ∂∂xα = ωα ddρ , we obtain a set of ordinary differential equations as follows: L˜ i∗jU˜ k∗j (ρ ) =

1 4π 2

| ω1 (x − ζ ) + ω2 (y − η ) |2 δki , i, j, k = 1, 2, 3

(8)

Following H¨ormander’s operator method, the solutions of Eq. (4) can be written as: j U˜ k∗j (ρ ) =co L˜ ad jk φ (ρ ),

(9)

where φ (ρ ) is a unknown scalar function and co L˜ ∗ is the cofactor matrix of the operator L˜ ∗ . Thus, the fundamental solutions of symmetrical laminated anisotropic plates including transverse shear deformation can be written as: ∗ (ρ ) = aαβ D4 φ (ρ ) −Cωα ωβ D2 φ (ρ ), U˜ αβ U˜ α∗ 3 (ρ ) = −U˜ 3∗α (ρ ) = fα D3 φ (ρ ) −Cωα Dφ (ρ ), ∗ U˜ 33 (ρ )

4

(10)

2

= AD φ (ρ ) − BD φ (ρ ) +Cφ (ρ ),

where D4 φ (ρ ) = d k φ (ρ )/d ρ k , (k = 1, 2, ...) Substituting Eq. (9) into Eq. (8), we obtain the following equation: d4 dρ 4



 1 d2 2 − p ϕ (ρ ) = 2 2 | ρ |−2 , 2 dρ 4π a

in which a = A11 d11 + a12 d12 , b = a11 A55 +Cd11 ω12 + a12 A45 +Cd12 ω1 ω2 + f1 d13 ,

(11)

p2 = b/a. The solution of Eq.(11) can be written as follows:

φ (ρ ) =

 Z ∞ 1 exp(−pσ ) 2 2 dσ + p ρ log | ρ | +2 log | ρ | +3 + exp(pρ ) 2 4 8π p a σ ρ  Z ρ exp(pσ ) − exp(−pρ ) dσ . σ −∞

(12)

In the numerical calculation of the fundamental solutions, we have to deal with the following integrals: I1 =

Z 2π 0

F1 (θ )Dk φ (ρ )d θ ,

k = 1, 2, 3, 4, 5.

(13)

where F1 (θ ) is a function depending only on θ . In the range of 0 e 2π there are two points which make ρ = 0. We first determine a value θ0 which makes ρ = 0 and split (0, 2π ) into four intervals. As the integrand is a periodic function, four intervals are: [θ0 , θ0 + π /2], [θ0 + π /2, θ0 + π ], [θ0 + π , θ0 + 3π /2], and [θ0 + 3π /2, θ0 + 2π ]. A Gaussian formula is used to evaluate the integral I1 for each interval. The value θ0 is determined by:   x−ζ . θ0 = arctan − y−η

(14)

Details of the implementation the Equations (7), (11)and (12)can be found in [4] and [12].

3

BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS

The integral equation can be derived by considering the integral representation of the governing Eq.(3) via the following integral identity: Z

Ω

[(Mαβ ,β − Qα )Uα∗ + (Qα ,α + q)U3∗ ]dΩ = 0,

(15)

where Ui∗ (i = α , 3) are the weighting functions. Integrating by parts (applying Green’s second identity) and making use of the algebraic relationships, it gives: U j (ζ ) +

Z

Γ

Pi∗j (ζ , x)U j (x)dΓ =

Z

Γ

Ui∗j (ζ , x)Pj (x)dΓ +

Z

Ω

q(x)Ui3∗ (ζ , x)dΩ.

(16)

By taking the point ζ to the boundary at the position ζ ∈ Γ, Eq. (16) can be written as: Z

ci j (ζ )U j (ζ ) + − Pi∗j (ζ , x)U j (x)dΓ = Γ

R

Z

Γ

Ui∗j (ζ , x)Pj (x)dΓ +

Z

Ω

q(x)Ui3∗ (ζ , x)dΩ,

(17)

where− denotes a Cauchy Principal Value integral, ζ , x ∈ Γ are source point and field point, respectively. The value of ci j (x) is equal to δi j /2 when x is located on a smooth boundary. Eq.(17) represents three integral equations, two (i = α = 1, 2) for rotations and one (i = 3) for deflection. The last integral on the right hand side of equation (17), that is a domain integral, is transformed into a boundary integral using the procedures presented by [1].

4

NUMERICAL RESULTS

To validate the procedures implemented and to assess the accuracy of solutions, consider a clamped circular plate subjected to a uniform distributed load for the different values of Ex /Ey and h. The material constants are Gxy = Gxz == 0.6Ey GPa, Gyz = 0.5Ey GPa, νLT = 0.25. The laminate is discretized into 16 constant elements per side. Results are compared with [4], as shown in Table (1). As it can be seen, there is a good agreement with literature. Table 1: Center deflection of the orthotropic thick circular plate of clamped boundary.

Ex /Ey 3 10

a/(h/2) 10 5 10 5

w(ref.[4]) ˆ 103,78 16,32 51,15 9,99

w(MEC) ˆ 106,48 15,90 52,56 9,83

Error[%] 2,60 2,55 2,77 1,54

Conclusions. This paper presented a boundary element formulation for anisotropic thick plates. The fundamental solution was derived by means of Hormander operator and the Radon transform. The domain integrals are transformed into boundary integrals by a radial integration technique. The agreement obtained by the proposed method and results from literature.

References [1] E. L. Albuquerque, P. Sollero, W. Venturini, and M.H. Aliabadi. Boundary element analysis of anisotropic Kirchhoff plates. International Journal of Solids and Structures, 43:4029–4046, 2006. [2] C. S. De Barcellos, and L. H. M. Silva. A boundary element formulation for the Mindlins plate model. In: C. A. Brebbia, W. S. Venturini, editors. Boundary element techniques: applications in stress analysis and heat transfer. Southampton: CMP; p. 122–130, 1989. [3] I. M. Gel’fand and G. E. Shilov. Generalized Functions, Vol.1, Academic Press, New York, 1967. [4] J. Wang and M. Huang. Boundary element method for orthotropic thick plates. Acta Mechanica Sinica, 7:258–266, 1991. [5] J. T. Katsikadelis and A. J. Yotis. A new boundary element solution of thick plates modeled by Reissner’s theory. Engineering Analysis with Boundary Elements, 12:65–74, 1993. [6] S. Y. Long, C. A. Brebbia, and J. C. F. Telles. Boundary element bending analysis of moderately thick plates. Engineering Analysis with Boundary Elements, 5:64–74, 1988. [7] Y. F. Rashed, M. H. Aliabadi, and C. A. Brebbia. On the evaluation of the stresses in the BEM for Reissner plate-bending problems. Applied Mathematical Modelling, 21:155-163, 1997. [8] E. Reissner. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. Journal of Applied Mechanics, 12:69-77, 1945.

[9] J. Wang and K. Schweizerhof. A boundary integral equation formulation for moderately thick laminated orthotropic shallow shells. Computers and Structures, 58:277–287, 1996. [10] J. C. F. Telles. A self adaptive co-ordinate transformation for efficient numerical evaluation of general boundary element integrals. International Journal for numerical Methods in Engineering, 24:959-973, 1987. [11] V. F. Wee¨en. Application of the boundary integral equation method to Reissner’s plate model. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 18:1–10, 1982. [12] J. Wang and K. Schweizerhof. Fundamental solutions and boundary integral equations of moderately thick symmetrically laminated anisotropic plates. Communications in Numerical Methods in Engineering, 12:383–394, 1996. [13] T. J. Westphal and C. S. De Barcellos. Applications of the boundary element method to Reissner’s and Mindlins plate model. In: M. Tanaka, C. A. Brebbia, T. Honma, editors. Proceedings of the 12h international conference on boundary element technology. Computational Mechanics Publications. Southampton, 1:467–477, 1990. [14] X. Yan. A new BEM approach for Reissner’s plate bending. Computers and Structures, 54:1085–1090, 1995.

