MATEMÁTICA FACSÍMIL N° 1 - 2014 NÚMEROS Y PROPORCIONALIDAD 1.

50  6

2

 50  6  50  6  

A) 12 B) 56 C) 672 D) 2464 E) 5600 2. El doble de

A) B) C) D) E)

9 3 más un tercio de es igual a 4 2

15 10

15 14

45 4 21 2 3

3. Una viga de acero de 2,1 m de largo se desea cortar en trozos de modo que la razón de sus longitudes sea 3 : 4 : 7. ¿Cuánto mide cada trozo de viga, de acuerdo al orden de las razones dadas? A) 15 cm,

90 cm,

105 cm

B) 105 cm,

90 cm,

15 cm

C) 45 mm,

60 mm,

105 mm

D) 45 cm,

60 cm,

105 cm

E)

45 cm,

105 cm

60 cm,

4. Se sabe que u2 es directamente proporcional al número

1 , y cuando u toma el t

valor 4, el valor de t es 5. Si u toma el valor de 2, entonces el valor de t es

A) 20 B) 10 C)

5 4

D)

4 5

E)

1 20

5. Las variables u y z son inversamente proporcionales. Si la variable u disminuye en un 33, 3 %, entonces la variable z debe A) aumentar en un 33, 3 %. B) disminuir en un 33, 3 %. C) aumentar en un 50%. D) disminuir en un 50%. E) aumentar en un 66, 6 %.

6. El gráfico de la figura 1, muestra la variación mensual del precio (en dólares) de la libra de cobre en el último año. ¿Entre qué meses se produce la mayor variación negativa? US 385 380 375 370

fig. 1

365 360 355 350 345 340

A) B) C) D) E)

Febrero - Marzo Abril - Mayo Marzo - Junio Julio - Agosto Agosto - Septiembre

335 E

F

M

A

M

J

J

A

S

O

N

D

7. El precio de un televisor ha sido rebajado en $12.000, lo que corresponde al 5% de su valor. ¿Cuánto costará durante la oferta? A) B) C) D) E)

$215.000 $228.000 $238.000 $240.000 $252.000

8. Si el 20% de p es 8 y el 35% de q es 10, entonces el valor de

A) B) C) D) E)

7 5 35 16 1 10 16 35 5 7

9. Si p =

5 y q = 1 + p, entonces es correcto afirmar que

I)

p2 es un número entero.

II)

q2 es un número real.

III) A) B) C) D) E)

q es p

q2  p es un número irracional.

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

10. Si A = 0,0003 , B = 4,2 103 , C = 23  10-6 y D = 0,000037 , entonces el valor de A B C+D

es

A)

1,8  104

B)

18  103

C)

2,1  104

D)

0,21  104

E)

2,1  10-4

11. Si a = 1 y b = -2, entonces el valor de ab – (a – b) es igual a A)

-5

B)

-3

C)

-1

D)

1

E)

3



12. x 2  y 3



2



A) x 4  2x 2 y 3  y 6 B) x 4  2x 2 y 3  y 6 C) x 4  x 2 y 3  y 6 D) x 4  2x 2 y 3  y5 E) x 4  2x 2 y 3  y 5

13. Un kilo de clavos cuesta (3t + p) pesos. Por cada 5 kilos comprados se hace un descuento de 2p pesos por kilo. ¿Cuánto dinero se necesita para comprar 12 kilos de clavos? A) B) C) D) E)

36t 36t 36t 36t 36t

– 12p – 8p – 24p + 10p + 12p

14. Dadas las expresiones A=x2+y2, B=x+y, C=–xy, entonces, (A+C)·B equivalente a A) x3 - y3 B) x3 + y3 C) D)

( x - y) ( x + y)

3

3

(

E) 3 × x - y

)

es

-1

 a3 +b3  15. La expresión  6 es equivalente a 6  a b  a3  b3 a3+ b3 1 a3  b3 1 a3 +b3 Ninguna de las anteriores.

A) B) C) D) E)

16. Se definen a @ b = a2 – b; 2 & (-2 @ 3) es igual a A) B) C) D) E) 17.

y

c & d = d – c , entonces el valor de

13 9 1 -1 -17

4x2  8xy  4y2 2x2  2y2 :  yx xy  y2

A)

-2

B)

-2y

C)

2y

D) -8(x – y)2 E)

18. Si x 

8(x – y)2

1  6, y

A) 8 B) 12 C) 18 D) 24 E)

36

y además

1 x2 y2  1   144 , entonces x  2 y y

19. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un divisor de 3x2 + 3x – 90?