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

Degradación de las Propiedades Mecánicas de Compuestos Laminados Fabricados con Fibra de Vidrio por Inmersión Salina M. Arias1, J. Useche2 Departamento de Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar, Colombia [email protected] [email protected]

Resumen Este artículo presenta algunos resultados de investigaciones previas, sobre la incidencia del agua de mar, en la degradación de las propiedades mecánicas de materiales compuestos fabricados con fibra de vidrio y resinas poliméricas. Los sistemas fibra/matriz analizados, están formados por solo un pequeño grupo de resinas termoestables (poliéster, fenólicas y vinílicas) y fibra de vidrio (Tipo E), por ser los más utilizados en la fabricación de embarcaciones navales. Estos sistemas se fabricaron en forma de láminas, utilizando la técnica VARI (vacuum assisted resin infusion). Las pruebas de medición de propiedades mecánicas (tensión, flexión y dureza) y reológicas, así como también las técnicas de caracterización de materiales (Análisis Dinámico Mecánico, Calorimetría Diferencial de Barrido y Microscopia Electrónica), se hicieron para cada uno de los sistemas analizados, antes y después de ser sumergidas en el agua de mar, revelando la influencia de factores tales como velocidad de curado, tipo de resina (estructura química de las sustancias), componentes de la fibra de vidrio, temperatura y tiempo de exposición al agua, en la degradación de los materiales y posterior perdida de las propiedades mecánicas de estos. Las muestras se conservaron en laboratorios, en los cuales se simulo el medio ambiente real. Palabras claves: materiales compuestos, degradación, propiedades mecánicas.

Abstract This article presents some results of previous research on the impact of sea water in the degradation of the mechanical properties of composite of fiberglass and polymer resins. Systems fiber / matrix analyzed consist only of a small group of thermosetting resin (polyester, phenolic and vinyl) and glass fiber (Type E), being the most used in the manufacture of naval ships. These systems were fabricated in laminates form, by using the technique VARI (vacuum resin infusion assisted). Tests measuring mechanical properties (tension, bending and hardness) and rheological techniques, as well as characterization techniques (Dynamic Mechanical Analysis, Differential Scanning Calorimetry and Electron Microscopy), were made for each systems analyzed, before and after being submerged in sea water, revealing the influence of factors such as speed of cure, resin type (chemical structure of substances), components of glass fiber, temperature and time of exposure to water, materials degradation and subsequent loss of mechanical properties of these. The samples were kept in laboratories, which simulates the real environment.

Keywords: composites, degradations, mechanical properties.

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

1.

INTRODUCCION

Los materiales compuestos se han convertido en una gran alternativa para la industria moderna del transporte (aeronáutica, automóviles y naval). El rápido crecimiento en el uso de estos materiales, especialmente de los compuestos reforzados con fibras, tiene que ver con muchas ventajas frente a los materiales tradicionales (metales). Algunas de estas ventajas se logran al diseñar la estructura interna del material, puesto que se permite el refuerzo de la matriz con fibras orientadas en direcciones especificas según los requerimientos; lo que se ve reflejado en propiedades tales como resistencia a la tensión, rigidez, flexibilidad, Modulo Especifico (Modulo de Elasticidad/Unidad de Peso) y Resistencia Especifica (Modulo de Resistencia/ Unidad de Peso), el aumento de estas últimas, significa la reducción del peso de los componentes; lo que es aprovechado por la Industria del Transporte, contribuyendo a que los vehículos sean más livianos y por lo tanto tengan un mayor rendimiento y ahorro de energía [1] durante su operación. Aunque estos materiales muestren ventajas que los hacen atractivos, también presentan problemas que conllevan al daño de su estructura externa e interna (degradación) y disminución de las propiedades mecánicas. Muchos de los problemas que padecen los materiales compuestos se categorizan en cambios reversibles e irreversibles; producto del contacto prolongado con ambientes acuosos y/o fluctuaciones de la temperatura, entre otros. Pero a pesar de los avances en las investigaciones sobre materiales compuestos y los problemas que estos enfrentan durante la exposición al medio ambiente; en el país, el desconocimiento sobre estos temas es bastante alto, pues las aplicaciones de estos materiales a estructuras con fines específicos se han basado en diseños empíricos, guiados solo por el éxito de su funcionamiento; y las investigaciones sobre el comportamiento de estas estructuras en el medio ambiente real y los problemas que estos experimentan han sido pocas; por lo cual se ha hecho difícil entender y dar respuesta a los interrogantes que se derivan de la ineficiencia de estas estructuras luego de cierto tiempo de uso. Todo lo anterior y la poca exploración por parte de la Industria Naval Colombiana, en búsqueda de un compuesto útil que se ajuste a las necesidades y condiciones del entorno local; motivan a emprender esta investigación, la cual será de gran ayuda para el desarrollo y crecimiento de esta industria en el país. 2.

EXPERIMENTACION

Los materiales utilizados en los distintos trabajos de investigación, son resinas termoestables de Poliéster (isoftálico y ortoftálico), Vinyléster y Fenólicas, las cuales se utilizaron como matriz y Fibra de Vidrio Tipo E, se utilizó como refuerzo. Los distintos sistemas fibra/matriz, se fabricaron en forma de láminas (el número de estas, lo definió cada investigación según su interés), utilizando la técnica VARI (vacuum assisted resin infusion), con el fin de remover el aire que queda atrapado entre las capas y logrando una mayor compactación, lo cual da como resultado una mayor adhesión entre el refuerzo y la matriz, para obtener finalmente un laminado más uniforme y duradero. Las pruebas de medición de propiedades mecánicas (tensión, flexión y dureza) y reológicas, así como también las técnicas de caracterización de materiales (Análisis Dinámico Mecánico, Calorimetría Diferencial de Barrido y Microscopia Electrónica), se hicieron para los distintos materiales (resinas limpias y reforzadas) antes y después de ser

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

2

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

sumergidas en el agua de mar; con el objetivo de observar su comportamiento frente a la adsorción de agua. Estas pruebas se hicieron bajo las normas ASTM correspondiente para cada ensayo. Algunas de las muestras fueron sometidas a envejecimiento, el cual consiste en sumergir las muestras en agua de mar en un equipo llamado “cámara de envejecimiento acelerado”, en el cual se puede tener absoluto control sobre la temperatura, con el fin de simular las condiciones ambientales de un lugar del mundo determinado sobre el que se tenga interés. El agua de mar utilizada, es una solución de Cloruro de Sodio (Sal marina) con agua potable, la cual también fue sometida a pruebas de salinidad y conductividad. La ventana de operación del equipo y variables a controlar, fueron definidas por cada investigación teniendo en cuenta el objetivo final de la misma. 3.

RESULTADOS

Aunque las distintas investigaciones se hicieron con materiales y condiciones de trabajo diferentes, los resultados obtenidos marcan una tendencia hacia un mismo comportamiento de las muestras analizadas. Este comportamiento es la degradación progresiva del material, con el paso del tiempo, lo cual incluye deterioro de la estructura interna del mismo, afectando de manera significativa las propiedades mecánicas y reológicas del material compuesto. Los trabajos de Visco et al. [3] y Geller et al. [4], evidencian el comportamiento de las propiedades mecánicas (resistencia a la tensión y flexión) de los sistemas fibra/ matriz de Poliéster, Vinyléster y Fenólicas, en el ambiente marino durante determinados periodos de tiempo. Además de estudiar el sistema también se estudia el comportamiento de las resinas no reforzadas y su habilidad para absorber agua. Por su parte Visco et al.[3] revela que la estructura química de la resina influye de manera directa en la habilidad de absorción de agua y posterior reducción de las propiedades mecánicas; puesto que la resina de Vinyléster y el sistema fibra/matriz de Vinyléster tiene muy poca afinidad con las moléculas de agua, ya que tiene un menor número de grupos esteres y enlaces dobles a largo de sus cadenas, debido a que las cadenas de este polímero son más cortas y tienen menor número de puntos reactivos (puntos más susceptibles de ser atacados para formar enlaces con otros átomos o moléculas) que las moléculas de poliéster. De otro lado Geller et al.[4], introduce un factor de carga en las resinas y los sistemas fibra de vidrio/matiz, de lo que concluye que la carga no tiene una incidencia significativa frente a la habilidad de absorción de agua; pero la estructura química de la resina influye notablemente en la habilidad de absorción de agua; siendo la resina de Vinyléster la menos agua absorbió, seguida de la resina de Poliéster y la resina con mayor ganancia de peso por absorción de agua fue la resina Fenólica, debido que su superficie presenta microporocidades (producto del proceso de polimerización y curado), permitiendo el paso de agua hacia el interior de sus cadenas. En cuanto a las propiedades mecánicas claramente se ven afectadas por la carga, reduciéndose un alto porcentaje. Esta tendencia se mantiene al igual que en la absorción de agua.

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

3

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

A pesar de las ventajas de las resinas de Vinyléster para enfrentarse al medio ambiente marino, se prefieren las resinas de Poliéster en la Industria Naval por distintas razones, entre las que se destacan: bajo costo de producción, distintas estructuras químicas (ortoftálico e isoftálico) y fácil adaptabilidad a distintos procesos de manufactura [2]; aspectos que son importantes a la hora de seleccionar materiales para la producción a nivel industrial. Teniendo en cuenta lo anterior y el tipo de industria hacia la cual se enfoca nuestra investigación, a continuación se presentan los resultados obtenidos del análisis del comportamiento de materiales compuestos formados con fibra de vidrio y resina de Poliéster, sometidos al ambiente marino. Gu [5], en sus trabajos analiza el cambio en las propiedades mecánicas de materiales compuestos laminados, utilizando ensayos de flexión, tensión y Análisis Dinámico Mecánico (DMA). Este autor utiliza un sistema resina de Poliéster (no especifica la estructura química) y fibra de vidrio; y tiene en cuenta el número de capas que conforman cada lámina. En un primer trabajo estudia el comportamiento de láminas, formadas por 2 y 4 capas; frente a la habilidad de estas para absorber agua, así como su relación con el comportamiento de las propiedades mecánicas. Estas láminas fueron tratadas (sumergidas) separadamente en la cámara de envejecimiento acelerado durante periodos de tiempo de 10, 30, 60, 90 y 120 días, luego de los cuales fueron sacadas y pesadas en una balanza. Los resultados se presentan en la Figura 1.

Figura 1. Ganancia de peso por lámina de 2 capas, sistema fibra de Vidrio/Poliéster. Tomado de Gu H. [5] para la lámina de 2 capas, puesto que en los primeros 30 días se observa una ganancia de peso en forma gradual, (a los 30 días, el porcentaje de agua absorbida es de 55%, máximo valor registrado), lo que indica que las moléculas de agua penetran el material; en el periodo entre los 40 y 60 días la pérdida de peso es notoria, debido a la extracción de material soluble del sistema; pero nuevamente en el periodo entre 60 y 100 días se nota un leve aumento de peso, para luego decaer definitivamente. A pesar que el análisis se hace para las láminas de 2 capas, el comportamiento presentado por las láminas de 4 capas es similar. El análisis con el microscopio electrónico muestra una degradación de la superficie del material, dejando ver huecos y grietas que propician la penetración de agua al sistema, produciendo hidrolisis en los grupos esteres del Poliéster. La pérdida de peso del sistema fibra/matriz, se produce por la extracción de especies de bajo peso molecular que conforman el polímero. De otro lado la fibra de vidrio que conforma

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

4

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

el sistema está compuesta de óxidos metálicos [1] (alcalinos y alcalinotérreos), que reaccionan con los iones del agua de mar (iones de Sodio y Cloro), produciendo oxidación en los primeros, formación de nuevos compuestos (se unen a grupos hidroxilos OH, mediante puentes de Hidrogeno) y disolución de los elementos higroscópicos (absorben agua) dejando la superficie porosa, formada por una red de óxidos no hidratados [1], con lo cual se pierde peso de la fibra de vidrio. Todo lo anterior contribuye a la reducción de las propiedades de tensión y flexión, pues es evidente la degradación del material. Los resultados muestran que la reducción en la resistencia a la tensión y la flexión se hacen evidente y significativa después de 10 días de tratamiento para láminas de 2 capas y 30 días de tratamiento para láminas de 4 capas, lo cual indica que al tener materiales compuestos laminados con un mayor número de capas, se logra mantener por más tiempo las propiedades mecánicas del material, con lo que aseguramos mayor eficiencia y durabilidad del mismo. Además de las pruebas mecánicas, Gu [6] utiliza la técnica del Análisis Dinámico Mecánico (DMA), para conocer las propiedades viscoelásticas y el comportamiento reológico del material desde el comportamiento del módulo de almacenamiento (E´) y el factor de amortiguamiento Tan δ (relación del módulo de perdida E´´ y el módulo de almacenamiento E´), con el cual se conocer la temperatura de transición vitera (Tg) del compuesto laminado de 4 capas. La Figura 2., muestra que la tendencia del material a degradarse con el paso del tiempo sigue siendo la misma, lo que conlleva a que el material después de cierto tiempo de inmersión pase de ser un sólido elástico para comportarse como un líquido viscoso, debido a la plastización e hidrolisis que sufre matriz, por lo cual se disminuye notablemente la resistencia a la tensión y flexión propias de los materiales sólidos. Así mismo el aumento del Tan δ en forma gradual con el paso del tiempo, como el sistema fibra/matriz disipa mayor cantidad de energía que la que almacena, al ser sometido a alguna fuerza o carga; además deja ver que la temperatura de transición vitera disminuye respecto al sistema fibra/matriz no inmerso en el agua de mar, lo que lleva a que las cadenas del polímero se muevan con menos energía y fluyan más rápidamente, haciendo que el sólido se comporte como un líquido viscoso en menor tiempo.