A) (x – 6) B) (x + 3) C) (x – 5) D) (x + 5) E)

6

20. El enunciado: “a un número n se le suma el doble de su antecesor y este resultado se multiplica por su cuádruplo”, se traduce en lenguaje matemático como: A) (n + 2(n – 1))  4n B) n + 2(n – 1)  4n C) (n + 2n – 1)  4n D) (n + 2(n – 1))  n4 E) (n + 2(n + 1))  4n

21. Si 6(2x + 1) = 7(x – 2), entonces A) 

8 5

B) 

4 5

C)

-4

D)  E)

x es 2

3 5

-2

22. La fórmula V=

a2  h permite calcular el volumen de una pirámide de base 3

cuadrada, en que a representa el lado del cuadrado basal y h es la altura de la pirámide. Si la altura se reduce a la mitad y el lado de la base se duplica, ¿qué sucede con el volumen de la pirámide? A) B) C) D) E)

Se mantiene igual. Se reduce a la mitad. Aumenta al doble. Aumenta al cuádruplo. Se reduce a la cuarta parte.

23. ¿Cuál es el conjunto de todos los números que se encuentran a más de 4 unidades del -3 y a menos de 5 unidades del 2? A) B) C) D) E)

24.

]1,7[ lR - ]-7, +  [ ] -7 , 7 [ ] -7 , 1 [ ] -1 , 7 [

t2aq3b - taq5b ta - q2b

=

A) taq3b B) taq3 C) taqb D) t2q3b E) t2q3

25. Dado el sistema

a+3=p+q a–7= p-q

A) B) C) D) E)

26.

a2 a2 a2 a2 a2

– 10a – 21 + 4a + 21 + 4a - 21 – 4a + 21 – 4a – 21

4  8  16  32  64  A)

124

B) 14  6 2 C) 14 2 D) 10 2 E) 20 2

, el valor de p2 – q2 está representado por

27. ¿Cuál es el conjunto solución para el sistema de inecuaciones?

x  1  2 x 1  2 A) B) C) D) E)

 ,1  1, 1  1, 1  ,1  ,1

28. La expresión

29.

3

2

C) 3 D) 32 E) 33

3

3

2 5 5

A) B) C) D) E)

6

3

A) B)

27  3 9



3 5 5

1  5 4 5 1 4 5 1 4 1 5 4 1 5 4



3

es equivalente a

30. En A) B) C) D) E)

6  la ecuación exponencial  2   5  5 3 5 0 -3 -20

x 2

4

 4 5 :  5

x 2

 1 , el valor de x es

3

31. 2 2 2 A = 12

A)

218 · A

B)

12

C)

3

D)

12

24 · A

E)

12

64 · A

8·A

8·A

32. ¿Cuál (es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a log 16? I)

log 8 + log 2

II) III) A) B) C) D) E)

4log 2 2log 12 – log 9

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo II y III I, II y III

33. ¿Cuál de las siguientes funciones representa mejor al gráfico de la figura 2? y fig. 2 1 -2 A)

f(x) =

x2 – 1

B) C)

f(x) = f(x) =

x2 + 1

D) E)

f(x) = f(x) =

x2 – 1

x2 + 1 x 1 – 2

x

34. El puntaje p(x) de una prueba de 40 preguntas se calcula asignando 5 puntos por respuesta correcta, restando 2 puntos por cada respuesta incorrecta más 20 puntos de base. Entonces, la función que representa el puntaje para quien responde toda la prueba teniendo x preguntas correctas es:

A) B) C) D) E)

p(x) = p(x) = p(x) = p(x) = p(x)=

7x 7x 3x 3x 3x

– 60 – 80 – 40 – 30 +20

35. De acuerdo al gráfico de la figura 3, ¿cuál debe ser la ecuación de la recta L para que el área del trapecio achurado sea igual a 14 ? y A) B) C) D) E)

3x 3x 3x 4x 4x

– 4y + – 4y + + 4y – – 3y + – 3y +

4 8 8 8 4

= = = = =

0 0 0 0 0

L fig. 3

2

4

x

36. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la parábola y = x2 +2x – 4? A) Intersecta al eje de las abscisas sólo en un punto. B) Su eje de simetría está dado por la recta x - 1=0 C) Su vértice es (1, -1) D) Intersecta a la recta y + 4 =0 , en dos puntos. E) Intersecta al eje de las ordenadas en el punto (-4,0)