Figura 2. Efecto del tiempo de inmersión sobre Tan δ. Tomado de Gu H. [6]

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

5

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

Lo anterior también es producto de la espaciamiento de las cadenas del polímero y rompimiento de los puentes de hidrogeno en las mismas, debido a la absorción de agua por el material. Con lo anterior Gu [5- 6], evidencia el comportamiento de la resina de Poliéster como matriz de un material compuesto laminado, pero no tiene en cuenta la estructura de la resina en el comportamiento del sistema fibra/matriz, al ser inmerso en el agua de mar; mientras que Visco et al. [7] estudia la habilidad de absorción de agua de mar y el comportamiento de las propiedades mecánicas de resistencia a la tensión y flexión del Poliéster teniendo en cuenta su estructura química (ortoftálicas e isoftálmicas). Las muestras se trataron en una cámara de envejecimiento acelerado similar a la empleada por Gu [5-6], durante un periodo de tiempo de 10 meses. El análisis del comportamiento de sus propiedades se hizo por separado cada 2 meses. Los resultados evidencian la gran incidencia que tiene la estructura química al evitar la pérdida de sus propiedades mecánicas debido degradación del material por el agua de mar. A pesar que la tendencia a la absorción de agua de mar, con el paso del tiempo es la misma para los sistemas fibra/poliéster ortoftálico y fibra/poliéster isoftálico, se observa que el sistema fibra/poliéster ortoftálico absorbe más agua, debido a la afinidad de la resina de Poliéster ortoftálico con las moléculas de agua. Esta afinidad se presenta por que sus cadenas moleculares son menores, por lo cual tienen mayor número de grupos terminales –OH, lo que las hacen susceptibles a formar enlaces con las moléculas de agua, además de presenta una reiculación poco compacta, lo que conlleva a tener mucho espacio libre entre las cadenas y permitir la difusión de agua fácilmente produciendo plastización del material [5-7]; Lo que trae como consecuencia baja resistencia a la tensión, poca rigidez y flexión, opuesto a la resina de Poliéster isoftálico que tiene un mejor comportamiento frente al ambiente marino y menores perdidas de las propiedades antes mencionadas. La investigación también revela que se presenta un mejor acople entre la resina de Poliéster isoftálico con la fibra de vidrio, lo cual evita que la interfaz se deteriore rápidamente [2], además la poca afinidad de estas resinas con el agua de mar, hacen que desempeñe el rol de protectora de la fibra de vidrio, evitando que esta pierda sus óxidos componentes; logrando una mayor estabilidad dimensional, conservación de las propiedades mecánicas del material compuesto y aumento en el tiempo de servicio de la embarcación. . CONCLUSIONES La pérdida progresiva de las propiedades mecánicas de un sistema fibra/matriz, está directamente influenciada por factores como tiempo de inmersión, tipo de materiales que conforman el compuesto laminado, numero de capas de la lámina y cargas a la que se ve sometido el material; puesto que estos factores hacen propenso al material a degradarse por acción del medio ambiente marino. Además de lo anterior se deben tener en cuenta el tipo de moldeo por el cual se construirá la estructura, ya que este influye de manera directa en la adhesión de la resina y la fibra de vidrio sin dejar espacios que permitan la entrada de agua rápidamente al material compuesto; lo que evitaría la plastización, ampollas, grietas y huecos a el interior y en la superficie del material. En el ambiente marino real la embarcación está sometida a grandes esfuerzos, tensiones y cargas de forma constante, los cuales afectan la estructura química de los materiales que

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

6

Mary J. Arias, Degradación de propiedades Mecánicas en Compuestos laminados

conforman el sistema fibra/matriz y aunque los resultados obtenidos en las investigaciones presentadas, sirven como referente para direccionar una nueva investigación; se recomienda que las muestras sean tratadas en un ambiente con condiciones reales y de esta forma tener un mayor conocimiento del verdadero comportamiento del material y de sus propiedades mecánicas. REFERENCIAS [1] Hull D., 1987, Materiales Compuestos, Editorial Reverte, S.A., Barcelona [2] Berthelot J., 1998, Composite Materials: Mechanical Behavior and Structural Analysis, Springer [3] Visco A.M., Campo N., L., Cianciafara P., 2011, Comparison of seawater absorption properties of thermoset resin based composites, Composites A: applied science and manufacturing 123-130 [4] Gellert E.P., Turley D.M., 1999, Seawater immersion ageing of glass-fibre reinforced polymer laminates for marine applications, [5]Gu H., 2009, Behaviours of glass fibre/unsaturated polyester composites under seawater environment, Materials and Design 1337-1340 Composites A: applied science and manufacturing 1259-1265 [6]Gu H., 2009, Dynamic mechanical analysis of the seawater treated glass/polyester composite, Materials and Design 2774-2777 [7]Visco A.M., Calabrese L., Cianciafara P., 2008, Modification of polymers resin based composites induced by seawater absorption, Composites A: applied science and manufacturing 805-814

Tercer Simposio en Mecánica de Materiales y Estructuras Continuas – SMEC 2011

7

METODO DE INTEGRACION POR CELDAS PARA ANALISIS DE PLACAS UTILIZANDO BEM

Christian W. Harnish M., M.E.(c) Estudiante Ingeniería Mecánica Universidad Tecnológica de Bolívar [email protected], [email protected]

Resumen Este trabajo presenta la solución de las integrales de dominio que aparecen en la formulación integral del Método de Elementos de Contorno (BEM), específicamente utilizando el Método de Integración por Celdas utilizando la cuadratura de Gauss-Legendre. La solución de las variables de campo desconocidas ya es un problema analizado anteriormente por el prof. PhD. Jairo F. Useche de la Universidad Tecnológica de Bolívar, por lo que se le da continuidad al trabajo de investigación que éste empezó. Se mostrarán las bases del método BEM, transformación de coordenadas de elementos isoparamétricos, integración numérica, formulaciones para problemas potenciales bidimiensionales, elasticidad 2D y la formulación integral de placas delgadas, así como la comparación de los resultados de aplicar la integración por celdas a cada uno de estos problemas con el Método de Reciprocidad Dual (DRM). Palabras clave: BEM, DRM, CIM, métodos numéricos, integración numérica, cuadratura Gauss-Legendre, elasticidad, placas. I. INTRODUCCIÓN El Método de los Elementos de Contorno (BEM) es una de las herramientas más recientes desarrolladas en ingeniería mecánica para el análisis de sistemas mecánicos cuyos comportamientos estén dominados por una ecuación diferencial, la cual tiene validez dentro un dominio definido. Para facilitar la solución de la ecuación diferencial, se propone discretizar el dominio en pequeñas regiones sobre las cuales se aplica dicha ecuación. Sin embargo, la discretización es uno de los problemas más importantes en el proceso de solución, puesto que pueden ser necesarias muchas regiones para alcanzar una solución precisa.

Este método se hace más atractivo en ciertos casos que el Método de los Elementos Finitos (FEM), pues la discretización ya no es sobre todo el dominio, sino solo en el borde o límite del dominio, lo cual reduce el número de ecuaciones enormemente.

Figura 1. Discretización y matrices de coeficientes para BEM y FEM1 Durante la formulación del problema por BEM para cada uno de los elementos donde se requiere hallar la variable de campo desconocida, surge una ecuación integral, de la cual depende el sistema de ecuaciones que se va a armar. Surgen integrales de dominio y de contorno, cuyos términos son muy complicados para ser resueltos analíticamente, por lo que es conveniente usar métodos de integración numérica como la cuadratura de GaussLegendre. Se aplica entonces éste método a la solución de problemas placas delgadas inicialmente, y se tendrá especial cuidado con las integrales de dominio que aparecen en la formulación integral del BEM, en el momento de generar el sistema de ecuaciones. II. Formulación integral por Elementos de Contorno Las ecuaciones de equilibrio estático que rigen el problema de la deformación de placas de Reissner son las siguientes2: (1) Donde

, cuerpo en dirección x3.

son momentos flectores,

son fuerzas cortantes y q es la fuerza de

(2)

1 2

Imagen tomada de: ver referencia [1] Ver referencia [2]

Para llegar a la formulación por elementos de contorno debemos basarnos en la representación integral por residuos ponderados de las ecuaciones de gobierno (1), siguiendo la siguiente identidad

(3)

son las funciones de ponderación. Haciendo uso de las ecuaciones (2) Donde aplicando el principio de mínima energía potencial (se minimiza la energía de deformación y el trabajo hecho en el contorno por las fuerzas externas), aplicando el teorema de Green (o segunda identidad de Green) y reorganizando la ecuación se obtiene la siguiente ecuación integral3

(4)

Donde j=1,2,3, es la relación de Poisson y de Green establece que:

es el factor cortante. La segunda identidad

(5)

La ecuación (4) se aplica a cada uno de los nodos en el contorno, y como se puede observar, resultaran tres ecuaciones en cada nodo, representando los desplazamientos en cada una de las son las soluciones fundamentales de los desplazamientos y las y direcciones. Los términos tracciones, las cuales representan dichas variables en un punto del dominio en dirección j, causadas por una carga unitaria aplicada en dirección i. Las expresiones para las soluciones fundamentales son las siguientes:

(6)

3

Ver referencia … [2]

y

son funciones de Bessel modificadas,

el punto fuente y los puntos del dominio y

es la distancia absoluta entre

es la rigidez a la flexión de la placa. En

nuestro caso, haremos énfasis en la solución de la integral de contorno que se encuentra en el lado derecho de la ecuación (4). Cabe resaltar que el segundo termino de esta integral se puede despreciar porque, en comparación con el primero es muy pequeño, así que por efectos de practicidad se despreciará, con lo cual la integral a analizar es

(6)

III. Método de Integración por celdas (CIM: Cell Integration Method) El método de Integración por celdas es una idea muy sencilla, y consiste en dividir el dominio en pequeñas regiones o celdas sobre las cuales se realiza la integral en cuestión (Ver figura 2). El resultado final y verdadero será la suma de todas las integrales sobre cada región diminuta. Matemáticamente se puede expresar de esta forma (siguiendo con la función a integrar en la ecuación (6)):

Figura 2. División del dominio en celdas4 (7)

Donde N es el número de celdas.

4

Imagen tomada de: Ver referencia [3]

El caso que vamos a analizar corresponde a dominios rectangulares y circulares discretizados en elementos cuadrilaterales y triangulares.

Figura 3. Discretización de dominios rectangulares y circulares IV. Cuadratura de Gauss-Legendre La cuadratura de Gauss-Legendre permite realizar integración numérica de una función en las coordenadas normalizadas de un elemento transformado. Este elemento se conoce como elemento isoparamétrico (ver figura 4), pues la función de aproximación de la geometría es del mismo orden de la función de aproximación para variables de campo. (8)

La expresión para evaluar la cuadratura de Gauss en elementos rectangulares y triangulares respectivamente son

(9)

Los puntos son llamados puntos de integración de Gauss y son las raíces de los polinomios de Legendre de n-ésimo orden. Cuanto mayor sea el número de puntos de Gauss, mejor será la aproximación de la integral. Este método resuelve de manera exacta las integrales si la función es un polinomio de grado 2r+1, siendo r el número de puntos de integración.

Figura 4. Elementos transformados5 Para expresar las coordenadas locales del elemento en función de las coordenadas naturales (transformadas) se utiliza el siguiente esquema (10)

Donde son funciones de forma, las cuales valen uno en su respectivo nodo y cero en los demás. Las funciones de forma para elementos rectangulares y triangulares son respectivamente

(11) (12) El Jacobiano de la transformación permite hacer la equivalencia entre el dominio original y el dominio transformado . (13)

Al aplicar todas las anteriores ecuaciones dentro de la integrales (9), en el problema de placas tendremos un vector de tres elementos, el cual corresponderá con cada una de las tres ecuaciones que se genera para cada punto.

5

Imágenes tomadas de: ver referencias [4] y [5]

V. Sistema de ecuaciones y solución del problema Al aplicar la ecuación (4) en cada uno de los nodos del contorno, tendremos un sistema de ecuaciones como sigue (14) Es entonces el vector Q quien contiene los resultados de la integral de la ecuación (6). Para poder resolver este sistema, tenemos que reorganizar las matrices H y G, discriminando los nodos donde se conocen las variables, y aquellos que no, de tal forma que tengamos una matriz de coeficientes y un vector de términos independientes (15) F contiene el vector Q modificado, donde se le agregan los valores de los desplazamientos y las fuerzas conocidas en los contornos donde están definidas estas variables. Es bueno resaltar que las integrales de contorno contenidas en las matrices H y G se hacen para elementos cuadráticos de 3 nodos. VI. Ejemplos de aplicación: Placas rectangular y circular A continuación se aplican los anteriores conceptos a dos ejemplos de placas: una placa rectangular simplemente apoyada y totalmente empotrada bajo la acción de una carga distribuida unitaria (ver figura 5), y una placa circular simplemente apoyada y totalmente empotrada bajo la acción de una carga distribuida unitaria (ver figura 6). Inicialmente, la integral de dominio es resuelta utilizando el Método de Reciprocidad Dual (DRM: Dual Reciprocity Method), el cual busca soluciones particulares que permitan expresar la integral como una combinación lineal de coeficientes multiplicados por funciones de posición. Esto conlleva a que la integral de dominio se transforme en mas integrales de contorno, lo que “homogeniza” la formulación del problema.

Figura 5. Placa rectangular Esta placa contiene 8 elementos de contorno, 24 nodos en el contorno y 16 puntos internos.

Figura 6. Placa circular Esta placa circular contiene 32 elementos de contorno, 96 nodos en el contorno VII. Resultados Los sistemas de ecuaciones, la discretización de los dominios y la generación de gráficas se realizo utilizando ® MATLAB, por intermedio de la rutina DynamicPlateBEM, desarrollada por el prof. Jairo Useche durante sus estudios de doctorado. A esta rutina se le adicionó un modulo de integración por celdas y discretización del dominio. A continuación vemos las soluciones que resultan de un sistema de ecuaciones que es resuelto con DRM y otro con CIM. Si tomamos como resultado base el proporcionado por DRM y tomamos el error absoluto tenemos para cada caso que: -

Placa rectangular: la norma del error absoluto es de 1.39x10-6, lo cual nos indica que los resultados son bastante similares. Placa circular: la norma del error absoluto es de 7.0139 x10-6, donde también se evidencia un buen indicio de aproximación del problema.

VIII. Conclusiones Hemos visto que el CIM nos proporciona una buena aproximación respecto al DRM, por lo que es una opción tentadora al momento de realizar un problema de este tipo. De igual forma, una de sus características más interesantes es que evita tener que armar matrices y resolver mas sistemas de ecuaciones, como el DRM, que debe armar las matrices G y H para cada punto o polo del dominio, y en cada caso resolver el sistema de ecuaciones, que es tan grande como el sistema de ecuaciones para las variables desconocidas. Por tanto representa un ahorro de tiempo de cómputo considerable. Además, se probó que con elementos cuadrilaterales, a partir de 9 puntos de integración ya las soluciones empezaban a parecerse bastante al DRM, con una cantidad modesta de sudominios, aproximadamente 25. Concluimos entonces que el CIM también es una herramienta útil, precisa y prática para ser aplicada en la solución de sistemas de ecuaciones de BEM. Con esto, se ha generalizado la solución del problema estático de placas.