37. Si f(x)  (x  3) , entonces f[f(12)] es igual a

A) 1 B) 0 C) 7 D) 3 E) 3

38. La recta L1 se intersecta con la parábola de ecuación f(x) = 2x 2 -14x +20 en el eje Y, y en el eje X según se muestra en la figura 4, entonces la ecuación de la línea recta es Y A) 4x + y + 20 = 0

L1

B) 2x + y - 10 = 0 C) 10x + y – 20 = 0 D) 4x + y – 20 = 0 E)

fig. 4

2x + y +10 = 0

39. Si g(x) = 4ax + n, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas? I) Si a > 0, la función es creciente. II) Si n = 0, la función pasa por el origen del sistema cartesiano. III) Si a = n, la función es constante. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E)

I, II y III

40. Se deposita una cantidad C de dinero durante seis meses en una entidad bancaria que ofrece un interés compuesto variado. Los cuatro primeros meses de un 2% mensual y los siguientes dos meses de un 3% mensual. Si no se hacen retiros ni depósitos, la expresión que representa la cantidad final de dinero CF es A) CF =C B) CF =C C) CF =C D) CF =C E) CF =C

(1,02)4(1,03)2 (1,06)6 (1,05)6 (0,02)4(0,03)2 (0,06)6

X

GEOMETRÍA 41. El triángulo ABC, de la figura 5, es equilátero de lado uno. Si se rota el triángulo de la figura con centro en A y ángulo de giro de 60°, en sentido horario, el vértice C queda en las coordenadas A)

1,

B)

1  1,  2 

C)

1  , 2

D)

 1   ,  2

E)

1  , 2

3



y C

 3 

3  2 

B

A

x fig. 5

3  2 

42. Se tiene un cuadrilátero cuyos vértices están ubicados en los B(3, 4); C(-2, -2) y D(4, -1). Si al cuadrilátero se le aplica una paralela al eje x en dos unidades a la izquierda y luego traslación paralela al eje y en tres unidades hacia arriba. siguientes afirmaciones es(son) Falsa(s)? I) II) III) A) B) C) D) E)

puntos: A(-1, 3); traslación que sea se le aplica otra ¿Cuál(es) de las

El nuevo vértice de A queda ubicado en el punto (-3, 6) El nuevo vértice de B queda ubicado en el punto ( 1, 5) El nuevo vértice de D queda ubicado en el punto ( 2, 2)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I , II y III

43. El (los) cuadrilátero(s) que tiene(n) sólo dos ejes de simetría y a la vez un centro de simetría es (son) I) Rectángulo. II) Rombo. III) Deltoide. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I , II y III

44. El número de ejes de simetría de la figura 6 es A) B) C) D) E)

1 2 3 4 5

fig. 6

45. La figura 7 está compuesta por siete hexágonos regulares congruentes, como se muestra en la figura :

fig. 7

Si el área total de la figura es 42 3 cm2 , ¿con cuál(es) de las siguientes combinaciones de piezas es posible teselar esta figura? I) 42 triángulos equiláteros de lado 2 cm II) 7 hexágonos regulares de lado 6 3 cm . III) 21 rombos de lado 2 cm y ángulos interiores de 60° y 120°. A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo I y II Sólo I y III I, II y III

46. En la figura 8 , el triángulo ABC es congruente con el triángulo DEC, entonces siempre se puede afirmar que: I)

AC = CD

II)

C es el punto medio de EB

III)

AB = AD

E



β

D

fig. 8

C

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E)

I, II y III

A

β



B

47. En la figura 9 , AB = 15 cm y BC = 8 cm, entonces el área del deltoide ABCD en cm2 , es C A) 120 B) 80 C) 60 D) 46 E) 146

B

D

fig. 9

A

48. En la figura 10 , ORQP y PSTV son rectángulos congruentes, entonces  mide P

O

A) B) C) D) E)

40º 50º 70º 80º 85º



V

140º

R

Q

fig. 10

S T

49. En el rectángulo ABCD de la figura 11, DF  EF  FAy GB  CG , entonces ¿qué parte del rectángulo ABCD es el área achurada?

D A) B) C) D) E)

7 24 7 12 5 12 1 6 1 4

C fig.11

E O

G

F

A

B

50.

En la circunferencia de la figura 12, entonces la medida del ángulo ABC es

el arco CD es congruente al arco DA, D

A) B) C) D) E)

188° 172° 94° 86° 43°

43°

C

A

fig. 12 B

51.

En la circunferencia de centro O, se inscribe el triángulo ABC, entonces el valor del AOB es : C

A) B) C) D) E)

50º 80º 100º 130º 160º

O

fig. 13 B

A

55º

45º

52. En la figura 14 se muestra una circunferencia de centro O, y radio 6 cm. Si la cuerda PS divide interiormente al radio en la razón OR: RT = 2 : 1, y PR = 5 cm ¿Cuál es la medida de del segmento RS ? P

A) 10 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 2 cm 3 E) 1 cm 5

R

T

fig. 14

O● S

53. Un círculo tiene 16 m de radio. Al dibujar un radio y prolongarlo 4 m, fuera del círculo, ¿cuál es la medida de la tangente a la circunferencia dibujada desde ese punto? A) 14 m B) 12 m C) 10 m D) 8m E) 6m

54. Respecto a la semejanza de figuras geométricas es siempre verdadero que: I) Todos los cuadrados son semejantes. II) Todos los rombos son semejantes. III) Todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí. A) B) C) D) E)

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y III I, II y III

55. En la figura 15 se muestra un triángulo ABC rectángulo en B y AC  DB , entonces la medida de DC es

A) B) C) D) E)

A

2 6 7 11 13

X+4

D

X+5

fig. 15 B

56. En el triángulo ABC de la figura 16,

se ha trazado DE

tal que

CDE 

entonces la medida de EB es C E

A) 1,25 cm B) 7,2 cm C) 7,8 cm D) 9,6 cm E) 13,75 cm

15

fig. 16

3 12

D

A

5

B

ABC ,

C

57.

El paralelepípedo de base cuadrada ABCD de la figura 17, tiene un volumen igual a 275 cm3, si la altura CE es igual a 11 cm, entonces el área del triángulo ACE es:

A) 25 cm2 B)

55 cm2 2

C) 55 2 cm2 2

D) 55 cm2 E) 275 cm2

58.

fig. 17

El triángulo ABC de la figura 18 es rectángulo en C, CD  AB , si BC  15 , entonces tg DCA es B

A) B) C) D) E)

15 17 8 17 15 8 8 15 45 8

fig. 18 D

C

A

AC  8 y

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES 59. La tabla adjunta muestra la distribución de las edades de los funcionarios de cierta empresa ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

I) El total de funcionarios es 156 II) La Mediana se encuentra en el intervalo 40-49 III) La moda o clase modal es 35 A) B) C) D) E)

Intervalo 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 -69

Frecuencia 29 35 32 33 28

Sólo II Sólo III Sólo I y II Sólo II y III Ninguna de ellas.

60. La información de los lugares a los cuales desea ir en gira de estudios un curso de 40 alumnos está dada en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

A) B) C) D) E)

La moda es Isla de Pascua El promedio (media aritmética) es 10 La mediana es 10,5

Sólo I Sólo II Sólo III Sólo I y II I, II y III

Lugar

N° de Alumnos

Machu Pichu Cancún Río de Janeiro Isla de Pascua

8 10 12 20

61. Las notas de Pedro en Inglés son 4,5; 5,5; 6,0; 6,5. Si desea obtener un promedio mayor a 6,0, ¿cuál es la mínima nota que debe obtener en la prueba coeficiente 2? A) B) C) D) E)

No puede tener promedio mayor a 6 6,8 6,7 6,0 4,0

62. El gráfico de la figura 19 muestra el número de caries dentales en una muestra N° de casos de alumnos de un determinado colegio. I) La moda es 12. II) La media aritmética es mayor que la mediana. III) El 15% de los alumnos tiene 2 caries.

A) B) C) D) E)

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y III II y III

fig. 19 12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4 5 Número de caries dentales

63. La tabla muestra los puntajes PSU de matemática de un curso de 45 alumnos. Al escoger un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su puntaje sea igual o superior a 600 puntos? Puntaje A) B) C) D) E)

1 3 1 9 4 9 5 9 37 45

Nº alumnos

[400, 499[

8

[500, 599[

12

[600, 699[

15

[700, 799[

7

[800, 850]

3

64. Una urna contiene fichas con las letras que forman la palabra “MATEMÁTICA”. Si se extrae una ficha, ¿cuál es la probabilidad de no sacar una ficha que esté repetida? A) B) C) D) E)

1 10 1 5 3 10 2 5 1 2

65. Belén tiene 5 poleras; 3 de color rojo y 2 amarillas, 4 blusas; 2 blancas y 2 a rayas. Además tiene 6 jeans; 2 azules, 3 cafés y 1 negro. ¿Cuál es la probabilidad de que al vestirse se ponga una polera roja y un jeans negro?