IX. Trabajos a futuro Queda pendiente todavía comparar los resultados obtenidos con soluciones analíticas propuestas en la literatura. Como hemos visto que el método funciona bien, llevaremos lo que se ha hecho al campo de las cáscaras, para resolver las integrales que tienen un término de curvatura inmerso, y que en muchos casos se obvia, pero en muchos otros no. Buscamos entonces generalizar el problema estático de las placas y cáscaras, y en lo posible tratar con problemas dinámicos, armónicos y modales. X. [1] [2] [3] [4] [5]

Bibliografía

Katsikadelis, J., Boundary Elements: Theory and Applications 1st Edition, (2002). Rashed, Y., Boundary Element Formulation for thick plates, (2000). Brebbia C., Boundary Elements. An Introductory Course, 2nd Edition. MIT Lectures on Computational Mechanics. Hua, C., An inverse transformation for quadrilateral isoparametric elements: Analysis and application, (1990). [6] Bathe, “Finite Element Procedures” [7] Malvern, L., Introduction to the mechanics of a continous media”, (1969). [8] Reddy, J., An introduction to the Finite Element Method, 2nd Edition, (1993). [9] Reddy, J., Theory of elastic plates and shells, 2nd edition. [10] Useche, J., Apuntes de Métodos Numéricos, (2011). [11] Zienkiewicz, Finite Elements and Approximation.

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

González G.(1) *, Alessio D.(2), Fernandez Pirrone V.(1), Iurman L.(1, 2) , Moro L. (1) 1

Grupo de Estudio de Materiales , Facultad Regional Bahía Blanca Universidad Tecnológica Nacional, 11 dee abril N° 461, 8000, Bahía Blanca, Argentina. 2 Departamento de Ingeniería, Universidad Nacional del Sur. e"mail: [email protected]

El fenómeno de creep o de termofluencia es un proceso que se produce en los materiales que están sometidos a altas temperaturas y tensión constante durante largo periodo de tiempo. El objetivo propuesto en este trabajo es determinar el comportamiento del acero en ensayos de termofluencia (creep) bajo condiciones de temperatura y tensiones mecánicas aplicadas, comparables a las de operación en servicio, y caracterizar la evolución cinética microestructural en los materiales, sometidos a determinados tratamientos térmicos y/o a condiciones de creep El material utilizado es el acero austenítico HP modificado cuya composición química es 25% Cr – 35% Ni con el agregado de pequeñas cantidades de Nb, Ti, Mn, Si, C, que mejoran sus propiedades. Se realizaron ensayos de creep, donde las muestras fueron sometidas a estados de tensión y temperaturas constantes para identificar los mecanismos de degradación. A partir de los resultados obtenidos se determinaron las energías de activación aparente por termofluencia (8Qap) y el parámetro de sensibilidad, ´n´ con el fin de estudiar la deformación que operan en el creep. En forma simultánea se realizaron tratamientos térmicos de recocido al material, en los mismos rangos de tiempo y temperatura a los ensayos de termofluencia, para diferenciar los cambios estructurales que se deben a la temperatura de los provocados por el efecto de la tensión. En particular del estudio del acero HP;modificado, se observó que presentan cambios microestructurales; en principio, vinculados a la morfología de las fases iniciales y la fase G. Cabe destacar que, en este tipo de aceros los carburos del tipo M23C6 y M6C son los más estables. Palabras claves: creep, aceros austeniticos, propiedades mecánicas.

The phenomenon of creep is a process that occurs in materials that are subjected to high temperatures and constant stress for a long time. The objective proposed in this paper is to determine the behavior of steel in creep tests under conditions of temperature and applied mechanical stress, comparable to those operating in service and kinetic characterization of microstructural evolution in materials subjected to certain heat treatments and / or creep conditions. The material used is the HP modified austenitic steel whose chemical composition has 25% Cr ; 35% Ni in addition to small amounts of Nb, Ti, Mn, Si, C, to improve their properties.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

1

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

Creep tests were performed, where samples are subjected to stress states and constant temperatures to identify the mechanisms of degradation. From the results obtained determine apparent activation energies for creep (8Qap) and the sensitivity parameter, 'n' in order to study the deformation operating in the creep. Simultaneously performed thermal annealing treatments to the material at the same time and temperature ranges similar to creep tests to differentiate the structural changes that are due to the temperature caused by the effect of stress. In particular the study of HP;modified steel, it was observed that these microstructural changes occur, in principle, linked to the morphology of the initial phases and phase G. Note that in this type of steel carbides M23C6 and M6C type are more stable. Keywords: creep, austenitic steels, mechanical properties.

La tecnología presente requiere de materiales que admitan ser utilizados a altas temperaturas (entre 800 y 1150 °C) durante largos períodos de tiempo y posean una vida útil lo más amplia posible. Esta realidad se presenta en refinerías y plantas petroquímicas donde, el proceso industrial clásico para la producción de etileno se basa en el fraccionamiento térmico de una mezcla de hidrocarburos en presencia de vapor en hornos de pirolisis. Hoy en día, los aceros de la serie HP (Fe;35Ni;25Cr) para alta presión, son una opción para la fabricación de los tubos de serpentín de los hornos de craqueo. Estos materiales garantizan poseer resistencia a la corrosión y al creep cuando están expuestos a temperaturas de servicio cercanas o superiores a 1000ºC; temperaturas que son factibles en regiones específicas de los hornos de pirólisis. Con el agregado de microalentes, como, Nb o Ti, se promueve la formación de carburos más estables, y estas aleaciones adquieren mejor resistencia al creep a alta temperatura [1;5]. Las altas temperaturas alcanzadas durante el proceso de craqueo, conduce a la difusión del carbono dentro de las paredes del tubo desde la superficie interior hacia el exterior del mismo. Como consecuencia de ésto, los efectos perjudiciales son las alteraciones metalúrgicas y la fragilización, que afectan la fiabilidad de los tubos y reducen la vida útil de los mismos. Distintos estudios realizados al proceso de carburización demostraron que en el inicio de la operación cuando se trabaja a temperaturas entre 850 y 1000ºC, se forma una capa protectora de óxido Cr2O3 que actúa como barrera para la difusión del carbono; mientras que cuando el proceso se realiza a temperaturas mayores de 1000ºC, esta barrera comienza a ser termodinámicamente inestable permitiendo el inicio de la carburización del material [5]. El Carbono depositado en la pared interna del tubo es absorbido por la superficie interna y luego ingresado a la matriz austenítica, donde precipita como carburos del tipo M7C3 y M23C6, provocando la disminución de la concentración del Cr en la matriz y reduciendo la resistencia a la tracción y al creep del material. La microestructura típica de las aleaciones del tipo HP en su condición as;cast es una matríz austenítica con carburos primarios del tipo eutéctico, ricos en Cr (del tipo M7C3 y/o M23C6) y carburos de niobio del tipo MC. Por lo general, estas aleaciones que son utilizadas en la condición as;cast, luego de operar en servicio, a temperaturas entre 850 y 1050ºC debido a la activación térmica, evidencian transformaciones de fase; de esta forma los carburos primarios de cromo, se transforman en M23C6 en forma intragranular e intergranular como precipitado [6].