A)

1 2

B)

1 5

C)

1 10

D)

1 40

E)

1 18

66. Una moneda tiene una falla de fabricación, de tal modo que la probabilidad de que al lanzarla resulte sello es el triple de que resulte cara. Por lo tanto, la probabilidad de que al lanzar la moneda resulte cara es A) B) C) D) E)

1 4 3 4 1 2 1 3 1 5

67. Se lanzan simultáneamente dos dados no cargados de seis caras numeradas desde el 1 hasta el 6. Se define la variable aleatoria X como el producto de los valores obtenidos en cada dado. Si P(X=n) representa la probabilidad de que X tome el valor n, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S) ? I)

El máximo valor posible de X es 12

II) La probabilidad de que X tome un valor par es igual a la probabilidad de x tome un valor impar III) P(X=2) es igual a P(X=30) A) B) C) D) E)

68.

Sólo Sólo Sólo Sólo Sólo

I II III I y II II y III

Al lanzar tres monedas, ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)? I) Que salgan tres sellos es más probable que salgan tres caras. II) Que salga un sello y dos caras tiene la misma probabilidad que salga cara y dos sellos. 1 III) La probabilidad que salgan tres caras es 8 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo II y III D) Sólo I y III E) I, II y III

una

69. ¿Cuál de las siguientes rectas es paralela a la recta que pasa por el punto (3,2) y que tiene coeficiente de posición -2? A. B. C. D. E.

3x = 4y + 8 4x = -3y + 2 8x = 6y – 4 3x = -4y + 2 x=y–2

70. Con respecto a la simetría axial, es correcto que:

I) se puede obtener mediante varias rotaciones. II) se puede obtener mediante varias traslaciones. III) se puede obtener mediante varias simetrías centrales. A) B) C) D) E) 71.

solo I. solo II. solo III. I, II y III. ninguna de las anteriores.

Sea f(x-2) = x(x+3), entonces f(3)= A) B) C) D) E)

40 18 4 2 1

72. Si a#b=(a+b)(a-b), entonces 2#5= A) B) C) D) E)

10 -21 21 -10 3

73. Se lanza un dado dos veces. Sea x una variable aleatoria tal que x = {suma entre los números obtenidos en los dos lanzamientos} y P(a) la probabilidad de que x tome el valor a. Por lo tanto, ¿cuál de las siguientes alternativas es correcta? A) B) C) D) E)

P(1)=P(6) P(12)=P(6) P(7)=P(5) P(2)=P(12) P(7)=P(0)

EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS 74. Si u es un número natural. Se puede determinar que 3u es un número par: (1) 2u es un número par. (2) u + 3 es un número impar. A) B) C) D) E)

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

75. Se puede determinar el valor numérico de

x2  3xy  2y2 , con x e y  0, si se sabe x2  2xy  y2

que:

A) B) C) D) E)

(1)

x = 2y

(2)

x+y=9

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

76. Se puede determinar el área del pentágono ABCDE de la figura 20, si: E

(1) AB = 5 (2) ABCDE es un pentágono regular. A

A) B) C) D) E)

(1) por si sola (2) por si sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional

77. Si el a% del b% de X es 80. Se puede determinar el valor de X, si se sabe que: (1) a = 4b (2) a + b = 50

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2). E) Se requiere información adicional

D

fig. 20 B

C

78. En la figura 21, ABC es un triángulo rectángulo en C y h es la altura trazada desde el vértice C. Se puede determinar el área del ∆ ABC si : C (1)

AC = 8 m y DB = 3,6 m

(2)

h = 4,8 m y BC = 6 m

A) B) C) D) E)

fig. 21 h

(1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola Se requiere información adicional

A

D

B

79. Una bolsa contiene fichas verdes y azules. Se puede conocer el número de fichas azules, sabiendo que

(1) la probabilidad de extraer una ficha azul es (2) el número de fichas verdes es A) B) C) D) E)

3 4

1 . 4

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2). Se requiere información adicional.

80. Si f(x) = abx , entonces se puede determinar el valor de a y b si:

(1) (2) A) B) C) D) E)

f(1) = 6 f(2) = 16 (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola Se requiere información adicional

CLAVES

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C E D A C B B E E C A A B B A D B D C A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

E C A A E B D D B C A E B A B D B D D A

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E E C D E C A C A D E C B D C C C D A A

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

B E D C E A D C C E A B D B A C C D E C