Se realizaron ensayos de termofluencia por torsión, donde se aplica un momento torsor que se obtiene aplicando una carga a la polea de torsión y que es la única causa de rotación del eje. Se

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

2

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

mide la deformación a partir del desplazamiento angular de un punto del extremo móvil de la probeta, manteniendo el otro extremo fijo. La tensión de corte τ, que actúa en el borde de la probeta cilíndrica de radio r, se calcula a partir de la cupla aplicada C, que se relaciona con la carga aplicada, según la ecuación (1) [7]: τ=

2C

(1) π r3 Para poder comparar los resultados obtenidos mediante los ensayos de fluencia por torsión, con los más comúnmente empleados de fluencia por tracción uniaxial, se relaciona la tensión de corte y la deformación angular con la tensión y deformación equivalente respectivamente. Para lo cual se aplica el criterio de fluencia de Von Mises y considerando un estado de tensión de corte puro, Ecuación (2). σ = 3τ (2) La relación entre la rotación angular θ de la probeta de radio r y la deformación angular γ en una longitud L de la zona calibrada de la probeta, está dada por la Ecuación (3): γL = θr

(3)

Se calcula entonces, la deformación equivalente ε a partir de la deformación angular θ, como se observa en al Ecuación (4): ε=

1 r θ 3 L

(4)

Durante el proceso de creep, el material en la etapa secundaria, se deforma con una velocidad constante que depende de la tensión y la temperatura aplicada. Esta relación se puede expresar con una ley de potencia expresada por la Ecuación (5): ε = A σ n exp (

Q ) RT

(5)

Siendo, ε la velocidad de deformación mínima por termofluencia, σ la tensión aplicada, n el exponente de tensión, Q la energía de activación por termofluencia, T la temperatura absoluta, R la constante universal de los gases y A una constante [8]. El material utilizado en el presente estudio fue obtenido de tubos de 93 mm de diámetro externo y 73 mm de diámetro interno, de acero HP modificado con Nb, fabricado mediante el proceso de colado por centrifugado. A partir de allí, se seleccionaron muestras para la determinación de la composición química y para su observación, mediante microscopía óptica y de barrido. La composición química correspondiente, fue determinada mediante un espectrómetro de emisión por plasma, marca Spectromax modelo X. En la tabla 1, se presentan la composición química para el acero HP – modificado. Composición química nominal de la aleacion HP – modificado.

#

"$

0.60

! 1.8

2.0

25

! 35

1.34

" 0.5

Bal.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

3

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

Se prepararon muestras para su observación mediante microscopía óptica y microscopía de barrido (SEM). Las mismas fueron desbastadas con papeles abrasivos de diferentes granulometría y atacadas químicamente por inmersión, con Gliceregia (60% HCl, 20% HNO3, 40% glicerol), durante 25 segundos a temperatura ambiente. En la Figura 1 se presenta la microestructura correspondiente al acero al HP – modificado. Tal como se puede apreciar, la microestructura es de tipo dendrítica.

& Microestructura característica del acero HP;modificado; estructura dendrítica compuesta por austerita (zonas claras) y carburos primarios eutécticos en bordes dendríticos (150x)

!%

'

(

)

Para poder relacionar el comportamiento del material a distintas tensiones y temperaturas se realizan ensayos de creep hasta la rotura, trabajando en un rango de temperaturas entre 1073 y 1273 K y a tensiones efectivas entre 50 y 90 MPa, manteniendo ambas variables constantes durante cada ensayo [1]. En la Figura 2, se presenta la deformación específica en función del tiempo, a distintas tensiones y una temperatura aplicada de 1173K. 1173k

σ (MPa)

40 50 60 65 62 61 70

Epsilon

0,08

0,04

0,00 0

1x10

4

2x10

4

3x10

4

4x10

4

5x10

4

Tiempo (Seg)

!%

: Curva de temofluencia a la temperatura de 1173K y tensiones entre 40 a 70 MPa.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

4

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

'

*

"$

%+ $

!, !-

De acuerdo a la ley de potencia (Ecuación 5), se puede calcular la energía de activación, a partir de ensayos de creep realizados a una misma tensión (50 MPa) y distintas temperaturas, graficando la velocidad de deformación en función de la inversa de la temperatura (Figura 3). Los resultados son ajustados por regresión lineal por medio de una línea recta, de cuya pendiente podemos obtener la energía de activación. Observamos dos valores para la energía de activación. Para las temperaturas de ensayo por debajo de los 1193 K, se obtiene un valor de la energía de activación de 331.43 KJ/mol. Mientras que, para valores superiores a esta temperatura de quiebre, la energía de activación se ve incrementada a un valor de 450.47 KJ/mol.

2,26033E-6

Ln(dε/dt)

8,31529E-7

Q = 331,43 Kj/mol

Q = 450,57 Kj/mol

3,05902E-7

1,12535E-7

4,13994E-8

1,523E-8 8,0x10

-4

-4

9,0x10 1/T(K)

!%

'

'. Grafica de la velocidad de deformación minima por creep en función de la inversa de la temperatura a tensión aplicada constante.

"$

./"

0 1

En la Figura 4, se representan los valores de la velocidad de deformación mínima por termofluencia para las diferentes tensiones mecánicas aplicadas, a una misma temperatura de ensayo, T= 1173 K. Pueden apreciarse, dos regiones bien diferenciadas en la relación de potencia entre dε/dt y σ. A bajas tensiones, el exponente n es igual a 6; mientras que a tensiones mas altas, n = 19. Se observo que al aumentar la temperatura, la energía de activación aumenta de 311,43 KJmol;1 a 450,57 KJmol;1 y que al aumentar la tensión el exponente “n” aumenta de 6 a 19, lo que concuerda con la variación microestructural que sufre el material al estar sometido a creep.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

5

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

1E-5 T = 1173 n = 19

de/dt (s-1)

1E-6

1E-7 n=6

1E-8 1E7

1E8

σ(MPa)

!%

2. Grafica de la velocidad de deformación mínima por creep en función de la tensión aplicada.

Luego se estudió la transformación de la microestructura del material ensayado, comparando el borde exterior con la parte central de la probeta. En la Figura 5 se observa la microestructura de la parte central (a) y del borde (b) de la probeta luego de haber sido ensayada a creep a una temperatura de 1173 K y una tensión de 50 MPa.

!%

a) b) 34 Acero HP mod., ensayado por creep: 1173K y 50 MPa. a) Parte central b) borde exterior, 150X.

Para diferenciar la influencia de la temperatura de la producida por la tensión se realizaron tratamientos térmicos al material a la misma temperatura (1173 K) y durante 1000horas que es el mismo tiempo en que se realizaron los ensayos de creep (Figura 6).

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

6

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

!%

54 Acero HP;mod., con tratamiento térmico a temperaturas de 1173K y durante 1000 Hs., (150X).

El efecto del aumento de la tensión se evidencia en la periferia de la probeta donde se encuentran granos recristalizados. Si bien el aumento de la temperatura modifica la microestructura, es mayor el efecto de la tensión. La mayor deformación provoca el aumento de núcleos formados por recristalización, pero de menor tamaño.

De acuerdo, con el presente análisis llevado a cabo en el acero HP ; modificado, es posible arribar a las siguientes conclusiones: ; Se evidencia una mayor diferencia de las evoluciones microestructurales, que aparecen en el borde con respecto a las zonas más cercanas al centro. Estas variaciones observadas se suponen debidas a una función compleja de efectos combinados de temperatura y cantidad de deformación que provocan recristalización. ; Se obtuvieron dos exponentes de tensión bien diferenciados, en región de bajas tensiones, el exponente n es igual a 6, y en regiones de altas tensiones, el n es igual a 19. ; La energía de activación por termofluencia para temperaturas entre 1073 a 1173 K da un valor de ∆Q = 311,43 kJ/mol y para temperaturas entre 1173 a 1273K los valores son levemente superiores ∆Q = 450,57 KJ/mol, estos valores son similares a los obtenidos por otros autores para este tipo de aleaciones. ; Se estima que estos análisis permitirán obtener un mayor conocimiento de la influencia de los efectos combinados de tensiones, deformaciones y temperatura, en las evoluciones microestructurales, al tener en una misma muestra todos estos efectos en forma simultánea.

[1] Refineries C.o.H.;T.T.i.P, API Recommended Practice 530, 3rd. Ed. American Petroleum Institute, Washington, DC, 1988.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

7

G. González, D. Alessio, V. Fernandez Pirrone, L. Moro, Creep en Aceros HP modificados

[2] ASM Metals handbook. Properties and selection: irons, steels and high;performance alloys, 10th. Ed. USA: ASM Internacional; 1990. [3] I.L. May, T.L.D. Silveira, C.H. Vianna, Int. J. Pressure Vessels Piping 66 (1996) 233;241. [4] A.K. Ray, K.S. Amarenda, N.T. Yogendra, J. Swaminathan, G. Das, S. Chaudhuri, R. Singh, Eng. Fail. Anal. 10 (2003) 351;362. [5] M.H. Shariat, A.H. Faraji, A. Ashraf;Riahy, M.M. Alipour, Corrosion Science in the 21st Century 6 (2003) H012. [6] De Almeida Soares G.D., De Almeida L.H., Da Silveira T.L., Le May I. Niobium additions in HP heat;resistant cast stainless steels. Mater. Charact. 1992; 29: 387;396. [7] Roach DB, VanEcho JA, in:Behal VG, Melilli AS, editors. Stainless steel castings. ASTM STP 756, Philadephia, PA: ASTM; 1982, p. 275;311. [8] Barbabela GD, de Almeida LH, da Silveira TL, Le May I. Mater Charact 1991;26:193;7.

Segundo Simposio Regional en Mecánica No"Lineal de Estructuras Continuas – SMEC 2011

8

Método del Enjambre de Partículas y Evolución Diferencial Para la Optimización de Paneles Reforzados

Guillermo E. Giraldo1, Jairo F. Useche2

1

[email protected] - (57) 301 765 2998 2

1,2

[email protected]

Grupo de Investigación en Materiales y Estructuras GIMAT, Universidad Tecnológica de Bolívar Parque Tecnológico e Industrial Carlos Vélez Pombo, Km.1 Vía a Turbaco, Cartagena de Indias (Bolívar), Colombia.

Resumen Se presenta la aplicación de las ideas del diseño estructural óptimo al caso de un panel naval reforzado. En este sentido, se busca encontrar la topología del panel reforzado que produzca el diseño de peso mínimo y que al mismo tiempo satisface las restricciones de seguridad y funcionalidad impuestas. Para tal fin, algoritmos de búsqueda basados en las técnicas del Enjambre de Partículas y la Evolución Diferencial son utilizados, valiéndose de un modelo de elementos finitos para el análisis estructural. Resultados de la búsqueda, discusiones y conclusiones al respecto son presentados. Palabras Clave: Diseño asistido por ordenador, evolución diferencial, método del enjambre de partículas, optimización estructural, panel naval reforzado.

Abstract It is presented the application of the ideas of optimal structural design to the case of a stiffened plate of naval application. In this sense, it is intended to find the topology of the plate which gives the minimum weight design, besides satisfying the security and functionality restrictions. For that matter, search algorithms based on the Particle Swarm Optimization and Differential Evolution techniques are implemented, relying on a finite element model for the structural analysis. Results of the search, discussions and conclusions are also presented. Keywords: Computer Aided Design, differential evolution, particle swarm optimization, stiffened plate, structural optimization.

1. INTRODUCCIÓN El diseño de ingeniería moderno se enfrenta a objetivos que van más allá de garantizar la seguridad y la funcionalidad de los sistemas desarrollados. Las necesidades comerciales de las empresas de base tecnológica hacen que la búsqueda de la competitividad sea un factor principal dentro de las mismas; y, en fin último, la diferenciación se logra con productos mejorados, de menor precio, y con menores periodos de producción. Y es seguro que estas características deben ser perseguidas desde la concepción del producto, y desde la misma concepción de las técnicas a utilizar para conseguirlas.

La utilización de herramientas de análisis estructural asistidas por el ordenador permite superar esta dificultad, pero la inclusión de los criterios de merito y la optimización permiten ir un paso más allá en la calidad del sistema desarrollado. Pero las herramientas imprácticas resultan igualmente inútiles, por muy “potentes” que parezcan. Así, de entre el abanico de posibles técnicas de simulación y optimización se han seleccionado las que se consideran permiten una implementación practica y directa en el ámbito de una oficina de diseño. Existen varias opciones al momento de seleccionar la medida de merito de un diseño estructural. De entre ellas, las más comunes son el diseño de peso mínimo y el de mayor rigidez. Otras alternativas también son posibles, como la minimización del costo de fabricación, minimización de la resistencia aero o hidrodinámica, frecuencias de resonancia, entre otras. La selección del peso mínimo como medida de merito en la estructura de una embarcación se justifica por el gran impacto que tiene sobre los costos de fabricación (en términos de insumos), la velocidad de la embarcación, el consumo de combustible y la capacidad de carga. Estos lineamientos del diseño estructural con miras a la optimización pueden ser estudiados más profundamente siguiendo las ideas del Diseño Racional propuestas por Hughes [1]. Los métodos propuestos por el autor dependen grandemente de la experiencia del diseñador y en los métodos de análisis y optimización computacional. Por otro lado, el gran costo (en términos de tiempo y capacidad de cómputo) de la aplicación de estas ideas a sistemas estructurales complejos ha sido prohibitivo en el pasado. 2. MARCO TEÓRICO 2.1 Optimización numérica La formulación del problema de diseño de peso mínimo es realizada en términos de optimización numérica. En estos términos, el problema de minimización puede ser planteado como sigue: (1a) (1b) !0

(1c)

Esto es, buscar el conjunto de parámetros # que minimice la función objetivo . El conjunto de restricciones expresado en la forma 1c es el más general, ya que, por ejemplo, una restricción de la $ 0 puede ser expresado como – ! 0, y una restricción de igualdad 0 puede ser forma expresada como el par de restricciones ! 0 y – ! 0. La forma en que las restricciones son incluidas en el método de búsqueda parece ser muy relevante para el desempeño del mismo. Una manera muy elegante y directa de realizar esta acción es el método de la función de penalidad, como lo exponen Parsopoulos y Vrahatis [1]. En esta técnica, se aumenta la función objetivo con un término de “penalidad” & , el cual contiene la información de las restricciones: '

& ,

(&

∑ *+, max

(2a) -,

,0

.+/0 1 -

(2b) (2c)

El término , es conocido como la violación relativa de la restricción : una restricción no violada hace , 0, y no hay aporte al término de penalidad; una restricción violada , constituye una “medida” de la violación, y en este sentido, la labor de las funciones * , y 6 , es la de controlar el aporte de la violación al termino de penalidad. 2.3 Método del Enjambre de Partículas El método del enjambre de partículas (originalmente Particle Swarm Optimization), introducido por Kennedy y Eberhart (1995) [2]. La idea detrás del método es el hecho de que los individuos de la población comparten cierta información, a saber, la mejor posición que ha sido encontrada hasta el momento (en términos generales, el mayor merito). Cada individuo utiliza esta información junto al conocimiento de su propia mejor posición para dirigir su búsqueda. Si la posición de un individuo en el espacio de búsqueda es , la mejor posición encontrada por toda la población hasta el 8 momento es 7 y la mejor posición encontrada por el individuo es , la regla de búsqueda es: 9 :;
?9 : (

:;